AMSD - AULA 01 - 2015/2

Apresentação do Curso. Modelagem de circuitos

Elétricos. Função de transferência e Diagrama

de blocos. Cálculo da função de transferência

resultante. Simulação e análise Dinâmica.

CAPÍTULO I - MODELAGEM DE SISTEMAS

Este capítulo mostra a modelagem de alguns

exemplos, normalmente, já conhecidos de

sistemas dinâmicos. Além da modelagem

propriamente dita, o objetivo deste capítulo é

também estudar as formas de representar um

sistema dinâmico analiticamente por função de

transferência e graficamente por diagrama de

blocos. Por fim, faremos uma série de

simulações usando software Matlab ou Scilab,

de todas essas representações de tais sistemas.

A) Modelagem de circuitos elétricos

Neste item vamos analisar e representar os

circuitos elétricos RLC sem e com

amplificadores operacionais (Amp-Ops).

A modelagem de circuitos elétricos é

basicamente realizada utilizando-se das leis de

Kircchoff. Vamos rever alguns exemplos já

conhecidos:

Circuitos sem amplificadores operacionais

Exemplo 1.1 – Circuitos RC

R

C eoei i

Equações diferenciais que regem o sistema:

)()()( 0 tetRitei

t

diC

tedt

tdeCti

0

00 )(

1)(

)()(

Sistema linear e invariante no tempo

Para transformar estas equações diferenciais

em equações algébricas aplicamos a

transformada de Laplace:

)()()( 0 sEsRIsEi ou R

sEsEsI i )()()( 0

)(1

)(0 sIsC

sE

Assim podemos fazer o diagrama de blocos:

Cada bloco representa uma equação

Cada comparador representa uma equação

1

R

1

.s C

+

-

Ei(s) I(s) Eo(s)

Existe uma realimentação natural neste

sistema.

A função de transferência )(

)()( 0

sE

sEsG

i

– razão de

transformadas de saída e entrada - é dada por:

1

1

1

1)(

sRCssG

A análise da resposta transitória a um degrau

na entrada:

1

1

)(

)()(

ssE

sEsG

i

o

, como a entrada Ei(s) = 1/s,

temos:

1

11)(

sssEo

, logo /1)( t

o ete

Exemplo 1.2 - Circuito RLC

R

C eoei i

L

Equações diferenciais que regem o sistema:

)()(

)()( 0 tedt

tdiLtRitei

t

diC

tedt

tdeCti

0

00 )(

1)(

)()(

Usando a transformada de Laplace obtemos:

)()()()( 0 sEsLsIsRIsEi ou RLs

sEsEsI i

)()()( 0

)(1

)(0 sIsC

sE

Representação em diagrama de blocos:

1

.s C

+

-

Ei(s) Eo(s)1

.L s R

Cada bloco representa uma equação

Cada comparador representa uma equação

A função de transferência )(

)()( 0

sE

sEsG

i

é dada por:

LCLsRs

LC

RCsLCssG

/1/

/1

1

1)(

22

22

2

2)(

nn

n

sssG

, em que LCn 1 e

L

CR

2

Análise da resposta transitória:

Para a determinação da resposta transitória

deste sistema a um degrau, precisamos fazer a

transformada inversa de Laplace:

LCLsRs

LC

sE

sEsG

i

o

/1/

/1

)(

)()(

2 , como a entrada

Ei(s) = 1/s, temos:

22

2

2 2

1

/1/

/11)(

nn

no

sssLCLsRs

LC

ssE

,

A transformada inversa de

22

2

2

1

nn

n

sss

é

)(cossin1

1

)(sin1

cos1)(

1

2

2

tute

tuttetc

d

t

dd

t

n

n

Índices de desempenho – curva de resposta

ao degrau: ‘

- tempo de subida

d

d

d

rt

1tan

1

- sobressinal

0sin pd t

e

)1/( 2 eM p

- tempo de resposta ou acomodação

n

s Tt

444

(critério de 2%)

Ou

n

s Tt

333

(critério de 5%)

NISE, N. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª edição. Editora LTC.

2000.

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno, 4ª edição. Prentice Hall,

São Paulo, 2003.

KUO, B. C., Automatic Control Systems, 7th ed (capítulos: 1-7), John

Wiley & Sons, Inc. New York, 1995, Prentice Hall, 1995.