Aulas de Revisão
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NOTAS DE AULA. NOTA 1Prof.. Irval 1
AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS BÁSICAS E SUAS IMPL ICAÇÕES.
De acordo com as regras matemáticas ao efetuarmos as operações matemáticas básicas, obtemos resultados diferentes, dependendo da operação efetuada.
Observe regra de sinais; envolvendo as operações e depois como são feita asoperações, indicadas.
1- ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
a-) 8 + 5 = 13 b-) 5 + 8 =13 c-) 8 – 5 = 3 d-) 5 – 8= -3 e-) – 8 - 5 = -13 f-) -5 – 8 = -13
observe: ao encontrarmos uma operação com sinais iguais (“mais ou menos”), nós devemos somar osvalores e conservar o sinal.
observe: ao encontrarmos uma operação com sinais diferentes (“mais ou menos”), nós devemossubtrair os valores e conservar o sinal do maior.
2- MULTIPL ICAÇÃO
3- DIVISÃO
Observação. Tanto na multiplicação quanto na divisão, a regra de sina é a seguinte:
+ vezes + = + Obs. multiplicação oudivisão de mesmo sinal
resulta positivo.Multiplicação oudivisão de sinaisopostos resulta
negativo.
+ vezes - = -
- vezes - = +
+ dividido + = +
+ dividido - = -
- dividido - = +
Agora ésua vez, resolva os exercícios abai xo;
a-) (-3)(-5) = b-) 6.(-3) = c-) (-9).4= d-) – (-5) = e-) (3).2.(-1) = f-) (3)(5)(-7) =
m-) 3+(-5) = n-) 6-(-3) = o-) (-9)-4= p-) -5 – (-5) = q-) (-3)+2-(-1) = r-) 3+(-5)+(-7) =
4- SIMPLIF ICANDO RESULTADOS MATEMÁTICOS.
Agora iremos trabalhar com exercícios que envolvem “simplificação”. Ás vezes, aoefetuarmos certas operações matemáticas, nos deparamos com resultados de difícil interpretação ou
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de valores elevados. Para melhor entendermos tais resultados lançamos mão do recurso chamado
simplificação. Exemplo: . Ao invés de lermos seis meios, ou, seis dividido por dois, o mais
recomendado é efetuarmos a divisão, ou seja, simplificarmos; e escrevermos três. Essassimplificações geralmente ocorrem quando trabalhamos com frações e para isso dividimos onumerador e o denominador, ambos, pelo mesmo valor. Exemplo:
Agora ésua vez, resolva os exercícios abai xo;
Classifique a expressão abaixo como falsa ou verdadeira:
k-) Se, 2a + b+ 12 + 2a +c +12, então b=c l-) Se, a+b + c + d = c + s + d + a, então b = s
m-) Se, 1 + 4s + c + 4t = c + 1, então 4s + 4t = 0 n-) Se, 2x +7y = c + 7y, então 2x = c
o-) – (-a + 3) = a + 3 p-) – (-4 + a) 4 – a q-) – (-a – c) = a + c r-) – (5 + m)= -5 – m
s-) -6 – a = -(6 + a) t-) – (1 – S) = -1 + s u-) (-4/5) = (-8/10) v-) (-14/-5) = (42/15)
x-) (-1/5)=(10/50) w-) (4ab/-2) = (8(-ab)/4)) z-) 9(3-a) = 27 – a
1-) (4 – x)4 16 – 4x 2-) a(5 – b) = 5a - b 3-) (-4 + c)a = -4a +ac 4-) 2(-z – w) = -2z -2w
5-) (- a + b)(-c) ac - bc 6-) (-1 – w)(-1) = 1 – w 7-) – a(b – c) = -ab + ca
7-) (-4)(a – b) = -4ª + b
5- EXPRESSÃOE NUMÉRICAS
Neste tópico iremos trabalhar com exercícios que envolvem expressões numéricas, ou seja,operações matemáticas onde teremos mais que um termo e mais que uma operação a ser realizada.Lembre-se que cada operação, entre termos deve ser feita levando-se em consideração as suas propriedades: Exemplo.
Para a adição e subtração envolovendo fração, é necessário usar mos o critério do MMC, ouseja minímo múltiplo comum, ouseja, sempre usamos o MMC para efetuarmos a operação entre
números não inteiros; números fracionários.
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Tente se lembrar como se calcula o MMC entre dois ou mais valores numéricos. Por exemplo,qual o MMC entre 2, 3 e 12.
2 3 12 20 3 6 20 3 3 30 0 0 2x3x2 = 12
Agora ésua vez, resolva os exercícios abaixo;
Para a multiplicação o critério é multiplicarmos os numeradores, pelos numeradores e
dividirmos pela multipliacação dos denominadores.
Nota: se você puder simplificar seus resultados; faça-o.
Agora ésua vez, resolva os exercícios abai xo;
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Para a divisão o critério é multiplicarmos a divisão acima do sinal principal da divisão, pelo
inverso da divisão abaixo do sinal principal da divisão ( a de cima pelo inverso da debaixo, ou a primeira pelo inverso da segunda).
Agora ésua vez, resolva os exercícios abai xo;
6- EXPRESSÃOE ALGÉBRI CAS.
Exercícios que envolvem expressões numéricas, ou seja, operações matemáticas envolvendoalém dos valores numéricos também letras. Lembre-se que cada operação, entre termos deve serfeita levando-se em consideração as suas propriedades; ou seja, regra de sinais, MMC, etc....
Cada letra tem um significado diferente da outra, logo nunca devemos subtrair ou somar letrasou expressões que não sejam exatamente iguais . Tente explicar o porquê de não podermos subtrair
ou somar letras diferentes. Lembre-se laranja com laranja, banana com banana. Exemplo.
No caso da multiplicação ou divisão, devemos multiplicar ou dividir os valores numéricos emanter indicada a operação entre as letras; exemplo.
não corte (simplifique) a com b, elas são diferentes
Agora ésua vez, resolva os exercícios abai xo;
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7- POTENCIAÇÃO
Em alguns exercícios nos deparamos com a multiplicação ou divisão de valores iguais, ouletras iguais, ou seus múltiplos. Antes de efetuarmos a operação matemática, nós podemosrepresentar tais valores de formas diferentes, conforme nos convier, a fim de efetuarmos a operaçãode forma mais conveniente. Exemplo:
Temos ai o caso que chamamos de Potenci ação , que ocorre ao elevarmos um valor numérico
ou uma letra a outro valor numérico. No caso de potenciação chamamos de base aquele valor que estásendo elevado, e expoente ao valor que fica logo acima da base.
O valor obtido, de uma potenciação, é conseguido multiplicando-se a base pelo número de
vezes indicado pelo expoente.
Para o caso de operações, envolvendo potenciação, temos algumas regras, mas sempre
envolvendo bases iguais , lembrem-se, sempre bases iguai s .
Regra 1- No caso da multiplicação, de bases iguais, deve-se conservar a base e somar os expoentes.
Regra 2- No caso da divisão, de bases iguais, deve-se conservar a base e subtrair os expoentes.
Exemplos;
Agora ésua vez, resolva os exercícios abai xo;
=
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Obs. Quadrado da soma de dois números.
Sejam a e b dois números quaisquer. Sua soma será representada por (a + b), e o seu quadrado por (a + b)2. Assim:
(a + b)2 Portanto (a + b).(a + b) = a2 + 2ab + b2 x (a + b)2 +ab + b2
a2 + ab +a2 +2ab + b2
Aproveite o exemplo acima e faça:
a-) (a + b).(a - b)= b-) (a - b).(a + b) = c-) (a - b).(a - b) =
Alguns destes produtos são chamados de produtos Notáveis, dispostos no quadro ao lado.
Agora ésua vez, resolva os exercícios abai xo;
É possível relacionar a expressão anterior àárea de um quadrado. Veja ao lado
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8- RADICIAÇÃO
Em alguns casos nos deparamos com expoentes fracionários; exemplo:
,neste caso
temos o que chamamos de radiciação, ou seja: expoentes fracionários dão origem aos símbolos
chamados de raízes; cujo símbolo é : , que para o exemplo acima fica:
.
Exemplos.
Colocar alguns exemplos envolvendo expoenytes fracionários.
9- EXPOENTES NEGATIVOS.
Em algumas expressões nos deparamos com expoentes negativos; exemplo: ,neste caso temos algo que foge ao conceito de potenciação. Para aplicarmos o conceito de potenciação devemos inverte a base (esta inversão é por causa do sinal negativo do expoente ), e
mantermos a base elevada ao expoente, com o valor positivo. Para o exemplo acima fica: .Exemplos.
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10- RAÍZES OU ZERO DE UMA EQUAÇÃO MATEMÁTICA.
A raiz, ou zero, de uma equação é o valor assumido pela variável, que torna verdadeira aafirmação. Para encontrar o valor da raiz, basta isolar a variável na equação.Verifique se a expressão
abaixo é verdadeira.
a-) o número -1 é raiz da equação 2x + 5 = 8 + 5x, temos; 2x - 5x = 8 – 5, logo -3x = 3, assim x = -1,concluímos que x = -1 é raiz da equação.
Note que se substituirmos -1 no lugar do x, na equação de origem, teremos como resultado umaigualdade; 2x +5 = 8 +5x, assim 2(-1) + 5= 8 +5(-1) 3 = 3; como isso é verdadeiro, logo -1 é raizda equação.
b-) o número 3 é raiz da equação x2 – 3x = 2x - 6
c-) o número -4 é raiz da equação, 4x – 10 – x = 6 – 2x
d-) o número 1/2 é raiz da equação, 5x –
1 –
x = 3x
11- EXERCÍCIOS GERAI S.
1- Veri f ique se são verdadeiras as proposições abaixo.
f 2- Resolva as seguintes equações, indicando qual o valor de x.
a-) 8x – 7 = 6x + 3 b-) 8x – 14 = 5x – 6 + x c-) 8y + 13 = 4y +14 d-) 3(x + 2) = x
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3- Simpl i f ique as operações abaixo.
(veja o item 4 desta nota de aulas, então simplifique as expressões abaixo.)
Note que os exercícios 6, 7, e 8 não são exercícios de fácil simplificação. Para resolvê-los devemosrecorrer à fatoração de polinômios ou à divisão de polinômios.
12-
FATORAÇÃO POLINOMI AL .
Casos simples de fatoração de expressões algébricasPrimeiro caso: Fatores em comum – Fatores em evidênciaConsiste em separarmos do polinômio dado o fator comum, transformando-o num produto de doisfatores, onde um dos fatores é o fator comum e o outro, que será colocado entre parênteses, obtido pela divisão do polinômio pelo fator comum.Este fator será determinado da seguinte maneira:• isola-se a parte numérica da parte variável;• extrai-se o mdc da parte numérica, que será a parte numérica do fator comum;• a parte variável do fator comum será determinada considerando- se a variável (ou variáveis) comuma todos os termos do polinômio elevada ao menor expoente com que a variável aparece no polinômiodado.
Exemplo 1.
Solução logo
Exemplo 2.
Solução . logo
Exemplo 3.
Solução logo
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Exercícios. Coloque em evidência o fator comum nos seguintes polinômios;
Segundo caso: Fatoração por agrupamentoA fatoração neste caso consiste em agruparmos os termos do polinômio em vários grupos, de
tal modo que, fatorando-se cada um desses grupos, se obtenha um fator comum, o qual será colocado
em evidência. É o caso da existência de fatores comuns somente a alguns termos e não a todos. Assim temos:
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Terceiro caso: Diferença de dois quadradosEstá baseado no produto notável da soma de dois números pela diferença entre eles, ou seja:
a2 - b2 = (a + b) . (a - b)Para fatorar uma expressão algébrica formada pela diferença de dois quadrados, procedemos do
seguinte modo:• extrai-se a raiz quadrada de cada termo;• a seguir forma-se o produto da soma pela diferença entre as raízes determinadas. Assim temos:
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Quarto caso: Fatoração de um tr inômio que équadrado perfeitoEstá baseado nos produtos notáveis:
a2 + 2ab + b2= (a + b)2
a2 - 2ab + b2= (a - b)2
Para fatorar um trinômio quadrado perfeito, devemos proceder da seguinte maneira:• extraem-se as raízes quadradas dos termos de “grau dois” e “grau zero” em relação à variávelconsiderada;• a seguir verifica-se se o termo de “grau um” é igual ao dobro das raízes encontradas em relação aostermos de graus dois e zero.Assim, temos;