To po g r a f i a Ap l i c ada à Ag r o no m ia Ba i t e l l i / Wes chen f e l d e r

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C U R V A S H O R I Z O N T A I S D E C O N C O R D Â N C I A Ligando dois trechos retos de uma estrada, surgem as curvas. Em rodovias ou ferrovias, a curva mais indicada é a circular, isto é, um arco de circunferência. Abordaremos o tipo circular simples, que se constitui em arcos de circunferência. Quase todas as obras de estradas, hidráulicas, etc., necessitam de curvas para ligar alinhamentos retos. O eixo que define a curva nunca passa pelo vértice dos dois alinhamentos, mas sim por um ponto afastado deles. Estrada municipal raio da curva > 30m Estrada nacional ou de certa importância raio da curva > 50m Auto-estrada (somente automóveis) raio da curva > 100m O método de locação das curvas mais utilizado é o das deflexões, mais rápido e mais preciso. O método das deflexões consiste em instalar o teodolito em PC (ponto de curva) e com ele fornecer o alinhamento para locar estaca por estaca da curva. Para isso, calculam-se os ângulos destes alinhamentos com a tangente inicial. As distâncias são medidas com trena, a partir da estaca anterior que já deve ter sido locada. Outros métodos são: Método das Perpendiculares à Tangente baseia-se no cálculo das coordenadas x e y para locar um ponto P na curva a partir de PC. Método da Corda Anterior Prolongada método rústico onde se trabalha apenas com balizas e trenas o que lhe confere uma baixa precisão. Ao se iniciar o estudo, para se saber qual a curva que melhor se adapta ao trecho em questão, utiliza-se um gabarito transparente constituído de uma série de curvas de raios e graus diferentes.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

AB

C

D

E

F

G

H

I80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

Escala 1:4.000 Cordas de 20 m

Raio (R) Grau (G) Ângulo Central (I) 1 80 14°19' A 10° 2 100 11°27' B 20° 3 120 9°33' C 30° 4 140 8°11' D 40° 5 160 7°10' E 50° 6 180 6°21' F 60° 7 200 5°44' G 70° 8 220 5°12' H 80° 9 240 4°46' I 90° 10 260 4°24'

Sobre dois trechos retos que se deseja unir através de uma curva, coloca-se o gabarito e procura-se a curva que melhor se ajuste, ou seja, que una os dois trechos retos o mais suavemente possível. Escolhida a curva, anota-se o grau e o raio da mesma, fornecidos pelo gabarito. Se necessário, interpolar. O uso do gabarito não será necessário caso sejam fornecidos os azimutes inicial e final e também o raio da curva, como veremos mais adiante.

E lementos p r i nc ipa i s de uma cu r va c i r cu la r s imp le s

tg I

2

T

R=

= ×T R tg I

2

PC

PI

Se cada corda compreende um ângu lo cen t ra l G , e a curva toda compreende um ângu lo i gua l a I , o desenvo l v imen - to da cu r va (C ) se rá dado por :

C

d

20 m

R

T

R

I

I

I/2

G

C

I

corda

G=

= ×CI

Gcorda

PT PC Ponto de Curva (ponto de início da curva) PT Ponto de Tangência (ponto de término da curva) PI Ponto de Interseção I Ângulo Central d Ângulo de Deflexão (formado pela tangente com a corda) C Desenvolvimento da Curva (comprimento da curva) G Grau da Curva ou Grau de Curvatura R Raio da Curva T Tangente (distância entre PC e PI que é igual a distância entre PI e PT)

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As curvas são locadas por meio de cordas de 20 metros, cada corda compreendendo um ângulo central denominado grau. Grau é, portanto, (para cada raio) o ângulo central compreendido por uma corda de 20 metros. O grau de curvatura G está diretamente relacionado com o raio R da curva. Uma regra de três simples estabelece esta relação para uma corda de 20 m:

360

2 R

G

20m

°= ⇒ =

πG

3600

Rπ

A curva será locada através de cordas a partir de PC, cordas estas que serão numeradas de 20 em 20 metros. Portanto, PT possuirá um valor que será a soma da numeração do PC mais o número de cordas de 20 metros compreendido no desenvolvimento total da curva (C). Então: PT=PC+C . Tendo-se o valor de PC e calculando-se o valor de C, pode-se obter o valor de PT.

Para se locar uma curva é necessário calcular a deflexão correspondente a cada corda, como na figura ao lado: para cordas de 20 metros, divide-se a corda ao meio e liga-se ao centro, resultando um triângulo retângulo, onde o ângulo vale G/2, e o outro ângulo valerá 90° - d. PC PT

20 m

20 m 20 m

20 m

d d

d

d

R

G/2

corda

T

90° - d

d

Portanto:

a + b + c = 180

( 90 d )G

290 = 180− + +

=dG

2

a

b

c

a + b + c = 180° Ao longo do alinhamento (eixo da estrada) as estacas são colocadas de 20 em 20 metros e nunca se altera esta distância, mesmo nas curvas de concordância. Isto torna-se necessário para facilitar a organização de trabalhos futuros, tais como seções transversais e cálculos de volumes de cortes e aterros. Como conseqüência, os pontos a serem locados ao longo da curva deverão também ser estaqueados de 20 em 20 metros. Desta forma as estacas PC, PI e PT resultam fracionárias.

N

N

58°12'

81°27'As direções dos “alinhamentos” (eixo da estrada) são sempre fornecidas por azimutes. Havendo somente uma origem (Norte) e somente um sentido (à direita), são evitadas as confusões que poderiam ocorrer em outra hipótese.

23°15'

PTPI

PC

E X E R C Í C I O

Calcular os elementos básicos para concordar a tangente inicial cujo azimute é 58°12’ com a tangente final (azimute 81°27’). As duas tangentes encontram-se na estaca PI (328+1,48m). Raio da curva fornecido pelo projeto é de 500m. Elaborar a planilha para locação de todas as estacas de PC à PT.

Cálculo do grau da curva ou grau de curvatura ( G ) ⇒ G3600

RG

3600

500= ⇒ =

π π ⇒ G = 2°17’31”

Cálculo do ângulo de interseção ou ângulo interno ou ângulo central ( I ) ⇒ O valor de I será dado pela subtração do valor do azimute da tangente

inicial do valor do azimute da tangente final. I = (azimute da tangente final) - (azimute da tangente inicial) I = (81°27’) - (58°12’) ⇒ I = 23°15’ Cálculo da tangente ( T ). Distância PC→PI que é igual a PI→PT.

T R tgI

2T 500 tg

23 15'

2= ⇒ =

° ⇒ T = 102,86 m ou T = 5 + 2,86m

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Cálculo do comprimento da curva ( arco PC→PT )

CI

Gcorda C

23 15'

2 17'31"20= × ⇒ =

°

°× ⇒ C = 202,89 m ou C = 10 + 2,89m

Estaca PC = Estaca PI - T Estaca PT = Estaca PC + C Estaca PC = (328 +1,48) - (5+2,86) Estaca PT = (322 + 18,62) + (10 + 2,89) Estaca PC = (327 + 21,48) - (5+2,86) Estaca PT = 332 + 21,51 Estaca PC = 322 + 18,62 m Estaca PT = 333 + 1,51 m

CÁLCULO DAS DEFLEXÕES Deflexão para cordas de 20 metros

d20G

2d20

2 17'31"

2= ⇒ =

° ⇒ d20 = 1°08’45” ou d20 = 1,1459

Deflexão para corda de 1,38 metros (arco de PC até estaca 323) ⇔ Corda de PC até estaca 323 = 20 - 18,62 = 1,38m

d1,38 d20corda

20d1,38 20

= × ⇒ = ×114591 38

,,

⇒ d1,38 = 0°04’45” ou d1,38 = 0,0791

Deflexão para corda de 1,51 metros (arco da estaca 333 até PT) ⇔ Corda da estaca 333 até PT = 1,51m

d1,51 d20corda

20d1,51 20

= × ⇒ = ×114591 51

,,

⇒ d1,51 = 0°05’11” ou d1,51 = 0,0865

Tabe la de Locação das Es tacas ESTACA CORDA (m) DEFLEXÃO LIMBO AZ TANGENTE

322+18,62 (PC) - - - - - - - - - - 58° 12’ 00” 58° 12’ 00” 323 1,38 0° 04’ 45” 58° 16’ 45” 324 20 1° 08’ 45” 59° 25’ 30” 325 20 1° 08’ 45” 60° 34’ 15” 326 20 1° 08’ 45” 61° 43’ 00” 327 20 1° 08’ 45” 62° 51’ 45” 67° 31’ 30” 328 20 1° 08’ 45” 68° 40’ 15” 329 20 1° 08’ 45” 69° 40’ 00” 330 20 1° 08’ 45” 70° 57’ 45” 331 20 1° 08’ 45” 72° 06’ 30” 332 20 1° 08’ 45” 73° 15’ 15” 78° 59’ 00” 333 20 1° 08’ 45” 80° 07’ 45”

333+1,51 (PT) 1,51 0° 05’ 11” 80° 12’ 56” 81° 26’ 52”

Σ 20 + 2,89 11° 37’ 26” - - - - - - - - - -

I

2

23 15'

2=

° ⇒ I = 11°37’30” ( ≈ 11°37’26”)

O azimute da tangente final, calculado pela tabela, foi de 81°26’52”, o valor ideal seria 81°27’00”. Portanto, devido às aproximações, houve uma diferença de 8” no cálculo das deflexões. Para eliminar esta diferença precisaríamos trabalhar com décimos ou centésimos de segundos, o que na prática é um exagero.

Proced imento s de Campo 1. Com o aparelho calado e zerado sobre PC (322+18,62 pois este encontra-se a 18,62m da estaca 322), visualiza-se a estaca 322. 2. A partir da direção Norte, mede-se o valor do azimute calculado (58°12’00”) e soma-se a este o valor da deflexão para a corda de 1,38m

calculada para a estaca 323 que é 0°04’45”. No limbo ler-se-á o valor de 58°16’45” (58°12’00” + 0°04’45”) Neste momento uma pessoa estende a trena para medir uma corda de 1,38m, a partir de PC, que irá gerar o ponto da estaca 323.

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3. A partir do valor do limbo anterior (58°16’45”) acrescenta-se mais a deflexão, agora para uma corda de 20m, do ponto seguinte (estaca 324) cujo valor é 1°08’45” e que, portanto, no limbo estará marcando o valor de 59°25’30” (58°16’45” + 1°08’45”) . Estende-se ao longo desta direção uma corda de 20m gerando assim o ponto da estaca 324.

4. Para as estacas 325, 326 e 327 procede-se do mesmo modo, ou seja: limbo + deflexão

estaca 325 ⇒ 59°25’30” + 1°08’45” ⇒ 60°34’15” ⇒ direção da estaca 325 estaca 326 ⇒ 60°34’15” + 1°08’45” ⇒ 61°43’00” ⇒ direção da estaca 326 estaca 327 ⇒ 61°43’00” + 1°08’45” ⇒ 62°51’45” ⇒ direção da estaca 327 medindo-se uma corda de 20m para cada uma destas direções, teremos materializados os pontos das estacas 325, 326 e 327.

5. Por um motivo qualquer houve a necessidade de mudança de base. Neste momento, fixa-se o movimento do limbo com a leitura de 62°51’45”.

6. Transporta-se o instrumento para estaca 327. Com a leitura de 62°51’45” ainda fixada no limbo, visualiza-se o ponto PC, gira-se a luneta de

180° (ao redor do eixo horizontal secundário). Libera-se o limbo e acrescenta-se o valor da tangente calculada para a estaca 327, que é a soma de todas as deflexões anteriores (4°39’45”), obtendo-se o valor no limbo de 67°31’30”, a este valor somamos a deflexão calculada para a estaca 328 (1°08’45”), gerando o valor no limbo de 68°40’15”. Estendendo-se uma corda de 20m nesta direção geramos o ponto da estaca 328.

7. Ainda com o aparelho na estaca 327, acrescentamos ao valor do limbo anterior (68°40’15”) a deflexão (1°08’45”) resultando em 69°49’00”,

do mesmo modo, mede-se uma corda de 20m ao longo desta direção e obtemos assim o ponto da estaca 329. 8. Para as estacas 330, 331 e 332 procede-se do mesmo modo, ou seja: limbo + deflexão

estaca 330 ⇒ 69°49’00” + 1°08’45” ⇒ 70°57’45” ⇒ direção da estaca 330 estaca 331 ⇒ 70°57’45” + 1°08’45” ⇒ 72°06’30” ⇒ direção da estaca 331 estaca 332 ⇒ 72°06’30” + 1°08’45” ⇒ 73°15’15” ⇒ direção da estaca 332

medindo-se uma corda de 20m para cada uma destas direções, teremos materializados os pontos das estacas 330, 331 e 332.

9. Por outro motivo qualquer, muda-se de estação. Fixa-se o valor do limbo (73°15’15”), transporta-se o instrumento para a estaca 332, visualiza-se a estaca 327 (último ponto de estacionamento do teodolito). Gira-se a luneta de 180°. Acrescenta-se a este valor, a tangente calculada para a estaca 332, que é de 5°43’45”, mais o valor da deflexão (1°08’45”) para gerar a direção da estaca 333. Neste momento lê-se no limbo o valor de 80°07’45”, que é a direção do ponto da estaca 333 que será materializado ao medirmos uma corda de 20m nesta mesma direção.

10. Para a última estaca PT, Ponto de Término da Curva (333+1,51), acrescentamos mais uma vez ao último valor do limbo (80°07’45”) a deflexão

calculada para a estaca de PC (0°05’11”) que equivale a uma corda de 1,51m, a leitura no limbo será de 80°12’56”. Mede-se então uma corda de 1,51m e teremos materializado PT.

322 + 18,62

323

324

325

326

327

RÉ EM PC

328329

330

331

332

333

333 + 1,51

RÉ EM 327

tg = 5°43'45"

tg = 4°39'45"

d = 1°08'45"

d = 1°08'45"

d = 1°08'45"

d = 1°08'45"

d = 1°08'45"

d = 1°08'45"

d = 0°05'11"

d =

0°04

'45"

d =

1°08

'45"

d =

1°08

'45"

d = 1°

08'45

"

d = 1°08'45"

PC PT

d = deflexão

tg = tangente

visadacorda

curva

322334

N

Az = 58°12'00"

XX° YY' ZZ" limbo

58° 1

6' 4

5"

59° 2

5' 3

0"

60° 3

4' 15

"

61° 43' 0

0"

62° 51' 4

5"

67° 31' 30"

68° 40' 15"

69° 49' 00"

70° 57' 45"

72° 06' 30"

73° 15' 15"

78° 59' 00"

80° 07' 45"

80° 12' 56"