Aula Magna 8
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Oxygen Diffusion in Silicon Revisited
8.5 Centro de massaPosio do centro de massa de um sistema de N partculas:Mdia, ponderada pelas massas, das posies das partculas
12i
Em componentes:
(idem para y e z)
(c) Em geral, o centro de massa um ponto intermedirio entre x1 e x2:
xxCMmx=02mx=L2/31/3(a)
xxCM
(b)
xxCM
Exemplos em 1D: 2 partculasKits LADIFExemplo: sistema de 3 partculas em 2D
Distribuies contnuas de massa (qualitativo)
Objeto homogneo com centro geomtrico: CM no centro
Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo
Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto
Movimento do centro de massa
Velocidade do centro de massa:
Massa total:
(momento linear total)Momento linear total igual massa total multiplicada pela velocidade do centro de massaComo vimos na aula passada, se a resultante das foras externas for nula, ou se o sistema for isolado:
Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5
Exemplo: Y&F 8.14E se houver fora externa resultante no-nula?
Derivando mais uma vez:
Pela 2 Lei de Newton:
Somatrio de todas as foras que atuam sobre todas as partculas
Soma das foras externasSoma das foras internasComo vimos na aula passada, pela 3 Lei de Newton:
(pares ao e reao se cancelam)
Assim:
O centro de massa se move como uma partcula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ao da resultante das foras externasVdeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6Ou:
Colises no referencial do centro de massa:
ausncia de foras externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela coliso
referencial do c.m. inercialMostrar applet: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html
BA
Referencial do c.m.
AB
ABReferencial do laboratrioTrajetria do c.m.C.m. est parado
ABVelocidades no referencial do centro de massa:
Conservao do momento linear:
Momento linear tambm se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)
Energia cintica no referencial do lab:
Antes:
Mudana de variveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:
Invertendo, obtemos:
Substituindo na expresso para a energia cintica:
Aps alguma lgebra (quadro negro):
Definindo: (massa total) e
(massa reduzida)
Obtemos finalmente:
Energia cintica do movimento do centro de massaEnergia cintica do movimento relativoAnlise:1. Parece com a expresso da energia cintica de duas partculas2. No referencial do c.m., temos:
Ou seja, a energia cintica depende do referencial, e a energia cintica mnima aquela calculada no referencial do c.m.
3. Antes e depois de uma coliso, a velocidade do c.m. no varia, de modo que a variao da energia cintica :
Ou seja, a variao de energia cintica no depende do referencial (como esperado)
4. Em uma coliso elstica, temos:
Ou seja, o mdulo da velocidade relativa no alterado pela coliso
5. A perda mxima de energia cintica (coliso totalmente inelstica), ocorre quando:
Desta forma, explica-se porque as partculas ficam grudadas depois de uma coliso totalmente inelstica
08.6 Propulso de um fogueteExemplo de movimento de um sistema de massa varivel:
Instante t
Massa mInstante t + dt
m +dmdm < 0
-dmVelocidade de exausto dos gases relativa ao foguetehttp://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4Conservao do momento linear:
Infinitsimo de ordem superior
Fora de propulso do foguete (proporcional taxa e velocidade de exausto)
Note que, ainda que a fora seja supostamente constante, a acelerao aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente
Clculo da velocidade:
Exemplo: Y&F 8.16
Prximas aulas:4a. Feira 26/10: Aula de Exerccios (sala A-327)6a. Feira 28/10: Feriado4a. Feira 02/11: Feriado6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8