Aula07_construção de Gráficos I - Papel Milimetrado_2012
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7aula
Janeiro de 2012
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS I: Papel Milimetrado
Objetivos: Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de
gráficos e ajuste de curvas à dados experimentais.
7.1 Introdução
7.1.1 Construção de Tabelas e Gráficos
A apresentação de dados experimentais em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as áreas
do conhecimento. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o
fenômeno através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis.
Após a realização de um experimento, geralmente temos em mãos um conjunto de dados que podem
ser apresentados em tabelas e/ou gráficos. As tabelas e os gráficos devem ser construídos na forma mais
clara possível para quem lê o trabalho de forma que se tenha uma interpretação correta dos dados.
Na construção de gráficos devemos obedecer às seguintes regras gerais:
a) Escolha a área do papel com tamanho adequado;
b) Os eixos devem ser desenhados claramente. A variável dependente geralmente estará no eixo
vertical, eixo y, e a variável independente no eixo horizontal, eixo x;
c) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores
intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2 e não de 7,7 em 7,7). Se possível, cada um dos
eixos deve começar em zero;
d) Escolher as escalas de maneira a não obter um gráfico mal dimensionado;
e) Colocar título e comentários → é conveniente que uma pessoa observando o gráfico, possa
entender do que se trata este gráfico, sem recorrer ao texto.
f) Colocar a grandeza a ser representada e sua unidade, em cada eixo coordenado.
g) Marque cada ponto do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um símbolo
adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadrinho com um
ponto no centro).
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Caderno de Laboratório de Física 27
7.1.2 Construção de uma Escala Linear
Para construir uma escala linear em um certo segmento de reta (chamado de eixo), deve-se conhecer,
inicialmente o tamanho deste segmento (L). Deve-se conhecer a diferença entre os valores máximo e mínimo
da grandeza medida. Essa diferença será representada por “D”. Dividindo-se “L” por “D”, obtém-se uma
certa constante denominada de módulo da escala (Mod).
Por exemplo, considere a tabela a seguir para ser marcada em uma escala linear de 18 cm de
comprimento.
Força (N) 4 9 20 26 32
O intervalo das medidas é D = 32 – 4 = 28 N e o comprimento do eixo é L = 18 cm. Portanto, o
modulo da escala, é dado por: Mod = 18/28 = 0,6428 cm/N. Este resultado indica que cada unidade da força
será representada por um comprimento igual a 0,6428 cm. A escala deve ser construída, então, com
espaçamentos iguais de 0,6428 cm. Como se percebe, o módulo da escala acima é inconveniente para se
trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. Na escolha deste melhor número
para representar o módulo Mod, o arredondamento deverá ser sempre para menos e deve ser tal que seja
utilizado pelo menos 2/3 do comprimento L ( por razões estéticas). No exemplo acima, um número
conveniente para representar o módulo da escala seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser
evitadas, pois dificultam a marcação de submúltiplos dos valores da escala.
Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no exemplo acima, é aconselhável incluir
o zero para efeito de cálculo do módulo Mod. Isto pode ser feito quando for necessária a apresentação da
origem da escala. Nestes casos, divide-se comprimento disponível L pelo valor máximo de grandeza: Mod =
18/32 = 0,5625 cm/N. Com d determinação do módulo, obtêm-se os comprimentos que representarão cada
uma das medidas da tabela.
No exemplo anterior considerando-se o módulo como 0,5cm/N, tem-se a correlação dada pela tabela
7.1.
Força (N) 4 9 20 26 32
Distância (cm) 2,0 4,5 10,0 13,0 16,0
Tabela 7.1 – Comprimento em cm que representa cada valor de Força.
Note que para obter o ponto correspondente à força, basta multiplicar o Mod pelo valor da força. É
tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. O que se usa fazer
é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e destacando cada um deles. Indica-
se, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no entanto, sobrecarregar a escala com
excesso de números. Em suma, deve-se sempre observar o aspecto da escala, procurando construí-la de
modo a se ter uma boa visualização de seus valores.
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28 Caderno de Laboratório de Física
7.1.3 Escalas Especiais
Em alguns casos a escolha de uma escala inadequada na construção de um gráfico, pode indicar,
visualmente, uma informação confusa sobre o experimento. Veja o exercício 1.
7.1.4 Ajuste de curvas a dados experimentais – Método dos Mínimos Quadrados.
Consideremos duas grandezas que podem ser relacionadas, teoricamente, por uma função do 1o grau,
cuja representação gráfica é uma reta.
Quando determinamos experimentalmente os dados (os quais estão sujeitos a erros de medidas) e
representamos as coordenadas cartesianas (x,y) no gráfico, verificamos que geralmente, os pontos não estão
perfeitamente alinhados, então, o nosso problema passa a ser o de determinar a equação, isto é, os
coeficientes angular e linear da melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados experimentais.
Uma das maneiras de encontrar esta reta pode ser “a olho”. Neste método o observador deverá
ajustar a reta aos pontos a partir da observação visual. Este procedimento tem a desvantagem de
observadores distintos obterem retas com coeficientes angulares e lineares diferentes, já que a escolha é
subjetiva devida a interpretação de cada um.
Para evitar o critério individual na determinação da reta, torna-se necessário encontrar
matematicamente a “melhor reta ajustada”. Isto pode ser feito com o Método dos Mínimos Quadrados, no
qual podemos encontrar os coeficientes a e b de uma reta (y = ax +b) que se ajusta a N pontos
experimentais. Os coeficientes desta reta são:
2 2
2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
i i i i
i i
i i i i i
i i
N x y x ya
N x x
y x x y xb
N x x
Para exemplificar o uso do Método dos Mínimos Quadrados, resolva o exercício 3.
7.2 Material Utilizado
a) Régua milimetrada;
b) Lápis ou lapiseira;
c) Borracha;
d) Calculadora;
e) Papel milimetrado
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Caderno de Laboratório de Física 29
7.3 Exercícios
1. Considere um carro inicialmente em repouso, partindo da posição inicial S0 = 500m, com uma
aceleração constante de 2 m/s2 (MRUV). Neste caso, sua equação horária será:
2 2
0
1500
2S S at S t
Obtendo o valor da posição para cada valor do tempo indicado tem-se a seguinte tabela:
Tempo t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Posição
S(cm) 500 501 504 509 516 525 536 549 564 581 600
Tabela 7.2 – Tempo x Posição.
Com os dados da tabela 7.2 foi construído o gráfico S x t, em duas escalas diferentes, indicados na
figura 7.1.
0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
800
1000
S(m)
t(s) 0 2 4 6 8 10
500
520
540
560
580
600
S(m)
t(s)
Figura 7.1 – Gráficos S x t – Escolha de uma escala adequada.
a) Em qual dos dois gráficos (os dois estão corretos) se observa melhor o resultado esperado?
Justifique sua resposta.
2. Considere que a população de uma região varie linearmente conforme a função P(t) = 200t, onde
t é dado em anos. Construa, num mesmo papel milimetrado, dois gráficos Pxt em escalas
diferentes, de maneira que em um deles a população aparentemente aumente rapidamente e no
outro ela aumente lentamente.
3. Represente no gráfico y x x os pontos da tabela 7.3.
X(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Y(m) 10 14 17 18 19 20 25 26 27 31
Tabela 7.3 – Y versus X
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30 Caderno de Laboratório de Física
a) Ajuste uma reta “a olho” aos pontos do gráfico e determine os coeficientes a e b desta. Compare
os valores encontrados com os de outros alunos.
b) Aplicando o Método dos Mínimos quadrados, determine a equação da reta que melhor se ajusta
aos pontos do gráfico. Represente esta reta no gráfico e compare com a reta ajustada “a olho”.