Aulas - Convecção de Calor
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Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
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AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE
CALOR CONVECTIVA
Lei de Resfriamento de Newton
Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de
resfriamento de Newton, dada por:
)( TTAhq S
onde,
Ts, T∞ – temperatura da superfície aquecida e do fluido ao longe;
A – área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície;
h = coeficiente de transferência de calor por convecção.
O problema fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do
valor d h para o problema em análise. Nota-se que a expressão da transferência de calor
é consideravelmente mais simples que a da condução. No presente caso, basta resolver
uma equação algébrica simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se
conheça o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação
diferencial da condução de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa,
pois na verdade, em geral, h é função de um grande número de variáveis, tais como as
propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade térmica),
velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas,
serão apreentadas expressões e métodos de obtenção daquela grandeza para diversas
condições de interesse prático. Mas, antes, vamos apresentar os números adimensionais
que controlam a transferência de calor convectiva.
Análise Dimensional
A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema
para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto,
tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar
familiarizado a essa altura são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, os
números de Biot e de Fourier.
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A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação
sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser
conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta
do problema em análise.
O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões
primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em
função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas
MLtT, onde:
Comprimento L
Tempo t
Massa M
Temperatura T
Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes
dimensões:
Força ML/t2
O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:
Condutividade térmica ML/t3T
Calor ML2/t
2
Velocidade L/t
Densidade M/L3
Velocidade M/Lt
Calor específico a pressão constante L2/t
2T
Coeficiente De transmissão de calor M/t3T
Teorema dos Π ou de Buckingham
Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema.
É dado por:
M = N – P
Onde,
M – número de grupos adimensionais independentes;
N – número de variáveis físicas dos problemas;
P – número de dimensões primárias;
Sendo um adimensional genérico, pode-se escrever, então:
0),...,( 21 mF
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Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões
primarias. Logo,
M = 5-3 = 2, de onde se obtém:
0),( 21 F ou
pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma.
)( 21 f
Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como
indicado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizar experimentos com
apenas uma variável (grupo adimensional 2) e observar a dependência de 1. Com
isso, reduz-se drasticamente o número de experimentos. Caso contrário, seria necessário
fazer experimentos envolvendo as 5 variáveis originais do problema.
1
2
erimentalcurvaf exp)( 2
Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais.
Nesse caso, tem-se:
0),,( 321 F , ou ),( 321 f
Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constante, e variando
2, observando como 1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo.
2
tesconsdecurvas tan31
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Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada
Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura
abaixo.
fluido
V
Tubo
aquecido
D
Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são:
Variáveis Eq. Dimensional
D Diâmetro do Tubo L
k Condutividade térmica do fluido ML/t3T
V Velocidade do fluido L/t
ρ Densidade do fluido M/L3
μ Viscosidade do fluido M/Lt
CP Calor especifico a pressão constante L2/t
2T
h Coef. de transferência de calor M/t3T
Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em:
M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais)
Seja um grupo adimensional genérico do tipo:
g
c
f
p
edcba hcVKD
Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem:
gfedcb
a
Tt
M
Tt
L
Lt
M
L
M
t
L
Tt
MLL
32
2
33
ou, após rearranjo, vem:
gfbgfecbfedcbagedbTtLM
32323
Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é:
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0
0323
023
0
gfb
gfecb
fedcba
gedb
Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O
método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto
crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo,
(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de
valores
0
1
dc
g
Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em:
a = 1
b = -1
e = f = 0
Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por:
Nuk
Dh1
(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores
0
1
0
f
a
g
(para não aparecer h)
A solução do sistema fornece:
b = 0
c = d = 1
e = -1
De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de
Reynolds, dado por:
D
VDRe2
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(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores
e = f =1
b = -1
Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de
Prandtl,
Pr3 k
cp
Então, há uma função do tipo
0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF .
Isolando o número de Nusselt, vem:
),( PrReDfNu
Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os
grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno).
Vimos, então, que:
),( PrReDfNu
Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima
correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo.
Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no
entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três fluidos podem ser
correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica que, uma vez
obtida a expressão que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar
com outros fluido, caso não existam dados experimentais de laboratório disponíveis.
10 1001
1
3,0Pr
Nu
4,03,0 RePr82,0Nu
água
óleoar
3<ReD<100
10
0,01
Re
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AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA
PLACA OU SUPERFICIE PLANA
Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma
superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno.
Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De
forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma
experimental ou analítica em algumas poucas situações.
Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser
obtida de forma analítica e exata. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais
que regem a transferência de calor em escoamento sobre uma superfície plana em
regime laminar. Depois será indicada a solução dessas equações. Para começar o estudo,
considere o escoamento de um fluido sobre uma superfície ou placa plana, conforme
ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular)
antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai
desacelerar as porções de fluido adjacentes à placa, dando início a uma camada limite
laminar que cresce em espessura à medida que o fluido escoa ao longo da superfície.
Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente até que instabilidades
vão induzir a uma transição de regime para dar início ao regime turbulento, se a
extremidade da placa (borda de fuga) não for antes atingida. Admite que a transição
ocorra para a seguinte condição 5105Re
xuxtransição (às vezes também se usa
3 105), onde x é a distância a partir do início da placa (borda de ataque).
y
u
laminar
xTransição Turbulento
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No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a
tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por dy
du
para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de
escoamento permitem uma solução exata, como se verá a seguir.
Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar
Hipóteses principais:
- Fluido incompressível
- Regime permanente
- Pressão constante na direção perpendicular à placa
- Propriedades constantes
- Força de cisalhamento na direção y constante
Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),
como indicado.
x
ydy
dx
Equação da continuidade ou da conservação de massa.
dydxx
uu )(
dxdyy
vv )(
vdx
udy
dx
dy
Como entrasai mm , então substituindo os termos, vem:
dydxx
uudxdy
y
vvvdxudy )()(
. Simplificando, tem-se
0
y
v
x
u ou 0VDiv
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Equação da conservação da quantidade de movimento
Da 2ª lei de Newton, tem-se que
extF variação do fluxo da quantidade de movimento
Balanço de forças na direção x.
Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível)
dxdyy
)(
dx
pdydydx
x
pp )(
dydxx
ppdxdxdy
ypdyFx )()(
ou, simplificando, dxdyx
pdxdy
yFx
Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se dy
du que, substituindo, em.
dxdyx
pdxdy
y
uFx
2
2
Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x)
dxdyy
uudy
y
vv ))((
vudx
dydxx
uu 2)(
dyu2
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Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão:
superior ordem de termos2
)(
)(2
))(()(
2
222
22
dxdyy
vudxdy
y
uvdxdy
x
uu
uvdxdxdyy
u
y
v
dxdyy
vudxdy
y
uvvudxdyudydx
x
udxdy
x
uudyu
uvdxdxdyy
uudy
y
vvdyudydx
x
uu
Ainda é possível simplificar esta equação para obter
dxdyy
v
x
uudxdy
y
uv
x
uu
decontinuida
0
)()(
dxdyx
uv
x
uu )(
Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a
variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação:
x
p
y
u
y
uv
x
uu
2
2
)(
Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica
- Condução na direção x desprezível
- Energia cinética desprezível face à entalpia
dxdyy
uudy
y
vv ))((
dydxx
uu 2)(
dxdyy
uu )
)((
)(
2
2
dyy
T
y
Tkdx
dx
dy
y
Tkdx
dxuvhdx
uhdy
Potência (térmica) líquida das forças viscosas
dydyx
hhdy
x
uu ))((
dydyy
hhdy
y
uu ))((
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dydxy
uuu
ydydx
y
udxudxdy
y
uu
)()(
Conservação de energia:
tempode unidade na
ldiferencia controle
de volumeo deixa
que energia de fluxo
tempode unidade
na realizado
líquido trabalho
tempode unidade na
ldiferencia controle
de volumeno entra
que energia de fluxo
Agora, vamos tratar cada termo em particular
Fluxo de energia que entra
Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível)
y
Tkdxuhdyvhdx
Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas)
dxdyy
uu
y
Fluxo de energia que entra
)())(())((2
2
dyy
T
y
Tkdxdydx
x
hhdx
x
uudxdy
y
hhdy
y
vv
Desprezado os termos de ordem superior
dxdyx
ukdxdy
y
vhdxdy
y
hvdxdy
x
uhdxdy
x
hudydx
y
uu
y 2
2
00
2
2
0
)(x
uk
y
v
x
uh
x
hv
x
hu
y
uu
y
decontinuida
Com Tch p e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma
diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:
y
uu
yy
Tk
y
Tvc
x
Tuc pp
2
2
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Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível
face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).
Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada
para:
2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o
escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como:
2
2
y
u
y
uv
x
uu
onde,
é a viscosidade cinemática
Comparando as duas equações acima, nota-se que quando , ou seja, 1Pr
corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica a distribuição de
velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0 .
Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada
limite laminar são:
Conservação de massa 0
y
v
x
u
Conservação da quantidade de movimento
direção x
x
p
y
u
x
uv
x
uu
2
2
)(
2
2
y
u
x
uv
x
uu
pressão constante
Conservação de energia 2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do
Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius.
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Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes:
Crescimento da camada limite hidrodinâmica (CLH): x
x
Re
5 ;
Coeficiente local de atrito local : 2/1
, Re664,0
xxfc ;
Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque: 2/1
, Re328,1
LLfc ;
Razão entre camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT): 3/1Prt
;
Número de Nusselt local: Pr6,0PrRe332,0 3/12/1
xxNu 50
Número de Nusselt médio: 3/12/1PrRe664,0 LLuN .
Definição do coeficiente de atrito: 2/
2
u
c sf
, s tensão de cisalhamento na parede
Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número
de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.
Tu ,
)1(Pr T
)1(Pr T
)1(Pr T
x
C.L.T C.L.H
TS
T u
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AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO
INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN
Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os
resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi
discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução
para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada
no método integral, também conhecida como solução de von Karman.
Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x do
escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para além da camada limite,
isto é, H , conforme ilustrado na figura abaixo.
x
y
1 2
A A
dx
H
Leis de conservação na camada limite laminar no elemento diferencial acima:
Balanço de massa
Fluxo mássico na face 1 – A: H
udy0
Fluxo mássico na face 2 – A: dxudydx
dudy
HH
00
Balanço de fluxo de quantidade de movimento
Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: H
dyu0
2
Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyudx
ddyu
HH
0
2
0
2
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Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudydx
du
H
0
Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle
(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) =
Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx
dudxdyu
dx
dHH
00
2
Lembrando da regra do produto de diferenciação que:
)()()( ddd ou
)()()( ddd
Fazendo u
H
udy0
, vem
dxdx
duudydxudyu
dx
ddxudy
dx
du
HHH
000
dxudydx
dudxudyu
dx
dHH
00
Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem:
dxudydx
dudxudyu
dx
ddxdyu
dx
dMQfluxo
HHH
000
2..
Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma
mais compacta:
dxudydx
dudxudyuu
dx
dMQfluxo
HH
00
)(..
Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos
considerar as forças de pressão e de atrito.
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100
- força resultante da pressão: dxdx
dPH
- força de cisalhamento na parede: -dx
0
y
py
udx
p
dx
dxdx
dPP
P
Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser
escrita (2ª lei de Newton):
dxudydx
dudxudyuudx
dx
dPH
y
udx
HH
y
000
)(
Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento
sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa
hipótese não vale): 0dx
dP
Essa hipótese de P = cte. também implica em que a velocidade ao longe também seja
constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou
cteuP
2
De forma que, na forma diferencial: 002
2
duduudP
Assim, a equação da conservação da Q. M. se resume a:
H
y
udyuudx
dp
y
u
00
)(
Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então:
00
)(
yy
uudyuu
dx
d
Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M., válida para o escoamento
laminar sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o
equacionamento é exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se
conhecermos o perfil de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada.
Daí, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar
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hidrodinâmica, isto é, a espessura da camada limite laminar numa posição x a partir da
borda de ataque. (x).
A solução aproximada, objeto desta análise, começa quando se admite um perfil de
velocidades na direção perpendicular ao escoamento, isto é, u(y). Claro que a adoção
desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir tal perfil de
velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você imporia
um polinômio de grau tal que as condições de contorno do perfil de velocidades fossem
satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então, primeiro passemos a
analisar as condições de contorno do problema , que são:
0/0
/0
/
0/0
2
2
ypy
u
ypy
u
ypuu
ypu
As três primeiras condições de contorno são simples e de dedução direta. A primeira
informa que a velocidade na superfície da placa é nula (princípio de não-
escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade é a da corrente fluida e a
terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”, daí a derivada ser
nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se analisar a equação
diferencial da conservação da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula
anterior que requer que essa condição seja nula sobre a superfície da placa). Como são
quatro as condições de contorno, uma distribuição que satisfaz estas condições de
contorno é um polinômio do 3º grau, dado por:
3
4
2
321)( yCyCyCCyu
Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado
de velocidades: 3
2
1
2
3)(
yy
u
yu
Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:
00
33
2
2
1
2
3
2
1
2
31
yy
udy
yyyy
dx
du
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Do que resulta, após algum trabalho:
uu
dx
d
2
3
280
39 2
Integrado essa equação, lembrando que para x = 0 δ = 0 (a CL começa na borda de
ataque):
u
vxx 64,4)( , ou
xx
x
Re
64,4)(
Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornecia: x
x
x
Re
5)(
Ver Holman Apêndice B ou Incropera
Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável.
Camada Limite Térmica Laminar
Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora pode-se resolver o problema
térmico. O objetivo é o cálculo do coeficiente de transferência de calor, h. Note que
junto à superfície todo calor transferido da mesma para o fluido se dá por condução de
calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os
dois termos da seguinte maneira:
0
)(
y
py
TkTTh , ou
TT
y
Tk
hp
y 0
Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a
distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso
hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas:
Condições de contorno
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0/0
/
/0
0/
2
2
ypy
T
ypTT
ypy
T
ypTT
t
t
p
Método integral (aproximado)
x
y
x0
t
u
T
cteTp
Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um
ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico,
desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem:
(ver Holmam)
00
2
0
)(
y
H
p
H
y
Tdy
dy
du
cudyTT
dx
d
Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e
aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3
2
1
2
3)()(
ttp
p yy
TT
TyTy
(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas)
Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as
espessuras de camadas limites:
3/1
4/3
03/1 1Pr026,1
1
x
xt
Se a placa for aquecida desde a borda, x0 = 0, temos
3/1Pr026,1
1
t
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104
No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos
11
11
/Pr
t
Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de
velocidades, calculada junto à parede
tttp
p
p
y
x
kk
TT
TTk
TT
y
Tk
h
2
3
2
3
2
3
)(
)(0, ou
3/14/3
03/1
1Pr026,1
2
3
x
xkhx
, ou ainda
3/1
4/3
0
2/1
3/1 1Pr332,0
x
x
x
ukhx
Lembrando da definição do número de Nusselt, k
xhNu x
x , vem:
3/14/3
02/13/1 1RePr332,0
x
xNu xx
As equações anteriores são para valores locais.
O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0:
L
x
dxu
L
dxh
h
LL
x
L
0
2/1
2/1
3/1
0
Pr332,0
, ou
2/
Pr332,0 2/1
2/1
3/1
L
Lu
hL
, ou finamente:
LxL hL
uh
2Pr332,02
2/1
3/1
Analogamente, para esse caso:
LxL Nuk
LhuN 2
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105
Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as
propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf
2
TTT
p
f
E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:
3/12/1PrRe453,0 LL
k
hLNu
Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5
Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom)
Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa
aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma
temperatura de 90ºC. Determine:
(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica ao final da placa
(b) a espessura da camada limite térmica t no final da placa
(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa
(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida.
São dados:
Propriedades calculadas a CT f
0652
9040
= 7,3810-8
ms/s
fk = 0,213 W/moC
= 6,510-5
m2/s
= 9,57102 kg/m
3
= 6,2210-2
N.s/m2
pC = 3016 Ck
J
g
CTp 90
u
T
t
Solução
Verificação se o escoamento é laminar ai final da placa
)105(Re5538105,6
606,0Re 5
5
transiçãoL
Lu
(a) x
x Re
5
; x = L = 6m
m40,05538
65
(b) 3/1
8
53/13/1 881
1038,7
105,6)/(Pr
t
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106
mt 042,0881
4,03/1
(c)
2/1
3/1Pr332,0
L
ukhx
Cm
Whx
2
2/1
5
3/1 4,86105,6
06,0)881(213,0332,0
Cm
Whh LxL
2
8,164,822
(d) )( TThAq s m
WTTLh
L
qs
p
5040)4090(68,16)(
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107
AULA 15 – ANALOGIA DE TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E DE ATRITO – REYNOLDS-COLBURN E
CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA
DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO
2.5 – Analogia de Reynolds – Colburn
Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento
(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta
analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta aula. Essa é a
chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com
a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição
laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente
de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os
dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor.
Por definição, o coeficiente de atrito é dado por:
2
2
u
Cp
f
Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),
a tensão de cisalhamento na parede é:
0
y
py
u
Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:
3
2
1
2
3
yy
u
u,
temos que a derivada junto à parede resulta em:
u
y
u
y2
3
0
Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da
camada limite, isto é, x
x Re
64,4
que, mediante substituição na definição da tensão de
cisalhamento na parede, resulta em:
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108
x
uu x
p
Re323,0
2
3
Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem:
x
xfx
xu
uC
Re
323,0Re323,0
2 2
Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de
Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:
2/13/2 RePr332,0PrRe
x
St
x
x
x
Nu
, onde Stx
uc
h
p
x
é o número de Stanton. Então,
reescrevendo de forma compacta:
x
xStRe
332,0Pr 3/2
Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a
menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta
pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter:
2Pr 3/2 fx
x
cSt
Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito
com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa
forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de
arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será
visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no
interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios.
______________________________________________________________________
Exemplo resolvido – continuação do anterior
Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14).
Sabe-se que 3/2Pr2
tSC f
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Por outro lado, 5
21070,9
06,030161057,9
8,16
uc
htS
p
L
Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 fC , de forma
que a tensão de cisalhamento na superfície é:
2
2222
1007,32
)06,0(9571078,1
2 m
NuC fp
Finalmente, a força de atrito por unidade de comprimento é:
m
NL
L
Fp
p
184,061007,3 2
______________________________________________________________________
Camada Limite Turbulenta
A transferência de calor covectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente
diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da
transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três
subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:
x
yturbulenta
Camada amortecedora
Sub camada laminar
A CLT é subdividida em:
- subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular
- camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas
- turbulento – misturas macroscópicas de fluido
Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o
comportamento da velocidade local, o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo.
t
u
u
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Do gráfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantânea, u, flutua
consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato de flutuação da
velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa
parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades do perfeito
equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a
velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação,
como indicado:
velocidade na direção paralela: 'uuu
velocidade na direção transversal: 'vvv
pressão: fluctuacàomedio
táneoinsvalor
PPP '
tan
Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e um apóstrofe,
valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças
aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser
consideradas na análise.
Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da
camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se
“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções”
de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para
cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna
(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção”correspondente (2) desce para
ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de
modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada
limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem.
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Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do
escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise
mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem.
O primeiro passo é escrever as equações de conservação (massa e quantidade de
movimento) – aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos
correspondentes de média e flutuação, isto é, 'uuu , 'vvv e 'PPP . Em
seguida, realiza-se uma integral sobre um período de tempo longo o suficiente, isto é,
realiza-se uma média temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equação diferencial:
''
1uv
y
u
yx
P
y
uv
x
uu
No processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média temporal das flutuações
e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a média temporal
do produto das flutuações (últimos dois termos à direita). Aqui reside grande parte do
problema da turbulência que é justamente se estabelecer modelos para estimar estes
valores não desprezíveis. Estes termos dão origem às chamadas tensões aparentes de
Reynolds que têm um tratamento à parte e não vamos nos preocupar aqui.
O importante é saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e
turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões
apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela
7.9 do Incropera e Witt.
Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu 60Pr6,010Re 8 x
Médio : 318,0 Pr871Re037,0 LLNu 810Re L
2,0Re37,0 xx
810Re L
Nota: outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula.
As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média
entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 105
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______________________________________________________________________
Exemplo resolvido (Holman 5-7)
Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de
comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa.
Propriedades avaliadas à CT
402
6020
Ckg
kJc p
007,1
3128,1
m
kg 7,0Pr
Cm
Wk
02723,0
ms
kgx 510007,2
610475,1Re xVL
L
2055)871Re037,0(Pr8,03/1 LL
k
LhNu
CmWNuL
kh L 2/6,74
WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)(
______________________________________________________________________
Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos
No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, análise se torna mais
complexa. O número de Nusselt local, dado em função do ângulo de incidência , isto é,
Nu(), é fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite.
A figura ao lado indica o que acontece com o
número local de Nusselt. Para ReD 105, o
número de Nusselt decresce como conseqüência
do crescimento da camada limite laminar (CLL)
até cerca de 80o. Após este ponto, o escoamento
se descola da superfície destruindo a CLL e
gerando um sistema de vórtices e mistura que
melhora a transferência de calor (aumento de
Nu(). Para ReD > 105, ocorre a transição e
formação da camada limite turbulenta (CLT). Na
fase de transição (80o a 100
o) ocorre a melhora
da transferência de calor. Uma vez iniciada a
CLT, novamente se verifica a diminuição do
coeficiente local de transferência de calor devido
ao crescimento da CLT para, em torno de 140o,
descolar o escoamento da superfície que destrói
a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e
mistura que volta a melhorar a transferência de
calor. No caso turbulento há, portanto, dois
mínimos.
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Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante
analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de
outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de
calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da
correlação empírica de Hilpert, dada por:
3
1
PrRem
DD Ck
DhNu
onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como
função do número de Reynolds.
ReD C m
0,4 – 4 0,989 0,330
4 – 40 0,911 0,385
40 – 4.000 0,683 0,466
4.000 – 40000 0,193 0,618
40.000 – 400.000 0,027 0,805
No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma
expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na
próxima tabela (Jakob, 1949).
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Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão
mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por
4/1
Pr
PrPrRe
s
nm
DD CNu válida para
610Re1
500Pr7,0
D
,
onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são
avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se Pr
10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.
ReD C m 1 – 40 0,75 0,4
40 – 1.000 0,51 0,5
1.000 – 2105 0,26 0,6
2105 – 10
6 0,076 0,7
____________________________________________________________
Escoamento sobre Banco de Tubos
Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor.
Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula
internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é
chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio.
Arranjos em linha ou quicôncio
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115
Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos.
Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para
outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente,
Zhukauskas apresentou a seguinte expressão:
4/1
36,0
max,Pr
PrPrRe
s
m
DD CNu
válida para
6
max, 10.2Re1000
500Pr7,0
20
D
LN
onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é
avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre
a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo.
Configuração ReD,max C m
Alinhada 10-102 0,80 0,40
Em quicôncio 10-102 0,90 0,40
Alinhada
Em quicôncio
102-10
3 Aproximado como um único
102-10
3 cilíndro (isolado)
Alinhada
(ST/SL>0,7)a
103-210
5 0,27 0,63
Em quicôncio
(ST/SL<2) 10
3-210
5 0,35(ST/SL)
1/5 0,60
Em quicôncio
(ST/SL>2) 10
3-210
5 0,40 0,60
Alinhada 2x105-210
6 0,021 0,84
Em quicôncio 2x105-210
6 0,022 0,84
a Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados.
Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir
a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme
expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.
202
20
LL ND
ND NuCNu
Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>103)
NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16
Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99
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116
O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que
percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em
VDS
SV
T
T
max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em
quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões,
conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição
for satisfeita )()(2 DSDS TD que, após uma análise trigonométrica simples, se
obtém a seguinte condição equivalente 22
212
2 DSSSS TT
LD
. Se isso
acontecer, então: VDS
SV
D
T
)(2max
. Caso essa condição não seja satisfeita, então, a
velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS
SV
T
T
max .
Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt)
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117
______________________________________________________________________
Exercício de Aplicação
Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C.
Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de
25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C.
Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro
sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais
condições são mantidas. Pede-se:
(a) Em qual caso a troca de calor é maior.
(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.
(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na
outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua
resposta através de um memorial de cálculo.
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118
Solução
Propriedades do ar à CTT
Tp
452
ν = 1,68 x 10-5
m2/s
k = 2,69 x 10-2
W/mK
Pr = 0,706
Placa
L=0,25m
CTp 60
smu /4
CT 30
critL xLu
Re1095,51068,1
25,04Re 4
5
5105
2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1 xNu LL
Assim CmWL
kNuhL
2/56,15
25,0
02697,02,144
Cilindro
D
CTs 60
Tu ,
πD = L D = 0,25/π = 0,0796 m
Assim, 4
510895,1
1068,1
0796,04Re
D
Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)
3/1PrRem
DD CNu p/ReD=1,895104
C = 0,193
m = 0,618
Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 DNu
de forma que: KmWD
kNuh
DD
2/63,250796,0
02697,063,75
a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh e a área de troca de
calor é a mesma.
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119
]b)
Placa
WQ
TTAhQ
placa
ppplaca
7,116
3025,056,15
)(
Cilindro
WQ
TTAhQ
cil
pccil
2,192
3025,063,25
)(
c) Porção laminar 5
, 105Re Lcrit
Note que 51059,1Re/ReRe DLD sendo equivalente ao crítico.
3/12/1PrRe
664,0LL
L
kh
(A)
m
D
m
DD CL
kC
D
kh Re
PrRePr
3/13/1 (B)
Portanto de (A), 2/1
3/1
Re664,0
Pr
L
Lh
L
k , que, pode ser subst. em (B), para obter
Lm
D
D
Lm
DD hC
hCh 5,0
2/1Re669,2
Re664,0
Re
Ou 5,0Re669,2 m
D
L
DC
h
h para o caso laminar na placa
Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5105
3/18,0 Pr)871Re037,0( LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)
De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( L
L
k
Lh e
871Re037,0
Pr8,0
3/1
L
Lh
L
k (C)
sub. em (B), vem 871Re037,0
Re8,0
L
Lm
DD
hCh
Subs. ReL = πReD, vem: 871Re037,0
Re8,0
L
m
D
L
D C
h
h
Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa
871Re037,0
Re8,0
L
m
D
L
D C
h
h
Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor
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www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2012
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Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões
das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e,
em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do
cilindro (na faixa de validade das expressões)
ReD C m hD/hL regime
4 0,898 0,33 2,09 laminar
40 0,911 0,385 1,59 “
4000 0,683 0,466 1,38 “
40000 0,193 0,618 1,8 “
159000 0,027 0,805 2,78 “
200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb
400000 0,027 0,805 1,43 “
L
D
h
h
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
ReD