Aula INSTUMENTAÇÃO

INSTRUMENTAO E SIMBOLOGIA

INDUSTRIAL Maro-2015

Cascavel - Paran

Tpicos:

ERRO DE MEDIAO - ANLISE ESTATSTICA E

INCERTEZAS

Erro de Medio Existe!

Uma medio perfeita, isto , sem erros, s pode existir se um

SM (sistema de medio) perfeito existir e a grandeza sob

medio (denominada mensurando) tiver um valor nico,

perfeitamente definido e estvel. Apenas neste caso ideal o

resultado de uma medio (RM) pode ser expresso por um

nmero e uma unidade de medio apenas.

Terminologia

Para que se possa expor de forma clara e eficiente os conceitos da

metrologia, atravs do qual so determinados e tratados os erros de

medio, preciso empregar a terminologia tcnica apropriada. A

terminologia adotada neste texto est baseada na

Portaria 029 de 10 de maro de 1995 do INMETRO - Instituto

Nacional de Metrologia, Normalizao e Qualidade Industrial, que

estabelece o Vocabulrio de Termos Fundamentais e Gerais em

Metrologia. Este documento baseado no vocabulrio

internacional de metrologia elaborado por diversas entidades

internacionais tais como BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC e IUPAP

Anlise estatstica e incertezas

Este Guia foi preparado por um grupo de trabalho conjunto formado por especialistas nomeados pelo BIPM, pela Comisso Eletrotcnica Internacional (IEC), pela Organizao

Internacional para a Normalizao (ISO), e pela Organizao Internacional de Metrologia Legal (OIML).

Deram suporte para o desenvolvimento deste Guia, o qual em seu nome publicado, as sete

organizaes* a seguir nomeadas:

BIPM: Bureau International des Poids et Mesures (Bir Internacional de Pesos e Medidas)

IEC: International Electrotechnical Commission (Comisso Eletrotcnica Internacional)

IFCC: International Federation of Clinical Chemistry** (Federao Internacional de Qumica Clnica)

ISO: International Organization for Standardization (Organizao Internacional para a

Normalizao)

IUPAC: International Union of Pure and Applied Chemistry** (Unio Internacional de

Qumica Pura e Aplicada)

IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics** (Unio Internacional de Fsica

Pura e Aplicada)

OlML: International

Guia para a expresso de incerteza de medio

Incerteza (de medio)

[ VIM 2.26 ]

Incerteza de medio, f

[uncertainty of measurement / incertitude

de mesure, f]

Parmetro, associado ao resultado de uma

medio, que caracteriza a disperso dos

valores que podem ser fundamentalmente

atribudos a um mensurando.


[ VIM 2.26 ]

Observaes:

1) O parmetro pode ser, por exemplo,

um desvio padro (ou um mltiplo

dele), ou a metade de um intervalo

tendo uma probabilidade de abrangncia

determinada.


[ VIM 2.26 ]

Observaes:

2) A incerteza de medio compreende, em geral, muitos componentes. Alguns destes componentes podem ser estimados com base na distribuio estatstica dos resultados das sries de medies e podem ser caracterizados por desvios padro experimentais (Tipo A). Os outros componentes, que tambm podem ser caracterizados por desvios padro, so avaliados por meio de distribuio de probabilidade assumidas baseadas na experincia ou em outras informaes (Tipo B).

Incerteza de medio

Tipo A Tipo B Depende da

estabilidade da varivel de processo

Estimada pelo desvio padro

Em experimentos de campo deve ser a a fonte de maior incerteza

Depende da qualidade do sistema de medio

Estimada a partir das informaes disponveis

Em experimentos laboratoriais deve ser a fonte de maior incerteza.

10

Tipos de Erro

Erro sistemtico (que deve ser corrigido)

Erro aleatrio

Ambos tem incertezas:

Tipo A estimada atravs da estatstica

Tipo B estimada por mtodos no-estatsticos:

Fornecido pelo fabricante do instrumento

Estimado pela experincia

Assumido igual a metade da menor escala

Sistemtica (associada ao erro sistemtico)

Etc..

Resultado de medio

O resultado de uma medio (RM) expressa propriamente o que se pode determinar com segurana sobre o valor do mensurando, a partir da aplicao do SM sobre esta. composto de duas parcelas:

a) o chamado resultado base (RB), que corresponde ao valor central da faixa onde deve situar-se o valor verdadeiro do mensurando;

b) e a incerteza da medio (IM), que exprime a faixa de dvida ainda presente no resultado, provocada pelos erros presentes no SM e/ou variaes do mensurando, e deve sempre ser acompanhado da unidade do mensurando. Assim, o resultado de uma medio (RM) deve ser sempre expresso por:

][unidadeIMRBRM

Componentes do erro de medio para

medio direta

Erro de medio a diferena entre o valor indicado

pelo sistema de medio e o valor verdadeiro do

mensurando.

VVIE

I o valor indicado pelo sistema de medio o valor verdadeiro do mensurando VV

Esta equao no tem interesse prtico mas nos d uma idia de como tratar os

erros de medio.

Erros aleatrios e erros sistemticos

Componentes do erro de medio

O erro de medio pode ser decomposto em duas parcelas:

Erro sistemtico e erro aleatrio.

Erro sistemtico corresponde ao valor mdio do erro de medio.

O erro aleatrio a parcela imprevisvel do erro de medio,

responsvel pelas variaes encontradas em medies repetidas.

VVIEs

I a mdia de um nmero INFINITO de indicaes

VV o valor VERDADEIRO do mensurando

Tendncia e Correo

Tendncia (Td) uma estimativa do erro sistemtico.

VVCITd

I a mdia de um nmero FINITO de indicaes do instrumento.

VVC o valor verdadeiro CONVENCIONAL do mensurando.

VVC uma estimativa suficientemente prxima do valor verdadeiro do mensurando.

dTC C o valor da Correo

Exemplo

gVVC 01,01000

VVCCIE

TC

VVCIT

a

d

d

No. I E

1 1014 14

2 1015 15

3 1017 17

4 1012 12

5 1015 15

6 1018 18

7 1014 14

8 1015 15

9 1016 16

10 1013 13

11 1016 16

12 1015 15

Mdia 1015 15

I

Erro aleatrio, Incerteza-padro e

Repetividade

Ic so as indicaes corrigidas.

Quinze gramas foram

subtradas de cada indicao.

No. I C Ic Ea

1 1014 -15 999 -1

2 1015 -15 1000 0

3 1017 -15 1002 2

4 1012 -15 997 -3

5 1015 -15 1000 0

6 1018 -15 1003 3

7 1014 -15 999 -1

8 1015 -15 1000 0

9 1016 -15 1001 1

10 1013 -15 998 -2

11 1016 -15 1001 1

12 1015 -15 1000 0

Mdia 1015 -15 1000 0

I = Indicao

C= Correo

Ic = Indicao corrigida

Ea = Erro aleatrio


Repetividade Aps a correo ser aplicada o

sistema de medio passa a

indicar, em mdia, corretamente.

Porm, as indicaes obtidas

no se repetem exatamente

devido o erro aleatrio.

O erro aleatrio no segue

qualquer padro.

IIE iia I

I

E

i

i

a = erro aleatrio da i-sima indicao.

= i-sima indicao

= mdia das indicaes

Pode-se notar que o Erro aleatrio das 12 medies est restrito a uma faixa de valores de 3 g.

Seria razovel esperar que a 13a. medio apresente um erro aleatrio entre -3 g e +3 g,

No coincidncia que a mdia do erro aleatrio zero.


Repetividade

Denomina-se REPETITIVIDADE a faixa de valores simtrica em

torno do valor mdio, dentro da qual o erro aleatrio de um sistema

de medio esperado com uma certa probabilidade.

Estimativa da Incerteza-padro

Erro aleatrio, Incerteza-padro e Repetividade

O desvio-padro de uma distribuio normal associada ao

erro de medio usado para caracterizar quantitativamente a

intensidade da componente aleatria do erro de medio.

Denomina-se Incerteza-padro o valor do desvio-padro do erro

aleatrio de medio. comumente representado pela leta u

(Vem do termo ingls uncertainty)

Populao o termo que se usa em estatstica para descrever o

nmero total de elementos que compem o universo sobre o

qual h interesse em se analisar.


O conjunto total de indicaes que podem ser obtidas de

medies repetidas de um mesmo mensurando ilimitado,

constituindo uma populao infinita.

O desvio-padro de uma populao infinita calculado pela

seguinte expresso:

n

IIn

i

i

n

1

2

lim nI

I i

desvio-padro

i-sima indicao

mdia de todas as indicaes

Nmero de medies repetitivas

efetuadas

Na prtica no se dispe de infinitas medies repetidas.

Uma estimativa do desvio-padro obtida pelo desvio-

padro da amostra, calculada a partir de um nmero finito

de medies repetidas do mesmo mensurando por:


1

1

2

n

II

s

n

i

i

n

I

I

s

i

desvio-padro da amostra

i-sima indicao

mdia das n indicaes

nmero de medies repetitivas efetuadas

O desvio-padro da amostra uma estimativa do desvio

padro da populao.

Quando calculada a partir de um conjunto de medies repetidas, a

incerteza-padro corresponde ao desvio-padro da amostra. Deve

ser associado incerteza-padro o nmero de graus de liberdade

com que foi estimada. Comumente representado pela letra grega

(l-se ni), o nmero de graus de liberdade reflete o grau de

segurana com que a estimativa do desvio-padro determinada.


A incerteza padro u e o respectivo nmero de graus de

liberdade podem ser calculados por:

1

1

1

2

n

n

II

u

n

i

i

Estimativa da Repetitividade

A Repetitividade pode ser calculada a partir do desvio-padro da

populao.

A rea sob a curva NORMAL de distribuio de probabilidade

unitria, o que equivale a dizer que h uma chance e 100% de uma

varivel aleatria estar no intervalo de menos infinito a mais

infinito.

A rea contida dentro da faixa limitada por -2 e +2 pode ser

calculada e corresponde a 95,45% da rea total.

.9545

Quando o desvio-padro para populao infinita conhecido

exatamente, o clculo da repetitividade para 95,45% muito

fcil. Quando este desvio padro no conhecido, mas deve ser

extimado experimentalmente, o clculo da repetitividade segue

outro caminho:


O matemtico ingls William Sealey Gosset desenvolveu um

caminho confivel para estimar parmetros de um conjunto

finito de dados . Sob o pseudnimo de Student ele publicou o

seu trabalho em 1908. O trabalho consiste em uma nova

distribuio que ele chamou de distribuio t.

A idia bsica que quanto mais dados forem utilizados para

calcular o desvio-padro, melhor ser a confiabilidade da

estimativa realizada.

Para compensar a incerteza de uma estimativa do desvio-padro,

a repetitividade deve ser calculada multiplicando-se a estimativa

do desvio-padro por um nmero maior do que 2, incorporando

assim um coeficiente de segurana devidamente calculado. Esse

nmero o fator t de Student. Assim a repetitividade

calculada por:


ut.Re

u

t

ReRepetitividade Coeficiente t de Student para 95,45% e n-1 graus de

liberdade

U incerteza-padro obtida a partir da amostra com n-

1 graus de liberdade.

Distribuio T-Student

A distribuio T de Student

uma distribuio de probabilidade

estatstica, publicada por um autor

que se chamou de Student,

pseudnimo de William Sealy

Gosset, que no podia usar seu

nome verdadeiro para publicar

trabalhos enquanto trabalhasse

para a cervejaria Guinness.

A repetitividade a metade do valor da largura da faixa

com centro no zero, dentro da qual, para uma dada

probabilidade, o erro aleatrio esperado. calculada pelo

produto da incerteza-padro pelo respectivo coeficiente t de

Student.


Aplicao para o exemplo da balana


11112

65,1112

101512

1

2

i

iI

u

O coeficiente de Student obtido a partir da Tabela (Vide anexo Referncia 2)

Para 95,45% de probabilidade e 11 graus de liberdade 255,2t

g

ut

72,365,1.255,2Re

.Re

Curva de Erros e Erro

mximo

Curva de Erros

o grfico que representa a distribuio dos erro sistemticos e

aleatrios ao longo da faixa de medio do sistema de medio.

No exemplo da balana mostrado determinou-se a Tendencia de 15g e a

Repetitividade de 3,72g para uma massa padro de 1000 g.

Ao medir repetidamente outros valores de massa padro pode-se obter outros

valores de Tendncia e Repetividade.

E

A

B

C

Indicao

maxE

1015

15 iiTd Re

iiTd Re

iTd

Erro mximo

o erro com o maior valor absoluto que pode ser

cometido pelo sistema de medio nas condies que foi

avaliado.

Nmeros significativos e

arredondamentos

Algarismos significativos As indicaes

Tem 3 algarismos significativos.

mImmIcmI 0114,0,4,11,14,1

O nmero de algarismos significativos presente em uma expresso

numrica contado percorrendo cada algarismo da expresso numrica

da esquerda para a direita. A contagem inicia quando o primeiro

algarismo diferente de zero encontrado. A contagem incrementada

para cada algarismo percorrido at que o ltimo algarismo da direita

seja encontrado.

Exemplos:

12 Possui dois algarismo significativos

1,2 possui dois algarismos significativos

0,012 possui dois algarismo significativos

0,0000012 possui dois algarismo significativos

0,01200 possui quatro algarismo significativos

45,300 possui cinco algarismo significativos

Regras de arredondamento numrico

Algarismos significativos

Norma NBR 5891. Resumidamente so 3 regras:

Regra 1: Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ltimo algarismo a ser conservado

for inferior a cinco, o ltimo algarismo a ser conservado permanece sem modificao.

Exemplo: 4,3333 arredondado para ter 1 casa decimal resulta em 4,3.


for superior a cinco, ou, sendo cinco, for seguido de no mnimo um algarismo diferente de

zero, o ltimo algarismo a ser conservado dever ser aumentado de uma unidade.

Exemplo A: 21,6666 arredondado para ter uma casa decimal resulta em 21,7.

Exemplo B: 4,8505 arredondado para ter uma casa decimal resulta em 4,9.


for 5 seguido de zeros, o ltimo algarismo a ser conservado poder ou no ser modificado.

Ser mantido sem modificao se for par. Ser acrescido de uma unidade se for impar.

Exemplo A: 4,8500 arredondado para ter uma casa decimal torna-se 4,8.

Exemplo B: 4,5500 arredondado para ter uma casa decimal torna-se 4,6.

Grafia do resultado de medio No h necessidade de envolver mais que dois algarismos

significativos para descrever suficientemente bem o tamanho da faixa correspondente incerteza de medio.

A seguinte regra dever ser usada:

Regra 1: A incerteza de medio deve ser arredondada para conter no mximo dois

algarismos significativos. No importa quantas casas decimais resultem.

Regra 2: O resultado base deve ser arredondado para conter o mesmo nmero de casas

decimais da incerteza de medio. No importa quantos nmeros significativos resultem.

Grafia incorreta Grafia correta com um

algarismo significativo na

IM

Grafia correta com dois

algarismos significativos

na IM

(8,6124333+-0,01912) mm (8,61 +- 0,02) mm (8,612+- 0,019) mm

(12,478892+-0,9111) kg (12,5+-0,9) kg (12,48+-0,91) kg

(0,044721+-0,00028) A (0,0447+-0,0003) A (0,04472+-0,00028) A

(256,12+-5,2456) mV (256+-5) mV (256,1+-5,2) mV

Arredondamento nos clculos

Durante os clculos intermedirios, uma boa prtica

utilizar vrios algarismo significativos. Se possvel, os

arredondamentos devem ser deixados para o final, no

momento de escrever o resultado de medio.

Considerando, conforme j dito, que a medio um processo

estocstico, e que as indicaes do instrumento de medio so

valores de uma varivel aleatria com uma distribuio de

probabilidades subjacente, h pelo menos 2 maneiras de se obter a

estimativa do valor mais provvel do mensurando:

1. Usando um valor indicado pelo instrumento (N = 1);

2. Usando a mdia de N > 1 indicaes/observaes.

No primeiro caso, a disperso de valores obtidos a cada realizao

da medio ser dada pelo desvio padro da varivel aleatria

indicao do instrumento.

No segundo caso, a disperso de valores obtidos a cada realizao

da medio ser dada pelo desvio padro da varivel aleatria

mdia de N indicaes do instrumento.

Incerteza da mdia

Incerteza da mdia

Suponha 8 classes de alunos. A mdia da altura dos alunos

de cada classe

O desvio padro das mdias menor do que o desvio

padro de cada classe.

Adota-se

onde s representa o desvio padro de uma classe.

8,1ihi

n

ss

h

n

ssx

No caso de medidas nicas utilizadas para expressar o resultado de medio ( isto , o

resultado um valor individual e no uma mdia), o desvio padro calculado acima no deve

ser dividido por . n

Incerteza da mdia

Incerteza padro da medio

H dois tipos de Incerteza Padro:

Incerteza Padro do Tipo A: obtida a partir de um conjunto finito de amostras, usando estimadores amostrais para a mdia e para o desvio padro.

Incerteza Padro do Tipo B: obtida por qualquer outro meio, tal como informao prvia fornecida pelo fabricante; aproximaes conservadoras baseadas em experincia prvia com instrumentos similares; modelo matemtico formal do processo de medio especfico como um processo estocstico; etc.

Incerteza padro tipo A

Na Incerteza Padro do Tipo A usamos estimadores amostrais para a mdia e para o desvio padro. Em condies usuais, os limites abaixo indicados so verdadeiros:

Incerteza padro tipo B

No caso da obteno de informao sobre a FDP que no foi

realizada atravs de anlise amostral, temos a Incerteza

Padro do Tipo B.

Algumas Funes de Densidade de Probabilidade bastante

utilizadas so:

Distribuio Normal ou

Gaussiana

aa

Distribuio Retangular

Por que a distribuio Normal to utilizada?

Com somente 2 parmetros possvel especificar toda a funo;

Teorema Central do Limite: Se uma varivel aleatria o resultado da contribuio mdia de um grande nmero de variveis aleatrias independentes, ento essa varivel resultante ter distribuio aproximadamente Normal, mesmo quando as variveis aleatrias contribuintes no apresentam distribuio Gaussiana.

Para uma varivel aleatria x com distribuio Gaussiana, os seguintes fatos so verdadeiros:

H 68% de chances que

H 95% de chances que

H 99,7% de chances que


x

22 x

33 x

Muito utilizada nos casos em que se sabe que a

varivel est limitada a um intervalo finito, e

no h razo para atribuir uma probabilidade

diferenciada para regies dentro desse

intervalo. Ex.: valor indicado por um

instrumento de resoluo finita (e.g. Voltmetro

digital).


Distribuio retangular ou uniforme

ba

bxa

),(0

,1

)(

baxpara

baxparaabxp

32

2)(

ab

abxE

Quando o tipo de distribuio de probabilidade assumido como perfeitamente

conhecido, o nmero de graus de liberdade envolvidos sempre considerado

infinito.

Exemplo de utilizao de

distribuio uniforme

Um instrumento digital apresenta uma Resoluo igual a 1.

Isso significa que qualquer medida y=xyz,w ser indicada como

5,01

5,0

wsexyzR

wsexyzR

Nesse caso, existe uma mesma probabilidade de que o erro cometido esteja dentro do

intervalo (-0,5, 0,5) conforme a figura.

5,005,0

)(ErroP A incerteza padro calculada como

29,032

1

,3

2/3

u

casonoRa

u

Caracterizao do processo de

medio

Definio do Mensurando

Procedimento de medio

Condies ambientais

Operador

Sistema de medio

Fontes de incerteza

Resultado de

medio

Variabilidade do mensurando

comum esperar que o mensurando tenha um valor nico e bem definido. Isso correto na maioria das vezes. Trata-se de mensurando invarivel.

Um mensurando considerado invarivel se seu valor permanecer constante durante o perodo em que a medio efetuada.

H casos onde o valor do mensurando apresenta variaes. A

temperatura um exemplo: Seu valor varia de acordo com a

posio em que medida ao longo do tempo. Seu valor no

nico mas flutua dentro de uma faixa. denominado um

mensurando varivel.

Um mensurando varivel quando seu valor no nico, mas

varia em funo da posio, do tempo ou de outros fatores.

Correo combinada

A correo combinada o valor da correo a ser aplicada a

sum processo de medio. formada a partir da soma

algbrica das correes individualmente estimadas para

cada fonte de incerteza.

nCCCCC 321

Incerteza combinada uc

Os efeito da ao combinada de vrias fontes de incerteza

devem ser quantificados pela incerteza combinada.

A maneira de combinar depende do tipo de correlao entre

as fontes de incerteza.

Existem claramente dois casos:

Fontes de incerteza no-correlacionadas

Fontes de incerteza correlacionadas ou estatisticamente

dependentes.

Denomina-se incerteza combinada o desvio-padro

resultante da ao combinada das componentes aleatrias de

todas as fontes de incerteza que afetam um processo de

medio.

Incerteza combinada Caso de incertezas

no correlacionadas

22

3

2

2

2

1

2

nc uuuuu

cu Incerteza combinada

iu Incerteza-padro da i-sima fonte de incerteza

Cada uma das incertezas-padro, separadamente estimadas

para cada fonte de incerteza, tem um certo nmero de graus

de liberdade associado.

O nmero de graus de liberdade efetivo o nmero de

graus de libertade correspondente incerteza combinada.

Incerteza combinada Caso de

incertezas no correlacionadas

n

n

ef

c uuuu

4

2

4

2

1

4

1

4

ef Nmero de graus de liberdade efetivos

i Nmero de graus de liberdade da i-sima fonte de incerteza

iu Incerteza-padro da i-sima fonte de incerteza

Incerteza expandida U

A incerteza combinada (uc) correponde ao desvio-padro da

ao conjunta de todas as fontes de incerteza. Para obter a faixa

de valores em que, com 95% de probabilidade, espera-se

encontrar o erro aleatrio do processo de medio, necessrio

multiplica-la pelo fator de abrangncia.

cukU

Fator de

abrangncia

Incerteza

combinada

Incerteza

expandida


cukU

O fator de abrangncia depende da distribuio de

probabilidade considerada.

Um valor usual de k=2 utilizado no caso de uma

distribuio Normal levando a uma probabilidade de

abrangncia de 95%.

No caso de Incertezas Padro do Tipo A (desvio padro da mdia

amostral usado como estimativa da disperso de valores),

considerando que o instrumento produz indicaes segundo uma

distribuio Gaussiana de probabilidades, precisamos calcular o

fator de abrangncia tendo em vista o nmero N de amostras

usadas na estimativa do desvio padro:

Seria correto usar k = 2 para conseguir uma probabilidade de

abrangncia de 95% para um caso em que usamos apenas 5

amostras para se estimar o desvio padro?

E poderamos usar k = 2 para conseguir uma probabilidade de

abrangncia de 95% para outro caso em usamos 1000 valores

para se estimar o desvio padro?

Como levar o nmero de amostras em considerao?


Incerteza expandida U Neste caso, ao invs de se considerar a distribuio de probabilidade Gaussiana, preciso usar a distribuio t-Student, com v = N-1 graus de liberdade, para se calcular o fator de abrangncia.

Caudas com mais

massa para melhor

representar a incerteza na

estimativa do desvio-padro.


A medida que o nmero de graus de liberdade (nmero de

amostras)

aumenta, a distribuio t-Student tende a distribuio Normal.

Uma tpica tabela de fatores de abrangncia k, para uma

probabilidade de abrangncia de 95%, considerando v = N-1

graus de liberdade :

Passos para obter a correo combinada

e a incerteza de medio

Passo1 Anlise do processo de medio

Passo 2 Identificao das fontes de incerteza

Passo3 Quantificao dos efeitos sistemticos

Passo 4 Quantificao dos efeitos aleatrios

Passo 5 Clculo da correo combinada

Passo 6 - Clculo da incerteza combinada e do nmero de graus de liberdade efetivos

Passo 7 Clculo da incerteza expandida

Passo 8 Expresso do resultado de medio

Exemplo 1: Calibrao de uma balana usando uma massa padro.

Balana Resoluo:0,02g

Temp. amb:20,0+- 1,0 C


O mensurando a massa-padro. Est bem definida. Deve estar limpa e em bom estado.

importante verificar que o seu certificado de calibrao est dentro do prazo de

validade. H informaes disponveis sobre a correo que deve ser aplicada a massa-

padro e sobre sua incerteza (expandida).

O procedimento de medio consiste em ligar a balana, aguardar seu aquecimento por

30 minutos, limpar o prato de medio, verificar o seu zero e ajust-lo se necessrio. As

condies como temperatura, tenso de alimentao da balana, nivelamento da balana,

etc. esto dentro das normas.

Massa padro

Valor nominal:20,000 g

Correo:=0,005 g

Incerteza da correo:

0,002 g

Exemplo 1:

Passo 2 Identificao das fontes de incertezas

a) Repetitividade da balana, isto , o fato de as indicaes de

medies repetidas no mostrarem sempre o mesmo valor.

Contribuio aleatria.

b) A incerteza na correo da massa padro deixa uma incerteza

no processo de medio.

c) A resoluo da balana. Contribuio aleatria.

A massa padro possui uma componente sistemtica do

erro. A correo de -0,005 g aplicada.

Exemplo 1:

Passo 3 Quantificao dos efeitos sistemticos

Deve-se obter as incertezas-padro a partir das informaes sobre todas as incertezas:

Exemplo 1:


4.1 - Repetitividade da balana estimada utilizando 5 indicaes:

No. Indicao

1 20,16

2 20,10

3 20,14

4 20,12

5 20,18

Mdia 20,140

s 0,0316

4,0141,05

0316,0Re REvg

n

uu

1

1

1

2

n

n

II

u

n

i

i

4.2 - A incerteza-padro da massa padro deve ser obtida

pela incerteza expandida da sua correo, que conhecida e

igual a 0,002 g. Como no h informao sobre o fator de

abrangncia, nem o nmero de graus de liberdade efetivos

com que foi determinada a incerteza, assume-se k=2,00.

Exemplo 1:


vgU

u MPMP ,001,02

002,0

2

4.3 A incerteza padro do erro de arredondamento

introduzido pela resoluo do dispositivo indicador pode ser

determinada assumindo uma distribuio uniforme

(retangular) com a =R/2.

Exemplo 1:


RR vgRa

u ,00577,03

01,0

3

2/

3

A correo combinada, calculada a partir da soma algbrica

das correes individualmente estimadas para cada fonte de

incerteza, coincide com a correo da nica fonte de incerteza

com contribuio sistemtica. Logo

Exemplo 1:


gCC MPc 005,0

A incerteza combinada calculada, a partir das incertezas-padro de cada fonte de incerteza,

Exemplo 1:

Passo 6 Clculo da incerteza combinada e do nmero

de graus de liberdade efetivos

222

Re RMPc uuuu

guc 0153,000577,00010,00141,0222

O nmero de graus de liberdade efetivo calculado por:

R

R

MP

MP

ef

c uuuu

44

Re

4

Re

4

444400577,0001,0

4

0141,00153,0

ef

49,5ef 5ef

Exemplo 1:

Passo 7 Clculo da incerteza expandida (U)

cukU

k determinado utilizando a tabela t-student entrando com

o grau de liberdade para a probabilidade de 95% .

cu5

65,2k

gukU c 0405,00153,0.65,2

Exemplo 1:


Com esses parmetros possvel calcular o valor da

correo da balana (Cb) e sua respectiva incerteza para esse

ponto de calibrao.

gC

C

UICMPC

b

b

cb

04,015,0

0405,0140,20)005,0(000,20

Para esse ponto de calibrao, a correo a ser aplicada na

indicao da balana de -0,15 g, conhecida com uma

incerteza expandida de 0,04 g.

Balano de incertezas

Processo de medio Calibrao de uma balana digital-ponto 20 g

Unidade: g

Fontes de incerteza: Efeitos

sistemticos

Efeitos aleatrios

Simbolo Descrio Correo a distribuio u

Re Repetitividade

natural

- Normal 0,0141 4

MP Massa-padro -0,005 0,002 Normal 0,0010

R Resoluo do

mostrador

- 0,01 Retangular 0,00577

Cc Correo

Combinada

-0,005

uc Incerteza

combinada

Normal 0,0153 5

U Incerteza

expandida

Normal 0,0405

RESUM0 DOS CLCULOS

Exemplo 1:

Exemplo 2: Determinao da massa de uma pedra preciosa usando balana digital.

Balana Resoluo:0,02g

Determinar a incerteza de medio de uma pedra preciosa realizada nas seguintes

condies:

Utilizado uma balana eletrnica com certificado de calibrao.

Onze valores da correo e das respectivas incertezas expandidas esto disponveis

para vrios pontos da faixa de medio .

A balana apresenta um indicador digital com resoluo de 0,02 g.

A temperatura no local onde a medio foi efetuada oscila tipicamente entre 24,0 e

26,0 C.

A balana apresenta deriva trmica, isto , acresce o valor da indicao de 0,008 g

para cada Kelvin de variao da temperatura ambiente acima da temperatura de

calibrao ( 20 C)

A calibrao foi realizada h cinco meses. Sabe-se que o zero da balana varia em

funo do tempo dentro dos limites de +- 0,01 g/ms (deriva temporal).

Exemplo 2:

Dados de calibrao da balana

Indicao Correo

C

Incerteza

Expandida U

0 0,00 0,03

5 -0,04 0,03

10 -0,08 0,04

15 -0,12 0,04

20 -0,15 0,04

25 -0,17 0,04

30 -0,17 0,04

35 -0,15 0,05

40 -0,13 0,05

45 -0,10 0,05

50 -0,07 0,05

Resoluo: 0,02 g

Deriva trmica: 0,008 g/K

Deriva temporal: +- 0,010 g/ms

No. Indicao

1 19,94

2 19,92

3 19,98

4 19,96

5 19,90

6 19,94

7 20,00

8 19,94

9 19,94

10 19,96

11 19,92

12 20,00

Mdia 19,950

s 0,0313

Medies realizadas Dados do certificado de calibrao


Passo 2 Identificao das fontes de incerteza




Passo 6 - Clculo da incerteza combinada e do nmero de graus de liberdade efetivos



Exemplo 2:

O mensurando esta bem definido. Trata-se de um

mensurando invarivel.

O processo de medio realizado com uma balana sobre

a qual se conhece o certificado de calibrao e dados sobre

sua resoluo, deriva trmica e temporal. As condies

ambientais durante a medio so conhecidas assim como o

procedimento operacional que consiste em realizar 12

medies.


Exemplo 2:

Passo2 Identificao das fontes de incerteza

Exemplo 2:

A Repetitividade da balana (Re)

A resoluo limitada da balana

As correes apresentadas no certificado de calibrao (Ccal) contribuem com

uma parcela sistemtica de erro que ser compensada e a incerteza das

calibraes, com uma componente aleatria.

A deriva temporal (DTmp) a denominao dada ao efeito da degradao das

caractersticas metrolgicas da balana com o tempo.

Os efeitos da diferena de temperatura entre as condies de uso da balana e

aquela que existia na calibrao. Essa informao combinada com o

conhecimento da deriva trmica ( Dter) do instrumento resultar em uma

componente de erro sistemtico e outra aleatria decorrente das variaes naturais

de temperatura no lacal das medies.

3.1 A mdia das 12 indicaes resultou e 19,95 g.

Prximo a 20 g. Da tabela de calibrao entrando-se com 20

g obtm-se a correo Ccal=-0,15 g

3.2 A deriva trmica produz uma componente sistemtica e

outra aleatria. A componente sistemtica obtida

considerando que a temperatura durante as medies 5 C

maior do que a da calibrao. Essa diferena equivale a 5 K.

Para cada kelvin a balana indica 0,008 g a mais. Ento


Exemplo 2:

gKKgTC DterdDter 040,05./008,0

Passo4 Quantificao dos efeitos aleatrios

Exemplo 2:

Todas as fontes de incertezas possuem contribuies aleatrias:

4.1 - Clculo da incerteza padro e graus de liberdade para as 12 medies:

11112

0090,012

0313,0

Re

Re

gn

uu

4.2 - Clculo da incerteza padro devido ao arredondamento causado pela resoluo:

R

R gRa

u

00577,03

01,0

3

2/

3


Exemplo 2:

4.3 A incerteza expandida da calibrao para 20 g U=0,04 g. Como o fator de

abrangncia no foi fornecido ser utilizado k=2 para obter-se a incerteza padro. O

grau de liberdade ser considerado infinito.

CCalCCalk

Uu

gparaU

,02,02

04,0

0,2004,0

4.4 A deriva temporal produz, depois de 5 meses, uma degradao que situa-se na

faixa: g050,0010,0.5

Utiliza-se uma distribuio uniforme ou retangular para obter-se a incerteza-padro:

DTmpDTmpa

u ,0033,03

05,0

3


Exemplo 2:

4.5 A deriva trmica provoca um aumento da indicao de 0,008 g para cada kelvin

em que a temperatura excede a temperatura de referncia de 20 C. Assumindo uma

mesma probabilidade da temperatura situar-se entre 24 e 26 C utiliza-se uma

distribuio uniforme ou retangular de probabilidade no clculo da incerteza padro.

26 24 22

Probabilidade

Temperatura ( C )

0,048 0,032 0,016

Probabilidade

Erro ( g )

0,040

20

0,000

DTerDTer ga

u ,0040,03

040,0048,0

3


Exemplo 2:

A correo combinada a soma algbrica das correes

indidualmente estimadas para cada fonte de incerteza:

gCDTerCC CCalc 19,0)04,0()15,0(

Passo 6 Clculo da incerteza combinada e do nmero

de graus de liberdade efetivos

Exemplo 2:

22222

Re DTerDTmpCCalRc uuuuuu

guc 0234,0)0046,0()0033,0()020,0()00577,0()0090,0(22222

DTer

DTer

DTmp

DTmp

CCal

CCal

R

R

C

C uuuuuu

4444

Re

4

Re

4

444444

11

)0090,0()0234,0( DTerDTmpCCalR

C

uuuu

503C

503,0234,0 CCu


Exemplo 2:

Para o grau de liberdade igual a 503, o fator de abrangncia k=2,0

CukU .

gU 047,00234,0.0.2


Exemplo 2:

gRM

RM

UCIRM c

05,076,19

047,0)19,0(95,19

Medies diretas e indiretas Nas medies diretas, (exemplos 1 e 2 anteriores), o valor associado

ao mensurando resulta naturalmente da aplicao do sistema de

medio sobre ele. A medio de um dimetro por um paqumetro,

da temperatura de uma sala por um termmetro, da velocidade de

uma automvel pelo seu velocmetro so exemplos de medio

direta.

Medies so ditas indiretas quando o valor do mensurando calculado

a partir de operaes matemticas efetuadas envolvendo duas ou mais

medidas associadas a diferentes caractersticas do mensurando.

As medidas associadas s diferentes caractersticas do mensurando, que

so combinadas em uma medio indireta, so genericamente

denominadas de grandezas de entrada.

Modelo matemtico

Medies diretas e indiretas

Para que o resultado de medio de uma medio indireta possa ser

determinado, necessrio dispor de um modelo matemtico que

relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando.

Frequentemente, equaes simples, envolvendo as quatro operaes aritmticas bsicas

so envolvidas. A determinao da resistncia (R) de um componente eletrnico em um

circuito CC obtida dividindo-se a tenso (V) pela corrente eltrica (I) que passa por ele

(R=V/I) um exemplo.

Um exemplo mais complexo seria a determinao da distncia entre dois pontos no

espao a partir das medies de suas respectivas coordenadas (x, y, z).

2122

12

2

12 )()( zzyyxxd

Dependncia estatstica e correlao

Duas variveis aleatrias so ditas no-correlacionadas ou estatisticamente independentes quando as variaes da primeira no guardam nenhum tipo de sincronismo com as variaes aleatrias da segunda.

Na linguagem estatstica, denomina-se varivel aleatria uma

funo, ou varivel, cujo valor no pode ser previsto exatamente,

mas apenas em termos de probabilidade. Quando medies

repetidas de um mensurando invarivel so realizadas, as

indicaes obtidas apresentam variaes em funo do erro

aleatrio. No possvel prever exatamente o valor da prxima

indicao. A indicao obtida de um sistema de medio

tambm uma varivel aleatria.

Variveis aleatrias so ditas correlacionadas ou estatisticamente

dependentes quando as variaes da primeira esto, de alguma

forma, sincronizadas com as variaes aleatrias da segunda.

Exemplo: A temperatura da gua na praia do Campeche esta

correlacionada com a temperatura da gua da praia da Joaquina em

Florianpolis.


Coeficiente de correlao um ndice que revela a existncia e o

tipo de correlao entre duas variveis aleatrias. calculado pela

equao :


yx

YXYX

),cov(),(

y

x

YX

YX

),cov(

),( Coeficiente de correlao entre as var. aleatrias X e Y

Covarincia entre X e Y

Desvio padro da varivel aleatria X

Desvio padro da varivel aleatria Y.

Para um conjunto de n medies utiliza-se

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

YXr

1 1

22

1),(

1),(1 YX

Algumas situaes onde pode haver correlao nas medies de duas entradas distintas:


Quando h erros sistemticos intencionalmente no compensados

Quando ambos os processos de medio so fortemente afetados por uma mesma

grandeza de influncia como, por exemplo, a temperatura ou a tenso da rede eltrica, ou

mesmo pelo operador.

Quando as medies de ambas grandezas de entrada so realizadas pelo mesmo sistema

de medio em condies muito distintas das condies de calibrao.

Quando ambas as medies so realizadas pelo mesmo sistema de medio, depois de

um longo perodo aps a ltima calibrao.

Normalmente duas medies de grandezas de entrada distintas so no-

correlacionadas quando as condies permitem assegurar que os erros sistemticos

foram eficazmente corrigidos e no h uma mesma grandeza de influncia afetando

fortemente os processos de medio.

Soma e subtrao


Estimativa da incerteza combinada de medies no-

correlacionadas

O quadrado da incerteza-padro da soma e/ou subtrao de

medies no-correlacionadas obtido a partir da soma dos

quadrados das incertezas-padro associadas a cada grandeza de

entrada.

)()()()( 222

1

2

21

2

nn XuxuXuXXXu

Soma e subtrao - Exemplo:

Dependncia estatstica e correlao Estimativa da incerteza combinada de medies no-

correlacionadas

Obteve-se os seguintes resultados de medio de duas massa-padro em uma mesma

balana:

Massa 1 (500,0+-0,8) g, Massa 2 (200,0+-0,6) g.

Expressar o valor da soma das massas

Na falta de maiores informaes utiliza-se o fator de abrangncia igual a dois para o

clculo das incertezas padro

Calcula-se a incerteza padro combinada

Calcula-se a incerteza expandida de m1+m2

Finalmente

3,02

6,0,4,0

2

8,021 uu

guummu 5,03,04,0)( 22222

121

gmmummU 0,15,00,2)(0,2 2121

gmm )0,10,700(21


correlacionadas

Multiplicao e diviso:

Utiliza-se o conceito de incerteza-padro relativa: O coeficiente entre a

incerteza-padro e o resultado base de uma medio. Por exemplo

ur(a)=u(a)/a a incerteza-padro relativa de a.

2

2

2

2

1

1

2

21

21 )()(

X

Xu

X

Xu

XX

XXu 22

1

2

21

2 XuXuXXu RRR

2

2

2

2

1

1

2

21

21 )()(

/

/

X

Xu

X

Xu

XX

XXu

22

1

2

21

2 / XuXuXXu RRR


correlacionadas

Exemplo de um caso com diviso: Determinar a incerteza padro e expressar o

resultado de medio para a corrente eltrica que circula em um resistor com valor

conhecido de 500,0 Ohm e incerteza padro uR=0,5 Ohm sobre o qual mediu-se

uma tenso V=150,0 V com uma incerteza padro uV=1.5V.

OhmuVuAR

VI RV 5,0,5,1,30,0

0,500

0,150

)()()( 222 RuVuIu RRR

222)()()(

R

Ru

V

Vu

I

Iu222

500

5,0

150

5,1

30,0

)(

Iu AIu 003,0)(

Calculando a incerteza expandida, com o fator de abrangncia 2, tem-se:

mAmAI )6300()32300(


correlacionadas

Caso GERAL: Se ),,,( 21 nXXXfG 22

2

2

2

1

1

2 )()()()(

n

n

XuX

fXu

X

fXu

X

fGu

)(

)(2

i

i

i

Xu

X

f

Gu

X

f

G

Grandeza a ser determinada por uma medio indireta

Funo matemtica contnua e derivvel

i-sima grandeza de entrada que est sendo combinada

Quadrado da incerteza combinada da grandeza a ser determinada

Der. parcial da funo f em relao grandeza de entrada Xi.

(Sensibilidade)

Incerteza padro da i-sima grandeza de entrada que est sendo

combinada


correlacionadas Caso Geral Exemplo:

Determinao da massa especfica () de uma pea utilizou-se um processo indireto de

medio.

A massa m foi medida com uma balana de laboratrio

O dimetro D da pea foi medido com micrmetro

A altura h foi determinada com um paqumetro

1411,035,77

)006,0423,25(

14)221580(

h

D

m

mmh

mmD

gm

Obter as incertezas-padro . Primeiro temos de determinar o fator de

abrangncia com os graus de liberdade fornecidos.


correlacionadas Caso Geral Exemplo: continuao

mmkUhu

mmkUDu

gkUmu

hh

DD

mm

050,020,2

11,0/)(

0030,000,2

0060,0/)(

102,2

22/)(

Utilizando a frmula para

hD

m

hD

m

Volume

massa22

4

4

222

2 )()()()(

hu

hDu

Dmu

mu

2232

4,

8,

4

hD

m

hhD

m

DhDm

2222

)()(2

)()(

h

hu

D

Du

m

muu

222

2 )()(2)()(

hu

hDu

Dmu

mu

8

222

2

2

10.2,405335,77

050,0

423,25

0030,02

1580

10)(

)(

Ru

u


correlacionadas Caso Geral Exemplo: continuao

3

22/040239,0

35,77.)423,25.(14159,3

1580.44mmg

hD

m

A incerteza padro de : 38 /0002562,010.2,4053.040239,0)()( mmguu R

Para obter a incerteza expandida deve-se determinar o grau de liberdade efetivo. Para isso

utiliza-se a incerteza padro relativa para contornar o problema de unidades diferentes.

h

R

D

R

m

R

ef

R huDumuu

)()()( 4444

14

35,77

050,0

)(

14

1580

10

040239,0

0002562,04

4

44

DuR

ef

14ef3/000564,00002562,0.20,2)()( mmgkuU

3/)00056,004024,0( mmg

Incerteza padro

Distribuio Incerteza padro

Normal com vrias medies

Retangular

Triangular

Normal com uma medio

n

su

1,

1

1

2

nv

n

xx

s

n

i

i

3

au

aa

6

au

aa

su 1,

1

1

2

nv

n

xx

s

n

i

i

Erro de linearidade

E o valor absoluto do

maior desvio da

resposta do sistema

de medio em

relao a curva

resposta linearizada.

Estmulo

Resposta EL1

EL2

Curva

linearizada

Como obter a curva linearizada?

Assuma um conjunto de respostas Y obtidas para um

conjunto X de estmulos ao sistema de medio.

YyXx ii ,

Deseja-se encontrar uma estimativa de , ( ) , escrita

como uma funo linear de de forma a minimizar o

somatrio do quadrado do desvio .

iy

ii bxay ~

ixiy

~

ii yy~

ii

m

i

ii

ba

bxay

yyL

L

~

~

1

2

,min

Soluo clssica Assuma

b

a

x

x

x

y

y

y

nn

,

1

1

1

,2

1

2

1

RY RY

~

ii

m

i

ii

ba

bxay

yyL

L

~

~

1

2

,min

RY

YYYY~

~~

min,

T

ba

L

L

Soluo particular

XY~

EYY ~

Fazendo-se 0E YY~

XY

Definindo-se

1

1

1

1

nx

x

x

2

1

x x1X

122111 nnnnT x x1YX

122112

1

2

nnn

n

T

T

n

n

T

T

x1x

1Y

x

1

122111 nnnn x1Y

122112

1

2

nnn

n

T

T

n

n

T

T

x1x

1Y

x

1

b

a

xx

xn

yx

y

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

1

2

1

1

1

1

Observem que

,11,,111

nyxyn

i

Tn

i

ii

Tn

i

i

T

11YxY1

n

i

i

Tn

i

i

TT xx1

2

1

, xx1xx1

Sistema com

2 equaes e

2 incognitas.

b

a

xx

xn

yx

y

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

1

2

1

1

1

1

b

a

ss

sn

s

s

xx

x

xy

y

2

nbsass

sbsnas

xxxy

xxy

2

bnsnasns

bsnasss

xxxy

xxyx

2

2

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

iii

n

i

i

xx

xyyx

xxxyyx

xnx

yxnyx

nss

nsssb

nssbnsss

1

2

2

1

1 11

2

2

2

2

xxxxy

xxy

sbsass

sbsnas

2

2

bssasss

bssnasss

xxxxyx

xxxyx

2

2

222

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

xx

yxxyx

xxyxxyx

xxxyx

xnx

yxyxx

nss

ssssa

anssssss

bssnasss

1

2

2

1

11

2

11

2

2

2

2

2

2

222

Exerccio

Em um instrumento testado com um conjunto de valores de referncia (Y)

obteve-se na entrada do estgio de tratamento de sinais os valores X.

X = [6,2; 53,8;112,3; 162,0; 210,9; 244,8; 291,8; 337,2; 389,0; 433,1; 487,8; 524,3;

571,8; 629,5; 684,7; 729,6; 782,5; 843,9; 897,2; 965,5; 1033,3]

Y=[0,0; 50,0; 100,0; 150,0; 200,0; 250,0; 300,0; 350,0; 400,0; 450,0; 500,0;

550,0; 600,0; 650,0; 700,0; 750,0; 800,0; 850,0; 900,0; 950,0; 1000,0 ]

Obtenha a curva linearizada que corrige os valores na entrada do

estgio de tratamento de sinais. Use Matlab ou Excel.

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