Aula Linear 2 Parte 2
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7/25/2019 Aula Linear 2 Parte 2
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Otimizao Linear
Conceitos bsicos lgebra LinearIntroduo ao mtodo simplex
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Reviso de lgebra Linear
Denomina-se posto ou Rank de uma matriz A, um
nmero k tal que: a)existe pelo menos uma sub-matriz quadrada de A deordem k, cujo determinante no nulo .
b)Toda sub-matriz quadrada de A, de ordem maior quek, tem determinante nulo.
(de outro modo: Amxn. O rank linha igual ao nmeromximo de linhas linearmente independente de A. O
rank coluna igual ao nmero mximo de colunaslinearmente independentes de A. Pode-se mostrar postolinha=posto coluna).
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Reviso de lgebra Linear
Amxn, Posto (A) mnimo{m,n}. Se
posto(A)=mnimo{m,n}, ento A tem posto completo. Amxn tem posto k se e somente se:
00
QkI
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Reviso de lgebra Linear
Seja Amxn e considere o sistema Ax=b e (A,b) de ordem
m x (n+1). Se posto(A,b) > posto(A), o sistema incompatvel (bno pode ser escrito como combinao linear dea1,a2,...,an).
Se posto(A,b)=posto(A)=k ento:
kApostobAposto
xkbnxkA
bA
bAbA
==
=
)1()1,1(
,)1(),(1,
22
11),(
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Reviso de lgebra Linear
Restries A2x=b
2so redundantes.
Posto(A1)=k, pode-se pegar k colunas linearmenteindependentes de A1.
A1=(B,N), B(k x k) uma matriz no singular echamada de matriz bsica e N (k x(n-k)) chamada de matriz no bsica.
kApostobAposto
xkbnxkAbA
bAbA
==
=
)1()1,1(
,)1(),(1,
22
11),(
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lgebra linear
Resumindo (Seja o sistema Ax=b, Amxn.)
Se posto (A,b)>posto(A), Ax=b no tem soluo. Se posto(A,b)=posto(A)=k=n, o sistema tem
soluo nica.
Se posto (A,b)=posto(A)=k
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lgebra linear
Seja o sistema Ax=b, Amxn. Suponha que
posto(A)=posto(A,b)=m
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Partio bsica
Seja Ax=b, onde Amxn , bmx1 , xnx1 (m< n). Supor
que posto(A)=m. possvel reorganizar as colunas de A de talmodo A=[B,N] e que:
Bmxm formada por mcolunas linearmenteindependentes de A dada por:Onde B1, B2,..., Bm so os ndices das colunas
escolhidas da matriz A (ndices bsicos)
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Partio bsica
Nmx (n-m) - formada pelas n-mcolunas restantesde A. N pode ser escrita como:
Onde N1, N2,..., Nm so os ndices das colunas damatriz A que pertencem a N (ndices no-bsicos)
Esta reorganizao definida como partio bsica
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Partio bsica (partio das variveis)
A partio de A em [B N] cria uma partio dasvariveis:
variveis bsicas
variveis no bsicas
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Soluo geral do sistema
A ltima expresso de xB conhecida como
soluo geral do sistema.
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Soluo bsica
Considere uma partio bsica A=[B,N]. Uma
soluo dita bsica quando:
Se xB0 ento temos uma soluo bsica
factvel. Caso contrrio, temos uma soluobsica no-factvel. Se xB>0 dizemos que a soluo bsica factvel
no degenerada.
^
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Exemplo
Considere a seguinte regio factvel no R2
Forma padro
variveis de folga
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Exemplo
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Alguns pontos
Factveis (Por qu ?) (((construconstruo e no e noo--negatividadenegatividade)))
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Alguns pontos
No interior da regio factvel (todas as variveis de
folga so positivas).
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Alguns pontos
Na fronteira (alguma varivel se anula)!
VariVariveis nulas indicam restriveis nulas indicam restries ativas!es ativas!Mais de uma variMais de uma varivel se anula: vvel se anula: vrtice (mais de umartice (mais de umarestrirestrio ativa)!o ativa)!
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Outros pontos
InfactInfactveis:veis:
Respeitam o sistema Ax = bRespeitam o sistema Ax = bmas nmas no respeitam as restrio respeitam as restries de nes de noo--negatividade!negatividade!
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Considere o exemplo (Vrtice D)
Soluo bsica factvel...
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Voltando ao exemplo
Vrtice F:
Soluo bsica no-factvel...
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Propriedades
Se um problema de otimizao linear tem uma
soluo tima, ento existe um vrtice timo
Considere a regio factvel S={xRn tal que Ax=b, x0}.Um ponto x S um vrtice se e somente se x for umasoluo bsica factvel.
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Mtodo possvel
Enumerar todas as solues bsicas factveis
(vrtices)x1, x2, ... xK
Escolher aquela com melhor funo objetivo.
Problema:
K pode ser muito grande!
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Simplex
Idia:
Partir de uma soluo bsica factvelVisitar apenas as solues bsicas factveismelhores que ela.
Mtodo Simplex
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Perguntas
Dada uma soluo bsica factvel (ou
seja, um vrtice) 1) Esta soluo tima ?
2)Caso no seja tima, como encontraruma soluo bsica factvel melhor ?
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Pergunta 1: A soluo atual tima ?
Considere uma soluo bsica factvel:
E a soluo geral do sistema usando a mesma
partio :
=
N
Bx
xx
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Pergunta 1: A soluo atual tima ?
A funo objetivo pode ser expressa
considerando a partio bsica:
=
N
B
x
xx
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Ento
valor da soluo bsica associada a esta partio:::
Pergunta 1: A soluo atual tima ?
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Definio (vetor multiplicador simplex): Ovetor
mx1, dado por:
chamado vetor multiplicador simplex (outambm, vetor de variveis duais).
O vetor multiplicador simplex pode serobtido por:
Pergunta 1: A soluo atual tima ?
( ) BTBTT
BT
cBcBBc ===
11
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Vamos expressar por coluna:
Retornando ... Pergunta 1: A soluo atual tima ?
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Custos relativos
Definio: Os coeficientes das variveisno-bsicas na funo objetivo descrito acima so
chamados custos relativos ou custos reduzidos.
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Exemplo (Arenales et al, 2.22)
Considere o problema:
reescrito na forma padro:
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Resoluo grfica:
Interseco das retas:x1 + x2 = 4 e x1 = 3
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x1 + x2 = 4
(varivel de folga associada: x3) x1 = 3(varivel de folga associada: x4)
Logo, o vrtice (soluo bsica) deve ser
obtido com a partio:
B = (1,2,5) , N = (3,4)
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Atribuindo zero s variveis no-bsicas:x3=x4 = 0
Todos positivos: soluTodos positivos: soluo bo bsica factsica factvel.vel.
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Vamos calcular os custos relativos:
B = (B1,B2,B3) = (1,2,5) , NB = (NB1,NB2) = (3,4)
m variveis bsicas
nn--m varim variveis nveis noo--bbsicassicas
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Vamos calcular os custos relativos
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outra maneira de calcular T
( ) BT
B
TTB
T
cBcBBc ===
11
Vamos calcular os custos relativos
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Vamos calcular os custos relativos
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Condio de otimalidade
SoluSoluoobbsicasica
factfactvel e custos relativosvel e custos relativosmaiores que zeromaiores que zero
problema de minimizaproblema de minimizaoo
SoluSoluootimatima
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Resumo
J vimos:
Solues bsicas esto associadas a vrtices(pontos extremos) Se h uma soluo tima, ento h um ponto
extremo (soluo bsica) tima. Podemos definir os custos relativos de variveis no
bsicas como: Se, em um problema de minimizao (maximizao),
para uma dada soluo bsica, todos os custosrelativos so positivos (negativos), a soluo tima.
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Perguntas
1) A soluo atual tima ?
Respondida (ver ltimo item do slide anterior)
2) Como encontrar uma soluo bsicafactvel melhor ?
A l i
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A soluo no tima
Existe ao menos uma varivel no-bsica xNk
para a qual:
*problema de minimizao
E l
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Exemplo
E l
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Exemplo
(((B = B-1 = I)))
A l ti
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A soluo no tima
E t t i i l
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Estratgia simplex
Vamos perturbar a soluo bsica factvel de modo adiminuir o valor da funo objetivo .Definio (estratgia simplex). Chamamos de estratgiasimplex a perturbao de uma soluo bsica factvel queconsiste em alterar as variveis no bsicas por:
isto , escolhemos uma varivel com custo relativonegativo e adicionamos uma pequena perturbao.
E t t i i l
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Estratgia simplex
A nova funo objetivo vale:
Resultado na funo objetivo
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Resultado na funo objetivo
Pergunta: a soluo perturbada factvel ?
Sim, se a perturbao suficientemente pequena e a soluobsica original no degenerada.
qual o maiorqual o maior ??
Direo simplex e tamanho do passo
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Direo simplex e tamanho do passo
Mudando as variveis no-bsicas,
obrigatoriamente temos que mudar as variveisbsicas:
diredireo simplex!o simplex!
Direo simplex e tamanho do passo
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Direo simplex e tamanho do passo
As novas variveis bsicas (perturbadas)
devem continuar no-negativas:
Direo simplex e tamanho do passo
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Direo simplex e tamanho do passo
Temos, pois:
O que acontece se
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O que acontece se...
Se no momento de calcular o passo mximo,
todos os yi so negativos...
... significa que para qualquer valor de , a novasoluo factvel. Como quanto maior , maioro decrescimento da funo objetivo, a soluo
tima ser ilimitada!
Exemplo
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Exemplo
Considere o exemplo anterior:
(obtida para x(obtida para xNNii =0)=0)
Exemplo
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Exemplo
A soluo tima ?
NNoo tima. (Por qutima. (Por qu ?)?)
Exemplo
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Exemplo
A direA direo simplex indica a maneira como as vario simplex indica a maneira como as variveis bveis bsicas se modificam, aosicas se modificam, ao
se aumentar uma dada varise aumentar uma dada varivel nvel noo--bbsica (no caso, Nsica (no caso, N11=1)=1)
Exemplo
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Exemplo
No caso geral:
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No caso geral:
Ao resolvermos:
determinamos a varivel da base que vai se
anular (sair da base).
Anteriormente, ao escolhermos uma varivel
no-bsica com custo relativo negativo,escolhemos a varivel no-bsica que vaiassumir valor positivo (entrar na base).
No caso geral
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No caso geral
Partio anterior:
escolhida para entrarescolhida para entrar(custo relativo negativo)(custo relativo negativo)
escolhida para sairescolhida para sair(primeira ao se anular ao aumentarmos x(primeira ao se anular ao aumentarmos xNNkk))
A nova soluo
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A nova soluo
Pode-se mostrar que a nova matriz B
invertvel.
Como os valores das variveis da nova B so
no-negativos, trata-se de uma soluo factvel.
Seu custo :
Graficamente, no exemplo
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Graficamente, no exemplo
* ndice da varivel no-bsica escolhida para entrar (N1 = 1)
(escolhemos aquela com menor custo relativo)* ndice da varivel bsica escolhida para sair (B2 = 4)(escolhemos aquela que primeiro se anulava ao aumentarmos .)
Nova partio: B = (3,1,5) N=(4,2)
Simplex - Fase II
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Simplex Fase II
Simplex - Fase II
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Simplex Fase II
Simplex - fase II
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Simplex fase II
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Introduzindo variIntroduzindo variveis de folga, temosveis de folga, temos:::
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26 Sep 2008 . 22:00
Fcil, pois os coeficientes das variveis de folga formam uma matriz identidade.
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26 Sep 2008 . 22:00
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ExercExerccio: continue atcio: continue at obter a soluobter a soluoo timatima
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