Profª: Evlyn Fernandes

Probabilidade e Estatística

Observação:

O conteúdo destes slides é uma coletânea de material disponibilizado por outros professores na Internet e pelo conteúdo do livro texto. Foi organizado de acordo com a metodologia definida para a disciplina.

Modelo de Bernoulli Distribuição Binomial

Distribuição de Poisson

MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE

Experimento E, cujo resultado pode ser um sucesso (acontece o evento que nos interessa) ou um fracasso.

Seja X a variável aleatória: sucesso ou fracasso

Diz-se que uma variável assim definida tem uma distribuição de Bernoulli.

MODELO DO BERNOULLI

MODELO DO BERNOULLI: CARACTERÍSTICAS

Considere os exeprimentos aleatórios e as variáveis aleatórias abaixo: Jogar uma moeda 10 vezes. X1= número de caras obtidas Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula

rara. X1 = número de amostras de ar que contem essa molécula rara dentre as próximas 18 analisadas.

De todos os bits transmitidos através de um canal de transmissão, 10% são recebidos com erro. X1= número de bits com erro dentre os próximos cinco recebidos.

Teste de múltipla escolha com 10 questões, cada uma com quatro opções, res´pondidas no “chute”. X1= número de questões respondidas corretamente.

De todos os pacientes que sofrem de uma doença em particular, 35% apresentam melhora a partir do uso de uma determinanda medicação. Nos próximos 100 pacientes que fizerem uso desse medicamento, considere X1= número de pacientes que apresentaram melhora.

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

É uma distribuição adequada para experimentos que possuem apenas dois resultados (sucesso ou fracasso).

Assume-se que as tentativas que contituem o experimento aleatório são independentes. Isso implica que o resultado de uma tentativa não interfere no resultado de outra.

De maneira geral, assume-se que a probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa.

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas. Cada prova admite dois resultados: sucesso ou fracasso A probabil idade de sucesso de cada prova é p e a de fracasso é

1-p=q .

Y= número de sucesso das n provas. Y= 0, 1, 2, ..., n

Probabilidade de todas fracassarem: P(Y=1): n provas cada uma com um sucesso e (n-1) fracassos

P(Y=y), y sucessos e (n-y) fracassos:

equivale ao número total de sequências das tentativas que contem y sucessos e (n-y) fracassos.

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Média Y é a soma de n variáveis do tipo Bernoulli

Variância

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Exemplo 1.

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Exemplo 1: Resposta n=8, p=1/2, q=1/2

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Em alguns casos, se conhece o número de sucessos, porém torna-se difícil e até sem sentido determinar o número de fracassos ou o número total de provas. Pode-se saber quantos carros passaram numa esquina

durante um intervalo de tempo, mas não se pode dizer quantos deixaram de passar.

Para encontrar a probabilidade de x sucessos em um intervalo de tempo t, algumas hipóteses precisam ser admitidas:

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

H1.: P(X=1,Δt)=λΔtH2.: P(X>1, Δt)=0H3.: P(X=0, Δt)=1- λΔtH4.: As ocorrências de sucessos em intervalos são

independentes.

Tem-se que , logo

Para se encontrar a probabilidade de X sucessos em um intervalo t, P(X,t), pode-se calcular o limite de uma distribuição binomial com parâmetros n e

DISTRIBUIÇÃO DE POISSONA probabilidade de sucesso dentrode um intervalo Δt é proporcional àamplitude do intervalo

Tentativas indo para o infinito Probabilidadede sucesso

λ coeficiente de proporcionalidade, e e é o número de Euler≈ 2,7

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Média Pode-se provar que:

Variância Pode-se provar que:

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Exemplo 2:

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Exemplo 2: Resposta:

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON