AMSD - AULA 05 – 2015/2

Modelagem de circuitos Elétricos (RLC,

amplificadores operacionais) e sistemas

mecânicos translacionais. Variáveis de estados.

Diagrama de blocos de estados. Simulação.

CAPÍTULO II

REPRESENTAÇÃO EM VARIÁVEIS DE ESTADO

vetor estado

O vetor estado de um sistema pode ser definido

com um conjunto mínimo de variáveis que

dado somente o valor do vetor estado em um

ponto do tempo t0 (estado inicial) e a entrada

para os tempos 0tt , podemos determinar o

comportamento do sistema (saída) para 0tt .

Ou seja, variáveis de estado é um conjunto

mínimo de variáveis em que é possível calcular o

vetor de estado no tempo.

Por exemplo:

utyatyaty )()(()( 21

Se conhecermos os valores )0(y e )0(y e temos

uma entrada u(t) para 0t , podemos achar o

comportamento futuro do sistema.

Espaço de estado: espaço n-dimensional cujos

eixos de coordenadas são referentes aos eixos x1,

x2, ...

Descrição em variáveis de estado: Sistema de

ordem n pode ser determinado por n equações

diferenciais de 1ª ordem.

Para o mesmo exemplo:

utyatyaty )()(()( 21

)()(1 tytx

)()(2 tytx

Assim temos:

)()( 21 txtx

)()()()( 21122 tutxatxatx

Na forma matricial temos:

)(1

0

)(

)(10

)(

)(

2

1

122

1tu

tx

tx

aatx

tx

)(

)(01)(

2

1

tx

txty

Equação de estados

Equação de saída

Essa representação pode ser usada também para

representar sistemas multivariáveis e/ou não

lineares.

Não unicidade das variáveis de estado. Assim a

representação é alterada.

Transformação linear no vetor de estado.

X = PZ

A) Descrição matemática e gráfica de sistemas

em variáveis de estado

Um sistema LTI pode ser representado da

seguinte forma:

)()()(

)()()(.

tDUtCXtY

tBUtAXtX

onde

X(t) = vetor de estados do sistema de dimensão n

x 1, n = número de estados.

U(t) = entrada sistema de dimensão nu x 1; nu =

número de entradas

Y(t) = saída do sistema de dimensão ny x 1; ny =

número de saídas

Assim sendo, as matrizes A, B, C e D são

definidas conforme a tabela 3.1:

Tabela 2.1 Matrizes do sistema LTI em variáveis de estado

MATRIZ NOMENCLATURA DIMENSÃO

A Matriz do sistema n x n

B Matriz de entrada n x nu

C Matriz de saída ny x n

D Matriz de

transmissão direta

ny x nu

O diagrama de blocos de estados pode ser

representado conforme a figura 3.3:

D

A

CB+

+

++

yu xx

Figura 2.1 Diagrama de blocos de estado de

variáveis de estado

B) Representação de sistemas dinâmicos em

variáveis de estado

A seguir são apresentados alguns exemplos de

descrição em variáveis de estado analítica e

gráfica. Outros exemplos serão apresentados

em sala de aula.

Exemplo 2.1 - Circuito RLC

R

C

L

)(tei )(teo)(ti

Figura 2.2 Circuito RLC

Com as equações físicas:

dt

tdeCti

tRidt

tdiLtete oi

)()(

)()(

)()(

0

Escolhemos os estados (sugestão: corrente

elétrica para o indutor e tensão no capacitor),

entrada e saída.

)()(

)(

2

1

tetex

tix

oc

)()(

)()(

tety

tetu

o

i

Substituindo nas equações físicas, temos:

21

112

xCx

RxxLxu

2

12

211

1

11

xy

xC

x

uL

xL

xL

Rx

Dessa forma as equações matriciais de estado e

saída são:

uLx

x

C

LL

R

x

x

0

1

01

1

2

1

2

1

ux

xy 010

2

1

Com o diagrama de blocos de estados dado por:

1+

-

+

-

yu 1

L

R

L

1

L

1

C

x1 x2

2x

1x

Figura 2.3 Diagrama de blocos de estado do

circuito RLC

função: ss (state space)

conversões: ss2tf ou tf2ss

step, impulse

grid, hold on

Exemplo 2.2 - Motor CC

Ra

La

Armadurava J

vb b

Rf

LfCampo

Vf

Figura 2.4 Motor DC

As equações físicas do motor cc são:

)()()(

)()(

)()(

tbtKitJ

tKdt

tdiLtiRtv

a

ba

aaaa

Escolhemos os estados (corrente elétrica para o

indutor, dois estados para posição e velocidade

angular, pois há derivada de segunda ordem em

θ(t)), entrada e saída:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

3

2

1

t

ty

tvu

tx

tx

tix

a

a

Substituímos nessas equações:

313

311

bxKxxJ

xKxLxRu baa

2

3

313

32

311

1

x

xy

xJ

bx

J

Kx

xx

uL

xL

Kx

L

Rx

aa

b

a

a

Assim as equações matriciais de estado e saída

são:

u

x

x

x

y

u

L

x

x

x

J

b

J

K

L

K

L

R

x

x

xa

a

b

a

a

0010

100

0

0

1

0

100

0

3

2

1

3

2

1

3

2

1

Exemplo 2.3 - Massa-Mola

m1 m2

Ku

y1 y2

b

Figura 2.5 Sistema mecânico translacional –

dois carrinhos

As equações físicas são dadas por:

)(

)(

1222

21111

uyyKym

yyKybym

Escolhemos os estados:

24

23

12

11

yx

yx

yx

yx

Substituímos nas equações físicas:

43

21

1342

31221

xx

xx

uKxKxxm

KxKxbxxm

2

1

y

yy

Na forma matricial, temos as equações

matriciais de estado e saída:

24

3

2

1

22

111

4

3

2

1

/1

0

0

0

0/0/

1000

0///

0010

mx

x

x

x

mKmK

mKmbmK

x

x

x

x

4

3

2

1

0100

0001

x

x

x

x

y

NISE, N. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª edição. Editora LTC.

2000. OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno, 4ª edição. Prentice Hall,

São Paulo, 2003. KUO, B. C., Automatic Control Systems, 7th ed (capítulos: 1-7), John Wiley & Sons, Inc. New York, 1995, Prentice Hall, 1995.