AULAS DE MAT E EST II 2005

AULAS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA II – CURSO DE FARMÁCIA - 2005

Prof. Dr. Marcos Antonio S. de Jesus

___________________________________________________________________

Método Estatístico:

É um processo para se obter, apresentar e analisar características ou valores numéricos para uma

melhor tomada de decisão em situações de incerteza.

Passos da metodologia estatística:

1. Definição do problema;

2. Formulação de um plano para a coleta de dados;

3. Apresentação dos valores numéricos;

4. Análise dos resultados;

5. Divulgação de relatório com as conclusões.

População:

Totalidade de unidades de observação, a partir dos quais se deseja tomar uma decisão.

Exemplos: pessoas, objetos ou eventos.

1. População finita

Exemplos:

Alunos matriculados no 2º ano de Biologia da UNISANTA;

Todas as pessoas que compram telefone celular;

2. População infinita

Exemplos:

Conjunto de medidas de determinado comprimento;

Gases, líquidos e alguns sólidos, como o talco porque as unidades não podem ser identificadas e

contadas.

Áreas de abrangência

41



___________________________________________________________________

Exemplos:

1. Todas as pessoas que tiveram dengue em Santos no ano de 1999;

2. Todos os crimes relatados no mês de Janeiro de 2000 em São Paulo (capital)

Tipos de Variáveis

Variável Qualitativa:

Denomina-se variável qualitativa ou atributo quando é não - numérico.

Exemplos:

Gênero, religião, naturalidade, cor dos olhos, faixa etária, etc.

Dentro das variáveis qualitativas é possível se extrair as categorias.

Variável quantitativa:

Quando pode ser expressa numericamente.

Exemplos:

1.Quantidade de alunos do gênero masculino presente nesta sala de aula;

2.Quantidade de bactérias presente num determinado momento de um ensaio em laboratório.

As variáveis quantitativas podem ser:

Discretas ou Contínuas

Discretas quando assumem apenas um valor dentro de um conjunto de determinados valores;

Contínuas quando o conjunto de valores possíveis é um intervalo dentro do conjunto de números

reais.

Escalas que caracterizam as unidades de observação:

1. Escala Nominal:

As características se classificam em várias categorias, nas quais um valor numérico

associado com a característica não tem valor real.

2. Escala Ordinal:

As características são ordenadas (de maneira crescente ou decrescente) em situações para

as quais a posição é importante.

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___________________________________________________________________

3. Escala intervalar:

As características têm atribuído a elas valores que permitem comparar não só a ordem como

também a variação numérica entre as características.

Exemplo: Em um intervalo de 2 horas foram anotadas cinco leituras de temperatura: 205, 207, 210,

215 e 220.

4. Escala Proporcional:

As características são ordenadas e a variação entre elas pode ser comparada, havendo um zero

natural para a escala de medição.

Exemplo: Foram obtidas as seguintes massas, em quilogramas: 5,0, 5,1, 5,3 e 5,4. A variação de 5,0

Kg para 5,1 Kg é de 0,1 Kg, a mesma variação de 2,3 Kg para 2,4 Kg e existe um zero natural para a

escala, o 0 Kg .

Censo:

É o exame de todas as unidades de observação de uma população.

Quando a população é pequena é razoável observar toda ela, e a isto denomina-se censo.

Amostra:

Conjunto de unidades selecionadas de uma população.

Exemplo: pesquisa de “ boca de urna” numa eleição.

Amostragem:

Processo pelo qual uma amostra da população é observada.

AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA

Uma amostragem é sistemática quando a retirada das unidades de observação é feita

periodicamente, sendo o intervalo de seleção calculado, para uma população finita, por meio da

divisão do tamanho da população pelo tamanho da amostra a ser selecionada.

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___________________________________________________________________

Exemplo: Deseja-se retirar uma amostra de n=10 unidades de observação de uma população de

tamanho N = 584. O intervalo de seleção é, então, 584/10 = 58,4 = 58. Desse modo vão-se contando

as unidades de observação e escolhem-se aquelas que estiverem nas seguintes posições: 58, 116,

174, 232,..., 580.

AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES

É quando acontece a retirada de uma amostra de uma população na qual cada unidade tem a

mesma chance de ser retirada.

AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA

É obtida pela separação das unidades da população em grupos distintos (extratos); em seguida

seleciona-se uma amostra aleatória simples a partir de cada extrato.

Exemplo: Estudando-se a sociedade pode-se extratificar a população por escolaridade, faixa etária

ou por renda mensal. Deve-se escolher extratos homogêneos com respeito as características que

está observando.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS ABSOLUTA E RELATIVA DA VARIÁVEL DISCRETA

Exemplo:

TABELA 1: DISTRIBUIÇÃO DOS SUJEITOS DE ACORDO COM O GÊNEROGênero Nº de Sujeitos ( fI ) Porcentagem (frI)

Masculino 59 56,7Feminino 45 43,3

Total 104 100,0

ATIVIDADES:

1. Complete a tabela a seguir:

TABELA 2: DISTRIBUIÇÃO DOS SUJEITOS DE ACORDO COM A IDADE POR GRUPO

Idade (em anos) Grupo Experimental Grupo ControleNº de alunos

(f)%(fr)

Nº de alunos (f)

%(fr)

44



___________________________________________________________________

10 37,7 811 18 1612 10 17 33,313 5 9,4 19,6

Total 53 100 51 100

2. A tabela baixo apresenta o tempo de vida (em anos) de 30 pássaros de uma mesma espécie.

14 12 11 13 14 13

12 14 13 14 11 12

12 14 10 13 15 11

15 13 16 17 14 14

15 16 13 12 11 15

Forme uma distribuição de freqüência apresentando a variável discreta, as freqüências absoluta e

relativa.

3. Diga qual foi o tipo de amostragem realizada nesta pesquisa: A pesquisa ouviu mulheres de todas

as classes sociais, com idades que variam de 18 a 60 anos. Nesse universo, 58% não acreditam

que o desempenho sexual de seu parceiro possa ser melhorado através do uso de Viagra.

45



___________________________________________________________________

4. Elabore uma tabela para coleta dos seguintes dados:

nome, idade, gênero, data de nascimento, nome do responsável pelo paciente, telefone do

responsável, número de registro, telefone do paciente.

5. Qual é o tipo de escala utilizada para classificar a nacionalidade de uma pessoa;

6. Indique as possíveis conseqüências do fato de um entrevistado não conhecer o significado de

alguns termos contidos nas perguntas que lhe são feitas.

46



___________________________________________________________________

7. A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 80 motoristas de uma empresa

de ônibus.

Nº de

acidentes

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Nº de

motoristas

30 15 10 9 6 4 3 2 1

Determine:

a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;

b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 7 acidentes;

c) o número de motoristas que sofreram menos de 2 acidentes;

d) a percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 4 acidentes.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DA VARIÁVEL CONTÍNUA

A tabela a seguir contém dados referentes a um estudo sobre a idade de crianças, jovens e

adultos que deram entrada no pronto socorro público com fraturas provocadas por acidentes

ocorridos durante prática esportiva em uma semana.

Variável ( i ) Classes fi fri Fi Fri Ponto

Médio

1 0 ------- 8 3

2 8 ------- 16 6

3 16 ------- 24 20

4 24 ------- 32 9

47



___________________________________________________________________

Total

Determine:

a) As freqüências: absoluta, relativa, absoluta acumulada e relativa acumulada;

b) Os limites inferiores e superiores das classes 1 e 3;

c) O intervalo de classe;

d) O ponto médio de cada classe;

e) Até que classe estão incluídos 25 dos pesquisados;

ATIVIDADES:

1. O valores contidos na tabela abaixo referem-se a massa em Kg de 50 pessoas adultas.

84 68 55 49 48 56 79 58 59 74

89 67 57 55 54 79 74 59 73 75

84 57 55 54 75 59 56 48 49 68

67 88 74 79 67 89 84 73 75 79

68 74 73 75 79 74 84 87 84 68

Determine a distribuição de freqüências, tendo 45 para limite inferior da primeira classe e 10 para

intervalo de classe.

48



___________________________________________________________________

2.Com base no dados abaixo faça uma distribuição de freqüências da variável contínua

apresentando os seguintes itens.

a) As freqüências: absoluta, relativa, absoluta acumulada, relativa acumulada;

b) Os limites inferiores e superiores das classes 2 e 3;

c) O intervalo de classe;

d) O ponto médio de cada classe;

e) Até que classe está incluída 25% dos pesquisados;

12 13 15 13 14 16 17 19 12 14 16 18 20 12 15

11 12 13 16 17 22 23 21 13 25 17 30 22 23 15

12 10 13 32 33 24 25 26 27 28 26 25 23 18 14

11 10 12 13 24 27 22 30 35 32 16 17 12 15 19

13 10 13 16 17 19 14 20 12 15 13 22 15 23 23

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO

Histrograma:

É composto por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo

horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam como os pontos médios dos intervalos de

classe.

Exemplo:

Construir o histograma para a atividade 2 da página anterior. Freqüências

49



___________________________________________________________________

classes

Gráfico de Barras

Preço de Remédios em Reais (R$)

50



___________________________________________________________________

Gráfico de setores

Gráfico: Distribuição das respostas à pergunta “Você utilizaria um medicamento

genérico após o tratamento de uma determinada patologia clinica.

GRÁFICO 1: MÉDIAS DE DESEMPENHO DOS SUJEITOS NA PROVA DE MATEMÁTICA EM RELAÇÃO AO GRUPO

51

SIM

NÃO90% 10%



___________________________________________________________________

ATIVIDADES

1. Conhecidos preços em (R$) de 50 remédios de mesma marca, porém em farmácias distintas.

6,8 8,5 3,3 5,2 6,5 7,7 8,4 6,5 7,4 5,7

7,1 3,5 8,1 5,0 3,5 6,4 7,4 4,7 5,4 6,8

8,0 6,1 4,1 9,1 5,5 7,3 5,9 5,3 7,7 4,5

4,1 5,5 7,8 4,8 6,9 8,5 6,7 3,9 6,0 7,6

9,4 9,8 6,6 7,3 4,2 6,5 7,3 9,4 8,8 8,9

Determine:

a) A distribuição de freqüência começando por 3,0 e adotando o intervalo de classe de amplitude

igual a 1,0;

b) As freqüências acumuladas;

c) As freqüências relativas;

d) O histograma e o polígono de freqüência.

2. A tabela abaixo apresenta a massa muscular em Kg de Leitões criados para fins de pesquisa

genética.

52



___________________________________________________________________

3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,5

18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7

4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 9,8 4,4

7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 7,9

4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 7,5 2,6

a) Forme com esses dados um distribuição com intervalos de classes iguais a 3, tais que os limites

inferiores sejam múltiplos de 3;

b) Confeccione um histograma e o polígono de freqüências correspondentes.

MEDIDAS DE POSIÇÃO

1. MÉDIA

Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles.

Média para dados agrupados sem intervalos de classe:

fórmula:

Exemplo:

Calcule a média para os dados abaixo:

Sabendo-se que a produção de leite diária de uma cabra durante 10 dias foi: 6, 4, 6, 5, 7, 3, 4, 8,

3, 2 em litros.

Média para dados agrupados com intervalos de classes

Exemplo:

Determine a média para os dados agrupados em classes abaixo.

ESTATURAS (cm) fi xi xi.fi

140 I-------- 145

145 I-------- 150

5

3

53



___________________________________________________________________

150 I-------- 155

155 I-------- 160

160 I-------- 165

165 I------- 170

170 I------- 175

2

6

15

25

5

ATIVIDADES

1. As idades em anos de 25 pessoas presentes nesta sala de aula são: 20, 19, 22, 24, 25, 26, 18,

19, 18, 20, 21, 22, 23, 21, 19, 20, 19, 22, 21, 23, 24, 25, 22, 20, 22. Determine a média de idade

desse grupo de pessoas.

2. Calcule a média para a amostra abaixo que representa as 25 pessoas apresentados na questão

anterior:

PESOS ( Kg) fi

45 I------ 50 2

54



___________________________________________________________________

50 I------ 55

55 I------ 60

60 I------ 65

65 I------ 70

70 I------ 75

5

8

5

3

2

2. MODA

Chama-se moda ao valor mais freqüente numa determinada amostra.

Moda de dados agrupados sem intervalos de classes.

Exemplo:

Sejam os dados abaixo representativos da massa muscular em Kg de 15 crianças com

aproximadamente 6 meses de idade. 5,0 5,8 6,0 5,3 5,8 6,0 5,0 4,8 4,0 5,8 5,7 5,8 6,4 6,2

5,8. Determinemos a moda.

Moda para dados agrupados com intervalos de classe

Exemplo:

Determinar a moda para a distribuição abaixo:

ESTATURAS (cm) fi

140 I--------145

145 I--------150

150 I--------155

155 I-------- 160

160 I-------- 165

165 I------- 170

170 I------- 175

5

3

2

20

10

15

12

55



___________________________________________________________________

Fórmula de Czuber: Mo = l + D1/ (D1 + D2) . h

l = limite inferior da classe modal;

h = Amplitude da classe modal;

D1 = Diferença entre a freqüência da classe modal e classe imediatamente anterior;

D2 = Diferença entre a freqü6encia da classe modal e a classe imediatamente posterior.

3. MEDIANA

É o valor que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo

uma ordem. Caso a amostra tenha um número ímpar de elementos, a mediana é o termo de ordem

(n + 1) /2 . Se amostra tiver uma quantidade par de elementos, a mediana é dada pela média

aritmética entre os termos de ordem n/2 e n/2 + 1

Mediana para dados não agrupados

Exemplo:

Determine a mediana para o conjunto de dados abaixo.

5,0 5,8 6,0 5,3 5,8 6,0 5,0 4,8 4,0 5,8 5,7 5,8 6,4 6,2 5,8.

Mediana para dados agrupados em classes

Fórmula: Md = l + [ n/2 - F(anterior) ] . h / f

ESTATURAS (cm) fi

140 I-------- 145

145 I-------- 150

150 I-------- 155

155 I-------- 160

160 I-------- 165

165 I------- 170

170 I------- 175

5

3

2

20

10

15

12

l = É o limite inferior da classe que contém a mediana;

F = É a freqüência acumulada da classe anterior á classe mediana;

f = É a freqüência simples da classe mediana;

56



___________________________________________________________________

h = É a amplitude do intervalo da classe mediana.

POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MEDIANA E MODA

Média = Mediana = moda, no caso da curva simétrica;

Moda < Mediana < Média, no caso da curva assimétrica positiva;

Média < Mediana < Mo, no caso da curva assimétrica negativa.

ATIVIDADES

1. A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 80 motoristas de uma empresa

de ônibus.

Nº de

acidentes

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Nº de

motoristas

30 15 10 9 6 4 3 2 1

Determine:

a) a média;

57



___________________________________________________________________

b) a mediana;

c) a moda.

2. Os dados abaixo apresentam a massa muscular em Kg de Leitões criados para fins de pesquisa

genética.

3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,5

18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7

4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 9,8 4,4

7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 7,9

4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 7,5 2,6

a) Forme com esses dados uma distribuição com intervalos de classes iguais a 3, tais que os limites

inferiores sejam múltiplos de 3;

b) Construa o histograma;

c) Determine a média, mediana e moda;

d) A distribuição é simétrica, assimétrica positiva ou assimétrica negativa?

58



___________________________________________________________________

MEDIDAS DE DISPERSÃO

DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

Servem para verificar a representatividade das medidas de posição. É possível encontrar séries de

valores que têm as mesma média, porém são compostas de forma diferentes.

Exemplo:

sejam as séries abaixo:

1ª) 10, 15, 25, 10, 5, 25

2ª) 15, 15, 15, 15, 15, 15

Faça a verificação sobre a média de cada série.

DESVIO MÉDIO

Neste caso considera-se o módulo da soma dos quadrados dos desvios, para evitar que a soma seja

nula.

Fórmula: DM = | xi - x | . Fi / n

VARIÂNCIA AMOSTRAL

Considera-se nesse momento o quadrado de cada desvio (x i - x)2, para evitar que a soma dos

desvio seja nula.

Fórmula para cálculo da variância amostral:

S2 = (xi - x)2 . Fi / n - 1

DESVIO PADRÃO AMOSTRAL

O Desvio Padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja:

59



___________________________________________________________________

S = S2

Exemplo1:

Calcular o desvio médio, a variância e desvio padrão da amostra descrita abaixo.

xi 3 5 8 9 10 12

Fi 2 4 6 5 2 3

Exemplo2:

Calcule o desvio médio e o desvio padrão para a amostra abaixo. Esses dados representam a

massa em Kg de 30 pessoas adultas.

60



___________________________________________________________________

MASSA ( Kg) Fi

45 I------ 50

50 I------ 55

55 I------ 60

60 I------ 65

65 I------ 70

70 I------ 75

2

5

8

5

3

7

TOTAL =

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Este valor é uma medida relativa de dispersão, e é utilizada para comparar em termos relativos do

grau de concentração em torno da média de conjuntos de dados distintos.

C . V = S / x

Exemplo:

Numa indústria, o salário médio dos sujeitos de gênero feminino é d R$ 1.290,00, com desvio padrão

de R$ 350,00, e a média salarial dos sujeitos do gênero masculino é de R$ 1.950,00, com desvio

padrão de R820,00. Determine o grau de dispersão de cada média.

ATIVIDADES

1. A tabela abaixo contém dados relativos a uma amostra da estatura de um grupo de pessoas.

Com base nesses dados determine:

a) a média;

b) a variância amostral;

c) o desvio médio;

61



___________________________________________________________________

d) o desvio padrão;

ESTATURAS (cm) Fi

140 l--------145

145 l--------150

150 l--------155

155 l------- 160

160 l------- 165

165 l------ 170

170 l------ 175

5

3

10

12

8

15

20

2. As tabelas a seguir representam a massa em (Kg) de duas amostras de coelhos selecionadas

entre 1200 coelhos em fase de abate para venda. Essas duas amostras foram alimentadas com

rações diferentes e para que o criador consiga comparar qual das amostras lhe dará melhor lucro na

venda quais cálculos ele deverá fazer? Faça esses cálculos e diga qual das populações

representadas por estas amostras lhe dará melhor rendimento.

Amostra1:

Coelhos Massa (Kg)

C1 3,6

62



___________________________________________________________________

C2 3,5

C3 3,8

C4 3,0

C5 2,8

C6 4,5

C7 5,0

C8 5,0

C9 3,9

C10 4,2

TOTAL =

Amostra 2:

Coelhos Massa (Kg)

C1 3,5

C2 4,5

C3 3,2

C4 5,0

C5 4,8

C6 4,5

C7 3,2

C8 4,6

63



___________________________________________________________________

C9 2,9

C10 3,4

TOTAL =

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS

1. DIAGRAMA DE DISPERSÃO

Exemplos:

Dadas as tabelas abaixo, construa o diagrama de dispersão para cada uma.

Correlação positiva

X Y

1 2

2 3

3 4

64



___________________________________________________________________

4 5

5 7

Correlação negativa

X Y

1 10

2 8

3 6

4 5

5 2

Correlação nula

X Y

1 3

2 10

4 7

5 2

6 4

2. CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON ( r )

65



___________________________________________________________________

Condições:

r é sempre um valor entre 1 e –1 ou seja: -1 r 1

a) se r = 1 as duas variáveis relacionadas têm correlação perfeitamente positivas;

b) se r = -1 as duas variáveis relacionadas têm correlação perfeitamente negativa;

c) se r = 0 não existe correlação entre as duas variáveis correlacionadas.

Exemplo1:

X Y X2 Y2 X.Y

1 2

2 3

3 4

4 5

5 7

Exemplo2:

X Y X2 Y2 X.Y

1 10

2 8

66



___________________________________________________________________

3 6

4 5

5 1

ATIVIDADES

1. Seja a tabela abaixo composta pela massa (Kg) e altura em (cm) de crianças com 10 meses de idade.

Altura (cm) Massa (Kg)

75 9,0

70 9,2

73 8,9

78 8,5

80 9,5

69 9,6

71 9,1

72 10,0

74 8,7

77 9,4

Faça um diagrama de dispersão, determine o coeficiente de Pearson e verifique que tipo de correlação existe entre as variáveis massa e altura.

67



___________________________________________________________________

3. A tabela abaixo apresenta a massa seca e massa úmida em gramas de lóbulos hepáticos de

ratos. Com base na tabela construa um diagrama de dispersão e determine o coeficiente de

correlação.

Massa úmida Massa seca

6,6 1,8

6,3 2,4

7,1 1,9

7,8 2,1

6,1 2,6

7,3 2,7

6,8 2,3

68



___________________________________________________________________

INTRODUÇÃO AO ESTUDO SOBRE REGRESSÃO LINEAR

AJUSTAMENTO DA RETA

Quando se estuda a variação de uma variável y em função de uma variável x, diz-se que y é

a variável dependente e que x é a variável independente ou explanatória.

Na questão as idades de crianças e seus pesos, é possível estudar como o peso varia em

função da idade.

Exemplo1:

Idade (x) em anos Peso (y) em Kg

1 9,8

2 12,1

3 13,8

4 16,5

5 18,1

6 18,9

7 22.5

8 23.2

9 27,5

10 28,3

69



___________________________________________________________________

Tracemos o diagrama de dispersão para a tabela anterior.

A reta que será ajustada a esse conjunto de dados é do tipo y = a + bx. O método empregado é o

método dos mínimos quadrados para que seja possível minimizar as discrepâncias entre a e b.

70



___________________________________________________________________

n . x.y - x . y b =

n . x2 - (x)2

a = y – bx onde n = tamanho da amostra

x = a média dos xi

y = a média dos yi

Exemplo2:

Ajustar a reta y = a + bx para os dados abaixo

Idade (x) em anos Peso (y) anos x.y x2

1 9,8

2 12,1

3 13,8

4 16,5

5 18,1

6 18,9

7 22,5

8 23,2

9 27,5

10 28,3

71



___________________________________________________________________

ATIVIDADES

Ajuste uma reta para cada conjunto de dados abaixo.a) Seja a tabela abaixo composta pela massa (Kg) e altura em (cm) de crianças com 10 meses de idade.

Altura (cm) Massa (Kg)

75 9,0

70 9,2

73 8,9

78 8,5

80 9,5

69 9,6

71 9,1

72 10,0

74 8,7

77 9,4

c) A tabela abaixo relata os custos de manutenção por hora, classificados por idade de máquina em meses. Determinar a reta dos custos sobre a idade e fazer uma previsão de custo para uma máquina de 45 meses.

Idade (meses) Custos médios ($)

6 9,7

15 16,5

24 19,3

33 19,2

42 26,9

72

AULAS DE MAT E EST II 2005

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