Aula Linear 2 Parte 2

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    Otimizao Linear

    Conceitos bsicos lgebra LinearIntroduo ao mtodo simplex

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    Reviso de lgebra Linear

    Denomina-se posto ou Rank de uma matriz A, um

    nmero k tal que: a)existe pelo menos uma sub-matriz quadrada de A deordem k, cujo determinante no nulo .

    b)Toda sub-matriz quadrada de A, de ordem maior quek, tem determinante nulo.

    (de outro modo: Amxn. O rank linha igual ao nmeromximo de linhas linearmente independente de A. O

    rank coluna igual ao nmero mximo de colunaslinearmente independentes de A. Pode-se mostrar postolinha=posto coluna).

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    Reviso de lgebra Linear

    Amxn, Posto (A) mnimo{m,n}. Se

    posto(A)=mnimo{m,n}, ento A tem posto completo. Amxn tem posto k se e somente se:

    00

    QkI

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    Reviso de lgebra Linear

    Seja Amxn e considere o sistema Ax=b e (A,b) de ordem

    m x (n+1). Se posto(A,b) > posto(A), o sistema incompatvel (bno pode ser escrito como combinao linear dea1,a2,...,an).

    Se posto(A,b)=posto(A)=k ento:

    kApostobAposto

    xkbnxkA

    bA

    bAbA

    ==

    =

    )1()1,1(

    ,)1(),(1,

    22

    11),(

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    Reviso de lgebra Linear

    Restries A2x=b

    2so redundantes.

    Posto(A1)=k, pode-se pegar k colunas linearmenteindependentes de A1.

    A1=(B,N), B(k x k) uma matriz no singular echamada de matriz bsica e N (k x(n-k)) chamada de matriz no bsica.

    kApostobAposto

    xkbnxkAbA

    bAbA

    ==

    =

    )1()1,1(

    ,)1(),(1,

    22

    11),(

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    lgebra linear

    Resumindo (Seja o sistema Ax=b, Amxn.)

    Se posto (A,b)>posto(A), Ax=b no tem soluo. Se posto(A,b)=posto(A)=k=n, o sistema tem

    soluo nica.

    Se posto (A,b)=posto(A)=k

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    lgebra linear

    Seja o sistema Ax=b, Amxn. Suponha que

    posto(A)=posto(A,b)=m

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    Partio bsica

    Seja Ax=b, onde Amxn , bmx1 , xnx1 (m< n). Supor

    que posto(A)=m. possvel reorganizar as colunas de A de talmodo A=[B,N] e que:

    Bmxm formada por mcolunas linearmenteindependentes de A dada por:Onde B1, B2,..., Bm so os ndices das colunas

    escolhidas da matriz A (ndices bsicos)

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    Partio bsica

    Nmx (n-m) - formada pelas n-mcolunas restantesde A. N pode ser escrita como:

    Onde N1, N2,..., Nm so os ndices das colunas damatriz A que pertencem a N (ndices no-bsicos)

    Esta reorganizao definida como partio bsica

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    Partio bsica (partio das variveis)

    A partio de A em [B N] cria uma partio dasvariveis:

    variveis bsicas

    variveis no bsicas

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    Soluo geral do sistema

    A ltima expresso de xB conhecida como

    soluo geral do sistema.

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    Soluo bsica

    Considere uma partio bsica A=[B,N]. Uma

    soluo dita bsica quando:

    Se xB0 ento temos uma soluo bsica

    factvel. Caso contrrio, temos uma soluobsica no-factvel. Se xB>0 dizemos que a soluo bsica factvel

    no degenerada.

    ^

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    Exemplo

    Considere a seguinte regio factvel no R2

    Forma padro

    variveis de folga

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    Exemplo

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    Alguns pontos

    Factveis (Por qu ?) (((construconstruo e no e noo--negatividadenegatividade)))

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    Alguns pontos

    No interior da regio factvel (todas as variveis de

    folga so positivas).

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    Alguns pontos

    Na fronteira (alguma varivel se anula)!

    VariVariveis nulas indicam restriveis nulas indicam restries ativas!es ativas!Mais de uma variMais de uma varivel se anula: vvel se anula: vrtice (mais de umartice (mais de umarestrirestrio ativa)!o ativa)!

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    Outros pontos

    InfactInfactveis:veis:

    Respeitam o sistema Ax = bRespeitam o sistema Ax = bmas nmas no respeitam as restrio respeitam as restries de nes de noo--negatividade!negatividade!

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    Considere o exemplo (Vrtice D)

    Soluo bsica factvel...

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    Voltando ao exemplo

    Vrtice F:

    Soluo bsica no-factvel...

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    Propriedades

    Se um problema de otimizao linear tem uma

    soluo tima, ento existe um vrtice timo

    Considere a regio factvel S={xRn tal que Ax=b, x0}.Um ponto x S um vrtice se e somente se x for umasoluo bsica factvel.

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    Mtodo possvel

    Enumerar todas as solues bsicas factveis

    (vrtices)x1, x2, ... xK

    Escolher aquela com melhor funo objetivo.

    Problema:

    K pode ser muito grande!

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    Simplex

    Idia:

    Partir de uma soluo bsica factvelVisitar apenas as solues bsicas factveismelhores que ela.

    Mtodo Simplex

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    Perguntas

    Dada uma soluo bsica factvel (ou

    seja, um vrtice) 1) Esta soluo tima ?

    2)Caso no seja tima, como encontraruma soluo bsica factvel melhor ?

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    Pergunta 1: A soluo atual tima ?

    Considere uma soluo bsica factvel:

    E a soluo geral do sistema usando a mesma

    partio :

    =

    N

    Bx

    xx

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    Pergunta 1: A soluo atual tima ?

    A funo objetivo pode ser expressa

    considerando a partio bsica:

    =

    N

    B

    x

    xx

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    Ento

    valor da soluo bsica associada a esta partio:::

    Pergunta 1: A soluo atual tima ?

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    Definio (vetor multiplicador simplex): Ovetor

    mx1, dado por:

    chamado vetor multiplicador simplex (outambm, vetor de variveis duais).

    O vetor multiplicador simplex pode serobtido por:

    Pergunta 1: A soluo atual tima ?

    ( ) BTBTT

    BT

    cBcBBc ===

    11

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    Vamos expressar por coluna:

    Retornando ... Pergunta 1: A soluo atual tima ?

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    Custos relativos

    Definio: Os coeficientes das variveisno-bsicas na funo objetivo descrito acima so

    chamados custos relativos ou custos reduzidos.

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    Exemplo (Arenales et al, 2.22)

    Considere o problema:

    reescrito na forma padro:

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    Resoluo grfica:

    Interseco das retas:x1 + x2 = 4 e x1 = 3

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    x1 + x2 = 4

    (varivel de folga associada: x3) x1 = 3(varivel de folga associada: x4)

    Logo, o vrtice (soluo bsica) deve ser

    obtido com a partio:

    B = (1,2,5) , N = (3,4)

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    Atribuindo zero s variveis no-bsicas:x3=x4 = 0

    Todos positivos: soluTodos positivos: soluo bo bsica factsica factvel.vel.

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    Vamos calcular os custos relativos:

    B = (B1,B2,B3) = (1,2,5) , NB = (NB1,NB2) = (3,4)

    m variveis bsicas

    nn--m varim variveis nveis noo--bbsicassicas

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    Vamos calcular os custos relativos

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    outra maneira de calcular T

    ( ) BT

    B

    TTB

    T

    cBcBBc ===

    11

    Vamos calcular os custos relativos

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    Vamos calcular os custos relativos

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    Condio de otimalidade

    SoluSoluoobbsicasica

    factfactvel e custos relativosvel e custos relativosmaiores que zeromaiores que zero

    problema de minimizaproblema de minimizaoo

    SoluSoluootimatima

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    Resumo

    J vimos:

    Solues bsicas esto associadas a vrtices(pontos extremos) Se h uma soluo tima, ento h um ponto

    extremo (soluo bsica) tima. Podemos definir os custos relativos de variveis no

    bsicas como: Se, em um problema de minimizao (maximizao),

    para uma dada soluo bsica, todos os custosrelativos so positivos (negativos), a soluo tima.

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    Perguntas

    1) A soluo atual tima ?

    Respondida (ver ltimo item do slide anterior)

    2) Como encontrar uma soluo bsicafactvel melhor ?

    A l i

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    A soluo no tima

    Existe ao menos uma varivel no-bsica xNk

    para a qual:

    *problema de minimizao

    E l

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    Exemplo

    E l

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    Exemplo

    (((B = B-1 = I)))

    A l ti

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    A soluo no tima

    E t t i i l

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    Estratgia simplex

    Vamos perturbar a soluo bsica factvel de modo adiminuir o valor da funo objetivo .Definio (estratgia simplex). Chamamos de estratgiasimplex a perturbao de uma soluo bsica factvel queconsiste em alterar as variveis no bsicas por:

    isto , escolhemos uma varivel com custo relativonegativo e adicionamos uma pequena perturbao.

    E t t i i l

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    Estratgia simplex

    A nova funo objetivo vale:

    Resultado na funo objetivo

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    Resultado na funo objetivo

    Pergunta: a soluo perturbada factvel ?

    Sim, se a perturbao suficientemente pequena e a soluobsica original no degenerada.

    qual o maiorqual o maior ??

    Direo simplex e tamanho do passo

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    Direo simplex e tamanho do passo

    Mudando as variveis no-bsicas,

    obrigatoriamente temos que mudar as variveisbsicas:

    diredireo simplex!o simplex!

    Direo simplex e tamanho do passo

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    Direo simplex e tamanho do passo

    As novas variveis bsicas (perturbadas)

    devem continuar no-negativas:

    Direo simplex e tamanho do passo

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    Direo simplex e tamanho do passo

    Temos, pois:

    O que acontece se

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    O que acontece se...

    Se no momento de calcular o passo mximo,

    todos os yi so negativos...

    ... significa que para qualquer valor de , a novasoluo factvel. Como quanto maior , maioro decrescimento da funo objetivo, a soluo

    tima ser ilimitada!

    Exemplo

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    Exemplo

    Considere o exemplo anterior:

    (obtida para x(obtida para xNNii =0)=0)

    Exemplo

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    Exemplo

    A soluo tima ?

    NNoo tima. (Por qutima. (Por qu ?)?)

    Exemplo

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    Exemplo

    A direA direo simplex indica a maneira como as vario simplex indica a maneira como as variveis bveis bsicas se modificam, aosicas se modificam, ao

    se aumentar uma dada varise aumentar uma dada varivel nvel noo--bbsica (no caso, Nsica (no caso, N11=1)=1)

    Exemplo

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    Exemplo

    No caso geral:

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    No caso geral:

    Ao resolvermos:

    determinamos a varivel da base que vai se

    anular (sair da base).

    Anteriormente, ao escolhermos uma varivel

    no-bsica com custo relativo negativo,escolhemos a varivel no-bsica que vaiassumir valor positivo (entrar na base).

    No caso geral

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    No caso geral

    Partio anterior:

    escolhida para entrarescolhida para entrar(custo relativo negativo)(custo relativo negativo)

    escolhida para sairescolhida para sair(primeira ao se anular ao aumentarmos x(primeira ao se anular ao aumentarmos xNNkk))

    A nova soluo

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    A nova soluo

    Pode-se mostrar que a nova matriz B

    invertvel.

    Como os valores das variveis da nova B so

    no-negativos, trata-se de uma soluo factvel.

    Seu custo :

    Graficamente, no exemplo

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    Graficamente, no exemplo

    * ndice da varivel no-bsica escolhida para entrar (N1 = 1)

    (escolhemos aquela com menor custo relativo)* ndice da varivel bsica escolhida para sair (B2 = 4)(escolhemos aquela que primeiro se anulava ao aumentarmos .)

    Nova partio: B = (3,1,5) N=(4,2)

    Simplex - Fase II

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    Simplex Fase II

    Simplex - Fase II

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    Simplex Fase II

    Simplex - fase II

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    Simplex fase II

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    Introduzindo variIntroduzindo variveis de folga, temosveis de folga, temos:::

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    26 Sep 2008 . 22:00

    Fcil, pois os coeficientes das variveis de folga formam uma matriz identidade.

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    26 Sep 2008 . 22:00

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    ExercExerccio: continue atcio: continue at obter a soluobter a soluoo timatima

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