Aula_3 (2)
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Projeto de Sistemas de Controle - Mtodo do Lugar das Razes 7.1. Introduo
7.2. Consideraes Preliminares do Projeto
7.3. Compensao por Avano de Fase
7.4. Compensao por Atraso de Fase
Prof. Andr Marcato
Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno Quarta Edio Editora Pearson Prentice Hall Autor: Katsuhiko OGATA
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Aula 3
So dispositivos inseridos no sistema com a
finalidade de satisfazer determinadas
especificaes. Exemplos:
Compensador de avano de fase
Compensador de atraso de fase
Compensador de atraso e avano de fase
Controladores PID
Os sistemas de controle so projetados para
realizar tarefas que atendam restries. Estas
restries so dadas pelas especificaes de
desempenho. Exemplos:
Mximo sobre-sinal
Tempo de acomodao da resposta ao degrau
Erro estacionrio numa entrada em rampa
Preciso
Estabilidade relativa
Velocidade de resposta
Introduo
Especificaes de desempenho
Projeto pelo mtodo do lugar das razes
Compensao de Sistemas
Compensao em Srie e Paralelo
Compensadores
Procedimentos de Projeto
Pelo mtodo tentativa e erro, estabelece-se um modelo matemtico para
o sistema de controle e ajusta-se os parmetros do compensador.
Etapa que mais consome tempo: Verificao do desempenho. Anlise atravs do MATLAB a cada vez que os parmetros so ajustados.
Prottipo
Teste do sistema em malha aberta
Se a estabilidade absoluta do sistema em malha fechada estiver assegura, fecha-se a malha e realiza-se novo teste
O desempenho real geralmente diverge do projetado teoricamente devido no-linearidades, efeito de carga entre componentes,
parmetros distribudos, etc.
Alteraes no prottipos e novos testes.
Dispositivo fsico com funo de transferncia projetada para
atender determinadas configuraes de desempenho. Podem ser
dispositivos eletrnicos (AmpOp); redes RC eltricas, mecnicas, pneumticas, hidrulicas ou combinao destas;
amplificadores. A escolha da tecnologia depende do tipo da planta
(ex. existncia de risco de exploso).
Redesenhar o lugar das razes do sistema pela
adio de plos e zeros na funo de
transferncia de malha aberta, forando o novo
lugar das razes a passar pelos plos de malha
fechada desejados no plano s.
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Aula 3
Consideraes Preliminares do
Projeto
Modificao da dinmica da planta apesar de ser simples, as vezes no possvel em situaes prticas (a planta pode ser fixa e no permitir modificaes.
Nesta apresentao, sero abordadas modificaes pela insero de um compensador.
A compensao fica reduzida ao projeto de um filtro, cujas caractersticas tendem a compensar os efeitos indesejveis e inalterveis da planta.
Compensadores srie por avano; por atraso; por atraso e avano(sees 7.3 a 7.5). Problema: Escolha criteriosa dos plos e zeros do compensador Gc
Tcnica de compensao paralelo (seo 7.6.)
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Aula 3
Mtodo do Lugar das Razes (LR)
O grfico do LR pode indicar no ser possvel alcanar o desempenho desejado apenas pelo ajuste do ganho.
Para alcanar as especificaes de desempenho pode ser necessrio redesenhar o LR a partir da insero de um compensador apropriado.
Aps o estudo do efeito da adio de plos e/ou zeros no LR, pode-se determinar a localizao dos plos e/ou zeros do compensador que vo remodelar o LR conforme desejado.
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Aula 3
Efeitos da Adio de Plos
A adio de um plo funo de transferncia de malha aberta, tem o efeito de deslocar o LR para direita.
Diminuio da estabilidade relativa
Acomodao da resposta fica mais lenta
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Efeitos da Adio de Zeros
Desloca o LR para a esquerda
Sistema fica mais estvel
Acomodao da resposta mais rpida
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Reviso Captulo 3
Seo 3.8
Sistemas Eltricos e Eletrnicos
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Aula 3
Sistemas Eltricos e
Eletrnicos
Leis de Kirchhoff das correntes e
tenses
Um modelo matemtico de um
circuito eltrico pode ser obtido pela
aplicao de uma ou ambas as Leis
de Kirchhoff
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Aula 3
Circuito RLC
Aplicando Laplace (condies iniciais nulas): Funo de Transferncia
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Aula 3
Representao no Espao de Estados
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Aula 3
Funo de Transferncia de
Elementos em Cascata(1)
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Aula 3
Funo de Transferncia de
Elementos em Cascata(2)
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Aula 3
Funo de Transferncia de
Elementos em Cascata(3)
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Aula 3
Impedncias Complexas (1)
Para obter as funes de transferncia de circuitos eltricos,
possvel escrever diretamente a transformada de laplace das
equaes, sem a necessidade de escrever as equaes diferenciais.
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Impedncias Complexas (2)
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Impedncias Complexas Exemplo (1)
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Aula 3
Exemplo 3.10. (1)
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Exemplo 3.10. (2)
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Aula 3
Exemplo 3.10. (3)
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Aula 3
Funes de Transferncia de
Elementos sem Carga em Cascata
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Exemplo (1)
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Exemplo (2)
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Controladores Eletrnicos
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Amplificadores Operacionais (1)
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Amplificadores Operacionais (2)
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Aula 3
Amplificadores Operacionais (3)
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Amplificador Inversor (1)
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Aula 3
Amplificador Inversor (2)
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Aula 3
Amplificador No-Inversor
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Exemplo 3.11. (1)
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Aula 3
Exemplo 3.11. (2)
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Aula 3
Uso da Impedncia para Obteno
das Funes de Transferncia (1)
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Uso da Impedncia para Obteno
das Funes de Transferncia (2)
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Aula 3
Exemplo 3.12. (1)
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Aula 3
Exemplo 3.12. (2)
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Aula 3
Redes de Avano ou Atraso Com
Amplificadores Operacionais
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Aula 3
Circuito Operacional Utilizado Como
Compensador de Avano ou Atraso (1)
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Circuito Operacional Utilizado Como
Compensador de Avano ou Atraso (2)
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Aula 3
Circuito Operacional Utilizado Como
Compensador de Avano ou Atraso (3)
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Aula 3
Controlador PID com Amplificadores
Operacionais (1)
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Aula 3
Controlador PID com
Amplificadores Operacionais (2)
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Aula 3
Controlador PID com Amplificadores
Operacionais (3)
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Aula 3
Controlador PID com Amplificadores
Operacionais (4)
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Aula 3
Controlador PID com Amplificadores
Operacionais (5)
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Aula 3
Circuitos Operacionais que podem ser
Utilizados como Compensadores (1)
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Aula 3
Circuitos Operacionais que podem ser
Utilizados como Compensadores (2)
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Aula 3
Circuitos Operacionais que podem ser
Utilizados como Compensadores (3)
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FIM DA REVISO
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Aula 3
Compensao por Avano de Fase (1)
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Aula 3
Compensao por Avano de Fase (2)
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Aula 3
Compensao por Avano de Fase (3)
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Aula 3
Tcnicas de Compensao (1)
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Aula 3
Tcnicas de Compensao (2)
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Aula 3
Exemplo 7.1. (1)
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Aula 3
Exemplo 7.1. (2)
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Aula 3
Exemplo 7.1. (3)
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Aula 3
Exemplo 7.1. (4)
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Dado que a FT de malha aberta do sistema original G(s), a FT de malha
aberta do sistema compensado ser:
Existem muitos valores para T e a que
resultaro na contribuio angular desejada
aos plos de malha fechada.
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Aula 3
Exemplo 7.1. (5) Procedimento para obter o maior possvel valor de a
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1. Trace uma reta horizontal passando por P. Reta PA
2. Trace uma reta conectando o ponto P a origem.
3. Trace a bissetriz PB do ngulo entre as retas PA e PO
4. Desenhe duas retas PC e PD que formem ngulos f/2 com a reta PB
5. As intersees de PC e PD com o eixo real negativo fornecem as
localizaes necessrias para o plo e o zero da rede de avano de
fase.
6. O ganho de malha aberta ser determinado pela condio de mdulo
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Aula 3
Exemplo 7.1. (6)
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Aula 3
Exemplo 7.1. (7)
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Aula 3
Exemplo 7.1. (8)
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Aula 3
Exemplo 7.1. (9)
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Aula 3
Exemplo 7.1. (10)
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Aula 3
Compensao por Atraso de Fase (1)
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Aula 3
Compensao por Atraso de Fase (2)
Foi utilizado b no lugar de a
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Aula 3
Compensao por Atraso de Fase (3)
Esta tcnica utilizada quando o sistema apresenta caracterstica de:
1. Resposta transitria satisfatrias
2. Regime permanente insatisfatrias
A compensao consiste em aumentar o ganho de malha aberta, sem alterar as relevantemente a resposta transitria
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Compensao por Atraso de Fase (4)
O LR nas proximidades do plos dominantes de malha fechada no deve ser modificado significativamente, mas o ganho de malha aberta deve ser aumentado o quanto necessrio
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Aula 3
Compensao por Atraso de Fase (5)
Para evitar uma modificao considervel no LR, a contribuio angular da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno (geralmente, em torno de 5%).
Plo e zero da rede de atraso prximos um do outro e prximos a origem do plano s.
Com isto, os plos de malha fechada do sistema compensado sero apenas um pouco deslocados das posies originais.
As caractersticas transitrias sero apenas um pouco alteradas.
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Aula 3
Compensao por Atraso de Fase (6)
Se o plo e zero do compensador estiverem muito prximos e considerando que um dos plos dominantes seja s = s1, os mdulos de
________________ sero quase iguais:
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Compensao por Atraso de Fase (7)
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Aula 3
Compensao por Atraso de Fase (8)
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Aula 3
Procedimento de Projeto (1)
1. Desenhe o LR do sistema no compensado e localize os plos dominantes de malha fechada sobre o LR.
2. Suponha que a FT do compensador de atraso de fase seja:
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Aula 3
Procedimento de Projeto (2)
3. Calcule a particular constante de erro esttico especificada no problema.
4. Determine o acrscimo no coeficiente de erro esttico necessrio.
5. Determine o plo e zero do compensador que produzam o aumento necessrio no valor de erro esttico, sem modificar o LR.
6. Desenhe o novo LR e posicione os plos dominantes de malha fechada.
7. Ajuste o ganho Kc do compensador.
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Exemplo 7.2. (1)
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Aula 3
Exemplo 7.2. (2) - LR
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Aula 3
Exemplo 7.2. (3) Plos Dominantes Malha Fechada
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Aula 3
Exemplo 7.2. (4) - Objetivos
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Aula 3
Exemplo 7.2. (5)
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Aula 3
Exemplo 7.2. (6)
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Aula 3
Exemplo 7.2. (7)
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Aula 3
Exemplo 7.2. (8)
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Aula 3
Matlab 7.2.
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Aula 3
Exemplo 7.2. (9)
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Aula 3
Exemplo 7.2. (10)
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Aula 3
Exemplo 7.2. (11)
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Aula 3
Matlab
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Aula 3
Exemplo 7.2. (12)
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Aula 3
Matlab
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Aula 3
Exemplo 7.2. (13)
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Aula 3
Compensao por Avano e Atraso (1)
Compensao por Avano de Fase:
Aumenta a velocidade de resposta bem como a estabilidade do sistema
Compensao por Atraso de Fase
Melhora a preciso do sistema em regime permanente mas diminui a velocidade de resposta
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Compensao por Avano e Atraso (2)
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Compensao por Avano e Atraso (4)
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Compensao por Avano e Atraso (5)
T1
T1 g
T2
T2 b
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Compensao por Avano e Atraso (6)
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Compensao por Avano e Atraso (7)
Consideram-se dois casos:
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Compensao por Avano e Atraso (8)
a combinao de um projeto de avano e um projeto de atraso (procedimentos vistos anteriormente)
1. Com base nas especificaes de desempenho, determine a localizao desejada dos plos dominantes
2. Determine a deficincia angular f
3. Determine T1 e g partir de f. Em seguida, determine Kc para atender a condio de mdulo. Suponha que num passo posterior, ser escolhido um T2 de forma que o mdulo para parte de atraso de fase seja igual a unidade.
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Compensao por Avano e Atraso (9)
4. Se a constante de erro Kv tiver sido especificada, determine o valor de b que a satisfaa. Com o valor de b assim calculado, determine o valor de T2 de tal forma que a variao angular seja pequena e o mdulo da etapa de avano seja 1.
J foram especificados no passo 3.
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Compensao por Avano e Atraso (10)
1. Com base nas especificaes de desempenho, determine a localizao desejada dos plos dominantes
2. Equao modificada para:
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Compensao por Avano e Atraso (11)
3. Determine a contribuio angular f para a poro de avano de fase do controlador.
4. Determine o valor de T2 de modo que a poro de atraso de fase do controlador tenha mdulo 1 e determine os valores de T1 e b de acordo com as equaes abaixo
5. Com o valor de b determinado, calcule o valor de T2 para que a poro de atraso do controlador tenha mdulo 1 e sua influencia angular seja pequena.
O Valor de bT2 no deve ser muito grande para
que seja fisicamente realizvel.
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Exemplo 7.3. (1)
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Aula 3
Objetivos:
Exemplo 7.3. (2)
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Aula 3
Exemplo 7.3. (3)
f Parte de avano do compensador de
fase deve contribuir com 55o
Existem diversas possibilidades de escolha para o plo e zero da poro de avano do compensador. Neste exemplo ser escolhido o
ponto -0,5 para posicionar-se o zero (pois desta forma, ele coincide
com um plo do sistema original).
Por um clculo atravs de anlise grfica, verifica-se que o plo deve situar-se em 5,021.
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Aula 3
Exemplo 7.3. (4)
Clculo de Kc com base na condio de mdulo:
Determina-se o valor de b para satisfazer a constante de erro esttico de velocidade:
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Aula 3
Exemplo 7.3. (5)
Escolhe-se valor de T2 de tal modo que:
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Aula 3
Exemplo 7.3. (6)
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Aula 3
Exemplo 7.3. (7)
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Aula 3
Exemplo 7.3. (8) Grfico do Lugar das Razes do Sistema Compensado
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Aula 3
Exemplo 7.3. (9) LG Prximo a Origem
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Aula 3
Exemplo 7.3. (10) Resposta ao Degrau
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Aula 3
Exemplo 7.3. (11) Resposta Rampa
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Aula 3
Exemplo 7.4. (1)
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Aula 3
Exemplo 7.4. (2)
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Aula 3
Exemplo 7.4. (3)
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Aula 3
Exemplo 7.4. (4)
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Aula 3
Exemplo 7.4. (5)
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Aula 3
Exemplo 7.4. (6)
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Aula 3
Exemplo 7.4. (7)
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Aula 3
Exemplo 7.4. (8)
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Aula 3
Compensao em Paralelo
O controlador (ou compensador) fica na malha interna
O projeto fica mais complicado?
No! Pois a equao caracterstica pode ser reescrita de forma que fique da mesma forma da equao caracterstica do sistema compensado em srie.
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Princpio Bsico de um Sistema
Compensado em Paralelo
Compensao em Srie
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Princpio Bsico de um Sistema
Compensado em Paralelo
Compensao em Paralelo
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Aula 3
Princpio Bsico de um Sistema
Compensado em Paralelo
Gf
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Aula 3
Exemplo 7.5. (1)
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Aula 3
Exemplo 7.5. (2)
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Aula 3
Exemplo 7.5. (3)
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Aula 3
Exemplo 7.5. (4)
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Aula 3
Exemplo 7.5. (5)
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Aula 3
Exemplo 7.5. (6)
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Aula 3
Exemplo 7.5. (7)
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Exemplo 7.5. (8)
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Aula 3
Exemplo 7.5. (9)
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Exemplo 7.5. (10)