aula de analise e modelagem de sistemas
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AMSD - AULA 05 – 2015/2 Modelagem de circuitos Elétricos (RLC, amplificadores operacionais) e sistemas mecânicos translacionais. Variáveis de estados. Diagrama de blocos de estados. Simulação. CAPÍTULO II REPRESENTAÇÃO EM VARIÁVEIS DE ESTADO vetor estado O vetor estado de um sistema pode ser definido com um conjunto mínimo de variáveis que dado somente o valor do vetor estado em um ponto do tempo t 0 (estado inicial) e a entrada para os tempos 0 t t , podemos determinar o comportamento do sistema (saída) para 0 t t .
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AMSD - AULA 05 – 2015/2
Modelagem de circuitos Elétricos (RLC,
amplificadores operacionais) e sistemas
mecânicos translacionais. Variáveis de estados.
Diagrama de blocos de estados. Simulação.
CAPÍTULO II
REPRESENTAÇÃO EM VARIÁVEIS DE ESTADO
vetor estado
O vetor estado de um sistema pode ser definido
com um conjunto mínimo de variáveis que
dado somente o valor do vetor estado em um
ponto do tempo t0 (estado inicial) e a entrada
para os tempos 0tt , podemos determinar o
comportamento do sistema (saída) para 0tt .
Ou seja, variáveis de estado é um conjunto
mínimo de variáveis em que é possível calcular o
vetor de estado no tempo.
Por exemplo:
utyatyaty )()(()( 21
Se conhecermos os valores )0(y e )0(y e temos
uma entrada u(t) para 0t , podemos achar o
comportamento futuro do sistema.
Espaço de estado: espaço n-dimensional cujos
eixos de coordenadas são referentes aos eixos x1,
x2, ...
Descrição em variáveis de estado: Sistema de
ordem n pode ser determinado por n equações
diferenciais de 1ª ordem.
Para o mesmo exemplo:
utyatyaty )()(()( 21
)()(1 tytx
)()(2 tytx
Assim temos:
)()( 21 txtx
)()()()( 21122 tutxatxatx
Na forma matricial temos:
)(1
0
)(
)(10
)(
)(
2
1
122
1tu
tx
tx
aatx
tx
)(
)(01)(
2
1
tx
txty
Equação de estados
Equação de saída
Essa representação pode ser usada também para
representar sistemas multivariáveis e/ou não
lineares.
Não unicidade das variáveis de estado. Assim a
representação é alterada.
Transformação linear no vetor de estado.
X = PZ
A) Descrição matemática e gráfica de sistemas
em variáveis de estado
Um sistema LTI pode ser representado da
seguinte forma:
)()()(
)()()(.
tDUtCXtY
tBUtAXtX
onde
X(t) = vetor de estados do sistema de dimensão n
x 1, n = número de estados.
U(t) = entrada sistema de dimensão nu x 1; nu =
número de entradas
Y(t) = saída do sistema de dimensão ny x 1; ny =
número de saídas
Assim sendo, as matrizes A, B, C e D são
definidas conforme a tabela 3.1:
Tabela 2.1 Matrizes do sistema LTI em variáveis de estado
MATRIZ NOMENCLATURA DIMENSÃO
A Matriz do sistema n x n
B Matriz de entrada n x nu
C Matriz de saída ny x n
D Matriz de
transmissão direta
ny x nu
O diagrama de blocos de estados pode ser
representado conforme a figura 3.3:
D
A
CB+
+
++
yu xx
Figura 2.1 Diagrama de blocos de estado de
variáveis de estado
B) Representação de sistemas dinâmicos em
variáveis de estado
A seguir são apresentados alguns exemplos de
descrição em variáveis de estado analítica e
gráfica. Outros exemplos serão apresentados
em sala de aula.
Exemplo 2.1 - Circuito RLC
R
C
L
)(tei )(teo)(ti
Figura 2.2 Circuito RLC
Com as equações físicas:
dt
tdeCti
tRidt
tdiLtete oi
)()(
)()(
)()(
0
Escolhemos os estados (sugestão: corrente
elétrica para o indutor e tensão no capacitor),
entrada e saída.
)()(
)(
2
1
tetex
tix
oc
)()(
)()(
tety
tetu
o
i
Substituindo nas equações físicas, temos:
21
112
xCx
RxxLxu
2
12
211
1
11
xy
xC
x
uL
xL
xL
Rx
Dessa forma as equações matriciais de estado e
saída são:
uLx
x
C
LL
R
x
x
0
1
01
1
2
1
2
1
ux
xy 010
2
1
Com o diagrama de blocos de estados dado por:
1+
-
+
-
yu 1
L
R
L
1
L
1
C
x1 x2
2x
1x
Figura 2.3 Diagrama de blocos de estado do
circuito RLC
função: ss (state space)
conversões: ss2tf ou tf2ss
step, impulse
grid, hold on
Exemplo 2.2 - Motor CC
Ra
La
Armadurava J
vb b
Rf
LfCampo
Vf
Figura 2.4 Motor DC
As equações físicas do motor cc são:
)()()(
)()(
)()(
tbtKitJ
tKdt
tdiLtiRtv
a
ba
aaaa
Escolhemos os estados (corrente elétrica para o
indutor, dois estados para posição e velocidade
angular, pois há derivada de segunda ordem em
θ(t)), entrada e saída:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
3
2
1
t
ty
tvu
tx
tx
tix
a
a
Substituímos nessas equações:
313
311
bxKxxJ
xKxLxRu baa
2
3
313
32
311
1
x
xy
xJ
bx
J
Kx
xx
uL
xL
Kx
L
Rx
aa
b
a
a
Assim as equações matriciais de estado e saída
são:
u
x
x
x
y
u
L
x
x
x
J
b
J
K
L
K
L
R
x
x
xa
a
b
a
a
0010
100
0
0
1
0
100
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
Exemplo 2.3 - Massa-Mola
m1 m2
Ku
y1 y2
b
Figura 2.5 Sistema mecânico translacional –
dois carrinhos
As equações físicas são dadas por:
)(
)(
1222
21111
uyyKym
yyKybym
Escolhemos os estados:
24
23
12
11
yx
yx
yx
yx
Substituímos nas equações físicas:
43
21
1342
31221
xx
xx
uKxKxxm
KxKxbxxm
2
1
y
yy
Na forma matricial, temos as equações
matriciais de estado e saída:
24
3
2
1
22
111
4
3
2
1
/1
0
0
0
0/0/
1000
0///
0010
mx
x
x
x
mKmK
mKmbmK
x
x
x
x
4
3
2
1
0100
0001
x
x
x
x
y
NISE, N. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª edição. Editora LTC.
2000. OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno, 4ª edição. Prentice Hall,
São Paulo, 2003. KUO, B. C., Automatic Control Systems, 7th ed (capítulos: 1-7), John Wiley & Sons, Inc. New York, 1995, Prentice Hall, 1995.
