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Marcela Richele Ferreira

AUTÔMATO CELULAR COMPROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO

DEPENDENTES DA ALTURA PARA O ESTUDODO CRESCIMENTO DE SUPERFÍCIES

Dissertação submetida ao Programa dePós-graduação em Modelagem Matemá-tica e Computacional - DPPG/CEFET-MG,como requisito parcial à obtenção do títulode Mestre em Modelagem Matemática eComputacional.

Área de concentração:Métodos Matemáticos Aplicados

Orientador:

Prof. Dr. Allbens Atman Picardi Faria

DPPG-CEFET-MGPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL

DO CEFET-MG

Belo Horizonte – MG

Dezembro, 2009

Livros Grátis

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Agradecimentos

A realização deste trabalho só foi possível mediante a contribuição de muitas pes-

soas. A elas, gostaria de deixar algumas palavras de reconhecimento.

Inicialmente, agradeço ao professor Allbens, pela confiança, orientação, paciência

e amizade;

Aos meus pais, pela dedicação, proteção e apoio sem os quais esse momento não

seria possível;

Aos meus irmãos, Ricardo, Belle e Mi, pelo amor e apoio fraterno;

Ao meu namorado, Rogério, pela paciência, carinho e compreensão nos momen-

tos difíceis;

Aos colegas do CEFET-MG pela amizade, companheirismo e momentos de des-

contração;

Aos demais amigos e familiares pelo incentivo e amizade, mesmo com o abandono

que o mestrado exige;

Aos professores e funcionários do CEFET-MG pelos diversos auxílios;

Ao CEFET-MG pelo suporte financeiro.

A todos, meus sinceros agradecimentos.

Resumo

Modelos de deposição de partículas têm atraído grande interesse dos pesquisa-dores ao longo dos anos tanto em abordagens utilizando simulações, como em ex-perimentos desenvolvidos para aplicá-los. Atenção particular tem sido dedicada aoestudo de equações contínuas de crescimento estocásticas. Embora um panoramade classes de universalidade (UC) já tenha sido proposto, baseado nas simetrias dasequações de crescimento, a associação de um modelo de deposição específico, ouum dado experimento, a uma UC é ainda uma tarefa muito difícil. Neste trabalho,propomos um novo modelo de Autômato Celular Probabilístico (PCA) onde as proba-bilidades de transição dependem do perfil local das alturas. Deste modo, as regras detransição consideradas são definidas de acordo com as interações entre três vizinhos:as diferenças de altura à direita e à esquerda do sítio central são usadas para cons-truir os parâmetros de simulação ri e li: ri(t) = hi(t) − hi+1(t) e li(t) = hi(t) − hi−1(t),onde hi(t) é a altura do sítio i no tempo t. Com essa definição temos seis parâmetros:três deles são mantidos fixos e os outros são usados como parâmetros de controle.Dependendo dos valores dos parâmetros obtemos morfologias diferentes e expoentescríticos em diferentes UC’s.

PALAVRAS-CHAVE: Autômatos Celulares Probabilísticos; Fractais; Modelos de De-posição; Superfície Rugosa.

Abstract

Particle deposition models have attracted great interest in the last years. Simula-tions and experimental approaches have been developed to study them, and particularattention has been paid to the study of continuous stochastic growth equations, dis-crete deposition models and analysis of experimental data. Although a panorama ofuniversality classes (UC) has already been proposed, based on the symmetries ofthe stochastic growth equations, the association of a specific deposition model or aparticular experiment to an UC still is a very difficult task. In this work, we proposea new probabilistic cellular automata where the transition probabilities depend on thelocal height profile. Thus, the probabilities are defined according to the interactionsbetween three neighbours; the difference of height to the right and to the left of thecentral site are used to draw the simulation parameters ri e li: ri(t) = hi(t) − hi+1(t)and li(t) = hi(t) − hi−1(t), respectively, where hi(t) is the height of the site i at time t.Three of them are kept steady and the others are employed as control parameters. De-pending on the values of the parameters, different morphologies and critical exponents,which determine various UC’s, are obtained.

KEY–WORDS: Probabilistic Cellular Automata; Fractals; Deposition Model; SurfaceRoughening.

Lista de Figuras

1 Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2 Estados possíveis de um DCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

3 Regra 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

4 Representação da Regra 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

5 Padrões espácio-temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

6 Percolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

7 Percolação Direcioada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

8 Percolação Direcionada Compacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

9 Exemplos de Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

10 Estrutura Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

11 Função auto-afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

12 Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

13 Triângulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

14 Deposição Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

15 Deposição Aleatória com Relaxação Superficial . . . . . . . . . . . . . p. 42

16 Deposição Balística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

17 Deposição Aleatória com Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

18 Modelo de Wolf-Villain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

19 Perfil gerado para os modelos de WV . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

20 Obtenção de uma curva auto-afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

21 Comportamento temporal da rugosidade . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

22 Variação da rugosidade de acordo com o tamanho do sistema . . . . p. 49

23 Determinando o valor de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

24 Determinando o valor de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

25 Anel de L sítios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

26 Representação de Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62

27 Novo modelo de PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63

28 Evolução da Rugosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

29 Evolução da rugosidade para probabilidade fixa . . . . . . . . . . . . p. 66

30 Expoente de rugosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

31 Expoente dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

32 Processo de Colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

33 Diagrama de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

34 Mapeamento das UC’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70

35 Diagrama de Fase com βw determinado . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70

36 Diagrama de Fase em 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71

Lista de Abreviaturas e Siglas

CA Autômato Celular

CDP Percolação Direcionada Compacta

d Dimensão Euclidiana

dt Dimensão Topológica

DA Deposição Aleatória

DAD Deposição Aleatória com Difusão

DAR Deposição Aleatória com Recusa

DARS Deposição Aleatória com Relaxação Superficial

DB Deposição Balística

DCA Autômato Celular Determinístico

DKCA Autômato Celular de Domany-Kinzel

DP Percolação Direcionada

DT Das Sarma e Tamborenea

EW Edwards Wilkinson

H Expoente de Hust

KK Kim e Kosterlitz

KPZ Kardar, Parisi e Zhang

PCA Autômato Celular Probabilístico

SOS solid-on-solid

UC Classe de Universalidade

WV Wolf e Villain

Sumário

1 INTRODUÇÃO p. 11

2 AUTÔMATOS CELULARES p. 15

2.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2.2 Autômatos Celulares Determinísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

2.3 Autômatos Celulares Probabilísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.4 Percolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

3 GEOMETRIA FRACTAL p. 29

3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

3.2 Dimensão Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

3.3 Auto-similaridade e Auto-afinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

4 CRESCIMENTO DE INTERFACES RUGOSAS p. 37

4.1 Geometria de Superfícies Rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

4.2 Modelos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

4.2.1 Deposição Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

4.2.2 Modelos com Correlações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

5 EQUAÇÕES ESTOCÁSTICAS DE CRESCIMENTO p. 46

5.1 Leis de Escala e de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

5.2 Equações Estocásticas de Crescimento . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

5.3 Princípio de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

5.4 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

5.5 Equações Não-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57

5.6 Classes de Universalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

6 APLICAÇÃO: PCA DEPENDENTE DO PERFIL DE ALTURAS p. 60

6.1 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

6.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63

6.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

7 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS p. 72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS p. 73

Anexo A -- PROGRAMA p. 76

11

1 INTRODUÇÃO

Desde sua origem, em meados do século XIX, a Física Estatística tem desempe-

nhado um papel fundamental na descrição, compreensão e concepção dos fenômenos

naturais. Originalmente criada para tratar sistemas onde o número de variáveis era ex-

cessivamente grande, a disciplina experimentou um notável desenvolvimento a partir

da segunda metade do século XX, devido em grande parte ao advento dos computa-

dores. Desde então, a Mecânica Estatística tornou-se a principal ferramenta para lidar

com a complexidade em diversos sistemas, e a Simulação Computacional se firmou

como uma nova ênfase na Física, ao lado da Teoria e do Experimento [1].

Nas últimas décadas do século XX cresceu o interesse pela dinâmica de sistemas

complexos. Uma das propriedades marcantes de tais sistemas é a presença de leis de

escala e leis de potência que são observadas em diversos contextos. Conceitos como

criticalidade auto-organizada, auto-similaridade, fractais e leis de potência passaram

a fazer parte da linguagem da física contemporânea.

Os fenômenos críticos, que ocorrem geralmente em sistemas que se encontram

fora do equilíbrio, apresentam comportamento singular na região crítica, com divergên-

cias assintóticas caracterizadas por expoentes críticos. O comportamento das gran-

dezas termodinâmicas próximas a um ponto crítico apresenta caráter universal, ca-

racterizado pelos mesmos valores de expoentes críticos [2] e várias técnicas foram

desenvolvidas para se estudar a vizinhança desses pontos críticos. Os resultados das

experiências, bem como diversos outros resultados teóricos, apontavam para a exis-

tência de classes de universalidade, definidas por alguns poucos expoentes críticos

diferentes dos valores clássicos [3].

Na década de 1970 essas idéias foram incorporadas na teoria do grupo de renor-

malização, proposta por Kenneth Wilson. Foram então justificadas as leis de escala e

a universalidade dos expoentes críticos, trabalho que rendeu um prêmio Nobel a Wil-

son. A universalidade e o caráter peculiar da criticalidade são fatos bem conhecidos

1 INTRODUÇÃO 12

da física há mais de um século [2].

Trabalhos teóricos em criticalidade utilizam modelos simples que podem ser es-

tudados analiticamente ou via simulações computacionais. Entender o estado crítico

em sistemas que pertencem a determinada classe leva-nos à compreensão de todos

os demais sistemas dessa classe, pois o princípio da universalidade permite-nos sele-

cionar os modelos matemáticos mais simples possíveis, desde que consigam abranger

todas as características essenciais aos fenômenos. Esses modelos levam a leis de

escala que revelam ordem e simplicidade por trás da complexidade, e também conec-

tam pequenas e grandes flutuações. Eventos raros não precisam ter causa específica

e podem aparecer a qualquer momento; o que causa um pequeno efeito em uma

ocasião pode iniciar uma mudança devastadora em outra situação [2].

É natural pensar que, para se atingir pontos críticos, seja necessária alguma in-

tervenção externa. Porém, às vezes essa criticalidade é atingida espontaneamente

pela natureza, fenômeno denominado criticalidade auto-organizada. Esta parece sur-

gir quando as partes de um sistema afastam-se lentamente do estado de equilíbrio, e

onde as ações de cada parte individual são dominadas pelas interações com as de-

mais partes do sistema. Como exemplo, podemos citar preços de mercadorias, que

parecem se comportar desordenadamente em um curto prazo, embora tendências se-

jam comuns quando o horizonte de tempo observado é longo. Diante disso, um certo

economista de Harvard, chamado Hendrik Houtahkker, recorreu a uma distribuição

gaussiana para estudar oito anos de variações no preço do algodão [2]. Ele constatou

que a curva não se ajusta perfeitamente à distribuição normal. Estranhamente, ela se

alonga em vez de cair rapidamente. Após um seminário no Departamento de Econo-

mia de Harvard, Benoit Mandelbrot reconheceu que sua figura apresentada era bem

parecida com a curva exposta por Houtahkker. Mandelbrot resolveu então estudar a

mesma base de dados para mais de um século do preço do algodão e percebeu que

havia simetria em pequenas e grandes escalas. Variações diárias assemelhavam-se

a variações mensais. Isto sugeria que as sequências de variações independem da

escala, indicando a presença de leis de potência, descobrindo-se assim um padrão

onde se pensava existir apenas aleatoriedade. Mandelbrot concluiu que algo como o

"Conjunto de Cantor” poderia capturar o que estava ocorrendo com o preço do algo-

dão, mostrando que não havia escala característica. Era até então incomum observar

um conjunto levando-se em conta sua dimensão. Na visão euclidiana, um cubo tem

dimensão 3 porque apresenta largura, comprimento e altura; uma folha de papel pos-

sui dimensão 2 porque tem largura e comprimento; um fio tem dimensão 1 por apenas

1 INTRODUÇÃO 13

ter comprimento; e um ponto tem dimensão 0 pois não apresenta nenhuma dessas

características. Mas quando se pensa em outras formas da natureza como o contorno

de uma folha de árvore, do litoral, de uma montanha, de um fragmento de rocha, a

geometria euclidiana não parece ser adequada para uma boa descrição. Afinal, como

Mandelbrot observa, "nuvens não são esferas e montanhas não são cones" [4].

Em um artigo intitulado "How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity

and fractional dimension" [5], Mandelbrot discute como mensurar formas irregulares

como o litoral. Ele foi além das dimensões inteiras 0, 1, 2 e 3, e utilizou dimensões

fracionárias. Daí surgiu o conceito de fractal. Mandelbrot descobriu que esse grau de

irregularidade permanecia constante, no litoral britânico, qualquer que fosse a escala

utilizada. Isto significa que, seja de perto ou de longe, os padrões de forma são os

mesmos. Exatamente como nos preços do algodão, havia um padrão na irregulari-

dade. Esta é uma das principais características dos fractais: a auto-semelhança [4].

O estudo de algumas dessas formas irregulares complexas só foi possível através

de modelos computacionais. A importância do uso de modelos aparece como uma

forma de representar, explicar e entender o mundo ao nosso redor. No decorrer da

história, foram criados muitos modelos de madeira, papel, metal, expressões matemáti-

cas e sistemas teóricos. Recentemente, os computadores têm fornecido um novo meio

para construir, analisar e descrever modelos mais sofisticados e complexos, incapazes

de serem produzidos com os materiais postos à disposição pela natureza e pela ciên-

cia. A simulação, podendo ser denominada como um tipo de modelagem que utiliza

eventos probabilísticos e aleatórios, reflete importantes aspectos do mundo ao nosso

redor. Por suas propriedades, ela possibilita algumas explorações que são difíceis de

realizar através de modelos analíticos e impossíveis de demonstrar com protótipos,

tais como a interdependência (equilíbrio) entre populações diferentes, habitantes de

um mesmo ecossistema, e a sua variabilidade em função de agentes, internos ou

externos ao sistema [6].

A simulação vem se apresentando como uma alternativa interessante para ajudar

a compreender os fenômenos de nosso universo. Assim, uma das vertentes mais

interessantes da simulação, atualmente em destaque, é a busca pela criação de mo-

delos úteis na exploração de sistemas complexos. Frente a esse desafio, propomos

um novo modelo de autômato celular probabilístico unidimensional, com condições de

fronteira periódicas onde as probabilidades de transição dependem do perfil local das

alturas. O modelo estudado é um processo Markoviano de tempo discreto em que a

1 INTRODUÇÃO 14

regra para atualizar o sistema é dada por probabilidades de transição dependentes do

perfil de altura local, fornecido por uma representação de interfaces. Como modelos

matemáticos, os autômatos celulares são usados em vários problemas, com destaque

para investigação da auto-organização de sistemas dinâmicos em física estatística.

Essa dissertação foi dividida em seis capítulos. No capítulo 2 apresentamos os

autômatos celulares, uma classe de modelos computacionais que possui uma vasta

aplicação e no qual se concentra a maior parte das contribuições deste trabalho. Intro-

duzimos os conceitos básicos apresentando suas definições, principais características

e algumas aplicações.

No capítulo 3 faremos um breve apanhado desta "nova” geometria - Geometria

Fractal - que é capaz de descrever com alto grau de fidelidade as diversas estruturas

encontradas na natureza.

No capítulo 4 apresentaremos um breve estudo dos modelos de crescimento de

superfícies por deposição de partículas, apresentando algumas técnicas utilizadas em

suas caracterização. Mostramos que a rugosidade das superfícies geradas possuem

propriedades de escala universais, as quais podem ser associadas a expoentes críti-

cos que governam o comportamento do sistema e caracterizam as diferentes classes

de universalidade associadas ao crescimento de superfícies.

No capítulo 5 apresentaremos um breve estudo analítico das equações contínuas

de crescimento, finalizando com um panorama de classes de universalidade, que nos

será útil para o desenvolvimento do nosso trabalho.

No capítulo 6 apresentamos as contribuições originais deste trabalho, com apli-

cações dos conceitos discutidos nos capítulos precedentes. Exploramos as diferentes

classes de universalidade para deposição de partículas no crescimento de superfí-

cies rugosas utilizando um mapeamento de autômato celular em um crescimento de

interfaces.

Finalmente, apresentamos nossas conclusões deste trabalho e apontamos algu-

mas perspectivas prováveis de continuidade do mesmo.

15

2 AUTÔMATOS CELULARES

No final da década de 60 surgiram novas técnicas computacionais que viriam a ser

utilizadas na modelagem matemática de sistemas complexos. Como exemplo desses

sistemas, podemos citar o crescimento de superfícies rugosas, que tem imposto vários

desafios, já que um grande número de experimentos e simulações são realizados na

tentativa de compreender melhor o seu comportamento. Das técnicas computacionais

utilizadas para atacar esse problema, uma se destaca por sua simplicidade: os autô-

matos celulares (CA). Eles surgiram quando Stanislaw Ulam trabalhava no Laborató-

rio Nacional de Los Alamos (Novo México) estudando o crescimento de cristais. Na

mesma época, John von Neumann trabalhava tendo como foco a auto-reprodução

celular [7]. A idéia inicial era a capacidade de uma máquina produzir cópias idênticas

à matriz. Esses dois matemáticos estão entre os maiores colaboradores para o de-

senvolvimento das tecnologias da época e, do ponto de vista teórico, introduziram os

CA’s.

Os autômatos celulares são modelos computacionais onde o tempo e o espaço

são ambos discretizados e a evolução do sistema obedece a regras específicas. Esses

modelos permitem estudar sistemas de grande tamanho em um tempo aceitável e a

um custo computacional relativamente baixo [8]. Eles podem ser suficientemente sim-

ples para permitir uma análise matemática mais detalhada, e complexos o bastante

para descrever uma vasta variedade de fenômenos não triviais. As regras que deter-

minam a evolução temporal de um CA são locais, dependendo apenas do estado da

vizinhança de um dado sítio e do seu próprio estado [9]. Tais regras podem ser deter-

minísticas ou probabilísticas. Neste capítulo, inicialmente, introduziremos os aspectos

gerais que definem um CA e, em seguida, abordaremos alguns exemplos de autô-

matos celulares determinísticos (DCA) e autômatos celulares probabilísticos (PCA)

para evidenciar suas características fundamentais. Finalmente, faremos uma ligação

da abordagem feita a PCA’s, utilizados neste trabalho, com o modelo que apresentare-

mos no capítulo 6.

2.1 Definições 16

2.1 Definições

Os CA’s são idealizações matemáticas de sistemas físicos nas quais o espaço, o

tempo e o número de estados são quantidades discretas. Receberam outros nomes

como "estruturas celulares", "autômatos de mosaico", "estruturas homogêneas” e "ar-

ranjos iterativos" [10]. Se considerarmos o algoritmo utilizado para obter os coefi-

cientes de uma expansão binomial, o conhecido "Triângulo de Pascal", este pode ser

considerado o protótipo de um CA, como pode ser observado na figura 1 [1].

Figura 1: Triângulo de Pascal: na primeira figura colorimos os coeficientes ímparesde preto e os pares de branco, revelando a estrutura do triângulo de Sierpinski; naseguinte, reproduzimos o mais antigo triângulo de Pascal, datado de 1303. Retiradade [11].

O interesse nessas estruturas tem crescido enormemente nos últimos anos, prin-

cipalmente devido ao seu sucesso em descrever uma vasta gama de fenômenos nos

mais variados sistemas, pertencentes a diferentes áreas do conhecimento [9]. Eles

apresentam diversas aplicações em diferentes ramos da ciência e tecnologia, tais

como a física fora do equilíbrio, dinâmica de populações, computação, biologia, geo-

logia, etc. CA’s foram usados para modelar desde a evolução de galáxias espirais até

sistemas biológicos [9].

Um dos CA’s bi-dimensionais mais conhecido é o "Jogo da Vida", desenvolvido

pelo matemático John Horton Conway em 1970. Ele simula o processo de evolução

de células biológicas que possuem dois estados (vivo e morto) e oito vizinhos que

obedecem as seguintes regras [7]:

• uma célula viva com um vizinho vivo ou nenhum vivo, morre por solidão.

2.2 Autômatos Celulares Determinísticos 17

• uma célula viva com mais do que três vizinhos vivos, morre por superpopulação.

• uma célula viva com dois ou três vizinhos vivos, sobrevive no próximo instante

de tempo.

• em uma célula vazia com exatamente três vizinhos vivos, ocorre um nascimento.

Durante a evolução ou mudança de comportamento no "Jogo da Vida", pode-se

notar grupos de células chamadas "piscantes". Essas células apresentam-se como

blocos que alteram constantemente entre dois estados de acordo com as regras. Caso

estes blocos não sejam tocados, irão piscar para sempre. Isso é chamado de "sistema

periódico". Outra estrutura encontrada são os "gliders", que deslizam pelo CA em

diagonal e continuam fazendo isto, até que esbarrem em uma célula viva.

O resultado final do Jogo da Vida é quase sempre constituído por estruturas lo-

calizadas, "gliders"e "piscantes", que oscilam periodicamente ao longo do tempo e, a

partir de qualquer configuração inicial, podem alcançar três estados possíveis [7]:

• Extinção: todas as células morrem;

• Estabilidade: a evolução do sistema converge para um estado permanente;

• Oscilação: o sistema entra em uma fase oscilante.

Após estabelecermos as definições fundamentais, vamos considerar alguns exem-

plos de CA’s. Na seção 2.2 faremos uma breve análise dos DCA’s através dos CA’s

elementares (ou CA’s de Wolfram) que, apesar da enorme simplicidade de sua cons-

trução, são capazes de exibir comportamentos complexos, produzir estruturas fractais

e apresentar os elementos essenciais para a ocorrência de um regime caótico. Na

seção 2.3, apresentaremos as principais características de um PCA.

2.2 Autômatos Celulares Determinísticos

Após terem sido propostos por von Neumann na década de 1960, os DCA’s só

vieram a ser estudados sistematicamente na física em 1983 por Wolfram, que defende

a idéia de que todas as leis da natureza podem ser modeladas via autômatos celulares

[10]. Devido a sua simplicidade, os CA’s permitem análises matemáticas detalhadas

de fenômenos complicados e são facilmente transformados em modelos simples para


descreverem uma grande variedade de sistemas físicos, químicos, biológicos, dentre

outros [10].

O CA elementar unidimensional de Wolfram é um dos mais simples. Consiste em

uma rede regular unidimensional, finita em extensão, onde uma variável discreta 0 ou

1 (base 2) está associada a cada sítio. Em passos de tempo discretos, o sistema

evolui segundo regras locais fixas que associam o estado de um sítio no instante t

com seu próprio estado e os estados de seus L primeiros vizinhos (à esquerda e à

direita) no instante de tempo anterior t − 1. Em um dado instante, o estado de um

CA é completamente especificado pelo conjunto dos estados de todos os sítios que o

compõem [8,12].

Estado 0 → 0x22 + 0x21 + 0x20 → 000 Estado 1 → 0x22 + 0x21 + 1x20 → 001




Figura 2: Tabela de estados possíveis para os três sítios adjacentes em um autômatocelular elementar.

Definimos a vizinhança do sítio i no instante t como sendo o estado do próprio sítio

somado a suas adjacências, i + 1 e i − 1, nesse mesmo instante de tempo. Assim, a

evolução deste sítio depende deterministicamente dos estados dos três sítios citados.

Como estamos considerando somente os estados dos primeiros vizinhos e do próprio

sítio, teremos 23 = 8 combinações possíveis para uma vizinhança, que é a represen-

tação de cada estado na base 2, isto é, o estado 0 corresponde à configuração 000, o

estado 1, 001, e assim sucessivamente até o estado 7, 111, como pode ser observado

na figura 2.

Dessa forma, um CA unidimensional cuja vizinhança consiste de três vizinhos é

representado por um número binário de oito dígitos, possuindo assim, 28 = 256 dife-

rentes regras que determinarão sua evolução. Porém, se considerarmos os seguintes

argumentos [13]:


• Ausência de Fontes: A vizinhança 000 evolui para o estado 0, 000 → 0, no

próximo passo de tempo, o que faz com que um estado com vizinhança identi-

camente nula permaneça inalterado.

• Simetria de Reflexão: Os estados inicias 1(001) e 4(100), ou, 3(011) e 6(110)

mapeiam para o mesmo estado, apresentando uma simetria de reflexão que irá

garantir a homogeneidade na evolução do CA;

Teremos, dessa forma, somente 25 = 32 regras consideradas válidas, conhecidas

como regras legais.

As regras dos CA’s de uma dimensão podem ser classificadas em três tipos [10]:

• Legal - Uma regra é "legal” se apresenta ausência de fontes e simetria de re-

flexão.

• Totalística - Uma regra é "totalística” se xt+1i depende somente da soma de xti

sobre as posições da vizinhança. Por exemplo, xt+1i = f(xti−1 + xti + xti+1). Das

32 regras legais apenas 8 são totalísticas.

• Periférica - Uma regra é "periférica” se não depender do estado da posição i.

Por exemplo, xt+1i = f(xti−1, x

ti+1).

Vejamos a regra legal 90 na figura 3 e sua representação na figura 4, que é um

exemplo dessa classe de DCA, conhecida como "complexa” ou "caótica” e que fornece

um padrão não trivial.

000

001 010 011 100 101 110 111

↓

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

0

1 0 1 1 0 1 0

0x20

1x21 0x22 1x23 1x24 0x25 1x26 0x27 = Regra 90

Figura 3: Regra 90: Possível regra local para a evolução de um CA elementar. Naprimeira linha mostramos cada uma das 23 = 8 combinações possíveis para umavizinhança de três sítios de estados binários e, na linha de baixo o valor do sítio centralno passo de tempo subsequente. Essa regra pode ser vista como um número bináriode oito dígitos, 01011010, cujo valor na representação decimal é 90.

Este processo é semelhante ao crescimento de um cristal a partir de uma semente

microscópica [8]. Porém nem todos os CA’s se comportam como o mostrado na figura

4. Alguns conduzem a um estado final onde todos os sítios ficam nulos imediatamente


(regras 0 e 60) ou onde todos os sítios permanecem inalterados (regras 4 e 36). Al-

guns, como por exemplo, os CA’s 50 e 122, copiam o estado 1 e geram uma estrutura

uniforme, onde o estado 1 do sítio inicial é expandido em cada direção em cada passo

de tempo. Os CA’s caóticos não tendem para um estado uniforme e fornecem, no

limite de tempo infinito, uma configuração auto-similar.

Figura 4: Representação da Regra 90: À esquerda temos padrões espácio-temporaisproduzidos pela regra a partir de um estado inicial aleatório e à direita a evoluçãotemporal dos oito primeiros passos de tempo cujo o estado inicial é composto por umsítio central no estado 1 e os outros no estado 0.

As condições iniciais de um DCA podem ser aleatórias e sua evolução é irrever-

sível, podendo gerar estados homogêneos ou padrões auto-semelhantes [10].

Wolfram [15] classificou os padrões obtidos nesses modelos basicamente em qua-

tro tipos [1,12]:

• Evolução para estado homogêneo: Após um número finito de passos de tempo,

o sistema atinge um estado homogêneo, no qual todos os sítios possuem o

mesmo valor. Porém, partindo de certas configurações iniciais excepcionais,

o sistema pode não evoluir para esse estado, ingressando em ciclos não-triviais.

Todavia, a fração dessas configurações excepcionais decai rapidamente à me-

dida que o tamanho do sistema aumenta.

• Evolução para estados periódicos: Os padrões gerados são constituídos por

estruturas periódicas persistentes, com períodos tipicamente curtos.

• Evolução para padrão caótico: As regras pertencentes a essa classe pos-

suem forte dependência das condições iniciais, apresentando uma grande ins-

tabilidade com relação a pequenas variações nos estados iniciais. Esse com-

portamento caótico pode ser identificado observando-se a evolução de um CA

definido pela medida da diferença entre ele e sua cópia, sobre a qual se aplica

um dano, que pode ser, por exemplo, a alteração do estado de um sítio.


Figura 5: Padrões espácio-temporais característicos, típicos em cada uma das quatroclasses de Wolfram. A figura (a) indica a evolução para o estado homogêneo, a figura(b) evoluiu para o estado periódico, (c) levou a um padrão caótico e (d) evoluiu paraestruturas complexas localizadas. Retirada de [14].

• Evolução para estruturas complexas localizadas: O autor considera a pos-

sibilidade de que as regras pertencentes a essa classe possam apresentar a

propriedade de computação universal - configurações iniciais adequadas podem

especificar procedimentos algorítmicos arbitrários, fazendo com que o sistema

funcione como um computador para aplicações gerais, capaz de avaliar qual-

quer função computável.

Wolfram foi o primeiro a demonstrar que um CA pode exibir comportamento com-

plexo mesmo com regras locais simples. Sua classificação demonstra que tais regras

podem levar a uma espécie de auto-organização, o que contribui inicialmente para

uma maior compreensão do fenômeno de formação espontânea de padrões [16].

2.3 Autômatos Celulares Probabilísticos 22

2.3 Autômatos Celulares Probabilísticos

Os Autômatos Celulares Probabilísticos (PCA), também conhecidos como Autô-

matos Celulares Estocásticos, são sistemas descritos por um conjunto de variáveis

discretas definidas em uma rede, onde os estados de cada sítio são atualizados de

forma síncrona e que obedecem a regras probabilísticas, dependendo apenas do es-

tado de seus vizinhos no passo de tempo anterior (processo Markoviano discreto).

Também podem ser classificados como sistemas irreversíveis, uma vez que a atuali-

zação síncrona do sistema dificulta-nos escrever uma equação analítica para um PCA,

mas podemos descrever a evolução temporal do sistema através de sua distribuição

de probabilidades [1].

Os PCA’s têm sido amplamente utilizados para simular os mais variados sistemas,

abrangendo disciplinas diversas como biologia, computação, física, ciências sociais,

etc. De um modo geral, eles apresentam grande sucesso em descrever fenômenos em

todas estas áreas, caracterizando-se como um dos modelos fundamentais para des-

crever sistemas complexos [1]. Eles podem modelar reações químicas, crescimento

de cristais, turbulência, problemas biológicos ou outros processos não-lineares fora do

equilíbrio, como também podem ser mapeados em modelos de Mecânica Estatística

(1 + 1) dimensionais 1. Os PCA’s podem exibir, mesmo em uma dimensão, transição

de fase contínua com expoentes críticos universais e leis de escala [17].

Como um exemplo de PCA temos o autômato celular de Domany-Kinzel (DKCA)

introduzido em 1984 [17]. Este PCA é especialmente útil no estudo de catálise em

reações químicas e percolação direcionada em redes quadradas [18]. O DKCA con-

siste de uma rede unidimensional com N sítios, sendo que estes variam de i =

1, 2, 3, ...N , com condições de contorno periódicas. Cada sítio i da rede possui dois

estados possíveis σi = 0 ou σi = 1, tal como nos CA’s estudados por Wolfram [9]. Os

autores introduziram taxas de transição probabilísticas, ωi(σi|σ′) = ωDK(σi|σ

′i−1, σ

′i+1)

e que assumem uma forma totalística, ou seja, dependem exclusivamente da soma

entre os estados de sua vizinhança [17],

p0 ≡ ω(1|00) = 0; (2.1)

1(1 + 1)dimensões: rede unidimensional + evolução temporal.

2.3 Autômatos Celulares Probabilísticos 23

p1 ≡ ω(1|10) = ω(1|01); (2.2)

p2 ≡ ω(1|11); (2.3)

Assim, ωDK(0|σ′i−1, σ′i+1) = 1− ωDK(1|σ′i−1, σ

′i+1).

A evolução temporal deste autômato depende dos valores das probabilidades

condicionais. Dependendo dos valores destas probabilidades e lembrando que, por

definição, toda probabilidade é normalizada, a evolução temporal (t → ∞) conduz

a um estado homogêneo onde todos os sítios estão no estado 0 (conhecido como

fase congelada) ou a um estado que possui uma fração finita de sítios intercalados

no estado 1 (fase ativa). Desse modo, o DKCA apresenta uma transição de fase

contínua entre as fases congelada e ativa mesmo para d=1, caracterizada por um ex-

poente crítico universal associado a um parâmetro de ordem definido como a fração

de sítios no estado 1 [18]. Dentro da fase ativa, existe uma região que é sensível

às condições iniciais (fase caótica), ou seja, dados dois autômatos sujeitos à mesma

regra de evolução e à mesma sequência de números aleatórios, mas com estados

iniciais diferindo apenas no estado de um único sítio, atingirão, após um tempo su-

ficientemente longo irão atingir estados completamente diferentes. Ao contrário, na

fase ativa não caótica, esta pequena diferença não conduz a estados finais muito dife-

rentes [18].

O DKCA é um dos modelos mais estudados na Mecânica Estatística Fora do Equi-

líbrio, possuindo todos os elementos básicos para a irreversibilidade [17]. O modelo

possui regras locais de curto alcance, tal como o modelo de Ising, mas diferencia-se

exatamente por possuir uma transição de fase em d = 1 [1]. Essa transição pode ser

estudada fixando-se o valor de p2 e variando-se o parâmetro de p1. O parâmetro de

ordem do modelo é a densidade de sítios ativos, ρ, que, na criticalidade, apresenta um

comportamento do tipo lei de potência.

ρ ∝ (p1 − p1c)β, quando p1 → p+

1c , (2.4)

onde p1c é o valor crítico do parâmetro p1 e β ' 0, 273 é o mesmo valor encontrado

na classe de universalidade da percolação direcionada (DP), que apresentaremos na

seção 5.6. Esse valor é encontrado ao longo de toda a linha de transição para o estado

2.4 Percolação 24

absorvente 2 no DKCA, exceto no ponto terminal (p2 = 1, p1 = 12) [17]. Nesse ponto,

o sistema pertence à classe de percolação direcionada compacta (CDP) e β = 0,

indicando uma transição descontínua. Os expoentes críticos da classe DP não são

conhecidos exatamente, enquanto a classe CDP possui resultados exatos [20]. O

DKCA também apresenta uma fase caótica, associada ao espalhamento de danos

envolvendo um par de autômatos [18].

2.4 Percolação

O modelo de percolação é um fenômeno físico que pode ser visto como um pro-

cesso dinâmico para a conectividade em meios porosos [21]. Do mesmo modo que

a difusão, a percolação pode ser descrita por modelos estocásticos, porém há uma

diferença essencial quanto à localização da aleatoriedade: enquanto na difusão um

fluido aleatório propaga-se em um meio determinístico, na percolação um fluido deter-

minístico escoa em um meio aleatório [22]. Considerando um fluido determinístico, os

modelos para percolação concentram-se em descrever o meio poroso e este é definido

como sendo um material sólido possuindo um certo número de pequenas cavidades

(poros) em pontos escolhidos aleatoriamente. A concentração de cavidades define

se há ou não a percolação. Se o número de cavidades for suficientemente grande,

elas estarão interligadas e o meio se tornará permeável à passagem de um fluido.

Entretanto, se o número delas for muito pequeno, elas estarão isoladas impedindo a

passagem do fluido [22].

Um modelo simples para a percolação é constituído por uma rede em que cada

sítio simboliza um poro e a conectividade desta rede (a ligação entre os sítios) ocorre

somente em pontos específicos. Dessa forma, em um bloco sólido formam-se canais

que permitem a criação de uma passagem entre sítios vizinhos, mas não entre sítios

que não sejam vizinhos como ilustra a figura 6 [21]. Cada sítio do retículo pode estar

em um de dois estados: ocupado, significando a presença de uma cavidade, ou vazio,

significando a ausência de uma cavidade. A probabilidade de um sítio ser ocupado

independe de os outros sítios estarem ocupados ou não. Um estado é construído de

tal forma que cada sítio é ocupado com uma probabilidade p estabelecida e que é

interpretada como a concentração de sítios ocupados. O problema básico da perco-

lação é determinar qual é a concentração mínima de sítios ocupados para haver um2Estado Absorvente: Um estado de uma cadeia de Markov é um estado absorvente se, uma vez

atingido, é impossível sair dele [19].

2.4 Percolação 25

estado percolativo [23].

Figura 6: Ilustração da percolação isotrópica por ligações. Retirada de [21].

Uma configuração é definida pelo conjunto de sítios ocupados. Se a cada sítio

i associarmos uma variável aleatória ηi que toma o valor 1 quando o sítio i estiver

ocupado e o valor 0 quando ele estiver vazio, então uma configuração é definida por

(η1, η2, η3, ..., ηN) = η, onde N é o número total de sítios do reticulado. A probabilidade

de que ηi assuma o valor 1 ou 0 é p, ou q = 1 − p, respectivamente. Tendo em vista

que as variáveis aleatórias são independentes, a probabilidade P (η) da configuração

é [23]

P (η) = pnqN−n, (2.5)

onde n é o número de sítios ocupados da configuração η. A média de uma função de

estado f(η) = f(η1, η2, η3, ..., ηN) é dada por

〈f(η)〉 =∑η

f(η)P (η). (2.6)

Note que o número médio de sítios ocupados será

2.4 Percolação 26

〈n〉 = pN (2.7)

de modo que p = 〈n〉N

, o que nos permite interpretar a probabilidade p como a concen-

tração de sítios ocupados [23].

Denominamos por limite de percolação o limiar que separa dois comportamentos

distintos do sistema; acima deste limite uma fase percola por todo o sistema enquanto

abaixo dele não há percolação. Considerando-se sistemas discretos, pode-se classi-

ficar em quatro os tipos de percolação [22]:

• Percolação de sítios - neste caso, cada sítio possui uma probabilidade p de

estar ocupado, e 1−p de estar vazio. Cada sítio é estatisticamente independente

dos outros e existe um valor crítico, pc, acima do qual uma fase percola por todo

o sistema, correspondendo ao "aglomerado infinito” formado pela união de sítios

ocupados primeiros vizinhos entre si.

• Percolação de ligações - neste caso, a ligação entre dois sítios estará presente

com probabilidade pb e ausente com probabilidade 1 − pb; as ligações são idên-

ticas entre si e estatisticamente independentes. Acima de pcb, há um caminho de

ligações presentes conectando sítios primeiros vizinhos que se estende por todo

o sistema.

• Percolação de sítios e ligações - este caso é a combinação dos dois casos

considerados acima.

• Percolação direcionada - pode ser definida do mesmo modo que a percolação

de sítios, ligações, ou de sítios e ligações, porém as conexões só são permitidas

se possuírem uma orientação pré-definida.

Enquanto a percolação de sítios é adequada ao estudo de processos de contágio

ou para modelar sistemas absorventes, os outros tipos de percolação são mais ade-

quados à descrição de fenômenos de transporte [24]. O modelo de DP é largamente

utilizado e suas aplicações se estendem desde fenômenos de invasão de um fluido

em um meio poroso até redes neurais [25], incêndios em florestas, propagação de

doenças, impurezas em sólidos, formação de galáxias [26]. Acredita-se que várias

transições de fase estão dentro desta classe; em particular, todos os modelos que

possuem transições para um estado absorvente, como o modelo de Domany-Kinzel

citado na seção 2.3 [20].

2.4 Percolação 27

A percolação direcionada obedece uma determinada orientação pré-definida, como

pode ser observado na figura 7, e é construída considerando um reticulado composto

por camadas com um certo número de sítios em cada uma delas. Os sítios de de-

terminada camada estão ligados a sítios vizinhos da camada superior e da camada

inferior, mas não a sítios da mesma camada. Eles podem estar ativos (ocupados)

com probabilidade p ou inativos (vazios) com probabilidade 1 − p. A definição para a

conexão entre dois sítios quaisquer e, em particular, entre dois sítios vizinhos é [1,23]:

• Dois sítios vizinhos estão conectados se eles estiverem ativos e se a ligação

entre eles estiver intacta.

• Dois sítios quaisquer estão conectados se houver pelo menos um caminho entre

eles formado por pares de sítios vizinhos conectados e que seja sempre ascen-

dente ou descendente.

Figura 7: Ilustração do processo de percolação direcionada por ligações. Note queneste caso, existe uma direção privilegiada. Retirada de [21].

A Percolação Direcionada Compacta (CDP), além de obedecer uma determinada

orientação pré-definida, corresponde a um conjunto compacto de extensão infinita na

direção de um dos eixos [27] como pode ser observado na figura 8 e de acordo com

Mendes [28]:

2.4 Percolação 28

The essential difference between DP and CDP is that in the latter, tran-sitions from wet to dry cannot occur within a string of 1s; the evolutionof a string of 1s is governed by a pair of random walks at its ends.

Figura 8: Ilustração do processo de percolação direcionada compacta. Espalhamentoa partir de uma única fonte para o DKCA. Para a CDP, a evolução dos autômatosna criticalidade leva a formação de domínios compactos, cujas fronteiras executamcaminhadas aleatórias sem tendências. Retirada de [1].

29

3 GEOMETRIA FRACTAL

A geometria fractal é um dos conceitos mais fascinantes elaborados pela imagi-

nação humana e suas implicações causaram impacto sobre o pensamento científico

na segunda metade do século XX [1]. Neste trabalho apresentaremos apenas os

conceitos relevantes para o estudo de propriedades fractais em superfícies rugosas.

Inicialmente, introduziremos os aspectos gerais que definem a geometria fractal e,

em seguida, abordaremos os seguintes tópicos: dimensão fractal, auto-similaridade e

auto-afinidade, mostrando suas características fundamentais.

3.1 Definição

Fractus vem do latim e significa fragmento ou fração. A principal característica

de um fractal é a semelhança através das várias escalas de observação que podem

apresentar uma estrutura hierárquica complexa como pode ser observado na figura 9.1

Figura 9: Exemplos de fractais: A principal característica de um fractal é sua seme-lhança através de várias escalas de observação, sendo esta uma chave para seureconhecimento. À esquerda temos o exemplo de um fractal natural - NephrolepisPolypodium, e à direita um exemplo de fractal matemático - a Curva de Koch.

Os fractais podem ser classificados como matemáticos ou naturais e determinísticos1Mais informações no Site: www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43. Acessado em 26/09/09.

3.2 Dimensão Fractal 30

ou aleatórios. Enquanto os fractais naturais sempre apresentam duas escalas de corte

- uma superior e outra inferior- os matemáticos geralmente apresentam uma ou ne-

nhuma escala de corte. Comumente verificamos que objetos naturais possuem essa

característica, como árvores, bacias hidrográficas, distribuição de galáxias [26], os

sistemas circulatório, nervoso e respiratório, etc [11]. Os fractais são frequentemente

observados nos fenômenos de crescimento fora do equilíbrio. Como exemplos desses

processos, temos a formação de dendritos durante a solidificação de um meio super-

resfriado; os dendritos são formados quando um fluido viscoso é injetado noutro mais

viscoso ou durante a deposição de ions em um eletrodo [8]. A figura 10 mostra um

exemplo de uma estrutura fractal no escoamento viscoso. Alguns exemplos possuem

uma dimensão fractal bem definida e podem ser simulados utilizando os conceitos

fractais que são capazes de reproduzir sua complexidade com um nível elevado de

verossimilhança.

A geometria fractal é a que melhor descreve a morfologia dos seres vivos e do

próprio universo como um todo por reproduzir, com alto grau de fidelidade, estruturas

complexas observadas na natureza [1].

3.2 Dimensão Fractal

A dimensão fractal é necessária para descrever como um objeto fractal preenche

o espaço. Uma variedade de abordagens práticas diferentes para medir sua estrutura

"auto-similar” têm sido desenvolvidas e avaliadas tanto em experimentos quanto em

simulações computacionais [30].

A dimensão de Hausdorff-Besicovitch desempenhou um papel importante no de-

senvolvimento dos conhecimentos matemáticos que conduziram à descoberta da geo-

metria fractal. A definição da dimensão de Hausdorff-Besicovitch, DHB, é baseada

na medida de Hausdorff µH , que é determinada pela cobertura ótima do fractal, ou

seja, sobrepomos esferas de raio ε numa imagem e contamos a quantidade de es-

feras necessárias para cobrir toda a figura. A medida ∆-dimensional Hausdorff de um

grupo S é então dada por [30]:

µH(∆) = limε→0

inf ΣiC∆(Bi(ri ≤ ε)) = limε→0

inf Σiγ(∆)[(ri ≤ ε)](∆) (3.1)

onde Bi é a i-ésima esfera na cobertura com raio ri, “inf” indica a cobertura mínima

3.2 Dimensão Fractal 31

Figura 10: Estrutura fractal de um objeto dendrítico formado pela injeção de ar at-mosférico em silicone (Diâmetro 200mm). À esquerda aparecem os experimentos e àdireita, as simulações. Retirado de [29]

ótima e C∆(Bi(ri ≤ ε)) = γ(∆)r∆ é o volume de uma hiper-esfera ∆-dimensional de

raio r ≤ ε e o somatório é superior a todas as esferas com raio r ≤ ε. Em geral, não é

um número inteiro e o fator geométrico γ(∆) na equação acima é dado por

γ(∆) =Γ(

1

2)∆

Γ(1 +∆

2), (3.2)

onde Γ é a função "gama". A dimensão Hausdorff-Besicovitch é então a dimensão

crítica ∆c para que a medida Hausdorff µH(∆) tenha valor finito. Para ∆ > (DBH = ∆c)

a medida Hausdorff é zero e para ∆ < (DBH = ∆c) a medida Hausdorff é infinita.

3.3 Auto-similaridade e Auto-afinidade 32

Outra definição de dimensão é baseada no número mínimo N(l) de hiper-cubos

d-dimensionais com comprimento da face igual a l, necessários para cobrir o fractal.

A dimensão d-dimensional DK é então definida como:

DK = − liml→0

logN(l)

log(l). (3.3)

Em geral, DHB ≤ DK , mas, em muitos casos de interesse físico, DHB = DK = D,

onde D é a dimensão fractal de um fractal auto-similar [30].

A dimensão topológica, dt, é sempre um número inteiro, obtido somando-se 1 à

dimensão do conjunto que, ao ser subtraído de outro conjunto conexo, deixa-o desco-

nexo. Por definição, a dt de um ponto é igual a 0; desse modo, ao retirarmos um ponto

de uma reta obteremos duas semi-retas, e, portanto, a dt de uma reta é igual a 1, dtde um plano é igual a 2, etc... A dimensão euclidiana, d, é a que aproxima-se mais

de nossa noção intuitiva, e corresponde à dimensão de imersão: d = 0 é um ponto,

d = 1 uma linha, etc [31]... Assim, a dimensão fractal é uma dimensão maior que a

dimensão topológica e menor (ou igual) à dimensão de imersão.

3.3 Auto-similaridade e Auto-afinidade

Processos de crescimento naturais podem levar a estruturas complexas que pos-

suem irregularidades em diferentes escalas de observação. Tais processos, em sua

maioria fora do equilíbrio, são encontrados nos mais diferentes fenômenos físicos [32].

Formação de dedos viscosos, crescimento de neurônios e crescimento de colônias

de bactérias podem ser citados como exemplos e apresentam uma característica

em comum: um grande número de constituintes que interagem mutuamente de uma

maneira muitas vezes simples e levam a estruturas complexas e/ou comportamentos

não-lineares [1].

As características dessas estruturas são determinadas por um conjunto de fenô-

menos que ocorrem durante seu processo de formação. Em alguns processos, pode-

mos encontrar estruturas que apresentam a propriedade de invariância sob mudança

de escala de observação. Se o fator de escala usado nessa mudança é o mesmo

para as diferentes direções dizemos que o objeto é auto-similar. As estruturas que

apresentam a propriedade de auto-similaridade são conhecidas como objetos fractais

e suas características podem ser estudadas usando geometria fractal, introduzida por


Mandelbrot [4, 30]. Dessa forma, um objeto auto-similar é formado de partes simi-

lares ao todo [31]. Auto-similaridade é uma propriedade de simetria do sistema indi-

cando invariância sob uma transformação isotrópica, ou seja, é invariável para uma

mudança uniforme de escala de crescimento em todas as "direções". Já um objeto

auto-afim possui transformação de escala anisotrópica (as propriedades físicas dos

corpos variam de acordo com as características físicas do ambiente), ou seja, para

manter a invariância de escala precisamos dilatar o objeto com fatores diferentes para

cada direção espacial.

No estudo de superfícies estaremos lidando com uma subclasse de fractais aniso-

trópicos, descrito por funções que apresentam auto-afinidade [1]. De um modo geral

para uma função unívoca e auto-afim h(x), temos

h(x) ∼ b−Hh(bx), (3.4)

onde H é o expoente de Hurst, ou expoente auto-afim, que fornece uma medida quali-

tativa da rugosidade da função h(x). Essa equação é obtida diretamente da definição

de função auto-afim, onde reescalamos a direção x por bx e a direção de h por bHh,

como pode ser observado na figura 11. No caso 11(a), as curvas foram geradas a

partir de um retângulo de largura 4L e altura 2L. Posteriormente, em (b) a largura é

dividida por 2 e altura permanece constante. Em (c) novamente a largura encontrada

é novamente dividida por 2 assumindo um valor igual a 14

do tamanho original.

Uma consequência importante da definição acima é que o fator de escala da dife-

rença de aturas.

∆(l) ≡| h(x1)− h(x2) |, (3.5)

entre dois pontos separados pela distância l ≡| x1 − x2 |, para uma função auto-

afim será

∆(l) ∼ lH . (3.6)

Pode-se demonstrar que (vide [33]),

D = d−H. (3.7)


Figura 11: Função auto-afim: Mostramos três iterações da figura. Note que a cadaiteração a figura é reescalada por fatores diferentes em cada direção [1].

Logo, devido a definição de Hausdorff-Besicovitch, 0 ≤ H < d − D, onde D é a

dimensão fractal.

Veremos agora exemplos clássicos de estruturas fractais que serão úteis: o con-

junto de Cantor e a gaxeta de Sierpinski.

O conjunto de Cantor foi um dos primeiros fractais estudados do ponto de vista

matemático [30] ("Cantor Dust"). Este conjunto pode ser construído dividindo um seg-

mento em três partes e retirando a parte do meio. Posteriormente, cada novo seg-

mento é novamente dividido em três partes e seu pedaço central é retirado - observe

a figura 12. Após n estágios subsequentes o número de segmentos lineares cresce

numa razão de 2n e seu comprimento sofre redução de (23)n. No limite n → ∞, um

conjunto fractal será gerado. Esse "objeto” com medida zero (comprimento total dos

segmentos lineares remanescentes) e um número infinito de fragmentos foi conside-

rado ser um paradoxo sem relevância possível para o mundo real [30].

O conjunto de Cantor apresenta diferentes propriedades comuns a muitos outros

fractais. Ele possui fendas sobre todo o seu comprimento escalar que ocupa uma

fração insignificante do espaço. Se o conjunto Cantor é dilatado por um fator de 3m,


Figura 12: Construção do Conjunto de Cantor.

ele pode ser coberto por um mínimo de 2m cópias de si mesmo. Estruturas com

essa propriedade de dilatação simétrica são auto-similares. Geralmente, após uma

dilatação por um fator de Nm, o número mínimo de cópias do padrão original será Mm

e suas propriedades geométricas podem ser caracterizadas por uma dimensão fractal

D dada por

D =logRµ

logRl

, (3.8)

onde Rµ =µ2

µ1

é a mudança na medida de µ e Rl =l2l1

é a mudança na escala de

comprimento.

A dimensão fractal pode ser considerada uma medida de como o conjunto de

Cantor preenche eficientemente o espaço unidimensional ao qual ele está fixado.

As estruturas apresentadas nas subdivisões durante a construção do conjunto de

Cantor não são exatamente fractais: são espaços vazios ou linhas ocupadas sobre

escalas de comprimento pequeno, chamadas frequentemente de pré-fractais.

Em alguns casos a simplicidade de escala auto-similar é perdida, como na na-

tureza por exemplo, onde não encontramos sistemas que têm a mesma estrutura para

todas as escalas. Uma descrição em termos de geradores diferentes sobre escalas

de comprimentos diferentes criaria fractais com dimensões distintas [30]. Entretanto, o

uso da dimensão fractal dependendo da escala para descrever sistemas começaram

a aparecer na literatura por volta de 1998 [30] - multifractais.


A triângulo de Sierpinski é outro exemplo simples de um fractal auto-similar e apre-

senta uma das características marcantes de fractais, como pode ser observado na

figura 13: a presença de lacunas (vazios) em todas as escalas de observação. Foi

proposto pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski em 1916 e pode ser entendido

como uma extensão do conjunto de Cantor.

Figura 13: Triângulo de Sierpinski: Mostramos quatro interações utilizando o processode dizimação. É fácil perceber que, no limite do número de interações tendendo aoinfinito, haverá vazios de todos os tamanhos na estrutura [11].

Esse padrão pode ser construído usando-se três triângulos equiláteros iguais de

comprimento lateral ε, para formar um novo triângulo de comprimento lateral 2ε e com

um buraco triangular no meio. Posteriormente, três triângulos equiláteros iguais de

lado 2ε são adaptados formando um triângulo de comprimento lateral 4ε, com um

buraco triangular de tamanho 2ε e três buracos triangulares de tamanho ε. Após n

gerações formam-se um padrão triangular de lado 2nε contendo 3n triângulos de com-

primento lateral ε. A cada passo de tempo o comprimento é aumentado por um fator

2, a área por um fator 3 e a dimensionalidade fractal é dada por D =log 3

log 2.

A diminuição da densidade com o aumento da escala de comprimento é uma das

mais importantes características de objetos fractais auto-similares.

37

4 CRESCIMENTO DE INTERFACESRUGOSAS

A natureza exibe uma enorme quantidade de formas que variam desde padrões

Euclidianos regulares a padrões caóticos. Montanhas, nuvens, rios e litorais costeiros

aparentam-se completamente desordenados e não podem ser descritos em termos

da geometria Euclidiana [30]. Mandelbrot propôs uma nova geometria baseada em

uma interpretação geométrica e intuitiva: a Geometria Fractal, que obteve sucesso na

descrição de objetos complexos tão pequenos quanto uma molécula de polímero e

tão grandes quanto a costa dos continentes.

Neste capítulo introduziremos alguns métodos desenvolvidos para caracterizar

objetos cujas morfologias não dependem da escala de observação. Em particular,

estaremos interessados no estudo de interfaces rugosas auto-afins, geradas por pro-

cesso de deposição de partículas idênticas sobre um substrato inicialmente liso. Fare-

mos uma introdução à Geometria de Superfícies Rugosas e aos tipos de modelos de

crescimento discreto simples, para introduzir os principais conceitos associados ao

crescimento de superfícies do ponto de vista simulacional.

4.1 Geometria de Superfícies Rugosas

Desde a publicação da obra de Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Na-

ture [4], um novo paradigma vem se estabelecendo na ciência: a concepção fractal

da natureza [1]. Dessa mudança de paradigma surgem enfoques inovadores nos

quais podem ser empregados os novos conceitos da Geometria Fractal. Um exem-

plo notório desse processo é o desenvolvimento da Teoria do Crescimento Fractal. As

bases dessa teoria foram estabelecidas em trabalhos experimentais e modelos com-

putacionais [1].

Os trabalhos de M. J. Vold [34] e M. Eden [35] foram os primeiros a simular uma

4.1 Geometria de Superfícies Rugosas 38

dinâmica de crescimento capaz de descrever superfícies observadas no cotidiano - a

formação de uma colônia de células e a sedimentação de um sistema coloidal, res-

pectivamente. Estes trabalhos utilizaram simulação computacional para confirmar as

hipóteses teóricas levantadas e tinham como objetivo conhecer o mecanismo respon-

sável pela formação de estruturas complexas.

Em 1982 Edwards e Wilkinson [36] utilizaram sedimentação de materiais granula-

res como modelo e desenvolveram pioneiramente uma equação diferencial contínua,

conhecida como equação EW, para a dinâmica temporal de uma interface rugosa.

Por ser uma equação linear ela pôde ser resolvida analiticamente fornecendo os ex-

poentes críticos em qualquer dimensão.

Outro trabalho desta época que merece destaque é o artigo de Kardar, Parisi e

Zhang (KPZ) [37] por apresentar uma abordagem original, obtendo êxito na constru-

ção de uma equação contínua não-linear que descreve a dinâmica de crescimento

de superfícies. Kardar, Parisi e Zhang introduziram um termo não linear na equação

EW e, através de técnicas analíticas, encontraram os expoentes críticos para 1 + 1

dimensões. Para dimensões superiores ainda não há solução para esta equação. A

equação KPZ pertence a uma nova classe de universalidade (UC) e os expoentes

críticos obtidos em 1 + 1 dimensões apresentaram excelente concordância com os

resultados numéricos.

O estudo de superfícies rugosas é fundamental para a compreensão de vários

fenômenos em diferentes áreas da ciência e tecnologia, e os conceitos fractais desem-

penham um papel importante na caracterização do crescimento dessas superfícies.

Estudaremos o comportamento das propriedades das interfaces geradas durante o

processo de crescimento de superfícies por deposição aleatória de partículas. Definire-

mos a seguir os principais parâmetros utilizados para caracterizar uma interface auto-

afim:

• A altura média da interface no tempo t, é h(t),

h(t) =1

L

L∑i=1

hi(t), (4.1)

onde hi(t) corresponde ao número de partículas depositadas no sítio i até o

tempo t e L é o tamanho do sistema;

• A rugosidade do perfil, w, é a medida da dispersão das alturas em torno da altura

4.1 Geometria de Superfícies Rugosas 39

média, que está diretamente relacionada com o segundo momento das alturas

w(L, t) ≡√w2(L, t) =

√√√√ 1

L

L∑i=1

[h(t)− hi(t)]2. (4.2)

A rugosidade é o principal parâmetro utilizado para avaliar o comportamento

temporal dentro do sistema.

A dimensão fractal de uma interface pode ser calculada através do método do ex-

poente de Hurst de um perfil a partir de sua rugosidade [38]. Consiste, basicamente,

em medir a rugosidade da interface em torno da melhor reta que passa por um con-

junto de pontos [33]. A rugosidade w(L, ε, t) na escala ε (unidade de medida/régua) é

dada por

w(L, ε, t) =1

L

L∑i=1

wi(ε, t), (4.3)

onde a rugosidade local wi(ε, t) é dada por [33]

wi2(ε, t) =

1

2ε+ 1

i+ε∑j=i−ε

{hj(t)− [ai(ε)xi + bi(ε)]}2, (4.4)

onde ai(ε) e bi(ε) são coeficientes lineares de ajuste para o intervalo [i−ε, i+ε] centrado

em i.

Essa relação é utilizada para determinar o expoente de Hurst dos perfis gerados

no crescimento de superfícies.

w(ε) ∼ εH , (4.5)

O valor do expoente de Hurst fornece informações a respeito da morfologia do

perfil [1]: para H =1

2, a interface não apresenta nenhuma tendência e pode ser

mapeada exatamente em uma caminhada aleatória; para H <1

2, a interface não

apresenta uma tendência antipersistente, ou seja, à medida que se desloca no eixo x,

a altura h(x) flutua rapidamente para cima e para baixo; paraH >1

2, o comportamento

da interface é persistente indicando uma tendência bem definida aproximando de uma

linha (d = 1).

4.2 Modelos Discretos 40

4.2 Modelos Discretos

Os modelos discretos de crescimento buscam capturar através de regras simples,

os mecanismos físicos de um processo de crescimento. O crescimento de interfaces

rugosas que consideraremos nesse trabalho são definidos e simulados em redes uni-

dimensionais com L sítios aplicando condições periódicas de fronteira. Os processos

deposição ocorrem em passos de tempo discreto e são considerados fora do equi-

líbrio, pois o sistema recebe novas partículas a todo momento [12].

4.2.1 Deposição Aleatória

Consideremos a Deposição Aleatória (DA), o modelo discreto mais simples; a par-

tir de uma rede unidimensional finita, com L sítios indexados por i = 1, 2, 3, ..., L, fare-

mos uma deposição de partículas escolhendo aleatoriamente a posição em que cada

uma delas será depositada. À medida que as partículas são depositadas no subs-

trato, uma superfície rugosa vai se formando. No instante t, a interface é definida pelo

conjunto das alturas hi(t)i=1,2,...,L, onde hi(t) corresponde ao número de partículas de-

positadas no sítio i até o instante t.

As principais grandezas utilizadas para analisar a dinâmica de crescimento de

uma interface são a altura média e a rugosidade, que é o desvio quadrático médio da

distribuição de alturas.

Do ponto de vista computacional é imprescindível a utilização de um bom gera-

dor de números aleatórios para garantir que o processo seja efetivamente descor-

relacionado [12]. Considerando este modelo de deposição, queremos saber como se

comporta a interface à medida que aumentamos o número de partículas depositadas.

Desse modo, devido à ausência de tendências na deposição, esperamos que a ru-

gosidade cresça indefinidamente, como pode ser observado na figura 14, obedecendo

uma lei de potência em relação ao tempo da forma w2 ∼ t, onde w é a rugosidade e t

o tempo, indicando que a variância na distribuição de alturas cresce linearmente com

o tempo.


Figura 14: Perfil gerado pela deposição aleatória em um substrato com L = 256. Acada 400 passos a cor das partículas é trocada [1].

4.2.2 Modelos com Correlações

Conforme vimos na seção anterior, a DA é um processo completamente descor-

relacionado, ou seja, a partícula é depositada no sítio sorteado, independentemente

das alturas dos sítios vizinhos. Uma maneira de introduzir correlações no sistema é

permitir a relaxação superficial: sorteamos um sítio i, depositamos uma partícula e

permitimos que ela relaxe, procurando a posição de menor altura, dentre os primeiros

vizinhos do sítio sorteado (i+ 1, i− 1). Se o sítio sorteado for um mínimo local, ou se

hi = hi−1 = hi+1, a partícula é fixada imediatamente.

Esse modelo é conhecido como Deposição Aleatória com Relaxação Superficial

(DARS) e sua dinâmica faz com que o perfil gerado seja mais suave ao longo do

processo como pode ser observado na figura 15. O modelo em rede da DARS foi

introduzido por Family [39] como uma representação simplificada de processos de

deposição de vapor em substratos com baixas temperaturas.

Outro processo correlacionado é a Deposição Aleatória com Recusa (DAR) que foi

introduzido por Kim e Kosterlitz [40] em 1989 e consiste em evaporar imediatamente

a partícula que foi depositada em um sítio que corresponde a um máximo local.

Nesse modelo, o crescimento da interface é baseado numa regra de restrição na


Figura 15: Perfis gerados pela DARS. A cada 10 camadas depositadas a cor daspartículas é trocada. Note que os perfis são bem mais suaves que na DA e novamenteocorre a conservação da altura média [1].

diferença de alturas. A regra de evolução é a seguinte: escolhemos um sítio i ao acaso

e, quando a condição de restrição da diferença de alturas entre o sítio escolhido e seus

vizinhos,

|∆h| ≤M, (M > 0)

(onde M é a maior diferença de altura permitida entre sítios vizinhos), for satisfeita,

uma partícula é depositada na coluna do sítio sorteado, hi → hi + 1. Caso contrário,

essa partícula é recusada. Neste modelo, a diferença de alturas encontrada na inter-

face fica restrita pelo valor do parâmetro M , o que leva a uma suavização da interface

para pequenos valores de M . Para M → ∞, esse modelo torna-se o de deposição

aleatória [32].

O modelo DAR apresenta uma interface muito mais lisa que as obtidas no mo-

delo de deposição aleatória para tempos longos, de forma que, para tempos iniciais,

quando as diferenças de alturas são menores que o parâmetro M , a deposição ocorre

obedecendo as restrições do parâmetro M diferente da deposição aleatória. Após

um tempo característico tc, a restrição na diferença de alturas governa o processo de

DAR, levando ao aparecimento de correlações entre sítios [32]. É importante destacar

também que altura média da interface cresce com uma velocidade inferior à taxa de

deposição, pois as partículas podem evaporar antes de serem depositadas.

No modelo de Deposição Balística (DB), realiza-se o sorteio de um sítio em uma


rede e solta-se uma partícula, que cai verticalmente em direção ao substrato e se fixa

imediatamente ao alcançar o agregado. Essa regra de evolução permite que partículas

se fixem lateralmente à interface, formando lacunas, como pode ser visto na figura

16 [32]. A rugosidade possui o mesmo comportamento observado na DAR, porém a

estrutura produzida por esta dinâmica não é compacta e a velocidade de crescimento

supera a taxa de deposição de partículas [12].

Figura 16: Perfil gerado pela deposição de 35000 partículas sobre um substrato detamanho L = 200, utilizando a dinâmica de DB. A cada 2500 partículas depositadas,sua cor é trocada. Podemos observar que a estrutura produzida não é compacta.Retirada de [13].

O último modelo tratado é a Deposição Aleatória com Difusão (DAD) ilustrado na

figura 17. Ele foi proposto por Wolf e Villain [41] em 1990, com o objetivo de des-

crever processos de deposição de vapor nos quais as forças de ligação na superfície

são predominantes. Das Sarma e Tamborenea [42], independentemente, propuseram

em 1991 um modelo similar ao de Wolf-Villain, no qual a partícula procura apenas

aumentar o seu número de ligações.

Nesse modelo a partícula é depositada aleatoriamente numa posição i e procura,

dentre os sítios i, i + 1, i − 1, maximizar seu número de ligações com a interface,

difundindo para o sítio vizinho com o maior número de ligação, como mostra a figura

18 à esquerda. Dessa forma a partícula escolhe um mínimo local onde fixa-se per-


Figura 17: Perfil típico produzido pelo processo de DAD num substrato de tamanhoL = 120. Podemos observar que esta dinâmica gera degraus, com grandes diferençasde altura entre primeiros vizinhos. Retirado de [41].

manentemente [12, 32]. Já no modelo Das Sarma e Tamborenea (DT) as partículas

adicionadas ao acaso procuram aumentar seu número de ligações difundindo para a

vizinhança somente quando possuem apenas uma ligação - figura 18, à direita. Em

ambos os modelos, quando as partículas não conseguem maximizar ou aumentar

seu número de ligações, elas permanecem fixas ao sítio de deposição. A deposição

aleatória com difusão gera perfis de altura muito mais suaves que o modelo de de-

posição aleatória.

Em geral, nos modelos SOS (solid-on-solid) onde a difusão superficial é um dos

mecanismos físicos responsáveis pela suavização da interface, a evaporação de ma-

terial e a formação de lacunas (no interior da interface) são desprezadas. Como mo-

delos que seguem tais premissas podemos citar Wolf e Villain (WV) [41], Das Sarma

e Tamborenea (DT) [42], DAR, DARS entre outros.

A morfologia das interfaces geradas por esses modelos surpreende. Nelas, ao

contrário do esperado, aparecem platôs e vales separados por grandes degraus (figura

19) [32].


Figura 18: À esquerda temos a evolução para o modelo de Wolf-Villain e à direita paraDas Sarma-Tamborenea. Retirado de [32].

Figura 19: Perfil gerado para os modelos de WV, à esquerda e DT, à direita. Aspartículas depositadas difundem para maximizar ou aumentar o número de ligaçõeslogo após a deposição. Retirado de [32].

46

5 EQUAÇÕES ESTOCÁSTICAS DECRESCIMENTO

O estudo dos modelos de deposição descritos no capítulo 4 pode ser realizado de

duas maneiras: implementando um algoritmo computacional que simule suas princi-

pais características ou utilizando uma abordagem de equações diferenciais estocásti-

cas, conhecidas como equações de Langevin, que fornecerão os diferentes expoentes

críticos de cada modelo. Cada termo da equação estocástica deve ser relacionado a

um processo físico presente durante a evolução da interface [32]. Além disso, cada

termo define uma classe de universalidade e, quando aparece mais que um termo

em uma equação, dizemos em geral que a UC dessa é a do termo dominante [32].

Utilizaremos o caso simples da DA para introduzir o método que, em seguida, será

generalizado para os outros modelos, a partir de princípios de simetria.

5.1 Leis de Escala e de Potência

Muitos processos de crescimento envolvem uma superfície de separação entre

diferentes meios. Essas superfícies podem apresentar irregularidades em diferentes

escalas de observação. Por exemplo, ao caminharmos sobre uma montanha podemos

encontrar uma hierarquia de subidas e descidas de todos os tamanhos. Para quem

caminha ao longo do perfil de uma montanha são visíveis estruturas (subidas e des-

cidas) em uma enorme faixa de escalas que vão desde milímetros até quilômetros.

No entanto, para se observar a invariância de escala em interfaces é necessário fa-

tores de escala diferentes para direções diferentes. Estas interfaces são denominadas

auto-afins e podem ser obtidas através de um processo recursivo [32]. Como exem-

plo, partiremos da diagonal de um retângulo de comprimento 4L e altura 2L mostrada

na figura 20(a). A curva auto-afim é obtida usando o seguinte procedimento: a cada

passo k substituímos os segmentos de comprimento L4K

pela estrutura mostrada na

5.1 Leis de Escala e de Potência 47

figura 20(b) [32].

Figura 20: Ilustração de um método simples para se obter uma curva auto-afim.

Nas últimas décadas do século XX, parte da comunidade dos físicos passou a

se interessar pela dinâmica de sistemas ditos complexos, cujas partes interagem de

forma que um conjunto linear pode resultar em soluções não triviais. Uma das pro-

priedades marcantes de tais sistemas é a presença de leis de escala ou leis de potên-

cia. Estas são observadas em diversos contextos, desde a biologia até o comporta-

mento de bolsas de valores [2]. As leis de escala e de potência são dois comporta-

mentos típicos observados quando lidamos tanto com o crescimento de superfícies

quanto com fractais. A principal característica de uma grandeza que se comporta com

uma lei de potência é sua invariância por escala [1]. Podemos citar como exemplo a

rugosidade, que cresce com a mesma taxa na DA independente da escala temporal de

observação, e em um perfil auto-afim mantém-se invariante independente da escala

de medida.

Grandezas que se comportam segundo uma lei de escala podem apresentar regi-

mes distintos dependendo do intervalo temporal considerado. Para exemplificar, usa-

remos a DARS, onde a rugosidade do perfil comporta-se segundo uma lei de escala. A

presença da relaxação superficial suaviza a interface, e o crescimento da rugosidade

é lento e limitado.

Definindo um passo de tempo como a deposição de uma camada L de partícu-

las, faremos o estudo da evolução temporal da rugosidade. Esta cresce com uma lei

de potência para escalas temporais curtas e atinge uma saturação após certo tempo,

denominado tempo de saturação, tx. Portanto, seu comportamento neste modelo de-


0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

1

10

wsat

tx

t1/4

t1/2

w(L,

t)

t

Figura 21: Comportamento temporal da rugosidade: Consideramos 100 amostras eum vetor de tamanho L = 1000. Os parâmetros de controle escolhidos foram p2 = 0, 2e p3 = 0. Note que ocorre a saturação da rugosidade para tempos acima do tempode saturação (tx). Estes valores foram obtidos a partir do nosso modelo, que seráapresentado em detalhes no capítulo 6.

pende da escala temporal de observação. É importante notar que logo no início da

deposição, a inclinação da curva é maior que nos tempos seguintes como pode ser ob-

servado na figura 21. Esse comportamento denota a propagação das correlações no

sistema apresentando dois pontos de crossover, ou mudança de comportamento da

curva: inicialmente com o substrato liso e ausência de correlações, a deposição se dá

identicamente como na DA, w ∼ t12 ; à medida que o número de partículas depositadas

aumenta, as correlações começam a crescer, diminuindo o ritmo de crescimento da

rugosidade w ∼ t14 ; finalmente, as correlações atingem o tamanho do sistema fazendo

com que a rugosidade entre em um regime estacionário [1].

Para escalas temporais longas a rugosidade apresenta dependência com o tama-

nho do sistema. À medida que o tamanho do sistema cresce, o tempo de saturação

aumenta e, também, o valor da rugosidade de saturação como podemos observar na

figura 22.

Portanto, o comportamento da rugosidade neste modelo pode ser sintetizado através

de três expoentes críticos:

• Inicialmente a rugosidade cresce com uma lei de potência, w(L, t) ∼ tβw , para


Figura 22: Variação da rugosidade de acordo como tamanho do sistema (L) e onúmero de amostras (N): À medida que o sistema cresce, o tempo e o valor da satu-ração também aumentam.

t � tx, onde βw é denominado o expoente de crescimento, que caracteriza a

dinâmica temporal da rugosidade e tx é o tempo de crossover - figura 21.

• Para tempos longos a rugosidade de saturação, w(L,∞), cresce com o tamanho

do sistema segundo uma lei de potência, w(L, t) ∼ Lα, para t � tx onde α é o

expoente de rugosidade - figura 23. Ele é obtido pela inclinação da reta encon-

trada no gráfico determinado pela rugosidade de saturação versus tamanho do

sistema.

• O tempo de saturação também comporta-se segundo uma lei de potência em re-

lação ao tamanho do sistema, tx ∼ Lz, onde z é o expoente dinâmico e pode ser

exemplificado na figura 24. Ele é determinado pela inclinação da reta no gráfico

representado pelo tempo de crossover em função do tamanho do sistema.

Family e Vicsek [1, 43] propuseram uma lei capaz de colapsar as várias curvas

obtidas em uma única função. O método proposto baseia-se na observação de que

a rugosidade, normalizada pela rugosidade de saturação, é uma função do tempo,

normalizado pelo tempo de crossover ; portanto,

w(L, t) ∼ Lαf

(t

Lz

), (5.1)


100 1000 10000

1

10

Resultados experimentais Ajuste de potencia

w sat

L

Figura 23: Ilustração do valor de α à partir de um sistema com L = 50 a L = 2 × 104

e a quantidade de amostras N = 2000 a N = 5, respectivamente, considerando osparâmetros p2 = p3 = p4 = 0, 5. O valor de α encontrado foi α = (0, 44± 0, 02).

onde f é a função de escala

f(u) ∼ uβ, t� Lz (5.2)

e

f(u) ∼ k, t� Lz, (5.3)

sendo k uma constante. Assim, temos

w(L, t) ∼ tβ, t� Lz (5.4)

para tempos curtos e

w(L, t) ∼ k × Lα, (5.5)

para tempos longos. Dessa forma, para t→ tx

w ' Lα ∼ tβx = Lzβ, (5.6)

logo,

5.2 Equações Estocásticas de Crescimento 51

100 1000 10000

100

1000

10000

100000


t x

L

Figura 24: Ilustração do valor de z. Consideramos o sistema com L = 50 a L = 2×104 ea quantidade de amostras varia de N = 2000 a N = 5, respectivamente, os parâmetrosforam fixados em p2 = p3 = p4 = 0, 5. O valor de z encontrado foi z = 2, 15± 0, 13.

α = zβ, (5.7)

e

z =α

β. (5.8)

Esta relação envolvendo os três expoentes críticos é válida para qualquer processo

que obedeça a lei de escala 5.1 [13].

5.2 Equações Estocásticas de Crescimento

Inicialmente, queremos escrever uma equação estocástica de crescimento que

incorpore flutuações da interface [13] com o objetivo de determinar a variação temporal

da altura; consideremos então a seguinte equação contínua para o caso geral,

∂h(−→x , t)∂t

= φ(−→x , t), (5.9)

onde φ(−→x , t) é o número de partículas depositadas na posição x do substrato por

unidade de tempo. Devido ao caráter aleatório do processo, o fluxo de partículas não

é uniforme, de maneira que podemos decompor φ(−→x , t) em dois termos, reescrevendo

a equação anterior como

5.2 Equações Estocásticas de Crescimento 52

∂h(−→x , t)∂t

= F + η(−→x , t), (5.10)

onde F é uma constante que representa o número médio de partículas depositadas

na posição x e η(−→x , t) é um ruído branco, responsável pelas flutuações aleatórias no

fluxo de partículas, apresentando as seguintes propriedades

〈η(−→x , t)〉 = 0, (5.11)

〈η(−→x , t)η(−→x ′ , t′)〉 = 2Dδd(−→x −−→x ′)δ(−→t −−→t ′), (5.12)

onde 〈...〉 representa o valor esperado da variável, δ é o delta de Kronecker e D é uma

constante. Como esperado, o ruído branco possui um valor médio nulo e ausência de

correlações espácio-temporais.

Para obter as propriedades estatísticas das interfaces geradas, basta integrar a

equação 5.10

h(−→x , t) = Ft+

∫ t

0

η(−→x , t)dt; (5.13)

a altura média é, portanto,

h(t) = Ft; (5.14)

para o valor quadrático médio teremos 〈h2(−→x , t)〉 = F 2t2 +2Dt. Esse resultado implica

o seguinte comportamento para a rugosidade da interface

w(t) =

√〈h2〉 − 〈h〉2 =

√2Dt, (5.15)

indicando o crescimento ilimitado da rugosidade com o tempo, segundo uma lei de

potência, w ∼ t12 . Como a rugosidade cresce indefinidamente, não são definidos

expoentes de rugosidade e dinâmico para a DA.

5.3 Princípio de Simetria 53

5.3 Princípio de Simetria

A equação de Edwards Wilkinson (EW) representa o caso mais simples de uma

classe de equações que obedecem a um grupo de simetrias. A fim de generalizar a

discussão, trataremos esta classe de equações. Se considerarmos a equação geral

∂h(−→x , t)∂t

= G(h,−→x , t) + η(−→x , t), (5.16)

onde G(h,−→x , t) é uma função que depende da altura da interface, posição e tempo, e

η(−→x , t) é o ruído branco. Como estamos interessados no comportamento da interface,

inicialmente listaremos as principais simetrias que esta equação deverá obedecer [13]:

• Invariância em relação à translação temporal, que faz com que a funçãoG(h,−→x , t)não dependa explicitamente do tempo;

• Invariância translacional ao longo da direção de crescimento, que retira a de-

pendência explícita em relação em relação a h;

• Invariância translacional ao longo da direção perpendicular ao crescimento, que

retira a dependência explícita com −→x ;

• Simetrias de rotação e inversão na direção de crescimento, que excluem as

derivadas ímpares em relação às coordenadas espaciais;

• Simetria up and down, determina que as flutuações na interface sejam similares

em relação à sua altura, e ela só é válida nos casos onde a velocidade média de

crescimento da interface é igual à taxa de deposição.

Para encontrar a forma final da equação de crescimento, nós consideramos todos

os termos que podem ser formados pela combinação de potências de ∇nh. Uma

por uma, nós eliminamos todas aquelas que violaram pelo menos uma das simetrias

listadas acima [13]. Portanto, a equação mais geral que obedece a estas simetrias

é [1]

∂h(−→x , t)∂t

= (∇2h) + ...+ (∇2nh) + (∇2h)(∇h)2 + ...+ (∇2kh)(∇h)2j + η(−→x , t), (5.17)

onde n, k, j, ∈ Z+.

5.4 Equações Lineares 54

5.4 Equações Lineares

No modelo da DARS temos uma dinâmica em que o fluxo de partículas é maior

para posições de mínimo local que, na formulação contínua, correspondem a pontos

onde a segunda derivada é positiva. Assim, a taxa de crescimento neste processo

deve ter um termo proporcional ao Laplaciano de h(−→x , t) [12]. A forma mais simples

de uma equação com essas características e que obedeça aos princípios de simetria

é

∂h(−→x , t)∂t

= ν∇2h(−→x , t) + η(−→x , t), (5.18)

onde ν é chamado de coeficiente linear. Para ν > 0, regiões correspondentes a

"vales” (∇2h > 0) crescem com uma taxa maior que aquelas correspondentes a "pi-

cos” (∇2h < 0) [12]. Nesse caso, ν pode ser associado a uma tensão superficial que

tende a suavizar o perfil.

A equação acima, chamada de equação EW [36], foi proposta em 1982 com o

objetivo de modelar a evolução de interfaces rugosas onde, além do processo de

deposição, ocorrem processos de sedimentação [12]. Por ser linear, é possível obter a

solução exata da equação através da análise de Fourier, ou, como mostrado a seguir,

pode-se obter os expoentes de escala desta equação através de um argumento de

escala; Considere as transformações de escala,

−→x → b−→x ≡ −→x ′ , (5.19)

h→ bαh ≡ h′, (5.20)

t→ bzt ≡ t′. (5.21)

Para estas transformações os gradientes se tornam,

∂

∂t′= b−z

∂

∂t, (5.22)


∂2

∂−→x ′2= b−2 ∂2

∂−→x 2 . (5.23)

A reescala do ruído será obtida usando a propriedade da função delta de Dirac

δd(a−→x ) =1

adδ(−→x ); (5.24)

assim,

〈η(−→x , t)η(−→x ′ , t′)〉 → 〈η(b−→x , bzt)η(b−→x ′ , bzt′)〉 (5.25)

→ 2Dδd(b−→x − b−→x ′)δ(bzt− bzt′) (5.26)

→ b−(d+z)〈η(−→x , t)η(−→x ′ , t′)〉. (5.27)

Logo, conclui-se que

η(−→x ′ , t′)→ b−(d+z)

2 η(−→x , t). (5.28)

Assim, podemos reescrever a equação 5.18,

∂h(−→x , t)∂t

= νb(z−2)h(−→x , t) + b(− d2

+ z2−α)η(−→x , t). (5.29)

Como a equação deve ser invariante segundo estas transformações, uma vez que

a interface é auto-afim, os expoentes dos coeficientes de b serão todos nulos; logo,

z = 2, (5.30)

α =2− d

2, (5.31)

o que fornece

βw =2− d

4, (5.32)


onde d é a dimensão do substrato sobre o qual é realizado o processo de deposição.

Se for substituído d = 1 nesta última equação, pode-se explicar que a DARS per-

tence à mesma UC da equação EW, conclusões que também são válidas em dimen-

sões superiores. Para d = 2 o comportamento da rugosidade é logarítmico, enquanto

que, para dimensões superiores, os expoentes críticos são negativos, o que indica o

desenvolvimento de interfaces lisas (sem rugosidade).

Na difusão superficial as partículas podem se movimentar em direções paralelas

ao substrato, gerando uma corrente j(−→x , t), também paralela à superfície. Tendo em

vista que o número de partículas não se altera durante o processo de difusão, essa

corrente deve obedecer à equação de continuidade [41]

∂h(−→x , t)∂t

= −∇j(−→x , t). (5.33)

Como as partículas buscam maximizar o número de ligações, devemos ter

j(−→x , t) ∝ −∇µ(−→x , t)

onde µ(−→x , t) é o potencial de ligação. Porém, regiões com curvatura positiva são mais

favoráveis ao aumento do número de ligações do que regiões com curvatura negativa.

Assim é razoável escrever µ(−→x , t) ∝ −∇2h(−→x , t), donde

∂h(−→x , t)∂t

= −K∇4h(−→x , t) + η(x, t). (5.34)

Considerando as transformações de escala 5.19, 5.20, 5.21 e lembrando que

∇′4 → b−4∇4, a equação 5.34 pode ser reescrita como

b(−z+α)∂h(−→x , t)∂t

= −Kb(−4+α)∇h(−→x , t) + b(− d+z2

)η(x, t), (5.35)

dividindo ambos os membros da equação por b(−z+α), temos

∂h(−→x , t)∂t

= −Kb(−4+z)∇h(−→x , t) + b(−d+z−2α2

)η(x, t), (5.36)

A equação linear 5.34 descreve a DAD. Como a interface é auto-afim, o termo b

deve apresentar valor 1 e seus expoentes deverão ser todos nulos. Dessa forma:

• Para b(−4+z) = 1, temos

5.5 Equações Não-lineares 57

z − 4 = 0 (5.37)

encontrando

z = 4. (5.38)

• Para b(−d+z−2α2

) = 1, temos

−d+ z − 2α

2= 0, (5.39)

substituindo o valor de z encontrado na equação 5.38 e isolando α, obtemos

α =4− d

2, (5.40)

• Para encontrarmos o valor de βw, reportamos à equação 5.8 obtendo

βw =4− d

8. (5.41)

5.5 Equações Não-lineares

Consideremos agora o problema de descrever uma equação de crescimento para

a DB, modelo de crescimento que viola a lei de simetria onde a velocidade média de

crescimento da interface é maior que a taxa de deposição, logo, este processo não

obedece a simetria up/down.

Neste caso, a teoria linear não é suficiente e devemos introduzir um termo não-

linear na equação devido à existência de um crescimento lateral na dinâmica definida

por esse modelo. Acrescentando esse termo não-linear [13] à equação EW obtemos

∂h(−→x , t)∂t

= ν∇2h(x, t) + λ(∇h)2 + η(−→x , t), (5.42)

conhecida como equação Kardar-Parisi-Zhang, ou equação KPZ [37]. O coeficiente λ

é chamado de coeficiente não-linear e está relacionado à velocidade lateral de propa-

gação da interface.

5.6 Classes de Universalidade 58

O modelo DAR também é descrito pela equação KPZ, cuja não-linearidade não

permite, até hoje, a obtenção de uma solução exata para os valores dos expoentes de

enrugamento em qualquer dimensão [12]. Entretanto, utilizando técnicas de grupos

de renormalização [37] pode-se obter, para d = 1

α =1

2, (5.43)

β =1

3, (5.44)

z =3

2, (5.45)

5.6 Classes de Universalidade

Classes de universalidade (UC’s) para processos de crescimento são determi-

nadas pelas propriedades de simetria e leis de conservação subjacentes a esses

processos.

Quantitativamente, o conjunto dos valores dos expoentes de enrugamento para

um dado processo define a classe a que ele pertence. Sob esse prisma, se dois

sistemas possuem os mesmos valores para os expoentes de enrugamento, dizemos

que eles pertencem à mesma UC e obedecem à mesma equação de crescimento.

Os expoentes da UC do modelo DARS concordam com os obtidos analiticamente

através da abordagem de equações de crescimento para a classe EW e fornece os

seguintes valores (em d = 1): α =1

2, β =

1

4, z = 2. O comportamento esperado

para a distribuição de alturas no estado estacionário, onde o perfil obtido pode ser

mapeado em uma caminhada aleatória cujo perfil possui H =1

2, indicando a ausência

de correlações espaciais. Essa observação é valida para a maioria dos modelos de

crescimento fora de equilíbrio, e o valor do expoente de Hust na maioria das vezes se

iguala ao expoente da rugosidade no estado estacionário.

No modelo de Deposição Balística (DB) a rugosidade possui o mesmo comporta-

mento de escala observado na DARS, porém os expoentes críticos pertencem a outra

classe de universalidade. Os expoentes críticos desse modelo em 1 + 1 dimensões

(rede unidimensional + evolução temporal) são: α =1

2, β =

1

3, z =

3

2. No modelo

5.6 Classes de Universalidade 59

KK [40], se o local sorteado para a deposição de partículas for um máximo local, a

deposição é rejeitada. Apesar de não apresentar reentrâncias, este modelo está na

mesma classe da DB e descrita pela equação KPZ.

Outro modelo presente na mesma classe de universalidade da DB é o modelo de

Eden [35]. Este modelo é definido por uma periferia de sítios, correspondendo aos

primeiros vizinhos dos sítios localizados na fronteira da superfície não ocupada, na

qual ocorre a deposição de partículas. Existem três variações do modelo de acordo

com a probabilidade de ocupação dos sítios da periferia; na versão A, cada sítio da

periferia tem a mesma probabilidade de ser ocupado; na versão B, a probabilidade de

ocupação de um sítio da periferia será proporcional ao número de primeiros vizinhos

ocupados; já na versão C, um vizinho da fronteira é sorteado aleatoriamente e em

seguida escolhe-se um dos seus primeiros vizinhos desocupados para se fazer a de-

posição. Resultados simulacionais mostram que as três versões do modelo fornecem

os mesmos valores para os expoentes críticos, porém o tempo de relaxação para o

estado estacionário é diferente para cada um deles; a versão C é a mais rápida [35].

Em síntese, vimos que os modelos DB e DAR possuem os mesmos valores para

os expoentes de enrugamento α =1

2, β =

1

3, z =

3

2em d = 1, o que implica que ambos

são descritos pela mesma equação, a equação KPZ, e dizemos que esses modelos

estão na classe de universalidade KPZ. De maneira análoga, a DARS em d = 1 está

na classe EW, caracterizada pelos expoentes α =1

2, β =

1

4, z = 2. Para a classe da

DAD em d = 1 temos α =3

2, β =

3

8, z = 4. Finalmente, a DA define uma quarta UC,

com β =1

2. Neste caso particular, os expoentes α e z não estão definidos, já que não

existe saturação nesta dinâmica.

60

6 APLICAÇÃO: PCADEPENDENTE DO PERFIL DEALTURAS

Nesse ponto iniciaremos a discussão das simulações executadas ao longo do

nosso trabalho. Apresentaremos nossas contribuições originais que têm como princi-

pal objetivo confrontar os resultados teóricos com as simulações, aplicando conceitos

discutidos nos capítulos precedentes.

O crescimento de interfaces é um processo complexo presente em muitos fenô-

menos naturais e tecnológicos. Como exemplo, podemos citar processos geológicos

(erosão em montanhas), biológicos (crescimento de colônias de bactérias), hidrodi-

nâmicos (movimento de um fluido em um meio poroso, crescimento de filmes finos -

chip, MBE, etc), entre outros. As características dessas interfaces são determinadas

por um conjunto de processos que ocorrem durante sua formação. A aplicação de leis

de escala em modelos de crescimento tem sido muito utilizada na compreensão do

comportamento da rugosidade na dinâmica de crescimento de interfaces [13,30].

As interfaces podem ser descritas quantitativamente calculando-se a altura média

da superfície no instante t, como foi dado pela equação 4.1. Sua evolução fornece a

rugosidade caracterizada como flutuações em torno da altura média como definida na

equação 4.3.

Os expoentes α e βw podem ser utilizados para descrever vários processos de

enrugamento no contexto de crescimento de superfícies [13,30]. Atman e Moreira [44]

introduziram o método do expoente de crescimento para identificar a transição de fase

e o utilizaram para construir o diagrama de fases do DKCA. Basicamente o método

consiste em estudar o comportamento da rugosidade na interface auto-afim gerada

pela representação de interfaces do DKCA. A representação de interfaces mapeia o

autômato em um modelo de crescimento do tipo sólido-sobre-sólido (SOS) [13].

6.1 Modelo 61

O panorama de classes de universalidade (capítulo 5) proposto foi baseado nas

simetrias das equações de crescimento estocástico e esperamos realizar o mapea-

mento dessas classes utilizando um modelo de autômato celular probabilístico onde as

probabilidades de transição dependem do perfil local das alturas. Nossa contribuição

concentra-se basicamente na obtenção dos expoentes de enrugamento que surgem

na evolução temporal da rugosidade observando em cada caso os valores obtidos,

a fim de estabelecer a classe de universalidade para a qual o conjunto de parâme-

tros está associado. Para construir nosso mapeamento, empregamos o método do

expoente de crescimento [44], que é capaz de identificar as classes de universalidade

a partir da representação de interfaces do autômato.

6.1 Modelo

O presente trabalho consiste no estabelecimento de um processo de crescimento

de interfaces rugosas, considerando partículas com morfologias iguais, para o qual

atribuímos uma probabilidade de deposição dependente do perfil de alturas da vizi-

nhança. O modelo é definido a partir da construção de um autômato celular proba-

bilístico em (1+1) dimensões considerando um anel de L sítios e condições periódicas

de contorno, fazendo o sítio i = 1 ser vizinho do sítio i = L - 25.

Figura 25: Anel de L sítios com condição periódica de contorno, fazendo o sítio i = 1ser vizinho do sítio i = L.

A partir desse substrato a interface é representada pelo vetor de altura h(i, t) que é

atualizado pelo estado do CA, τ(i, t), a cada passo de tempo como mostra a equação

h(i, t) =t∑

σ=0

τ(i, t), (6.1)

6.1 Modelo 62

gerando um perfil rugoso como pode ser observado na figura 26.

0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1

2 7 4 2 1 4 5 0 3 7 3 5 2 6 1 7

i=1 i=L

Figura 26: Construção da Interface a partir do CA.

As probabilidades de transição são definidas para cada sítio, dependendo do perfil

de altura entre seus vizinhos no passo de tempo anterior; as diferenças de altura à

direita e à esquerda são usadas para construir os parâmetros de simulação de modo

a suavizar o perfil gerado, como pode ser observado na figura 27: ri(t) = hi(t)−hi+1(t)

e li(t) = hi(t) − hi−1(t), respectivamente. Três desses parâmetros são mantidos fixos

- p0, p1 e p5: se ri = li = 0, incrementamos a altura i com probabilidade p0 = 1/L para

que uma partícula seja depositada a cada L tentativas; se ri e li são ambos negati-

vos, usamos p1 = 1 e a partícula será depositada em um vale; se ri e li são ambos

positivos, temos p5 = 0, pois não desejamos que mais uma partícula seja depositada

em um pico. As outras possibilidades, p2, p3 e p4 são usadas como parâmetros de

controle: se ri é negativo e li = 0 (ou o caso simétrico) usamos p2; se ri é positivo e lié negativo (ou o caso simétrico) temos p3; se ri é positivo e li = 0 (ou o caso simétrico)

temos p4. Dependendo dos valores das probabilidades, obteremos morfologias dife-

rentes e expoentes críticos que determinarão as várias UC’s. Estes parâmetros são

resumidos na figura 27.

6.2 Metodologia 63

pi

li ri Perfil

p0 = 1/L

0 0

p1 = 1

< 0 < 0

p2 < 0

0

0

< 0

p3 < 0

> 0

> 0

< 0

p4 > 0

0

0

> 0

p5 = 0 > 0

> 0

Figura 27: Novo modelo de PCA onde as probabilidades de transição dependem doperfil local de altura. As probabilidades consideradas são definidas de acordo com asinterações entre três regiões vizinhas; as diferenças de altura à direita e à esquerdasão usadas para construir os parâmetros de simulação: ri(t) = hi(t)− hi+1(t) e li(t) =hi(t)− hi−1(t), respectivamente.

6.2 Metodologia

Neste tópico, será apresentada a metodologia utilizada expondo as contribuições

originais deste trabalho com aplicações dos conceitos discutidos nas seções prece-

dentes.

Em nossas simulações, inicialmente fixamos o valor dos parâmetros e variamos

o tamanho da rede e o número de amostras. Posteriormente, fixamos o tamanho da

rede, e variamos os parâmetros p2 e p3. Inicialmente foi pensado em um diagrama

3D e os trabalhos seriam realizados com três parâmetros de controle independentes

- p2, p3 e p4. Porém, diante das dificuldades na análise tridimensional, optamos por

um corte bi-dimensional e criamos uma dependência do parâmetro p4 como sendo

p4 = 1− p2, uma vez que o perfil de alturas descrito por p4 pode ser considerado como

anti-simétrico ao de p2. Dessa forma, trabalharemos em um plano e variamos nos-

sos parâmetros entre 0 e 1. Realizamos também testes para valores intermediários,

para definirmos a transição entre duas classes de universalidade. Em todas as simu-

lações, medimos a rugosidade através da equação 4.3 e encontramos valores para os

6.2 Metodologia 64

expoentes próximos às classes já existentes.

Nosso principal interesse residiu no comportamento temporal da rugosidade, a

partir do qual obtivemos os expoentes de enrugamento.

Interessados na evolução temporal, medimos a rugosidade da interface ao longo

do tempo. Impusemos uma condição inicial em que a interface é uma superfície lisa;

assim, as correlações são pequenas no início da deposição, o que faz com que o

sistema siga descorrelacionado como uma deposição aleatória, e a rugosidade cresça

como uma lei de potência da forma [13]

w ∼ t1/2. (6.2)

Para tempos intermediários, a rugosidade passa a se comportar como

w ∼ tβ com β 6= 1

2, (6.3)

Geralmente, se βw <1

2, as interações existentes entre os sítios vizinhos levam à

suavização da superfície, o que torna o crescimento temporal de w mais lento que o

caso descorrelacionado. Caso contrário, quando βw >1

2, o sistema pode atingir uma

situação instável [45].

Um gráfico típico desta evolução mostra que, à medida que as partículas são de-

positadas, o valor da rugosidade aumenta gradualmente com uma lei de potência,

demonstrando assim dois regimes distintos separados por um tempo de saturação tx,

como ilustrado na figura 28. O valor de tx pode ser determinado traçando-se uma

reta paralela à saturação da curva e outra paralela ao crescimento da rugosidade. À

partir do ponto de interseção destas retas, traçamos uma reta paralela ao eixo y (ru-

gosidade). A interseção desta última reta com o eixo x (tempo), é identificada como o

tempo de saturação.

Como vimos no capítulo 5, esta lei de escala é dada por

w(L, t) ∼ tβw , para t� tx, (6.4)

e para t � tx, o regime de crescimento cede lugar a um de saturação quando a

rugosidade alcança um valor estacionário wsat, ou seja [32]

6.3 Resultados 65

Figura 28: Gráfico em escala logarítmica típico para a evolução da rugosidade. Inicial-mente a rugosidade aumenta com uma lei de potência e permanece aproximadamenteconstante após o tempo de saturação. Esses dados foram gerados a partir de um vetorde tamanho 104 com 10 amostras considerando p2 = 0, 6 e p3 = 0, 4.

w(L, t) ∼ wsat, para t� tx. (6.5)

6.3 Resultados

Nesta seção são apresentados os resultados encontrados, explorando-se as di-

ferentes classes de universalidade para deposição de partículas no crescimento de

superfícies rugosas.

A figura 29 mostra oito curvas w(L, t) para simulações nas quais o tamanho do

sistema foi variado. À medida que L aumenta, a rugosidade de saturação também

aumenta. A dependência de wsat com L segue uma lei de potência,

wsat(L) ∼ Lα, (6.6)

onde α é o expoente de rugosidade e seu valor pode ser estimado pela inclinação da

reta dada pelo gráfico na figura 30.

O tempo de saturação tx pode ser estimado da forma mostrada na figura 28. Esse

6.3 Resultados 66

10-1 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

1

10

W(L

,t)

time steps

L=50 L=100 L=200 L=500 L=1000 L=2000 L=5000 L=10000

Figura 29: Gráfico em escala logarítmica. Fixamos o valor das probabilidades em 0, 5e variamos o tamanho do sistema , levantando os gráficos da rugosidade w em funçãodo tempo t, para L variando de 50 a 104.

tempo também depende do tamanho do sistema seguindo uma lei de potência

tx ∼ Lz, (6.7)

em que z é chamado de expoente dinâmico e seu valor pode ser estimado pela incli-

nação da reta dada pelo gráfico na figura 31. A construção da figura 28 ilustra uma

maneira simples para estimar tx.

Podemos colapsar os dados da figura 29 usando as relações 6.5, 6.6 e 6.7. Para

isso, devemos traçar w(L, t)/wsat(L) como uma função do tempo. Esse passo retira a

dependência em L da rugosidade de saturação, de modo que as curvas passam a sa-

turar no mesmo valor; posteriormente, traçamos w(L, t)/wsat(L) como uma função de

t/tx de modo que as curvas passam a saturar no mesmo tempo característico. Desta

forma, as curvas irão colapsar como pode ser observado na figura 32. O resultado

obtido sugere que w(L, t)/wsat(L) é uma função de t/tx [32].

Utilizamos os dados da rugosidade em função do tempo para montar o diagrama

de fases. Para um conjunto de amostras obtivemos a rugosidade média em função do

tempo e calculamos o valor do expoente βw através de um ajuste por lei de potência

6.3 Resultados 67

100 1000 100001

10


w sat

L

Figura 30: Expoente de rugosidade em escala logarítmica. Considerando as probabi-lidades p2 = 0, 8 e p3 = 0, 5 num sistema que varia de L = 50 a L = 104, encontramosα = (0, 43± 0, 03) para o expoente de rugosidade em escala logarítmica.

utilizando o aplicativo "RESDIM" [33] que calcula a inclinação do gráfico em função da

escala de medida. A partir desses resultados construímos o mapeamento das classes

de universalidades como pode ser observado na figura 34. Finalmente, utilizamos o

aplicativo "Origin” para a construção do mapa de contornos para o diagrama de fases

obtido a partir dos valores de βw - figura 35.

Neste trabalho, utilizamos este colapso para determinar os expoentes críticos cita-

dos acima e mapear as classes de universalidade através de um modelo de autômato

celular probabilístico. Este mapeamento, inicialmente analisado na figura 34, foi rea-

lizado a partir do colapso das curvas ilustrado na figura 32, onde estabelecemos que

aquele dado conjunto de probabilidades pertence a uma determinada classe. Obser-

vando a figura 33, notamos que o diagrama de fase possui linhas de transição sepa-

rando as diferentes UC’s existentes. Aparentemente, há uma transição reentrante da

classe de Edwards-Wilkinson. Na figura 35 construímos o diagrama de fases a partir

dos valores dos expoentes de enrugamento das seguintes UC’s: KPZ, EW, CDP, DP e

VLDS. Podemos tirar algumas conclusões geométricas: existe uma predominância da

classe KPZ; quando p3 = 0 e p2 = 0, 5, o expoente βw assume valor próximo de 0, 5,

o que caracteriza uma deposição aleatória, uma vez que p4 foi definido como 1 − p2

temos a mesma probabilidade de evolução para qualquer um dos dois parâmetros.

Considerando agora, p3 = 0, 5 e p2 = 0, temos p4 = 1 e encontramos βw próximo de

1 caracterizando uma percolação direcionada compacta, o que significa que, quando

6.3 Resultados 68

100 1000 10000

100

1000

10000

100000


t x

L

Figura 31: Considerando as probabilidades p2 = 0, 8 e p3 = 0, 5 num sistema que variade L = 50 a L = 104, encontramos z = (1, 61 ± 0, 16) para o expoente dinâmico emescala logarítmica.

um sítio está ocupado, ele tende a ter mais partículas depositadas sobre ele, e quando

o sítio está vazio, nenhuma partícula é depositada.

Para melhorar a visualização fizemos o mesmo mapeamento da figura em três di-

mensões. Observamos uma transição de modo abrupto e dois platôs, como pode

ser observado na figura 36, referentes às classes de universalidade CDP, KPZ e

EW. No platô superior, representado pela cor vermelha, observamos claramente a

classe CDP. Na zona inferior mais externa representada pela cor azul escuro, temos

a classe EW apresentando uma transição reentrante à classe KPZ representada logo

em seguida. E nas posições intermediárias, representada por dois tons diferentes de

verde, amarelo e laranja, não podemos definir com certeza a distinção entre outras

UC’s.

6.3 Resultados 69

Figura 32: Resultado do processo de colapso para as curvas mostradas na figura 29.Podemos observar que as curvas saturam com o mesmo tempo característico. Nestecaso encontramos os valores de β ' 1

3, α ' 1

2e z ' 3

2o que nos leva à classe KPZ.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p2

p3

0.2000

0.3125

0.4250

0.5375

0.6500

0.7625

0.8750

0.9875

1.100

Figura 33: Mapeamento das classes de universalidade em um sistema de tamanhoL = 104 e n = 10 amostras. Construímos o diagrama de fases com os valores de βwencontrados.

6.3 Resultados 70

Figura 34: Mapeamento das classes de universalidade em um sistema de tamanhoL = 100 e n = 103 amostras. Construímos o diagrama de fases com os valoresde βw encontrados para o crescimento da interface mapeada para cada conjunto deprobabilidades.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

p2

p3

0,2920

0,3540

0,6070

0,9200

1,000

1,100

Figura 35: Mapeamento das classes de universalidade em um sistema de tamanhoL = 104 e n = 10 amostras. Construímos o diagrama aproximando os valores de βw jáexistentes para cada UC.

6.3 Resultados 71

Figura 36: Mapeamento das classes de universalidade em um sistema de tamanhoL = 104 e n = 10 amostras apresentado em um diagrama 3D.

72

7 CONCLUSÕES EPERSPECTIVAS

Apresentamos nesta dissertação um estudo teórico e numérico do crescimento

de interfaces rugosas, pelo desenvolvimento de equações estocásticas contínuas e

também através de simulações, analisando as superfícies obtidas utilizando conceitos

fractais. Apresentamos um novo modelo de deposição considerando um CA com pro-

babilidades de transição dependentes do perfil local de alturas, definidas a partir de

seis situações diferentes. A definição dessas probabilidades considerou um CA com

interações entre três vizinhos. Consideramos um perfil inicialmente liso e partícu-

las iguais, variamos os valores dos parâmetros do modelo e encontramos expoentes

de escala associados a diferentes UC’s em uma dimensão. Obtivemos sucesso em

demonstrar as propriedades fractais das interfaces apresentando um comportamento

constante da evolução temporal da rugosidade e em encontrar os expoentes críticos

de enrugamento em diferentes classes de universalidades: EW, KPZ e CDP apesar

dos valores obtidos não serem exatamente aqueles encontrados na literatura. Este

trabalho nos rendeu um artigo aceito e publicado no Encontro de Modelagem Com-

putacional (2009) e um poster apresentado no Conference on Computational Physics

(2008).

Esperamos num futuro próximo construir um diagrama de fases deste modelo

usando nossos três parâmetros de forma independente, num espaço tridimensional

(p2, p3, p4), uma vez que nesse trabalho ficamos restritos ao plano, criando uma de-

pendência de p4 e relação a p2. Esse tipo de simulação demanda recursos computa-

cionais mais robustos e uma análise mais profunda dos expoentes críticos. Outra

perspectiva possível é a variação do formato das partículas e estender o mapeamento

das classes de universalidade.

73

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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14 CASTRO, M. L. A.; CASTRO, R. O. Autômatos celulares: Implementações devon neumann, conway e wolfran. Revista de Ciências Exatas e Tecnologia, v. 3, n. 3,p. 89 – 106, 2008.

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15 WOLFRAM, S. Universality and complexity in cellular automata. Physica D:Nonlinear Phenomena, v. 10, n. 1-2, p. 1 – 35, January 1984.

16 WOLFRAM, S. Cellular automata as simple self-organizing systems. Publicationsby Stephen Wolfram, 1982.

17 DOMANY, E.; KINZEL, W. Equivalence of cellular automata to ising models anddirected percolation. Physical Review Letters, v. 53, n. 4, p. 311 – 314, 1984.

18 MARTINS, M. L. et al. Evidence for a new phase in the domany-kinzel cellularautomaton. Physical Review Letters, v. 66, n. 15, p. 2045 – 2047, 1991.

19 TIJMS, H. C. A First Course in Stochastic Models. [S.l.]: Wiley, 2003.

20 KINZEL, W. Phase transitions of cellular automata. Zeitschrift für Physik BCondensed Matter, v. 58, p. 229 – 244, 1985.

21 DANTAS, W. G. Estudo de propriedades críticas para modelos de rede comestados absorventes. Tese (Doutorado) — Universidade Federal Fluminense, Institutode Física, Abril 2006.

22 STAUFFER, D.; AHARONY, A. Introduction to Percolation Theory. 2. ed. [S.l.]:Taylor & Francis, 2003.

23 TOMÉ, T.; OLIVEIRA, M. J. de. Dinâmica estocástica e irreversibilidade. SãoPaulo: Edusp, 2001.

24 LESNE, A. Renormalization Methods: Critical Phenomena, Chaos, FractalStructures. [S.l.]: Wiley, 1998.

25 HINRICHSEN, H. On possible experimental realizations of directed percolation.Brazilian Journal of Physics, v. 30, n. 1, p. 69 – 82, 2000.

26 RIBEIRO, M. B.; MIGUELOTE, A. Y. Fractals and the distribution of galaxies.Brazilian Journal of Physics, v. 28, n. 2, p. 132 – 160, 1998.

27 ESSAM, J. W. Directed compact percolation: cluster size and hyperscaling.Journal of Physics A, v. 22, p. 4927 – 4937, 1989.

28 MENDES, J. F. F.; DICKMAN, R.; HERRMANN, H. Crossovers from directedpercolation to compact directed percolation. Physical Review E, v. 54, n. 4, p. R3071 –R3074, 1996.

29 SHARON, E. et al. Coarsening of fractal viscous fingering patterns. PhysicalReview Letters, v. 91, p. 205504–1, 2003.

30 MEAKIN, P.; RAMANLAL, P. Scaling and Growth far from Equilibrium. CambridgeU.K.: Cambridge University Press, 1998.

31 ATMAN, A. P. F. Crescimento de Interfaces em Meio Poroso. Dissertação(Dissertação de Mestrado) — UFMG, 1998.

32 ALVES, S. G. Leis de Escala e Crossovers em Modelos de Crescimento. Tese(Doutorado) — UFMG, 2006.

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33 MOREIRA, J. G.; SILVA, J. K. L. da; KAMPHORST, S. O. On the fractal dimensionof self-affine profiles. Journal of Physics. A, v. 27, n. 8097, 1994.

34 VOLD, M. J. A numerical approach to the problem of sediment volume. J. COLLSCI, v. 14, p. 168 – 174, 1959.

35 EDEN, M. A two dimensional growth process. [S.l.]: University of California Press,Berkeley, 1961. 223-239 p.

36 EDWARDS, S. F.; WILKINSON, D. R. The surface statistics of a granularaggregate. Proceedings of The Royal Society of London. Series A, Mathematical andPhysical Sciences, v. 381 (1780), p. 17 – 31, 1982.

37 KARDAR, M.; PARISI, G.; ZHANG, Y. C. Dynamic scaling of growing interfaces.Physical Review Letters, v. 56, n. 9, p. 889 – 892, 1986.

38 SILVA, A. C. E.; MOREIRA, J. G. Roughness exponents to calculate multi-affinefractal exponents. Physica A, v. 235, n. 3 and 4, p. 327 – 333, 1997.

39 FAMILY, F. Scaling of rough surfaces: effects of surface diffusion. Journal ofPhysics. A, v. 19 (8), p. L441 – L446, 1986.

40 KIM, J. M.; KOSTERLITZ, J. M. Growth in a restricted solid-on-solid model.Physical Review Letters, v. 62 (19), n. 2289, p. 2289 – 2292, 1989.

41 WOLF, D. E.; J.VILAIN. Growth with surface diffusion. Europhysics Letters, v. 13,n. 5, p. 389 – 394, 1990.

42 SARMA, S. D.; TAMBORENEA, P. A new universality class for kinetic growth:One-dimensional molecular-beam epitaxy. Physical Review Letters, v. 66, n. 3, p. 325– 328, 1991.

43 FAMILY, F.; VICSEK, T. Scaling of active zone in the eden process on percolationnetworks and ballistic deposition. Journal of Physics A, v. 18, p. L75 – L81, 1985.

44 ATMAN, A. P. F.; MOREIRA, J. G. Growth exponent in the Domany-Kinzel cellularautomaton. The European Physical Journal B, v. 16, p. 501 – 505, 2000.

45 SILVA, T. J. Modelos de Crescimento de Interfaces Rugosas. Tese (Doutorado)— UFMG, 2001.

76

ANEXO A -- PROGRAMA

Programa utilizando Autômato Celular Probabilístico para Deposição de Partículas

com Morfologias Idênticas. Linguagem C.

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#define L 50

#define H 50

#define iA 843314861

#define iB 453816693

#define iM 1073741824

FILE *f1;

FILE *f2;

float rand0();

static int LN[L+1]; static int ALT[2][L+1];

int sem=123456789;

int contador = 0;

int main()

{

int ri, li, cont, iaux, aux,t,i,j,k,s,m,jj,ii,rev,it,N;

Anexo A -- PROGRAMA 77

float p0,p1,p2,p3,p4,p5;

double hmed, h2med, htot,h2tot;

double x,tt,npart;

static double tempo[10000],w[10000];

for(j=0; j<=10000; j++)

{

w[j]=0.0;

}

N=2000;

p0 = 1.0/L;

p0 = 0.5;

p1 = 1.0;

p5 = 0.0;

printf("Digite P2 entre 0 e 1: ");

scanf("%f", &p2);


scanf("%f", &p4);


scanf("%f", &p3);

for(ii=0;ii<N;ii++)

{

npart=0.0;

it=0;

/************** condição inicial lisa ***********/

for( j=0; j<=L; j++)

{

LN[j]=0;

ALT[0][j]= 0;

ALT[1][j]= 0;

}


tt=0;

rev=1;

for (t=1; t<L*L; t++)

{

ALT[0][L] = ALT[0][1];

ALT[1][L] = ALT[1][1];

ALT[0][0] = ALT[0][L-1];

ALT[1][0] = ALT[1][L-1];

rev = 1-rev;

for (j=1; j<L; j++)

{

ri = ALT[rev][j] - ALT[rev][j+1];

li = ALT[rev][j] - ALT[rev][j-1];

x = rand0();

aux=0;

if ((ri == 0) && (li == 0))

{

if(x<p0) aux =1;

}

if ((ri < 0) && (li < 0))

{

if(x<p1) aux =1;

}

if ((ri > 0) && (li > 0))

{

if(x<p5) aux =1;

}

if (((ri == 0) && (li < 0))||((ri < 0) && (li == 0)))

{


if(x<p2) aux =1;

contador++;

}

if(((ri == 0) && (li > 0))||((ri > 0) && (li == 0)))

{

if(x<p4) aux =1;

contador++;

}

if(((ri > 0) && (li < 0))||((ri < 0) && (li > 0)))

{

if(x<p3) aux =1;

contador++;

}

LN[j]= aux;

npart=npart+1.0*aux;

ALT[1-rev][j] = ALT[rev][j] + LN[j];

}

if(t>=tt)

{

tt=1.2*t+1.0;

htot=0.0;

h2tot=0.0;

for(jj=1;jj<L;jj++)

{

htot = htot + 1.0*ALT[rev][jj];

h2tot = h2tot + 1.0*ALT[rev][jj]*ALT[rev][jj];

}

hmed = htot/(1.0*(L-1));

h2med = h2tot/(1.0*(L-1));


w[it] = w[it] + sqrt(h2med - hmed*hmed);

tempo[it] = tempo[it] + npart;

it++;

}

}

}

f1=fopen("opt.dat", "w");

for(i=1;i<it;i++)

{

w[i]=1.0*w[i]/N;

tempo[i]=1.0*tempo[i]/N/L;

fprintf(f1,"%f %f \n", tempo[i], w[i]);

}

fclose(f1);

float rand0()

{

float aux;

float x;

aux = 0.5 / iM;

sem = sem*iA + iB;

if (sem < 0)

sem = (sem + iM) + iM;

x = sem*aux;

return x;

}

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