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1Servios de Telecomunicaes 17

PUC Minas Poos de Caldas

Trfego Telefnico

Servios de Telecomunicaes

Professora: Renata

Engenharia Eltrica

PUC-MG Poos de Caldas



Trfego Telefnico

MOTIVAO

Dimensionamento correto dos recursos da rede

telefnica;

Dimensionamento dos troncos

Quantos troncos so necessrios para um bom

atendimento aos usurios?

Como projetar uma rede que tenha uma utilizao

eficiente dos troncos?

Dada uma especificao de qualidade de servio, como

projetar um sistema para cumpri-la?

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Exemplo: Projeto de uma central para perda de

1% = 1 chamada perdida em cada 100.

Critrio de tratamento de chamadas:

a. Bloqueio: Qual a probabilidade de bloqueio?

b. Com espera: Qual o tempo de espera no buffer?

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Critrios de Tratamento de Chamada

Sem espera e com bloqueio:

Tratamento clssico das chamadas. Quando no h

troncos livres as chamadas sofrem bloqueios.

Ex: Centrais analgicas (mecnicas)

Com espera (com e sem bloqueio) As chamadas que chegam vo para um buffer e, se no

houver troncos disponveis, aguardam um determinado

tempo. Aps isso, caso no haja troncos liberados,

bloqueada.

Ex: Centrais digitais.

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Medidas de Trfego Telefnico

Volume de trfego

a soma dos tempos ocupados durante as

conversaes em um grupo de circuitos ou linhas de

conexo

Trfego Telefnico




Volume de trfego

a soma dos tempos ocupados durante as conversaes em

um grupo de circuitos ou linhas de conexo

Indica apenas a quantidade de ocupao, no a

eficincia ou grau de utilizao.

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Exemplo: Circuito A 6 horas ocupadoCircuito B 4 horas ocupado

O circuito A foi mais utilizado que o B.




Intensidade de Trfego

A intensidade de trfego escoado, por um grupo de

circuitos, durante um perodo de tempo T, a soma das

duraes de tempo de ocupao dividida por T. T o

tempo de observao ou unidade de tempo.

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Ex: No exemplo anterior, se considerarmos um

perodo de 8 horas, a intensidade de trfego,

ou a taxa de utilizao ser:

AA = 6/8 = 0,75

AB = 4/8 = 0,50

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uma grandeza adimensional. Entretanto, utiliza-se uma

unidade que o Erlang (E) em homenagem a A. K. Erlang

(1878-1928), considerado o fundador da teoria de trfego.

Se um circuito ou canal tem 1 E de intensidade de trfego,

significa que ele est 100% do tempo de observao

ocupado. T pode ser 1 hora, 1 minuto, 1 segundo.

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Em geral trabalha-se com o tempo mdio de ocupao(tm ou

1/) ou conversao que pode ser obtido aps uma srie de

medies estatsticas. Se definirmos c como nmero de

chamadas, ento a intensidade de trfego pode ser escrita

como:

Definindo: taxa de chamadas

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Para N circuitos, o trfego de um circuito individual ser de:

Exemplo de durao mdia de chamadas:

Local: 1 a 2 minutos

Interurbana: 4 minutos

Internacional: 10 minutos

Exemplo de utilizao das linhas:

Residencial: 0.075E

Comercial: 0.2 a 0.4E

Telefone Pblico: 0.35E

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Hora de Maios Movimento

o perodo de tempo durante o qual uma central

telefnica acusa o trfego mximo a escoar.

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Hora de Maios Movimento

Para determinar a HMM, recomendado pelo ITU-T

efetuar-se medies de trfego a cada quarto de hora

entre 9 horas e 12 horas, e isto durante 10 dias teis

consecutivos. Estes dias devero ser normais ou seja,

no podero ser feriados ou conterem quaisquer

acontecimentos anormais.

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Exerccio 1:

Em uma hora de maior movimento (HMM), uma empresa faz

120 chamadas telefnicas de durao mdia de 2 minutos em

ligaes externas e recebe 200 chamadas de durao mdia

de 3 minutos.

a. Qual a intensidade de trfego de sada?

b. Qual a intensidade de trfego de entrada?

c. Qual o trfego total?

d. Qual o nmero mdio de chamadas por tempo mdio de

conversao? Calcule para os trfegos de entrada e sada.

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Caracterizao dos Processos de Chegada e de

Conversao de Chamadas Telefnicas

Seja uma Central Telefnica com n entradas e uma sada.

Suponha que cada telefone tenha uma probabilidade p de

estar ativo.

Qual a probabilidade de ocorrerem k chamadas, onde k

pode ser a 0, 1, 2, 3, ..., n?

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Elaborao do Modelo

Hiptese: o telefone pode assumir somente dois estados

ativo ou inativo.

Vamos chamar de X, uma varivel aleatria de Bernoulli que

representa os dois estados possveis de um telefone, ou seja,

X=1 (telefone ativo) e X=0 (telefone inativo)

Se cada telefone tem a probabilidade p de estar ativo,

podemos escrever:

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Definies

A esperana matemtica, o valor quadrtico

mdio e varincia da varivel aleatria X so

dadas por:

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Distribuio Binomial

Considere cada uma das entradas da central acima X1, X2 ,...

Xn, como sendo variveis aleatrias de Bernoulli

independentes e com a mesma distribuio de probabilidade.

Definindo Y = X1 + X2 +... + Xn, qual o valor de Pk = Pr{Y= k}?

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Analisando-se a figura anterior e as hipteses consideradas

pode-se concluir que a probabilidade de k telefones estarem

ativos num conjunto de n dada pela seguinte expresso:

Distribuio Binomial

Onde:

pk a probabilidade de uma determinada combinao de k

acertos;

q(n-k) a probabilidade dos (n-k) restantes de no acertos.

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Para variveis aleatrias independentes temos que:

A mdia da soma a soma das mdias e,

A varincia da soma a soma das varincias

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Distribuio de Poisson

Na prtica podemos fazer mediaes do nmero de

chamadas por unidade de tempo. Portanto precisamos

relacionar p com a taxa mdia de chamadas . Vamos

considerar um perodo de tempo t, de maneira que:

np = t = constante

Assim, ser a taxa mdia de chamadas por intervalo de

tempo.

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Retomando:

Mas:

Ento:

Temos que:

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Portanto: (Distribuio de Poisson)

onde:

Concluses:

O limite de uma Distribuio Binomial uma Distribuio de

Poisson.

A mdia e a varincia so iguais na Distribuio de Poisson.

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Retomando:

O limite de uma distribuio binomial uma distribuio de

Poisson.

A mdia e a varincia so iguais na Distribuio de

Poisson.

Distribuio de Poisson:

a taxa mdia de chegadas (chamadas)

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Propriedades da Distribuio de Poisson

1. Soma de variveis aleatrias poissonianas uma

poissoniana. Portanto, se Y = Y1 + Y2 onde Y1 e Y2 so

poissonianas de mdias 1 e 2, respectivamente,

ento:

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Propriedades da Distribuio de Poisson

2. A ocorrncia de eventos simultneos tem probabilidade

nula.

Analisando para , e retendo os termos de primeira

ordem na srie de Taylor, temos:

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Do resultado anterior, conclui-se que para t

infinitesimal, h apenas uma ocorrncia com

probabilidade 1- t.

Portanto, em processos Poissonianos, no h

ocorrncias simultneas.

O tempo entre chamadas vai existir, o tempo entre

elas nunca ser zero (simultneo).

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J que no temos ocorrncias simultneas, qual

seria a distribuio da varivel aleatria T que

representa o tempo entre ocorrncias sucessivas?

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Notao: a funo distribuio de

probabilidade, cuja derivada a funo densidade de

probabilidade, denotada por pT (t).

= probabilidade de no haver ocorrncia

num intervalo de durao t.

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Reescrevendo:

Derivando-se, obtm-se a funo densidade de probabilidade:

Portanto, a distribuio do tempo entre chamadas uma

exponencial negativa.

Vamos calcular agora a mdia e a varincia dos tempos entre

chamadas.

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Reescrevendo:

Para E(T) temos:

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Portanto, podemos caracterizar o processo de CHEGADA de

chamadas como poissoniano de mdia ou alternativamente

o tempo entre chamadas como exponencial negativa de

mdia 1/.

(Probabilidade de chegada de k

chamadas)

(Probabilidade de se ter uma

chegada entre 0 e t)

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De forma anloga, podemos caracterizar o processo de

PARTIDAS como sendo poissoniano de mdia ou

alternativamente o tempo entre as partidas como exponencial

negativa de mdia 1/.

(Probabilidade de k partidas)

(Probabilidade de se ter uma

partida entre 0 e t)

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Sistema Sem Espera e Com Bloqueio

Seja uma central com infinitos enlaces de entrada e um tronco

de sada.

O processo de chamadas obedece uma distribuio

poissoniana de taxa mdia , e o tempo mdio de

conversao tem uma distribuio exponencial negativa com

mdia 1/.

A central opera sem espera e com bloqueio.

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Diagrama de Estados Equivalente

H dois estados possveis. O estado 1 indica a probabilidade

de se ter uma chamada na central e o estado 0 para a central

sem chamadas.

A taxa representa a taxa de transio do estado 0 para o

estado 1 (taxa de chegada de chamadas) e representa a

taxa de partidas (trmino de conversao).

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Diagrama de Estados Equivalente

Em situao de equilbrio esttico o fluxo de chamadas

escoado deve ser igual ao fluxo de chamadas que deixa o

sistema. Portanto:

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Intensidade De

Trfego



Mdia de Chamadas

Exemplo: Calcule o nmero mdio de chamadas na central

abaixo, para A=0,6E.

Trfego Telefnico

Diagrama de Estados



Probabilidade de Bloqueio

Prob. de bloqueio = PB = pr {N troncos ocupados/ 1 chegada}

pr {N troncos ocupados/ 1 chegada}. pr {1 chegada} =

pr {1 chegada/ N troncos ocupados}. pr {N troncos ocupados

Mas: {1 chegada/ N troncos ocupados} = pr {1 chegada} , pois

o processo de chagada no varia com a ocupao dos

troncos.

Portanto:

pr {N troncos ocupados/ 1 chegada} = pr {N troncos ocupados}

Para 1 nico tronco de sada: PB = P1 = 0,375(para o caso do

exemplo, onde A = 0,6

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Trfego Oferecido, Perdido e Escoado

Trfego Oferecido = A

Trfego Perdido = A.PB

Trfego Escoado = (1 - PB)A

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CENTRAL

TELEFNICATrfego Oferecido Trfego Escoado

TrfegoPerdido



Para o caso de 1 tronco de sada com A = 0.6E temos:

PB = P1 = 0,375

Trfego Oferecido = A = 0,6E

Trfego Perdido = 0,6 . 0,375 = 0,225E

Trfego Escoado = (1 - PB) A = 0,625 . 0,6 = 0,375E

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Exerccio:

1. Faa o diagrama de estados para o caso de uma central

com 2 troncos de sada e infinitos enlaces de entrada.

2. Calcule a probabilidade de bloqueio da mesma, admitindo

uma taxa de chegadas de chamadas e uma taxa de

partidas.

3. Qual a percentagem de trfego escoado para um trfego

de entrada de A = 0,6E.

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