Aula T4

7/23/2019 Aula T4

http://slidepdf.com/reader/full/aula-t4 1/17

!"#$%#!&

!

Rui Barros

Introdução às distribuições de Probabilidade

Métodos Estatísticos

Bioengenharia | Microbiologia2013 - 2014

Tópico 3

Rui Barros

Tópico 3

Distribuição Normal (Guassiana)

Distribuição Normal reduzida (em Padrão)Distribuição Amostral de uma Estatística

Teorema do Limite CentralDistribuição Binomial

Aproximação da Distribuição Binomial à Dist. Normal

Distribuição de Poisson

Introdução às distribuições de Probabilidade

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

(

Introdução às Distrib. de Probabilidade

A Estatística Inferencial permite inferir sobre uma

população a partir de uma amostra, no entanto a

generalização dos resultados de uma amostra para a

população envolve conceitos probabilísticos.


Populaçãoé o conjunto de todos os elementos ou resultados sob

investigação.

Amostraé qualquer subconjunto da população.

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

%


Exemplo:

• Qual a probabilidade de em 5 empresas haver 3 PME´s?

• Qual a probabilidade de um pescador pescar um peixe-

espada com peso inferior a 0,5Kg?

• Qual a probabilidade de numa pergunta de escolha múltipla,o aluno ter positiva por sorte?


Exemplo:Dados de 200 produtos recolhidos do mercado e verificado a suaproveniência.

Esta tabela ilustra uma distribuição de probabilidade - isto é a

correspondência que atribui probabilidade de produto ser

selecionado e ser origem Nacional ou Internacional.

Proveniência frequência absoluta frequência relativa(%)

Nacional 120 120/200 =60%

Internacional 80 80/200=40%

Total 200 100%

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

)


Variável aleatória:

é uma quantidade que pode assumir um qualquer valor de um conjunto de valores

mutuamente exclusivos, com uma dada probabilidade.

As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas.

O termo “aleatório” é utilizado com o significado de que o verdadeiro valor só é conhecido

até que o evento decorra.


Mas o que significa então uma distribuição de probabilidades?

indica a probabilidade de todos os valores possíveis de uma

variável aleatória.

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

&


Tipo de distribuições

baseada em:

• frequência empírica dos dados observados (ver tabela).

• probabilidades teórica (descrita por um modelo matemático)

Se a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X for conhecida, é

possível calcular a probabilidade de a variável X poder tomar um determinado valor

ou gama de valores.


Distribuições de probabilidades discretas (x = 0, 1, 2,..., n)exemplo:

- Distribuição Binomial- Distribuição Poisson

Distribuições de probabilidades contínuas ( x IR)exemplo:

- Distribuição Normal (Gaussiana)

- Distribuição t

- Distribuição Qui-Quadrado- Distribuição F

Tipo de distribuições

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

"


Distribuições de probabilidades discretas (x = 0, 1, 2,..., n)

- podemos calcular probabilidades correspondentes a todos os possíveis

valores da variável aleatória.

Distribuições de probabilidades contínuas ( x IR)

- apenas calculamos a probabilidade da variável aleatória tomar valores em

intervalos.


As funções de probabilidade são definidas de modo a que a frequência

esperada de observações entre dois valores é dado pela área debaixo da

curva, entre estes 2 valores:

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

*


Numa distribuição de probabilidade contínua:

• Apenas é possível calcular a probabilidade de obter valores entre dois limites.

• Não se calcula a probabilidade de uma variável apresentar um valor exato:

P(X=3)!0

• O que caracteriza uma função de densidade de probabilidade, é o facto de a

área abaixo da curva entre dois valores x1 e x2 ser igual à probabilidade da variável

aleatória seguindo essa distribuição contínua assumir um valor entre x1 e x2.


Há uma enorme variedade de funções de densidade de probabilidade, mas

uma das mais importante em análise estatística é a função densidade de

probabilidade Normal ou Gaussiana.

Para muitas variáveis biológicas, o polígono de frequências pode ser

aproximado por essa curva que é simétrica em relação à média da

distribuição, e em forma de sino.

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

+


DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSSIANA)

Uma variável aleatória que segue a distribuição Normal pode tomar qualquer valor

real (não só inteiros, como a Binomial ou Poisson).

Esta distribuição de probabilidades é descrita por uma curva em forma de sino

simétrica em torno da média, simbolizada por µ.

A cada par de valores de , e desvio padrão, , corresponde uma curva normal.

Parâmetros da distribuição NORMAL: e


7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

,


Distribuição Normal (Gaussiana):

O desvio padrão, , é a distância na horizontal entre a média e o ponto de

inflexão da curva.

A média, , e o desvio padrão, , são os parâmetros da distribuição normal.


A probabilidade de uma variável aleatória x que segue a distribuição Normal

tomar um valor entre a e b (a < b) é dada por:

Uma função como a descrita pela curva na Figura anterior (com a área de baixo

da curva igual a 1) designa-se por uma função densidade de probabilidade

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

!$


Alguns intervalos e percentagens numa distribuição Normal

(gaussiana):

!

O intervalo [ - , + ] contém aproximadamente 68% dos valores

!

O intervalo [ - 2 , + 2 ] contém aproximadamente 95% dos valores

! O intervalo [ - 3 , + 3 ] contém aproximadamente 99.7% dos valores


Alguns intervalos e percentagens numa distribuição Normal

(gaussiana):

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

!!


Por outro lado:

• 50% dos elementos encontram-se no intervalo µ ± 0.674 #

#

•

95% dos elementos encontram-se no intervalo µ ± 1.96#

•

99% dos elementos encontram-se no intervalo µ ± 2.57


7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

!(


A cada par de valores de e corresponde uma curva normal.

Para sabermos a probabilidade de uma observação estar entre dois valores a e b não

precisamos de calcular o integral entre a e b de f(x).

Este problema fica resolvido, porque quando a média de uma distribuição normal é

diferente de zero e o desvio padrão diferente de 1, podemos sempre efetuar a

transformação z, obtendo o que designámos por distribuição normal padrão

(reduzida), N(0,1).

Para calcular as probabilidades de uma distribuição normal de média e desvio

padrãoσ, basta fazermos a transformação z e consultarmos a tabela da distribuição

padrão reduzida ou padrão.


Como calcular as probabilidades de uma distribuição normal de média e desvio

padrãoσ?

Procede-se à transformação z e consultamos a tabela da distribuição padrão

reduzida ou padrão.

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

!%



A distribuição será tanto mais achatada, quanto maior for o valor de , de

modo que três curvas correspondentes a três distribuições com o mesmo valor

médio, são simétricas, relativamente ao mesmo ponto, diferindo no grau de

achatamento (σ1>σ2>σ3).

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

!)



Exemplo:

Uma população apresenta uma média de peso corporal, , de 70 Kg, e

desvio padrão, , de 10 Kg.

Qual a probabilidade de um indivíduo desta população ter um peso

superior a 80 Kg ?


inferior a 50 Kg ?

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

!&


Exemplo:

Uma população apresenta uma média de peso corporal, , de 70 Kg,

e desvio padrão, , de 10 Kg.


entre 50 e 80 Kg ?


Exemplo:

O comprimento de uma planta de uma dada espécie segue uma

distribuição Normal de média 145 cm e desvio padrão 4 cm.

Qual o valor do comprimento das plantas acima do qual existem 5% dasplantas ?

O valor de z para o qual P(Z>z1)>0.05: z1 = 1.645 (ver tabela)

X1 = ? : P(x > X1) = 0.05

Substituindo em

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&

!"


Qual o valor do comprimento dos plantas acima do qual existem 95% dosplantas ?

X2 = ? : P(x > X2) = 0.95

O valor de z para o qual P(Z > z2) = 0.95$P(Z < z2) = 0.05

z2 é simétrico do valor z : P(Z > z1) = 0.05$

z2 = -1.645 (ver tabela)

Substituindo em


Quais os valores médios do comprimento que limitam os 95% valores

centrais (2.5% em cada uma das caudas)?

X3, X4 = ? : P(X3 < x < X4) = 0.95

P(x > X3) = 0.025 e P(x < X4) = 0.025O valor de z para o qual P(Z > z4) = 0.025: z4 = 1.96O valor de z para o qual P(Z < z3) = 0.025: z3 =-z4= -1.96

Substituindo:

7/23/2019 Aula T4


!"#$%#!&


Fim de apresentação

Aula T4

Documents

Transcript of Aula T4