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Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] Resistência dos Materiais

Aula 06 -‐ Estudo de Deformações, Normal e por Cisalhamento.

Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected]


Deformação

•  Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformação e podem ser perfeitamente visíveis ou pra;camente impercep<veis sem o uso de equipamento para fazer medições precisas.


Salete Buffoni 2

DEFINIÇÃO

Deformação é a mudança na forma e tamanho de um corpo quando uma força é

aplicada no mesmo.

A deformação pode ser:

Visível: Exemplo: Esticamento de uma tira de borracha

Imperceptível: Exemplo: Edifício sendo ocupado por pessoas movimentando-se

Figura 1 - A tensão excessiva em materiais frágeis como este encontro de ponte de

concreto pode provocar sua deformação até a ruptura. Pela medição da deformação,

os engenheiros podem prever a tensão do material.

Medida da deformação na prática: Realizam-se experimentos

A tensão excessiva em materiais frágeis como este encontro de ponte de concreto pode provocar sua deformação até a ruptura. Pela medição da deformação, os engenheiros podem prever a tensão do material.


Deformação Normal

O alongamento ou a contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é denominado deformação normal.

s

ssméd

!

!"!=

'#

ss !$+=! )1(' #

Unidades: a deformação normal éuma grandeza adimensional, pois representa a relação entre dois comprimentos


Deformação por Cisalhamento

A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta originalmente perpendiculares entre si é denominada deformação por cisalhamento.

'lim2

!"

#

eixotAC

eixonABnt

>$>$

$=


Componentes Cartesianos da Deformação

xx !"+ )1( #

yy !"+ )1( # zz !"+ )1( #

Comprimentos aproximados: Ângulos aproximados:

xy$%

&2 yz$

%&

2 xz$%

&2


Componentes Cartesianos da Deformação -‐ notas

•  Deformações normais provocam mudança de volume do elemento retangular

•  Deformações por cisalhamento provocam mudança no seu formato.

•  Análise de pequenas deformações: A maioria dos materiais da engenharia sofre pequenas deformações e desse modo, a deformação normal ε << 1 .


Exercício 1

1) A haste delgada mostrada na figura está submeFda a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que cria uma deformação normal na haste de εz = 40(10-‐3)z1/2, em que z é dado em metros. Determinar (a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura e (b) a deformação normal média da haste.

Exercício 1Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Resistência dos Materiais

1) A haste delgada mostrada na figura está submetida a um aumento de temperatura ao longo de seu eixo, o que cria uma deformação normal na haste de !z = 40(10-3)z1/2, em que z é dado em metros. Determinar (a) o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura e (b) a deformação normal média da haste.


Solução do Exercício 1

a) Como a deformação normal é dada para cada ponto ao longo do comprimento da haste, um segmento diferencial dz, localizado na posição ztem seu comprimento deformado determinado do seguinte modo:

zz z !"+#! )1(' $

dzdz z "+= )1(' $

dzzdz """+= % ))10(401(' 213

! """+= %2,0

0

213 ))10(401(' dzzz

2,0

0

)121(3

121)10(40' ""

#

$%%&

'""#

$%%&

'+

""+=+

% zzz

Substituindo-se os valores fornecidos, tem-se que:

Integrando ao longo do comprimento da haste:

Resulta em:


Solução do Exercício 1

2,0

0

)121(3

121)10(40' !!

"

#$$%

&!!"

#$$%

&+

!!+=+

" zzz

2,0

0

)23(3

23)10(40' !!

"

#$$%

&!!"

#$$%

&!!+= " z

zz

2,0

0

)23(3

32

)10(40' !!"

#$$%

&!!"

#$$%

& !!!+= " z

zz

!!"

#$$%

&!!"

#$$%

& !!!+= "

32,02

)10(402,0')23(

3z

20239,0'=z m

Portanto, o deslocamento na extremidade da haste é:

2,020239,0 "=#B

00239,0=#B m

39,2=#Bmm


Exercícios Propostos

[P21] A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga provocar um deslocamento de 10 mm para baixo na extremidade C, determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD.

1

Ans. e =pd - pd0

pd0= 7 - 6

6= 0.167 in./in.

d = 7 in.

d0 = 6 in.

2–1. An air-filled rubber ball has a diameter of 6 in. Ifthe air pressure within it is increased until the ball’sdiameter becomes 7 in., determine the average normalstrain in the rubber.

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Ans.e =L - L0

L0= 5p - 15

15= 0.0472 in.>in.

L = p(5 in.)

L0 = 15 in.

2–2. A thin strip of rubber has an unstretched length of15 in. If it is stretched around a pipe having an outer diameterof 5 in., determine the average normal strain in the strip.

¢LBD3

=¢LCE

7

2–3. The rigid beam is supported by a pin at A and wiresBD and CE. If the load P on the beam causes the end C tobe displaced 10 mm downward, determine the normal straindeveloped in wires CE and BD.

C

3 m

ED

2 m

4 m

P

BA

2 m

Ans.

Ans.eBD =¢LBDL

= 4.2864000

= 0.00107 mm>mm

eCE =¢LCEL

= 104000

= 0.00250 mm>mm

¢LBD =3 (10)

7= 4.286 mm

02 Solutions 46060 5/6/10 1:45 PM Page 1



[P22] Os dois arames estão interligados em A. Se a carga P provocar um deslocamento horizontal de 2 mm no ponto A, determinar a deformação normal provocada em cada arame?

2

Ans.eAC = eAB =LœAC - LACLAC

= 301.734 - 300300

= 0.00578 mm>mm

LœAC = 23002 + 22 - 2(300)(2) cos 150° = 301.734 mm

*2–4. The two wires are connected together at A. If theforce P causes point A to be displaced horizontally 2 mm,determine the normal strain developed in each wire.


P30!

30! A

B

C

300 mm

300 mm

Since the vertical displacement of end C is small compared to the length of memberAC, the vertical displacement of point B, can be approximated by referring to thesimilar triangle shown in Fig. a

The unstretched lengths of wires BD and CE are and.

Ans.

Ans.Aeavg BCE =dC

LCE= 10

2000= 0.005 mm>mm

Aeavg BBD =dB

LBD= 4

1500= 0.00267 mm>mm

LCE = 2000 mmLBD = 1500 mm

dB

2= 10

5 ; dB = 4 mm

dB

•2–5. The rigid beam is supported by a pin at A and wiresBD and CE. If the distributed load causes the end C to bedisplaced 10 mm downward, determine the normal straindeveloped in wires CE and BD.

C2 m

E

D

2 m1.5 m

BA3 m

w




[P23] A viga rígida é suportado por um pino em A e cabos BD e CE. Se a carga distribuída faz com que a extremidade C se desloque 10 mm para baixo, determinar a tensão normal desenvolvida nos cabos CE e BD.

2

Ans.eAC = eAB =LœAC - LACLAC

= 301.734 - 300300

= 0.00578 mm>mm

LœAC = 23002 + 22 - 2(300)(2) cos 150° = 301.734 mm

*2–4. The two wires are connected together at A. If theforce P causes point A to be displaced horizontally 2 mm,determine the normal strain developed in each wire.


P30!

30! A

B

C

300 mm

300 mm

Since the vertical displacement of end C is small compared to the length of memberAC, the vertical displacement of point B, can be approximated by referring to thesimilar triangle shown in Fig. a

The unstretched lengths of wires BD and CE are and.

Ans.

Ans.Aeavg BCE =dC

LCE= 10

2000= 0.005 mm>mm

Aeavg BBD =dB

LBD= 4

1500= 0.00267 mm>mm

LCE = 2000 mmLBD = 1500 mm

dB

2= 10

5 ; dB = 4 mm

dB

•2–5. The rigid beam is supported by a pin at A and wiresBD and CE. If the distributed load causes the end C to bedisplaced 10 mm downward, determine the normal straindeveloped in wires CE and BD.

C2 m

E

D

2 m1.5 m

BA3 m

w




[P24] Uma placa retangular é deformada conforme indicado pela forma tracejada mostrada na figura. Considerando que na configuração deformada as linhas horizontais da placa permaneçam horizontais e não variem seu comprimento, determine (a) a deformação normal média ao longo do lado AB e (b) a deformação por cisalhamento média da placa rela;va aos eixos x e y.



[P25] Uma força que atua no cabo da alavanca mostra na figura provoca uma rotação de ϴ = 0,002 rad na alavanca no sen;do horário. Determinar a deformação normal média desenvolvida no arame BC.


Referências Bibliográficas

•  hWp://www.cronosquality.com/aulas/rm/index.html •  Hibbeler, R. C. -‐ Resistência dos Materiais, 7.ed. São

Paulo :Pearson Pren;ce Hall, 2010. •  BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.o

Ed., Makron Books, 1995. •  Rodrigues, L. E. M. J. Resistência dos Materiais, Ins;tuto Federal

de Educação, Ciência e Tecnologia – São Paulo: 2009. •  BUFFONI, S.S.O. Resistência dos Materiais, Universidade Federal

Fluminense – Rio de Janeiro: 2008.

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