Aula de hoje

1 Séries de Laurent2 Singularidades

(UFPR) 2017 - Curitiba 1 / 9

Série de Laurent

Theorem (Série de Laurent)Considere f : Ar,R ⊂ C→ C uma função analítica no anel

Ar,R = {z ∈ C; r < |z− z0| < R}.

Então, para cada z ∈ Ar,R, temos que

f (z) =∞∑

n=−∞an(z− z0)

n =

∞∑n=1

a−n(z− z0)−n +

∞∑n=0

an(z− z0)n,

sendo

an =1

2πi

∫γ

f (η)(η − z0)n+1 dη, n ∈ Z,

eγ(t) = z0 + seit, 0 6 t 6 2π, r < s < R.

(UFPR) 2017 - Curitiba 2 / 9

Observações

O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo

de f em z0. Utilizaremos a notação

Res(f )|z=z0 .

Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.

Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;

É sempre bom manter em mente a série geométrica:

∞∑n=0

zn =1

1− z, |z| < 1.

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Observações

O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo

de f em z0. Utilizaremos a notação

Res(f )|z=z0 .

Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.

Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;

É sempre bom manter em mente a série geométrica:

∞∑n=0

zn =1

1− z, |z| < 1.

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Observações

O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo

de f em z0. Utilizaremos a notação

Res(f )|z=z0 .

Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.

Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;

É sempre bom manter em mente a série geométrica:

∞∑n=0

zn =1

1− z, |z| < 1.

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Observações

O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo

de f em z0. Utilizaremos a notação

Res(f )|z=z0 .

Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.

Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;

É sempre bom manter em mente a série geométrica:

∞∑n=0

zn =1

1− z, |z| < 1.

(UFPR) 2017 - Curitiba 3 / 9

Observações

O termo a−1 (ou seja, aquele que acompanha (z− z0)−1), é dito resíduo

de f em z0. Utilizaremos a notação

Res(f )|z=z0 .

Se a função f é analítica em z0, então an = 0, para cada n 6 −1.

Muito cuidado quando for necessário identificar os coeficientes an;

É sempre bom manter em mente a série geométrica:

∞∑n=0

zn =1

1− z, |z| < 1.

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Exemplos

Example

Considere f : C/{0} → Z dada por f (z) = e1/z

Example

Considere f : C/{1, 2} → Z dada por

f (z) =1

(z− 1)(z− 2)

e o anelA1,2 = {z ∈ C; 1 < |z| < 2}.

(UFPR) 2017 - Curitiba 4 / 9

Exemplos

Example

Considere f : C/{0} → Z dada por f (z) = e1/z

Example

Considere f : C/{1, 2} → Z dada por

f (z) =1

(z− 1)(z− 2)

e o anelA1,2 = {z ∈ C; 1 < |z| < 2}.

(UFPR) 2017 - Curitiba 4 / 9

Exemplos

Example

Considere f : C/{0} → Z dada por f (z) = e1/z

Example

Considere f : C/{1, 2} → Z dada por

f (z) =1

(z− 1)(z− 2)

e o anelA1,2 = {z ∈ C; 1 < |z| < 2}.

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Aplicação: Cálculo de integrais

ExampleVamos calcular as integrais∫

γz3 sin(1/z)dz, γ(t) = eit, 0 6 t 6 2π

e ∫γ

sin(1/z)dz, γ(t) = eit, 0 6 t 6 2π.

Começamos relembrando que

sin(ω) =∞∑

n=0

(−1)n

(2n + 1)!ω2n+1, ω ∈ C.

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Aplicação: Cálculo de integrais

ExampleVamos calcular as integrais∫

γz3 sin(1/z)dz, γ(t) = eit, 0 6 t 6 2π

e ∫γ

sin(1/z)dz, γ(t) = eit, 0 6 t 6 2π.

Começamos relembrando que

sin(ω) =∞∑

n=0

(−1)n

(2n + 1)!ω2n+1, ω ∈ C.

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Singularidades

Definition

Um ponto z0 ∈ C é dito uma singularidade isolada de uma função f , se esta não é analítca emz0, mas é analítica em

A0,ε = {z ∈ C; 0 < |z− z0| < ε},para algum ε > 0.

Example

f (z) =sen(z)

z, g(z) =

1z2018 e h(z) = e1/z.

Definition

Se f não é analítca em z0 ∈ C e, para cada ε > 0, existe um ponto em A0,ε no qual f não éanalítica, então z0 ∈ C é dito uma singularidade não isolada.

Example

f (z) =1

sen(1/z)

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Singularidades

Definition

Um ponto z0 ∈ C é dito uma singularidade isolada de uma função f , se esta não é analítca emz0, mas é analítica em

A0,ε = {z ∈ C; 0 < |z− z0| < ε},para algum ε > 0.

Example

f (z) =sen(z)

z, g(z) =

1z2018 e h(z) = e1/z.

Definition

Se f não é analítca em z0 ∈ C e, para cada ε > 0, existe um ponto em A0,ε no qual f não éanalítica, então z0 ∈ C é dito uma singularidade não isolada.

Example

f (z) =1

sen(1/z)

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Singularidades

Definition

Um ponto z0 ∈ C é dito uma singularidade isolada de uma função f , se esta não é analítca emz0, mas é analítica em

A0,ε = {z ∈ C; 0 < |z− z0| < ε},para algum ε > 0.

Example

f (z) =sen(z)

z, g(z) =

1z2018 e h(z) = e1/z.

Definition

Se f não é analítca em z0 ∈ C e, para cada ε > 0, existe um ponto em A0,ε no qual f não éanalítica, então z0 ∈ C é dito uma singularidade não isolada.

Example

f (z) =1

sen(1/z)

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Singularidades

Definition

Um ponto z0 ∈ C é dito uma singularidade isolada de uma função f , se esta não é analítca emz0, mas é analítica em

A0,ε = {z ∈ C; 0 < |z− z0| < ε},para algum ε > 0.

Example

f (z) =sen(z)

z, g(z) =

1z2018 e h(z) = e1/z.

Definition

Se f não é analítca em z0 ∈ C e, para cada ε > 0, existe um ponto em A0,ε no qual f não éanalítica, então z0 ∈ C é dito uma singularidade não isolada.

Example

f (z) =1

sen(1/z)(UFPR) 2017 - Curitiba 6 / 9

Classificação de singularidades

DefinitionUma singularidade isolada z0 de uma função f é dita:

(a) removível, se existem c ∈ C e uma função analítica g (num discocentrado em z0) tais que

g(x) ={

f (z), se z 6= z0c, caso contrário.

(b) pólo, se existem c 6= 0, um inteiro positivo m e uma função analítica g(num disco centrado em z0) tais que

g(x) ={

(z− z0)mf (z), se z 6= z0

c, caso contrário.

(c) essencial se não for nenhuma das duas anteriores.

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Classificação de singularidades

DefinitionUma singularidade isolada z0 de uma função f é dita:

(a) removível, se existem c ∈ C e uma função analítica g (num discocentrado em z0) tais que

g(x) ={

f (z), se z 6= z0c, caso contrário.

(b) pólo, se existem c 6= 0, um inteiro positivo m e uma função analítica g(num disco centrado em z0) tais que

g(x) ={

(z− z0)mf (z), se z 6= z0

c, caso contrário.

(c) essencial se não for nenhuma das duas anteriores.

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Classificação de singularidades

DefinitionUma singularidade isolada z0 de uma função f é dita:

(a) removível, se existem c ∈ C e uma função analítica g (num discocentrado em z0) tais que

g(x) ={

f (z), se z 6= z0c, caso contrário.

(b) pólo, se existem c 6= 0, um inteiro positivo m e uma função analítica g(num disco centrado em z0) tais que

g(x) ={

(z− z0)mf (z), se z 6= z0

c, caso contrário.

(c) essencial se não for nenhuma das duas anteriores.

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Classificação de singularidades

DefinitionUma singularidade isolada z0 de uma função f é dita:

(a) removível, se existem c ∈ C e uma função analítica g (num discocentrado em z0) tais que

g(x) ={

f (z), se z 6= z0c, caso contrário.

(b) pólo, se existem c 6= 0, um inteiro positivo m e uma função analítica g(num disco centrado em z0) tais que

g(x) ={

(z− z0)mf (z), se z 6= z0

c, caso contrário.

(c) essencial se não for nenhuma das duas anteriores.

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ExampleConsidere

f (z) =sen(z)

z.

ExampleConsidere

f (z) =1zm .

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ExampleConsidere

f (z) =sen(z)

z.

ExampleConsidere

f (z) =1zm .

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ExampleConsidere

f (z) =sen(z)

z.

ExampleConsidere

f (z) =1zm .

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Observação

Suponha z0 um pólo de f e considere c1, c2 não nulos, m1,m2 inteirospositivos e g1, g2 analíticas tais que

g1(z) ={

(z− z0)m1 f (z), se z 6= z0

c1, caso contrário.

e

g2(z) ={

(z− z0)m2 f (z), se z 6= z0

c2, caso contrário.

DefinitionO inteiro m, na definição de pólo, é dito ordem do pólo.

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Observação

Suponha z0 um pólo de f e considere c1, c2 não nulos, m1,m2 inteirospositivos e g1, g2 analíticas tais que

g1(z) ={

(z− z0)m1 f (z), se z 6= z0

c1, caso contrário.

e

g2(z) ={

(z− z0)m2 f (z), se z 6= z0

c2, caso contrário.

DefinitionO inteiro m, na definição de pólo, é dito ordem do pólo.

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