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REVISÃO GERALREVISÃO GERAL

PORCENTAGEM

AUMENTOS E DESCONTOS

AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2

AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02

DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 0,8

Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um determinado produto é equivalente a um único aumento de:

1,1 . 1,2 = 1,32 32%

Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,0 0. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, er a:

PREÇO INICIAL:x

0,88x = 176 0,88x = 176

x = 200 x = 200

x1,1 0,8 = 176

FUNÇÕES

y = ax2 + bx + c

Vértice

a > 0

c

xV

yV

∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2

2 4V V

bx e y

a a

− −∆= = ou 1 2 ( )2V V V

x xx e y f x

+= =

Côncava para cima

x1 x2

a < 0 Côncava para baixo

∆∆∆∆ = 0 x1 = x2

∆∆∆∆ < 0 não há raízes reais

Lembrando....Lembrando....

Uma fUma f áábrica de determinado componente eletrônico tem a brica de determinado componente eletrônico tem a receita financeira dada pela funreceita financeira dada pela fun çção ão R(x) = 2xR(x) = 2x 22 + 20x + 20x –– 3030 e o e o custo da producusto da produ çção dada pela funão dada pela fun çção ão C(x) = 3xC(x) = 3x 22 –– 12x + 3012x + 30, em , em que a varique a vari áável x representa o nvel x representa o n úúmero de componentes mero de componentes fabricados e vendidos. Se o lucro fabricados e vendidos. Se o lucro éé dado pela receita dado pela receita financeira menos o custo de produfinanceira menos o custo de produ çção, o não, o n úúmero de mero de componentes que deve ser fabricado e vendido para q ue componentes que deve ser fabricado e vendido para q ue lucro seja mlucro seja m ááximo ximo éé::

( ) ( ) ( )xCxRxL −=

( ) 60322 −+−= xxxL

a

bxV 2

−= ∴2

32

−−=Vx

16=Vx

( ) 30202 2 −+= xxxR

( ) 30123 2 +−= xxxC

PROGRESSÕES

Três nTrês n úúmeros formam uma progressão aritmmeros formam uma progressão aritm éética de razão tica de razão rr = 7= 7. Subtraindo. Subtraindo --se uma unidade do primeiro termo, vinte se uma unidade do primeiro termo, vinte unidades do segundo termo e trinta e uma unidade do unidades do segundo termo e trinta e uma unidade do terceiro termo, a sequterceiro termo, a sequ ênciaência resultanteresultante éé umauma progressãoprogressãogeomgeom éétricatrica de de razãorazão ::

rx− x rx+ P.AP.A rr = 7= 7

7−x 7+xx

17 −−x 20−x 317 −+x P.GP.G

81 −= xa202 −= xa243 −= xa ( ) 31

22 aaa ⋅=

a2 a3=a1 a2

( ) ( ) ( )24820 2 −⋅−=− xxx

x = 26

( )2 ,6 ,18..GP 186=q ∴

3

1=q

LOGARITMOS

log B A = x ↔↔↔↔ A = B x

CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES

log B 1 = 0 log A A = 1

PROPRIEDADESPROPRIEDADES

log C (A.B) = log c A + log c B

log C (A/B) = log c A – log c B

log A Am = m

Logaritmos....Logaritmos....

A > 0 1 ≠ B > 0

log C Am = m.log c A

A solução da equaç ão

log 2 x + log (1 + 2 x) = log 6 é:

log 2 x + log (1 + 2 x) = log 6

log [(2 x (1 + 2x)] = log 6

2x (1 + 2x) = 6

y (1 + y) = 6

y + y2 = 6

y2 + y – 6 = 0

log C A = log c BA = B

Incógnita auxiliar:

2X = y

y’ = 2 y’’ = - 3

2x = 2

x = 1

MATRIZES

MATRIZ INVERSA

A . A -1 = In

detA1

detA 1 =−

• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.

• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.

=

dc

baA

−−

=ac

bd1-A

=

A det

a

Adet

c-

A det

b-

A det

d

1-A

=

57

12A

−−

=2

51-A

7

1

=

3

2

3

7-

3

1-

3

5

1-A

det A =3

det(A.B ) = detA.det B (Teorema de Binet)

CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B

vale lembrar que:vale lembrar que:det (k.A) = k n. det A

k ∈∈∈∈ R, n é a ordem da matriz

GEOMETRIA ANAL ÍTICA

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear

FORMAS DE OBTENÇÃO

0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR

Dados 1 ponto e o coef. angular

y – yo = m(x – xo)

B

x

y

O

yB

yA

xBxA

A

αααα

(0, n)

αααα

yB– yA

xB– xA

r

AB

AB

xx

yym

−−

=m = tg α

POSIÇÕES RELATIVAS

PARALELAS: mr = ms

CONCORRENTES: mr ≠ ms

PERPENDICULARES: mr . ms = – 1

ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

x

y

C

αααα x

y P

ββββ x - αααα

y - ββββR

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDA

(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2

EQUAÇÃO GERAL

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

A = - 2αααα B = - 2 ββββ C = αααα2 + ββββ2 – R2

x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0

αααα = 2

÷ (-2)

÷(-2

)

ββββ = 3

C = αααα2 + ββββ2 – R2

9 = (2)2 + (3)2 – R2

R = 2C( 2 , 3 )

GEOMETRIA PLANA

A A A A áááárea de um triângulo em funrea de um triângulo em funrea de um triângulo em funrea de um triângulo em funçççção de dois lados e o ângulo entre ão de dois lados e o ângulo entre ão de dois lados e o ângulo entre ão de dois lados e o ângulo entre eles eles eles eles éééé dada pela expressão: dada pela expressão: dada pela expressão: dada pela expressão:

α sen2

b.aA =α

TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUIL ÁÁTERO e QUADRADOTERO e QUADRADO

O

A B

a= r

L

C

LLh

60°°°°

43LA

2=

23Lh =

R

.h31r = .h

32R =

2LA =2Ld =

O

A B

rR

L

CD

L

L

L

.L21r =

22LR =

GEOMETRIA ESPACIAL

O volume de uma pirâmide reta, cuja base O volume de uma pirâmide reta, cuja base éé a face de um a face de um cubo de aresta 12cm, cubo de aresta 12cm, éé igual a um nono do volume desse igual a um nono do volume desse cubo. A altura dessa pirâmide cubo. A altura dessa pirâmide éé: :

12

12

1212

12

hSV B ⋅=1 32

hSV B ⋅=

121441 ⋅=V3

1442

hV

⋅=

12 9

1VV ⋅=

9

12144

3

144 ⋅=⋅h

3

12=h cmh 4=

Um cone estUm cone est áá inscrito em um cilindro, como mostra a figura inscrito em um cilindro, como mostra a figura abaixo. Se o cilindro possui 6 cm de diâmetro na ba se e 4 cm abaixo. Se o cilindro possui 6 cm de diâmetro na ba se e 4 cm de altura, a razão entre as de altura, a razão entre as ááreas laterais do cilindro e do cone reas laterais do cilindro e do cone éé::

grSLateral ⋅⋅= πr

h g 54

3

53 ⋅⋅= πLateralSπ15=LateralS

hrSLateral ⋅⋅⋅= π2

ConeCone

CilindroCilindro

432 ⋅⋅⋅= πLateralSπ24=LateralS

ππ

15

24

=ConeLeteral

CilindroLateral

S

S 3÷

3÷

5

8

=ConeLeteral

CilindroLateral

S

S

Duas esferas de ferro estão sobre uma mesa encostad as Duas esferas de ferro estão sobre uma mesa encostad as uma na outra (tangente exteriormente). As esferas t ocam uma na outra (tangente exteriormente). As esferas t ocam (tangenciam) a mesa nos pontos P e Q. Se o raio de uma (tangenciam) a mesa nos pontos P e Q. Se o raio de uma delas delas éé 16 cm e a 16 cm e a áárea da superfrea da superf íície esfcie esf éérica da outra rica da outra éé de de 324324ππππππππ cmcm 22, então, a distância PQ , então, a distância PQ éé::

P

ππ 3244 2 =Rr

Q

16

24 RSEsférica π=

4

3242 =R

812 =R9=R

257

x49625 2 += x

2576 x=24=x

9

TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A

B

C

a

b

c

a2 = b2 + c2

⍺⍺⍺⍺

=sen ⍺⍺⍺⍺ ca

=cos ⍺⍺⍺⍺ ba

ββββ

=tg ⍺⍺⍺⍺ cb

⍺ + + ββββββββ = 90= 90°°

cateto oposto hipotenusa

sen =

cateto adjacentehipotenusa

cos =

cateto oposto tg =

cateto adjacente

=sen ββββ ba

=cos ββββ ca

=tg ββββ bc

sen ⍺⍺⍺⍺ = cos ββββSe ⍺ + + ββββββββ = 90= 90°°

sen sen ⍺ = cos ββββββββ

EXEMPLOS: EXEMPLOS:

sen 30sen 30 °°= cos 60°sen 10°= cos 80°

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUERTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER

AAAA

CCCC

BBBB

cc

aabb

aasen Asen A == 2R2R

LEI DOS SENOSLEI DOS SENOS

bbsen Bsen B ==

ccsen Csen C

==

O

A B

R

CCCC

R

LEI DOS COSSENOSLEI DOS COSSENOS

aa22 = b= b22 + c+ c2 2 –– 2.b.c. (cos Â)2.b.c. (cos Â)

SENO+ 1

+ +__

COSSENO

+ 1– 1

+

+

_

_

TANGENTE

+

+

_

_

1) sen2 x + cos2 x = 1 � Relação fundamental

2) tg x = sen x

cos x� (cos x ≠ 0)

3) cotg x = cos x

sen x� (sen x ≠ 0)=

1

tg x

4) sec x = 1

cos x� (cos x ≠ 0)

5) cosec x = 1

sen x � (sen x ≠ 0)

– 1

[–2, 0]4ππππℝℝℝℝy = - 1 + sen (x/2)

[-1, 3]2ππππ/3ℝℝℝℝy = 1 + 2cos (3x + ππππ/2)

[–3, 1]2ππππℝℝℝℝy = –1 + 2sen (x + ππππ/2)

[–2, 4]ππππℝℝℝℝy = 1 + 3sen (2x)

2ππππ

2ππππ

2ππππ

2ππππ

2ππππ

Período

[2, 4]ℝℝℝℝy = 3 + cos (x)

[–1, 1]ℝℝℝℝy = cos (x)

[4, 8]ℝℝℝℝy = 6 + 2 sen (x)

[1, 7]ℝℝℝℝy = 4 + 3sen (x)

[–1, 1]ℝℝℝℝy = sen (x)

ImagemDomínioFunção

f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x

ANÁLISE COMBINATÓRA

USA TODOS ELEMENTOS

NÃO USA TODOS ELEMENTOS

PERMUTAÇÃO

ARRANJO

COMBINAÇÃO

IMPORTA ORDEM

NÃO IMPORTA ORDEM

Pn = n!p)!(n

! np

nA

−=

p!p)!(n

! np

nC

−=FORMULÁRIO

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES

POLINOMIAIS

Determine o resto da divisão do polinômio 3x 3 + 8x2 + 32 por x + 3.

D(x) = x + 3P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 x + 3 = 0x = - 3

raiz do divisorP(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32

P(-3) = - 81 + 72 + 32

P(-3) = 23

As raízes da equação x 3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz dessa equação é:

x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0

raízes em P.A.

+==

−=

rxx

xx

rxx

3

2

1

−=

−=++

aaaa

dddd3333.

x.x.x.x2222.

x.x.x.x1111xxxx

aaaa

bbbb3333xxxx2222xxxx1111xxxx

Relações de Girard

x – r + x + x + r = 9

3x = 9

x = 3

1 -9 23 -153

1

+

- 6 5 0

x2 – 6x + 5 = 0

x’ = 1 x’’ = 5

Solução: S = {1, 3, 5}