Aula IX –Curvas Verticais-Infraestrutura de Vias Terrestres

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Aula IX Curvas Verticais

Infraestrutura de Vias Terrestres

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- Introduo;

- Tipos de curvas verticais;

- Clculo das cotas e flechas da parbola simples;

- Clculo do ponto de ordenada mxima e mnima;

- Cotas e estacas do PCV e PTV;

- Nota de servio de terraplenagem;

- Comprimento mnimo de curvas verticais;

- Comprimento mnimo de curvas convexas.

Superelevao

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Introduo

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Introduo

O projeto de uma estrada em perfil constitudo de greides retos, concordados dois a dois por

curvas verticais. Os greides retos so definidos pela sua declividade, que a tangente do

ngulo que fazem com a horizontal. Na prtica, a declividade expressa em porcentagem.

Nos greides ascendentes os valores das rampas (i) so considerados positivos e nos greides

descendentes negativos, conforme indicado na Figura 1. Para fazer esta conveno

necessrio dar um sentido ao perfil, que geralmente o mesmo do estaqueamento.

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Introduo

Figura 1 Perfil de uma estrada

interseo dos greides retos d-se a denominao de PIV (ponto de interseo vertical). Os

pontos de tangncia so denominados de PCV (ponto de curva vertical) e PTV (ponto de

tangncia vertical), por analogia com a curva circular do projeto em planta. A medida do

comprimento de uma curva vertical (L) feita sobre a projeo horizontal da curva.

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Introduo

As curvas clssicas de concordncia empregadas em todo o mundo so as seguintes:

parbola de 2 grau, curva circular, elipse e parbola cbica. O DNIT recomenda o uso de

parbolas de 2 grau no clculo de curvas verticais, de preferncia simtricas em relao ao

PIV, ou seja, a projeo horizontal das distncias do PIV ao PCV e do PIV ao PTV so iguais

a L/2, como mostra a Figura 2a.

Essas parbolas so definidas pelo seu parmetro de curvatura K, que traduz a taxa de

variao da declividade longitudinal na unidade do comprimento, estabelecida para cada

velocidade. O valor de K representa o comprimento da curva no plano horizontal, em metros,

para cada 1% de variao na declividade longitudinal.

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Introduo

Figura 2a Parbolas de 2 grau: (a) simples; (b) composta

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Introduo

Entre as vantagens da parbola de segundo grau, pode-se citar:

A equao da curva simples.

A taxa de variao de declividade da parbola constante.

O PCV e o PTV podem ser locados em estaca inteira ou +10,00, como convm no projeto

e no perfil definitivo.

desnecessrio o uso de tabelas ou gabaritos para desenhar a curva no projeto.

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Introduo

Figura 2b Elementos da parbola de 2 grau composta

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Introduo

Nos estudos de curvas verticais muito utilizada a expresso i1 i2, que a variao total da

declividade do greide, conforme a equao (1).

g = i1 i2 (1)

A equao i1 i2 algbrica. Na utilizao da equao (1), os sinais das rampas i1 e i2 devem

ser mantidos.

Pelo sinal de g pode-se dizer se a curva cncava ou convexa. Quando g > 0 a curva ser

convexa e se g < 0 a curva ser cncava.

A parbola simples uma curva muito prxima a uma circunferncia. Por isso, usual referir-

se ao valor do raio RV da curva vertical, que deve ser entendido como o menor raio

instantneo da parbola. A equao (2) relaciona RV e L.

L = RV .|g| = RV .|i1 i2| (2)

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Introduo

Um processo prtico para a escolha do valor L consiste no uso de gabaritos especiais para

curvas verticais, que colocados sobre o desenho das rampas preestabelecidas definem o

valor de RV que melhor atende s condies do projeto. Obtido RV, o valor de L pode ser

calculado pela equao (2).

Em curvas de mesmo raio, o conforto nas convexas maior que nas cncavas. Nas

cncavas, a acelerao da gravidade terrestre e a acelerao centrfuga se somam. Nas

convexas, as referidas aceleraes so subtrativas, gerando um certo efeito de flutuao.

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Tipos de curvas verticais

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Tipos de curvas verticais

A Figura 3 apresenta os tipos usuais de curvas verticais.

Figura 3 Tipos de curvas verticais

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Clculo das cotas e flechas da parbola simples

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Figura 4 Esquema para clculo das cotas e flechas da parbola

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Substituindo os valores de a, b e c, e fazendo g = i1 i2, a equao geral da parbola a

seguinte:

xixLg

y .1

2.2

(3)

A equao (3) fornece a ordenada y de qualquer ponto de abscissa x da curva, permitindo a

determinao das coordenadas dos pontos da curva em relao ao PCV. Para o clculo das

cotas de um ponto genrico P em relao a um plano de referncia, a equao utilizada a

seguinte:

)(.1

2.2

)( PCVCotaxixL

gPCota

(4)

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(5)

Ainda com relao a Figura 4, tem-se as seguintes relaes:

Em que:

f = flecha da parbola.

g = diferena algbrica das rampas.

L = comprimento da curva vertical.

x = distncia horizontal do ponto de clculo da flecha ao PCV.

Em particular, no ponto PIV, tem-se a flecha mxima, que a seguinte:

2.2

xL

gf

2

2.

2

L

L

gf

8

.Lgf (6)

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Clculo do ponto de ordenada mxima e mnima

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Clculo do ponto de ordenada mxima e mnima

Fazendo as devidas substituies:

Onde L0 a abscissa e y0 a ordenada do vrtice V em relao ao PCV

g

LiL

.1

0

g

Liy

2

.21

0

(7a)

(7b)

Figura 4 Esquema para clculo das cotas e flechas da parbola

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Cotas e estacas do PCV e PTV

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Cotas e estacas do PCV e PTV

Para o clculo das estacas e cotas dos pontos PCV e PTV utilizamos as seguintes relaes:

E(PCV) = E(PIV) [L/2] (8)

E(PTV) = E(PIV) + [L/2] (9)

Cota(PCV) = Cota(PIV) i1.L/2 (10)

Cota(PTV) = Cota(PIV) + i2.L/2 (11)

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Nota de servio de terraplenagem

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Para preparar a nota de servio de terraplenagem para o servio de construo, o primeiro

passo calcular as cotas do greide reto projetado. Partindo de uma cota conhecida, vo

sendo calculadas as cotas dos diversos pontos do greide reto, de acordo com a rampa,

passando pelo PCV at atingir o PIV. Em seguida, tomando-se a inclinao do segundo greide

reto, prossegue-se o clculo at o novo PIV, e assim por diante.

Os valores de f, calculados pela equao (5), inscrevem-se na coluna ordenadas da

parbola da Tabela 1. Para a curva parablica simples, calcula-se os valores das flechas

para o primeiro ramo (do PCV ao PIV) e repete-se, em ordem inversa, para o ramo simtrico.

Calculados os valores de f, soma-se ou subtrai-se do greide reto e tem-se ento as cotas do

greide de projeto.

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Para o clculo das cotas vermelhas, basta fazer a diferena entre as cotas do terreno

natural e as cotas do greide de projeto.

Tabela 1 Nota de servio de terraplenagem

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Comprimento mnimo de curvas verticais

(Critrio da distncia de visibilidade)

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Comprimento mnimo de curvas verticais (Critrio da distncia de visibilidade)

Os elementos retos constituem o perfil longitudinal de uma estrada so concordados por

curvas verticais, convexas ou cncavas, cujos comprimentos mnimos devem satisfazer os

requisitos de visibilidade.

Definidos os valores mnimos do comprimento da curva deve-se, sempre que possvel, usar

comprimentos maiores que os mnimos estabelecidos. A adoo de valores prximos aos

mnimos admissveis leva a curvas muito curtas que devem ser evitadas.

O comprimento das curvas verticais se fixa de acordo com as distncias de visibilidade. So

duas as principais distncias de visibilidade a serem consideradas:

parada (situao mnima).

ultrapassagem (situao especial).

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Comprimento mnimo de curvas convexas

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O mnimo comprimento das curvas verticais convexas determinado em funo das

condies necessrias de visibilidade nas curvas, de forma a dar ao motorista o espao

necessrio a uma frenagem segura, quando este avista um obstculo parado em sua

trajetria.

O critrio recomendado requer que um motorista com seu campo de viso situado a uma

altura H = 1,10 m acima do plano da pista enxergue um obstculo situado sobre a pista, com

altura h = 0,15 m.

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Caso I: a distncia de visibilidade (S) menor ou igual ao comprimento da curva (L), isto , S

L.

Figura 5 Comprimento mnimo de curvas verticais convexas (S L)

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Na condio limite, tem-se S = Dp. Logo, o comprimento mnimo da curva vertical :

Em que:

Lmin = comprimento mnimo da curva vertical, em metros.

Dp = distncia de visibilidade de parada, em metros.

A = diferena algbrica das rampas (g), em %.

K = parmetro da parbola, em metros.

AKApD

L .min

.412

2

min (12)

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Os valores correspondentes a esse critrio, arredondados para fins de projeto, esto

representados nas Figuras 6 e 7. Segundo o DNIT, para valores de K maiores que 43, a

drenagem no trecho dever receber maior ateno.

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Curvas Verticais


Figura 6 Comprimentos de curvas verticais convexas (condies recomendadas)

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Figura 7 Comprimentos de curvas verticais convexas (condies excepcionais)

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Curvas Verticais


Caso II: a distncia de visibilidade maior que o comprimento da curva, isto , S > L.

Figura 8 Comprimento mnimo de curvas verticais convexas (S > L)

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Curvas Verticais


Na condio limite, tem-se S = Dp. Logo, o comprimento mnimo da curva vertical :

Em que:



A = diferena algbrica das rampas (g), em %.

ApDL

4122

min (13)

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Comprimento mnimo de curvas cncavas

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Curvas Verticais


Durante o dia e no caso de pistas iluminadas artificialmente, geralmente no ocorrem problemas

de visibilidade. Para pistas no iluminadas, aplica-se o critrio da visibilidade noturna, ou seja, a

pista deve ser iluminada distncia de visibilidade de parada pelo farol do veculo, por hiptese

situado a 0,61 m acima do plano da pista, supondo que o seu facho luminoso diverge de 1 do

eixo longitudinal do veculo.

Caso I: a distncia de visibilidade (S) menor ou igual ao comprimento da curva (L), isto , S

L.

Figura 9 Comprimento mnimo de curvas verticais cncavas (S L)

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Curvas Verticais


Na condio limite, tem-se S = Dp. Logo, a equao se reduz a:

Em que:


Dp = distncia de visibbilidade de parada, em metros.

A = diferena algbrica das rampas, em %.

K = parmetro da parbola, em metros.

Os valores correspondentes a esse critrio, arredondados para fins de projeto, esto

representados nas Figuras 10 e 11.

AKApD

pDL .

min.

.5,3122

2

min

(14)

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Figura 10 Comprimento de curvas verticais cncavas (condies recomendadas)

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Figura 11 Comprimento de curvas verticais cncavas (condies excepcionais)

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Caso II: a distncia de visibilidade maior que o comprimento da curva, isto , S > L.

Figura 12 Comprimento mnimo de curvas verticais cncavas (S > L)

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Curvas Verticais


Na condio limite, tem-se S = Dp. Logo, a equao fica:

Em que:



A = diferena algbrica das rampas, em %.

Para facilidade de clculo e locao, os valores adotados para L so geralmente

arredondados para mltiplos de 20 metros.

A

pD

pDL.5,3122

2min

(15)

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Curvas Verticais

Comprimento mnimo valor absoluto

Para ambos os casos (curvas convexas e curvas cncavas), valores muito pequenos para L

no so desejveis. Pelo critrio do mnimo valor absoluto, o comprimento mnimo das curvas

verticais deve permitir ao motorista perceber a alterao de declividade longitudinal.

Adotando para essa percepo um perodo de tempo mnimo de 2 segundos, o comprimento

mnimo da curva vertical de acordo com esse critrio dado pela equao (16).

Onde:

V = velocidade diretriz, em km/h.


VL .6,0min

(16)

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Exemplos

Exemplo 1: Calcular os elementos notveis da curva e completar a tabela a seguir. O raio da

curva vertical (RV) igual a 3000 m e a distncia de visibilidade de parada (Dp) igual a 98 m.

- Soluo:

g = i1 i2 = 2% - (-6%) = 8% = 0,08

L = g . RV = 0,08 . 3000 = 240 m

Verificao de Lmin:

m (OK)ApD

LLpD 50,18662.412

298.

412

2

min

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Flecha mxima:

Clculo das estacas e cotas do PCV e PTV: L/2 = 120 m = 6 estacas

Est(PCV) = (80 + 0,00) (6 + 0,00) = 74 + 0,00

Est(PTV) = (80 + 0,00) + (6 + 0,00) = 86+ 0,00

Clculo do vrtice V:

m 00,000,3 m 6008,0

240.02,0.10

g

LiL

m 60,008,0.2

240.202,0

2

.21

0

g

Liy

mLi

PIVCotaPCVCota 60,8272240.02,0830

2

.1)()(

mLi

PIVCotaPTVCota 80,8222

240.06,08302

.2)()(

Exemplos

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Clculo do vrtice V:

E(V) = E(PCV) + [L0] = (74 + 0,00) + (3 + 0,00) = 77 + 0,00 m

Cota(V) = Cota(PCV) + y0 = 827,60 + 0,60 = 828,20 m

Equao para clculo das ordenadas da parbola:

Adotando para x uma variao de 20 em 20 m, tem-se a Tabela 2.

2.410.6667,12.240.2

08,02.2

xxxL

gf

Exemplos

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Equao para clculo das ordenadas da parbola:

Tabela 2 Nota de servio de terraplenagem

Exemplos

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Exerccios 1) Calcular os elementos notveis (estacas e cotas do PCV, PTV e V) da curva a seguir e

confeccionar a nota de servio. O raio da curva vertical (RV) igual a 4000 m e a distncia de

visibilidade de parada (Dp) igual a 112 m.

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Exerccios

2) Calcular os elementos notveis da curva vertical a seguir e confeccionar a nota de servio.

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Bibliografia

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