Aula24 filtros digitais

FiltrosFiltros DigitaisDigitais

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Sistemas e SinaisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Departamento de Engenharia Elétrica

Filtros Digitais

O processo de filtragem de sinais pode ser realizadodigitalmente, na forma esquematizada pelo diagramaapresentado a seguir:


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Filtros Digitais

O bloco conversor A/D converte o sinal de tempocontínuo x(t) em uma sequência x[n]. O filtro digitalprocessa a sequência x[n], resultando em outra sequênciay[n], que representa o sinal filtrado na forma digital. Estesinal y[n] é então convertido para um sinal de tempocontínuo por um conversor D/A e reconstruído através deum filtro passa-baixas, cuja saída é o sinal y(t), querepresentará a versão filtrada do sinal x(t).


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Filtros Digitais

Os filtros digitais são caracterizados em duas classes,dependendo da duração da sequência y[n] quandoaplicado em sua entrada um sinal do tipo impulso.

1. Filtros Digitais cuja resposta ao impulso apresentaduração finita (FIR – Finite Impulse Response)

FiltrosFiltros DigitaisDigitais -- FIRFIR

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Filtros Digitais

Estes filtros apresentam a seguinte função detransferência discreta:

que pode ser reescrito como uma função polinomial compotências negativas de z.


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Filtros Digitais

Os filtros do tipo FIR apresentam ainda as seguintescaracterísticas:

memória finita, portanto qualquer transitório temduração limitada; são sempre BIBO estáveis; podem implementar uma resposta em módulodesejada com resposta em fase linear.


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Filtros Digitais

FiltrosFiltros DigitaisDigitais -- IIRIIR

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Filtros Digitais

2. Filtros Digitais cuja resposta ao impulso apresentaduração infinita (IIR – Infinite Impulse Response)

que também pode ser reescrito como uma funçãoracional com potências negativas de z.

FiltrosFiltros DigitaisDigitais -- IIRIIR

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Filtros Digitais

No filtro IIR as características de entrada e saída sãoregidas por equações lineares de diferenças comcoeficientes constantes de natureza recursiva, conformepode se observar na figura a seguir.Observa-se que no diagrama de blocos do filtro IIR, ostermos , k=0,1,…,M , e os termos , j=1,…, N, são ostermos da função de transferência Y(z)/X(z),normalizados pelo termo b0 .

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Filtros Digitais

ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros FIRFIR

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Filtros Digitais

Uma vez que os filtros FIR apresentam resposta emfrequência com fase linear, o projeto deste filtrosresume-se a aproximar a resposta em módulo desejada.Admitindo h[n] como sendo a resposta ao impulso de umfiltro FIR, sendo H(ejΩ) a transformada discreta deFourier de h[n]. Uma vez definida a ordem do filtro, porexemplo M, deve-se então determinar os ak , k=0,1,…,M,coeficientes do filtro.


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Filtros Digitais

O objetivo na determinação dos coeficientes é que H(ejΩ)forneça uma boa aproximação de Hd(ejΩ), que é a funçãoresposta em frequência desejada ao longo do intervalo defrequências –π < Ω ≤ π. Uma forma de avaliar aqualidade desta aproximação é através do erro médioquadrático entre hd[n] e h[n], ou seja:

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Filtros Digitais

Os únicos parâmetros ajustáveis na equação anterior sãoos coeficientes do filtro H(ejΩ), ak , k=0,1,…,M, sendo amedida do erro minimizada fazendo



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Filtros Digitais

A relação apresentada anteriormente equivale ao uso deuma janela retangular definida por

portanto

que conhecido como o método da janela.


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Filtros Digitais

DTFT


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Filtros Digitais

A convolução de W(ejΩ) com Hd(ejΩ) resulta em umaaproximação oscilatória da função resposta emfrequência desejada por H(ejΩ) do filtro FIR. Taisoscilações podem ser reduzidas modificando-se a janelaa ser utilizada.

RespostaResposta emem frequênciafrequência dada janelajanela retangularretangular..

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Filtros Digitais


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Filtros Digitais

Uma janela comumente utilizada é a janela de Hamming,definida por

CaracterísticaCaracterística dada janelajanela de Hammingde Hamming

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Filtros Digitais

RespostaResposta de de frequênciafrequência das das duasduas janelasjanelas

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Filtros Digitais


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Filtros Digitais

Pelo apresentado nas curvas de resposta em frequênciadas duas janelas conclui-se: o lóbulo principal da janela retangular temaproximadamente a metade da largura do lóbuloprincipal da janela de Hamming; a magnitude dos lóbulos laterais da janela deHamming são bem mais reduzidos se comparadoscom o da janela retangular.

ExemploExemplo 8.5:8.5:

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Filtros Digitais

Considere a resposta em frequência desejada

que representa a função resposta em frequência de umfiltro passa baixas ideal, com fase linear. Avaliar aresposta em frequência para M=12, Ωc=0.2π, sendo:(a) janela retangular e (b) janela de Hamming.

ExemploExemplo 8.15 8.15 -- RespostaResposta

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Filtros Digitais

ExemploExemplo 8.15 8.15 -- RespostaResposta

Filtros Digitais 23

CoeficientesCoeficientes normalizadosnormalizados parapara | | H(H(zz) |) |z=1z=1 = = 11

ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros IIRIIR

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Filtros Digitais

Uma das formas de projetos de filtros digitais do tipoIIR é através da aproximação entre funções detransferências contínuas por funções de transferênciasdiscretas equivalentes. Desta forma, considera-se aseguinte aproximação em tempo discreto da funçãointegração.


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Filtros Digitais


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Filtros Digitais

Aplicando na equação anterior o operador z, obtém-se

implicando na seguinte aproximação


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Filtros Digitais

De forma semelhante pode-se representar z em função des, ou seja

Admitindo s=σ+jω pode-se definir regiões do Plano s esuas regiões equivalentes no Plano z.


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Filtros Digitais

Ou seja:


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Portanto, tem-se:


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Filtros Digitais

Resultando nas seguintes propriedades para este tipo deaproximação:1. O semiplano esquerdo do Plano s é mapeado no

interior do círculo de raio unitário no Plano z;2. O eixo jω é inteiramente mapeado sobre o circulo de

raio unitário do Plano z;3. O semiplano direito do Plano s é mapeado no exterior

do círculo de raio unitário no Plano z.


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Filtros Digitais


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Filtros Digitais

Uma implicação imediata da propriedade 1 é que se ofiltro analógico representado pela função de transferênciaHa(s) for estável e causal, o filtro digital dele derivadoatravés da transformação bilinear será garantidamenteestável e causal.


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Filtros Digitais

Para σ = 0, tem-se Ω = 2 tg-1(ωT/2), concluindo-se que afaixa de frequência -∞ < ω < ∞, é comprimida em umafaixa finita de frequências contida no intervalo –π < Ω < πde um filtro digital. Esta forma de distorção não linear éconhecida como warping.


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Filtros Digitais

Tal distorção de fase pode ser compensada no projeto dofiltro analógico através de um procedimento denominadopré-warping. Especificamente, para as frequênciascríticas (frequências de corte para a faixa de passagem ede rejeição), o procedimento de pré-warping é realizadode acordo com a relação


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Filtros Digitais

Exemplo 8.7: Usando um filtro analógico com umafunção de transferência de Butterworth de ordem 3,projetar um filtro IIR passa baixas com frequência decorte Ωc = 0.2π .

ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros IIRIIR –– CurvaCurva de Magnitudede Magnitude

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Filtros Digitais

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

frequência (Omega)

20*lo

g10

|H(e

( jOm

ega)

)|

ProjetosProjetos de de FiltrosFiltros IIR IIR –– RespostaResposta aoao ImpulsoImpulso

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0 5 10 15 20 25 30-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Tempo n

resp

osta

ao

impu

lso

y[n]

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