Distribuições amostrais

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

Disciplina: 221171

1

• Devido a natureza aleatória envolvida num procedimento amostral(AAS), não podemos garantir que repetições de amostrasproduzam sempre resultados idênticos.

• Então, ao coletarmos uma amostra, não podemos preverantecipadamente seu resultado, ou seja, todas as quantidadesassociadas à amostra terão caráter aleatório e portanto, devem recebertratamento probabilístico.

2

Para definirmos corretamente a amostra, quando a população é caracterizada por uma distribuição de probabilidade, precisamos que esta

amostra seja aleatória

Definição:

Uma amostra aleatória simples de tamanho n, de uma variávelaleatória X (população), é aquelas cujas n observações

X1, X2, ..., Xn

são independentes e identicamente distribuídas.

Definição: População é a:

_ função de probabilidade, no caso discreto, ou _função densidade de probabilidade, no caso contínuo,

de uma variável aleatória X, que modela uma característica de interesse.

3

Definição

Qualquer valor calculado com base nos elementos de uma amostra é chamado uma estatística. Ou seja,

Dada uma amostra aleatória (X1, X2, ..., Xn ), uma estatística T é uma função da amostra: T = f(X1, X2, ..., Xn)

Exemplos:

Média amostral: ;

Variância amostral: ;

Menor valor da amostra: X(1) = min(X1, X2, ..., Xn );

Maior valor da amostra: X(n) = máx(X1, X2, ..., Xn ); etc.

Logo, como uma estatística T é uma função das variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn , podemos dizer que T é uma variável aleatória.

n

iiX

nX

1

1

2

1

2 )(1

1XX

nS

n

ii

4

OBS:

Na prática, em particular na experimentação, a amostragem é feita

sem reposição, o que acarreta perda da independência; porém, para

populações grandes, os resultados (propriedades) importantes para a

inferência podem ser considerados equivalentes.

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No processo de inferência (estimação de parâmetros e teste de hipótese) é fundamental o conhecimento das distribuições dos estimadores, as quais

denominamos distribuições amostrais.

A partir dessas distribuições é que é determinada a precisão das estimativas.

Elas dependem da forma com a amostra é selecionada. Contudo, trataremos apenas do caso de amostra aleatória simples.

A principal preocupação numa inferência estatística é obter conclusõessobre a população.

Com a média de uma amostra extraída de uma população será estimada amédia dessa população.

Entretanto, de uma mesma população pode-se tomar muitas amostrasdiferentes do mesmo tamanho.

O parâmetro média da população é um valor único e desconhecido.

A estatística média da amostra é um valor conhecido, porém pode variar de amostra para amostra.

Com as médias das amostras, é possível construir a distribuição de freqüências das médias das amostras, denominada distribuição

amostral da média, cuja média denomina-se média amostral e seu desvio padrão é chamado de erro padrão ou erro amostral.

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Definição:Uma distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de uma

estatística da amostra que é formada quando TODAS as possíveis amostras de tamanho n são retiradas de uma população.

Por exemplo: Se a estatística da amostra é sua média, temos

então uma distribuição amostral de médias das amostras.

População (com )

Amostra 1, x1

Amostra 5, x5

Amostra 2, x2

Amostra 4, x4

Amostra 3, x3

Os valores das estatísticas, calculados nas amostras, vão formar uma nova população (de médias, de variâncias, de proporções), cuja distribuição recebe o nome de distribuição amostral (de médias, de variâncias, de proporções, etc).

7

Como o valor do verdadeiro diâmetro médio por fruto é desconhecido, responderemos à pergunta através do estudo de como se distribuem os

possíveis valores da variável aleatória X, os quais dependem do tamanho da amostra e da variabilidade na população.

O pesquisador está interessado em avaliar o diâmetro médio (), por planta, da cultivar de tomate italiano.

“o valor do diâmetro médio por planta ( x ), numa amostra de 10 plantas, vai ser próximo do verdadeiro diâmetro médio referente a todos os frutos de tomate italiano de mesma idade?”

8

Suponha uma população de 200 tomates italianos com 50 dias, em queforam avaliados os diâmetros, em mm, de cada tomate.

Exemplo 1

9

63.17 50.89 61.57 52.66 60.22 57.67 58.17 60.86 64.45 58.9762.09 63.03 60.15 58.37 53.93 67.10 63.71 55.45 61.45 62.4366.98 57.81 55.87 60.11 59.81 59.16 51.59 61.96 58.92 61.2554.91 60.69 54.94 63.65 59.14 58.59 53.29 52.99 59.21 60.2168.79 62.25 59.09 66.54 68.38 62.34 67.06 62.00 60.27 64.5161.73 66.05 62.98 60.24 60.81 64.05 63.18 60.35 56.53 57.7753.72 62.64 61.33 67.39 62.07 59.91 58.06 60.76 58.55 66.1456.26 64.49 55.50 60.32 66.71 56.39 67.71 63.33 55.44 59.7560.25 56.86 57.18 65.67 61.54 63.63 58.46 57.28 56.74 60.0959.99 58.30 57.09 65.83 54.87 64.65 53.65 61.18 65.24 51.64

a) Obtenha uma amostra aleatória simples de tamanho n=10.

b) Calcule a média amostral dessa amostra obtida no item a).

Exemplo 1

No R:set.seed(21)a<- round(matrix(rnorm(200,mean=60, sd=4), ncol=10, nrow=10),2)amostra1 = sample(a, 10); amostra1[1] 63.33 57.81 60.25 63.18 60.86 55.44 57.67 66.05 65.67 63.71

No R:mean(amostra1)[1] 61.397

10

Como se distribuem os possíveis valores da variável aleatória X, os quais dependem do tamanho da amostra e da

variabilidade na população?

Como o valor do verdadeiro diâmetro médio por fruto é desconhecido (), responderemos à pergunta através do estudo:

“o valor do diâmetro médio por fruto ( x ), numa amostra de 10 frutos, vai ser próximo

do verdadeiro diâmetro médio referente a todos os frutos de

tomates do tipo italiano?”

amostrax = 61,40mm

= ?

11

c) Quantas amostras distintas de tamanho 10 é possível retirar dessa população de tomates italianos?

Amostra 1 2 ... 2,24511016

x

16

10

10,20010,200 102451,2

10

200

)!10200(!10

!200

P

AC Amostras distintas

de tamanho 10.

d) Calcule a média de TODAS as possíveis amostras obtidas de tamanho 10:

e) Calcular a média e a variância dessas amostras:

Ou seja, das 2,24511016 médias.

Exemplo 2

Considere a seguinte população {1,3,5,7}. Seja X a v.a. do valor assumido por um elemento sorteado ao acaso dessa população.

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a) Considere todas as possíveis amostras de tamanho n=2 com reposição dessa população. Seja X1 a v.a. número selecionado na 1.a extração e X2, a v.a. do

número selecionado na 2.a extração.

a.1) Quantas amostras distintas de tamanho 2 podemos tirar dessa população?

a.2) Obtenha a distribuição amostral da estatística:

a.3) Faça um gráfico da distribuição amostral das estatísticas.

a.4) Calcule a média e a variância da estatística

X

X

b) Obtenha a distribuição de X, obtenha a média e a variância populacional.

Amostra(x1, x2)

Probabilidade

(1; 1) 1 1/16

(1; 3) 2 1/16

(1; 5) 3 1/16

(1; 7) 4 1/16

(3; 1) 2 1/16

(3; 3) 3 1/16

(3; 5) 4 1/16

(3; 7) 5 1/16

(5; 1) 3 1/16

(5; 3) 4 1/16

(5; 5) 5 1/16

(5; 7) 6 1/16

(7; 1) 4 1/16

(7; 3) 5 1/16

(7; 5) 6 1/16

(7; 7) 7 1/16

221 XX

X

X P(X = x)

1 1/16

2 2/16

3 3/16

4 4/16

5 3/16

6 2/16

7 1/16

Total 1

13

Tarefa 2

Considere a seguinte população {1,3,5,7}. Seja X a v.a. do valor assumido por um elemento sorteado ao acaso dessa população.

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a) Considere todas as possíveis amostras de tamanho n=3 com reposição dessa população. Seja X1 a v.a. número selecionado na 1.a extração; X2, a v.a. do número

selecionado na 2.a extração; e X3, a v.a. do número selecionado na 3.a extração.

a.1) Quantas amostras distintas de tamanho 3 podemos tirar dessa população?

a.2) Obtenha a distribuição amostral da estatística:

a.3) Faça um gráfico da distribuição amostral das estatísticas.

a.4) Calcule a média e a variância da estatística

X

3321 XXX

X

b) Obtenha a distribuição de X, obtenha a média e a variância populacional.

a) Distribuição amostral da média

n

iiX

nX

1

1Se amostras aleatórias de tamanho n forem tomadas de uma população com

média e desvio padrão , então a distribuição amostral de , terá:

)(XEX1)

2)nn

XVar XX

2

2 )(Se o tamanho da amostra cresce o

desvio padrão da média (erro padrão da média) amostral decresce.

3)

nNXNX

22 ,~),(~

Se a população original tem distribuição Normal, então X também

tem distribuição Normal, ou seja:

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Se a população original tem uma distribuição QUALQUER com média e variância 2, para n “suficientemente grande”

(na prática, quando n > 30), então:

Teorema do Limite Central

nNX

XVar

XE a 2

2,~

)(

)(

Onde significa aproximadamente distribuído.a

~

16

SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,3831,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4892,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,4993,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,50003,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,50004,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

Exercício 1Seja X a v.a. peso de um saco de adubo

com média 59,6kg. Dadas as condições do processo mecânico de ensacamento, sabe-

se que a máquina coloca em cada saco uma quantidade X de adubo com variância 0,36kg2. Calcular a probabilidade do peso

médio X de uma amostra aleatória de tamanho n = 36 sacos de adubo:

a) Ser menor do que 60kg? P(X < 60) = ?

b) Estar entre 59,4 e 60kg?

c) Ser maior do que 59,9kg?

Obter x tal que:

d) P(X < x ) = 0,985

e) P(X < x ) = 0,975 zc0Z

p

p = P(0 < Z < zc)

17Resposta:a) 0,9999; b) 0,9772; c) 0,0014; d) 59,8170 kg; e) 59,7960 kg.

Erro padrão da média

Suponha que TODAS as possíveis amostras de tamanho n são retiradas de uma população X e que em cada amostra seja calculada (estimada) a

média. Se for computado o desvio padrão da população formada por TODAS as estimativas de médias obtidas, o valor encontrado é conhecido

como erro padrão da média.

nX

X

Em geral, não conhecemos !E ae?

O erro padrão da média é uma medida da dispersão das médias amostrais em torno da média populacional.

n

ss XX

As razões da necessidade do estimador são:

a) Não se conhece, em geral, o desvio padrãopopulacional;

b) Na maioria das situações reais não épossível retirar todas as amostras demesmo tamanho de uma população;

c) Em geral, apenas uma amostra é extraídada população.

18

• Quanto menor for o seu valor, mais provável será a chance de obter a média da amostra nas proximidades da média populacional;

• Quanto maior for, menos provável se torna esse evento

Generalizando:TODO estimador possui um erro padrão peculiar definido pelo desvio padrão da

distribuição amostral de todas as estimativas obtidas das possíveis amostras, de tamanho n,

extraídas da população de referência.

O erro padrão é uma característica de todo estimador.

O erro padrão fornece um mecanismo de medir a precisão com que a média populacional foi estimada.

n

ss XX

19

Desvio padrão

Erro padrão

b) Distribuição amostral da proporção

Seja p a proporção das unidades de uma população que possuem uma certa

característica (proporção de “sucessos”).

Se amostras aleatórias de tamanho n forem tomadas de uma população com

proporção p, então a distribuição amostral de é um estimador sem viés de p.n

xp ˆ

ppEp )ˆ(ˆ1)

2)n

pp

n

pppVar pp

)1()1()ˆ( ˆ

2ˆ

Se o tamanho da amostra cresce o desvio padrão da proporção amostral

decresce.

3)

n

pppNp

a )1(,~ˆ

Se a população original tem distribuição QUALQUER, para n suficientemente grande

(n 30), então terá distribuição aproximadamente Normal:

p̂20

Exercício 2

Uma amostra aleatória de 200 visitantes foi tomada. Destas, uma proporção de 37% dos

visitantes de um parque favorecem a cobrança de taxas de entrada.

a) Qual a probabilidade que na amostra de 200 visitantes pelo menos 40% sejam favoráveis a cobrança de taxas?

(Resposta: 0,18943)

b) Qual a probabilidade que na amostra de 200 visitantes, a proporção dos que sejam a favor da cobrança de taxas fique entre 35 e 39%?

(Resposta: 0,44480)

c) Uma nova amostra de 10 visitantes foi tomada. Qual a probabilidade de que pelo menos 50% dos visitantes na amostra sejam a favor da cobrança de taxas? É válido utilizar o mesmo método utilizado em (a) e (b)? Por que?

SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,3831,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4892,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,4993,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,50003,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,50004,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

21

Gráfico de Controle

São representações que permitem um controle estatístico sobre processos de produção. De modo bem simples e resumido, apresentamos o gráfico da

média.

Em uma linha de produção, tomamos diariamente amostras de n itens ecalculamos média e o desvio padrão da média. Mesmo que as medidasdesses itens não tenham distribuição normal, X, como já vimos,terão distribuição aproximadamente normal.

O gráfico de controle da média X da amostra de tamanho n é feito marcando-se,nas ordenadas, os valores X e, nas abscissas, o número de ordem das amostras oudas datas que foram retiradas.

Aos limites de confiança corresponderão retas horizontais, com os significados:

+ 3,0 x : Limite Superior (LS): Linha Média (LM)

– 3,0 x : Limite Inferior (LI)22

Amostras

Quando o processo está sob controle, 99,7% dos pontos deverão estar na zona grafada, havendo uma pequena probabilidade de

aproximadamente 0,3% de se encontrarem fora da zona de controle.

Logo, a existência de pontos na zona externa mostra uma ausência de controle, exigindo ação corretiva.

x

x 3

x 3

LS

LI

LM

(o número de ordem ou das datas que foram retiradas)

23

Qual a população a ser amostrada?

Como obter a amostra? Precisamos de uma amostra homogênea!

Que informações pertinentes serão retiradas da amostra?

Como se comportam as estatísticas quando o mesmoprocedimento de escolher a amostra é usado numa populaçãoconhecida?

Em RESUMO,

É necessário, sempre que iremos selecionar uma amostra, considerar asperguntas:

24