Aula Teórica
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Séries de Taylor e resolução numérica da equação de advecção - difusão
Equações que vamos resolver• Conservação da massa:
• Num modelo Hidrodinâmico também a equação de Transporte de Quantidade de Movimento:
)( kkjjj
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Como se resolvem as equações
• Métodos Numéricos:• Diferenças finitas/Volumes finitos• Elementos Finitos/Elementos de fronteira.
• Como se constrói o método das diferenças finitas?
• Série de Taylor:t
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O que representa a série de Taylor?t
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Outras derivadas Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt
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Como usar para calcular as derivadas?t
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Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( t
Isto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.
Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita
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Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( tIsto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.
Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele
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Subtraindo uma da outra:
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Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por 22/t
O que representa a série de Taylor?t
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Outras derivadas
1ª Derivada: Δc/ Δt
Método ImplícitoMétodo Explícito
Método Diferenças Centrais
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Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva
Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita.
Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.
Derivadas espaciais
Derivada à esquerda, Método upwind se velocidade positiva.
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Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda.
Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.
Subtraindo uma equação da outra
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Diferenças Centrais
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Adicionando:
Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas
aproximações:
• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo.
• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.
222 2
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2/2/2 2
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O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?
Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ?Fazendo a média…..
• Adicionando as equações!
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• Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver
Explícito Upwind
• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.
• Esta equação pode ser organizada na forma:
222 2 x
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21
Forma geral da Equação )(11111 1111 PFcfkcekcdkckfckeckd t
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Explicito, upwind:
xtuCr
2ºxtDifN
Números de Courant e de Difusão
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xtc
xt
xtuc
xt
xtuc 12212
21
K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson:
Sobre a precisão do cálculo• No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas
nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”.
• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as
derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto.
• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo,
maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?
)( t
22/t)( t
Porque aumenta a precisão com o expoente de ? )( t
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Porque os termos ignorados são da forma:
O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados.
Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.
)/()( tc