Aula%08%(%Carga%Axial%e%Princípio%% de%SaintVenant.% · Deformação%Elásca deum Elemento% com...

Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] Resistência dos Materiais

Aula 08 -‐ Carga Axial e Princípio de Saint-‐Venant.

Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected]


Carga Axial

A tubulação de perfuração de petróleo suspensa no guindaste da perfuratriz está subme8da a cargas e deformações axiais extremamente grandes, portanto, o engenheiro responsável pelo projeto deve ser extremamente capaz de iden8ficar essas cargas e deformações a fim de garan8r a segurança do projeto.

Carga Axial

Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Resistência dos Materiais

A tubulação de perfuração de petróleo suspensa no guindaste da perfuratriz está submetida a cargas

e deformações axiais extremamente grandes, portanto, o

engenheiro responsável pelo projeto deve ser extremamente

capaz de identificar essas cargas e deformações a fim de garantir a

segurança do projeto.


Princípio de Saint-‐Venant

•  Para o caso representado, a barra está fixada rigidamente em uma das extremidades, e a força é aplicada por meio de um furo na outra extremidade.

•  Devido ao carregamento, a barra se deforma como indicado pelas distorções das retas antes horizontais e ver8cais, da grelha nela desenhada.

Princípio de Saint-Venant



Uma barra deforma-se elasticamente quando submetida a uma carga P aplicada ao longo do

seu eixo geométrico.

Para o caso representado, a barra está fixada rigidamente em uma das extremidades, e a força

é aplicada por meio de um furo na outra extremidade.

Devido ao carregamento, a barra se deforma como indicado pelas distorções das retas antes

horizontais e verticais, da grelha nela desenhada.

•  Uma barra deforma-‐se elas8camente quando subme8da a uma carga P aplicada ao longo do seu eixo geométrico.


Deformação ElásBca de um Elemento com Carga Axial

•  A par8r da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação , pode-‐se desenvolver uma equação para determinar a deformação elás8ca de um elemento subme8do a cargas axiais.

•  Desde que essas quan8dades não excedam o limite de proporcionalidade, as mesmas podem ser relacionadas u8lizando-‐se a lei de Hooke, ou seja:

Deformação Elástica de um Elemento com Carga Axial



A partir da aplicação da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação , pode-se desenvolver uma equação para determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais.

)(

)(

xA

xP=!

dx

d"# =

Desde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, as mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de Hooke, ou seja:

#! $= E





)(

)(

xA

xP=!

dx

d"# =


#! $= E





)(

)(

xA

xP=!

dx

d"# =


#! $= E



•  As equações u8lizadas são escritas do seguinte modo:



As equações utilizadas são escritas do seguinte modo:

!"#

$%&

=dx

dE

xA

xP !

)(

)(

ExA

dxxPd

"

"=

)(

)(!





!"#

$%&

=dx

dE

xA

xP !

)(

)(

ExA

dxxPd

"

"=

)(

)(!





!"#

$%&

=dx

dE

xA

xP !

)(

)(

ExA

dxxPd

"

"=

)(

)(!




Portanto, na forma integral tem-‐se que: onde: δ = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro. L = distância entre pontos. P(x) = Força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma extremidade. A(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x. E = módulo de elas8cidade do material.




!!

!=

L

ExA

dxxP0 )(

)("

Portanto, na forma integral tem-se que:

onde:

" = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro.

L = distância entre pontos.

P(x) = Força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma extremidade.

A(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x.

E = módulo de elasticidade do material.


Carga Uniforme e Seção Transversal Constante

•  Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material será homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo de todo o comprimento da barra também será constante.




EA

LP

!

!="

Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material seráhomogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo de todo o comprimento da barra também será constante.




EA

LP

!

!="

Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material seráhomogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for aplicada em cada extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo de todo o comprimento da barra também será constante.


Convenção de Sinais

Considera-‐se força e deslocamento como posi8vos se provocarem, respec8vamente tração e alongamento; ao passo que a força e deslocamento são nega8vos se provocarem compressão e contração respec8vamente.

Convenção de Sinais



Considera-se força e deslocamento como positivos se provocarem,

respectivamente tração e alongamento; ao passo que a força e

deslocamento são negativos se provocarem compressão e contração respectivamente.


Barra com Diversas Forças Axiais

Se a barra for subme8da a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elas8cidade mudarem abruptamente de uma região para outra da barra, deve-‐se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento.




!!

!=

EA

LP"

Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra da barra, deve-se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento.




!!

!=

EA

LP"

Se a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra da barra, deve-se calcular o deslocamento para cada segmento da barra e então realizar a adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento.


Diagrama de Cargas Axiais


Exercício 1

O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área da seção transversal de 400 mm2. Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento da extremidade C? Supor que Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.

Exercício 1



1) O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio AB com área da seção transversal de 400 mm!. Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro estáacoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento da extremidade C?

Supor que Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.


Solução do Exercício 1

O diagrama de corpo livre do tubo e da haste mostra que a haste está sujeita a uma tração de 80 kN e o tubo está sujeito a uma compressão de 80 kN.

Deslocamento de C em relação à B: O sinal posi8vo indica que a extremidade C move-‐se para a direita em relação à extremidade B, visto que a barra se alonga.




O diagrama de corpo livre do tubo e da haste mostra que a haste estásujeita a uma tração de 80 kN e o tubo está sujeito a uma compressão de 80 kN.

O sinal positivo indica que a extremidade C move-se para a

direita em relação à extremidade B, visto que a barra se alonga.

Deslocamento de C em relação à B:

EA

LPCB

!

!="

92

3

10200)005,0(

6,01080

!!!

!!+=

#"CB

003056,0+=CB" m




O diagrama de corpo livre do tubo e da haste mostra que a haste estásujeita a uma tração de 80 kN e o tubo está sujeito a uma compressão de 80 kN.

O sinal positivo indica que a extremidade C move-se para a

direita em relação à extremidade B, visto que a barra se alonga.

Deslocamento de C em relação à B:

EA

LPCB

!

!="

92

3

10200)005,0(

6,01080

!!!

!!+=

#"CB

003056,0+=CB" m



Deslocamento de B em relação à A: O sinal nega8vo indica que o tubo se encurta e, assim, B move-‐se para a direita em relação a A.

Como ambos os deslocamentos são para a direita, o deslocamento resultante de C em relação à extremidade fixa A é:




O sinal negativo indica que o tubo se encurta e, assim, B move-se para

a direita em relação a A.

Deslocamento de B em relação à A:

EA

LPB

!

!="

96

3

107010400

4,01080

!!!

!!#=

#B"

001143,0#=B" m

Como ambos os deslocamentos são para a direita, o deslocamento

resultante de C em relação àextremidade fixa A é:

CBBC """ +=

003056,0001143,0 +=C"

00420,0=C"

20,4=C"

m

mm




O sinal negativo indica que o tubo se encurta e, assim, B move-se para

a direita em relação a A.

Deslocamento de B em relação à A:

EA

LPB

!

!="

96

3

107010400

4,01080

!!!

!!#=

#B"

001143,0#=B" m

Como ambos os deslocamentos são para a direita, o deslocamento

resultante de C em relação àextremidade fixa A é:

CBBC """ +=

003056,0001143,0 +=C"

00420,0=C"

20,4=C"

m

mm


Exercício 2

Uma viga rígida AB apóia-‐se sobre dois postes curtos como mostrado na figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determinar o deslocamento do ponto F em AB se for aplicada uma carga ver8cal de 90 kN nesse ponto. Admi8r Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.

Exercício 2



2) Uma viga rígida AB apóia-se sobre dois postes curtos como mostrado na figura. AC éfeito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determinar o deslocamento do ponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kNnesse ponto. Admitir Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa.


Solução do Exercício 2 Solução do Exercício 2



Reações de apoio:

! = 0AM

06,02,090 =!+!" BDP

6,0

2,090 !=BDP

30=BDP

! = 0VF

090 ="+ BDAC PP

3090 "=ACP

60=ACP

kN

kN




Reações de apoio:

! = 0AM

06,02,090 =!+!" BDP

6,0

2,090 !=BDP

30=BDP

! = 0VF

090 ="+ BDAC PP

3090 "=ACP

60=ACP

kN

kN





Poste AC:

açoAC

ACACA

EA

LP

!

!="

92

3

10200)010,0(

3,01060

!!!

!!#=

$" A

610286 #!#=A" m

286,0=A" mm

Poste BD:

alBD

BDBDB

EA

LP

!

!="

92

3

1070)020,0(

3,01030

!!!

!!#=

$" B

610102 #!#=B" m

102,0=B" mm




Poste AC:

açoAC

ACACA

EA

LP

!

!="

92

3

10200)010,0(

3,01060

!!!

!!#=

$" A

610286 #!#=A" m

286,0=A" mm

Poste BD:

alBD

BDBDB

EA

LP

!

!="

92

3

1070)020,0(

3,01030

!!!

!!#=

$" B

610102 #!#=B" m

102,0=B" mm





Pela proporção do triângulo tem-se que:

!"#

$%&

!+=600

400184,0102,0F"

225,0=F" mm


Exercícios Propostos

[P30] O navio é impulsionado pelo eixo da hélice, feito de aço A-‐36, E = 200 GPa e com 8 m de comprimento, medidos da hélice ao mancal de encosto D do motor. Se esse eixo possuir diâmetro de 400 mm e espessura da parede de 50 mm, qual será sua contração axial quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre ele? Os apoios B e C são mancais.

122

© 2010 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currentlyexist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.

Internal Force: As shown on FBD.

Displacement:

Ans.

Negative sign indicates that end A moves towards end D.

= -3.64 A10-3 B mm

= -3.638(10-6) m

dA = PLAE

=-5.00 (103)(8)

p4 (0.42 - 0.32) 200(109)

•4–1. The ship is pushed through the water using an A-36steel propeller shaft that is 8 m long, measured from thepropeller to the thrust bearing D at the engine. If it has anouter diameter of 400 mm and a wall thickness of 50 mm,determine the amount of axial contraction of the shaftwhen the propeller exerts a force on the shaft of 5 kN. Thebearings at B and C are journal bearings.

A B CD

8 m

5 kN

4–2. The copper shaft is subjected to the axial loadsshown. Determine the displacement of end A with respectto end D. The diameters of each segment are

and Take Ecu = 1811032 ksi.dCD = 1 in.dBC = 2 in.,dAB = 3 in., 1 kip6 kip

A 3 kip

2 kip

2 kipB C D

50 in. 75 in. 60 in.

The normal forces developed in segment AB, BC and CD are shown in theFBDS of each segment in Fig. a, b and c respectively.

The cross-sectional area of segment AB, BC and CD are

and .

Thus,

Ans.

The positive sign indicates that end A moves away from D.

= 0.766(10-3) in.

=6.00 (50)

(2.25p) C18(103) D +2.00 (75)

p C18(103) D +-1.00 (60)

(0.25p) C18(103) D dA>D = ©

PiLiAiEi

=PAB LABAAB ECu

+PBC LBCABC ECu

+PCD LCD

ACD ECu

ACD = p4

(12) = 0.25p in2ABC = p4

(22) = p in2

AAB = p4

(32) = 2.25p in2,

04 Solutions 46060 5/25/10 3:19 PM Page 122



[P31] A junta é feita de três chapas de aço A-‐36 ligadas pelas suas costuras. Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade B quando a junta é subme8da às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm.



[P32] Determinar o alongamento da 8ra de alumínio quando subme8da a uma força axial de 30 kN. Eal = 70 GPa

© 2008 by R.C. Hibbeler. Published by Pearson Prentice Hall, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under allcopyright laws as they currently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.

110

c04.qxd 1/1/04 12:08 AM Page 110



[P33] O parafuso tem um diâmetro de 20 mm e passa através de um tubo que tem diâmetro interno de 50 mm e diâmetro externo de 60 mm. Se o parafuso eo tubo são feitos de aço A-‐36, determinar a tensão normal no tubo e o parafuso, quando uma força de 40 kN aplicada ao parafuso. Suponha que as tampas são rígidas.

Referring to the FBD of left portion of the cut assembly, Fig. a

(1)

Here, it is required that the bolt and the tube have the same deformation. Thus

(2)

Solving Eqs (1) and (2) yields

Thus,

Ans.

Ans.st =FtAt

=29.83 (103)

p4(0.062 - 0.052)

= 34.5 MPa

sb =FbAb

=10.17(103)p4(0.022)

= 32.4 MPa

Fb = 10.17 (103) N Ft = 29.83 (103) N

Ft = 2.9333 Fb

Ft(150)

p4(0.062 - 0.052) C200(109) D =

Fb(160)p4(0.022) C200(109) D

dt = db

:+ ©Fx = 0; 40(103) - Fb - Ft = 0

•4–45. The bolt has a diameter of 20 mm and passesthrough a tube that has an inner diameter of 50 mm and anouter diameter of 60 mm. If the bolt and tube are made ofA-36 steel, determine the normal stress in the tube and boltwhen a force of 40 kN is applied to the bolt.Assume the endcaps are rigid.

154

© 2010 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as they currentlyexist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.

40 kN

150 mm

160 mm

40 kN

04 Solutions 46060 5/25/10 3:20 PM Page 154


Referências Bibliográficas

•  hEp://www.cronosquality.com/aulas/rm/index.html •  Hibbeler, R. C. -‐ Resistência dos Materiais, 7.ed. São

Paulo :Pearson Pren8ce Hall, 2010. •  BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.o

Ed., Makron Books, 1995. •  Rodrigues, L. E. M. J. Resistência dos Materiais, Ins8tuto Federal

de Educação, Ciência e Tecnologia – São Paulo: 2009. •  BUFFONI, S.S.O. Resistência dos Materiais, Universidade Federal

Fluminense – Rio de Janeiro: 2008. •  MILFONT, G. Resistência dos Materiais, Universidade de

Pernanbuco: 2010.

Aula%08%(%Carga%Axial%e%Princípio%% de%SaintVenant.% · Deformação%Elásca deum Elemento% com...

Documents

Transcript of Aula%08%(%Carga%Axial%e%Princípio%% de%SaintVenant.% · Deformação%Elásca deum Elemento% com...