Aula…- Limite e continuidade
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Bases MatematicasContinuidade
Limites de FuncoesPropriedades do Limite de Funcoes
Daniel Miranda
Bases Matematicas
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Limites de FuncoesPropriedades do Limite de Funcoes
Continuidade
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Limites de FuncoesPropriedades do Limite de Funcoes
De modo intuitivo, uma funcao f : A → B , com A,B ⊂ R e ditacontınua se variacoes suficientemente pequenas em x resultam emvariacoes pequenas de f (x), ou equivalentemente, se para x
suficientemente proximo de a tivermos que f (x) e proximo de f (a).
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Exemplo de Descontinuidade
1
2
3
−1
−2
1 2 3−1−2
.
bc
b
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Exemplo de Descontinuidade
1
2
3
4
−11 2 3 4−1
bc
b
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Vamos agora examinar um exemplo de funcao contınua, a funcaoh(x) = x2. Vamos nos concentrar em entender o porque dessafuncao ser contınua numa vizinhanca do ponto x = 1.
x x2
2 41.5 2.251.3 1.691.2 1.441.1 1.211.01 1.02011.001 1.002001
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Intuitivamente, quando tomamos valores de x diferentes de 1porem cada vez mais proximos de 1, os valores de f (x) seaproximam de de f (1) = 1, e logo a funcao f (x) = x2 e continuanesse ponto.
0.5
1.0
1.5
−0.5
0.5 1.0 1.5−0.5−1.0
b
b
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Outro modo de analisar a continuidade e tomando uma sequenciaan arbitraria que convirja a 1.Pela propriedade do limite da multiplicacao temos que paraf (x) = x2
f (an) = a2n → 1
Ou seja, independente de como nos aproximamos de a (an → a) osvalores de f se aproximam de f (a) (f (an) → f (a))
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Continuidade: Uma funcao f : A → B e dita continua num
ponto a ∈ A se para toda sequencia xn ∈ A tal xn → a entaof (xn) → f (a)
a an
f (an)
f (a)
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bcbc
bc
bc bcbc bcbc bcbc bcbc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bcbcbc
bc
bc
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Uma funcao que e continua em todos os pontos do domınio e ditasimplesmente contınua. Vamos provar que algumas funcoessimples sao contınuas:
Exemplo 1 A funcao constante f (x) = c e contınua.
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Uma funcao que e continua em todos os pontos do domınio e ditasimplesmente contınua. Vamos provar que algumas funcoessimples sao contınuas:
Exemplo 1 A funcao constante f (x) = c e contınua.
Solucao: Seja an uma sequencia tal que an → a. Como estamosconsiderando a funcao constante f (x) = c entao f (an) = c e logolimn→∞
f (an) = c para toda sequencia an ou seja:
limx→a
c = c .
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Exemplo 2 A funcao f (x) = x e contınua.
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Exemplo 2 A funcao f (x) = x e contınua.
Solucao: Seja an uma sequencia real tal que an → a. Comof (x) = x temos que: lim
n→∞
f (an) = limn→∞
an = a para toda
sequencia an ou seja:limx→a
x = a.
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As seguintes funcoes sao contınuas:
Funcoes Polinomiais.
Funcoes Racionais.
Funcoes Trigonometricas: sen(x) , cos(x) , tan(x)
Funcoes Trigonometricas Inversas: arcsen(x) , arccos(x) ,arctan(x)
Funcoes Exponenciais: cx
Funcoes Logarıtmicas: loga(x)
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De modo intuitivo dizemos que f (x) tende a L quando x tende a a
se quando nos aproximamos de x entao f (x) se aproxima de L.Podemos, de modo analogo a definicao de continuidade, formalizara definicao de limite funcao usando sequencias.
an → a
f (an) → L
f
b
bb
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Dada f : A → B com A e B intervalos dos numeros reais, e a umnumero real tal que f (x) esta definida em I\{a}, com I umintervalo aberto contendo a.
Definicao de Limite
Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a e L se paratoda sequencia an tal que an ∈ I\{a} e an → a tivermos quef (an) converge a L.
Denotaremos que o limite de f (x) quando x tende a a e L por:
limx→a
f (x) = L
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Exemplo 1 limx→a
c = c
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Exemplo 1 limx→a
c = c Solucao: Seja an uma sequencia tal que
an → a e an 6= a. Como estamos considerando a funcao constantef (x) = c entao f (an) = c e logo lim
n→∞
f (an) = c para toda
sequencia an ou seja: limx→a
c = c .
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Exemplo 2 limx→a
x = a
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Exemplo 2 limx→a
x = a
Solucao: Seja an uma sequencia real tal que an → a e an 6= a.Como f (x) = x temos que: lim
n→∞
f (an) = limn→∞
an = a para toda
sequencia an ou seja: limx→a
x = a. �
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Exemplo 3 limx→1
x2 − 1
x − 1
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Exemplo 3 limx→1
x2 − 1
x − 1
Solucao:
Observe inicialmente que a funcao f (x) =x2 − 1
x − 1= x + 1 se
x 6= 1 e nao esta definida em x = 1.O fato da funcao nao estar definida em x = 1 e indiferente para ocalculo do limite pois a definicao na definicao do mesmo soconsidera sequencias an cujos valores sao distintas de 1 e tais quean → 1. Assim
limn→∞
f (an) = limn→∞
a2n − 1
an − 1= lim
n→∞
(an + 1)(an − 1)
an − 1=
limn→∞
an + 1 = 2.
Logo, limx→1
x2 − 1
x − 1= 2
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Exemplo 4 limx→0
sen(x) = 0
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Exemplo 4 limx→0
sen(x) = 0
Solucao: Seja an uma sequencia convergindo a 0, i.e, an → 0entao temos:
− |an| ≤ sen(an) ≤ |an|e pelo teorema do confronto temos que; lim
n→∞
sen(an) = 0 para
toda sequencia an → 0. E logo temos que limx→0
sen(x) = 0 �
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Propriedades Algebricas do Limite.
Seja c um numero real e f , g duas funcoes reais tais que tais quelimx→a
f (x) = A e limx→a
g(x) = B . Entao:
limx→a
(f (x) + g(x)) = A+ B . (Limite da Soma)
limx→a
(f (x)− g(x)) = A− B . (Limite da Diferenca)
limx→a
(f (x) · g(x)) = AB . (Limite do Produto)
limx→a
(cf (x)) = cA.
Se limx→a
g(x) = B 6= 0 entao limx→a
(
f (x)
g(x)
)
=A
B. (Limite do
Quociente)
limx→a
|f (x)| = |A|. (Limite do Modulo )
limx→a
(f (x)n) = An (Limite de Potencias)
limx→a
√
f (x) =√A (Limite da Raiz)
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Exemplo 1 Calcule limx→2
x3 + 3x + 2
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Exemplo 1 Calcule limx→2
x3 + 3x + 2
Solucao:
limx→2
x3 + 3x + 2 = limx→2
x3 + limx→2
3x + limx→2
2 por 19 (1)
=(
limx→2
x)3
+ 3 limx→2
x + limx→2
2 por 19 e 19(2)
= 8 + 6 + 2 = 16 (3)
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Exemplo 2 Calcule limx→a
x4 + 2
x2 + 1
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Exemplo 2 Calcule limx→a
x4 + 2
x2 + 1
Solucao: Se limx→a
x2 + 1 6= 0 entao
limx→a
x4 + 2
x2 + 1=
limx→a
(
x4 + 2)
limx→a
(x2 + 1)por 19 (4)
=limx→a
x4 + limx→a
2
limx→a
x2 + limx→a
1por 19 (5)
=a4 + 2
a2 + 1por 19 (6)
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Exemplo 3 limx→2
2x2 − 8x + 8
x2 + x − 6
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Exemplo 3 limx→2
2x2 − 8x + 8
x2 + x − 6
Solucao:
limx→2
x2 − 6x + 8
x2 + x − 6limx→2
(x − 2)(x − 4)
(x − 2)(x + 3)
Agora para o calculo do limite x 6= 2 e logo
limx→2
x2 − 6x + 8
x2 + x − 6= lim
x→2
(x − 2)(x − 4)
(x − 2)(x + 3)= lim
x→2
x − 4
x + 3= −2
5
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Limite da Composta.
Seja f uma funcao contınua em b e limx→a
gx = b entao
limx→a
f (g(x) = f (b).
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Exemplo 4 limx→0
sen(x2 + 4x + π) + 2
cos(x3 + x5)= 2
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Exemplo 4 limx→0
sen(x2 + 4x + π) + 2
cos(x3 + x5)= 2
Solucao: Como ja dissemos as funcoes sen(x) e cos(x) saocontınuas em todos os pontos. Alem disso temos:
limx→0
(
x2 + 4x + π)
= π e limx→0
x3 + x5 = 0
Logo,
limx→0
sen(x2+4x+π)+2 = sen( limx→0
x2+4x+π)+2 = sen(π)+2 = 2
limx→0
cos(x3 + x5) = cos( limx→0
x3 + x5) = cos(0) = 1
E assim temos que:
limx→0
sen(x2 + 4x + π) + 2
cos(x3 + x5)=
limx→0
(
sen(x2 + 4x + π) + 2)
limx→0
cos(x3 + x5)= 2
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Teorema (do Confronto)
Dadas f , g , h funcoes definidas num intervalo contendo o ponto a
e tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) nesse intervalo. Se
limx→a
f (x) = L = limx→a
h(x), entao
limx→a
g(x) = L
f
h
g
b
a
bb
L
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Exemplo 6 Mostre que limx→0
x2 sen 1x= 0
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Exemplo 6 Mostre que limx→0
x2 sen 1x= 0
y = x2
y = −x2
y = x2 sen 1x
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Solucao: Como
−1 ≤ sen1
x≤ 1
temos que
−x2 ≤ x2 sen1
x≤ x2
Como limx→0
x2 = limn→∞
0− x2 = 0, pelo teorema do confronto temosque
limx→0
x2 sen1
x= 0
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Exemplo 7 Mostre que
limx→0
sen(x)
x= 1 (Limite Fundamental)
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Exemplo 7 Mostre que
limx→0
sen(x)
x= 1 (Limite Fundamental)
Solucao: Como ja demonstramos para 0 < x <π
2 valem asdesigualdades:
0 < cos(x) <sen x
x<
1
cos(x).
E como limx→0
cos(x) = 1 = limx→0
1cos(x) pelo Teorema do Confronto
temos o limite desejado.�
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