Aula - Cisalhamento

UNIFIEO Disciplina: “Resistência dos Materiais” - Aula No 5 (duração 2 horas) Curso: Engenharias (Telecomunicações e da Computação).- _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Professor Dr. Miguel Angel García Domínguez -16/05/05-

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TEMA II .- “CISALHAMENTO” Sumario:

• Introdução; • Tensões de Cisalhamento; • Tensões de Esmagamento; • Determinação das tensões normais em barras rebitadas; • Conclusões.

Bibliografia Beer, F.P.; Johnston, E. R. “Resistência dos Materiais”. 2a Edição, McGraw-Hill. São Paulo 1989, Páginas (8-19).

Objetivos: • Definir o conceito de forças cortantes; • Definir a tensão de cisalhamento; • Definir a tensão de esmagamento; • Determinar a tensão normal em barras rebitadas.

Tensões de Cisalhamento. As forças internas e correspondentes tensões, que foram discutidas anteriormente, eram normais à secção transversal. Quando duas forças P e P’ são aplicadas a uma barra AB, na direção transversal à barra, ocorre um tipo de tensão muito diferente (Fig.1.1).

P

P´

A B

P

P´

A B P

P´

A C

b)a)

C

C´

Figura 1.1

Se passarmos uma secção transversal pelo ponto C. entre o ponto de aplicação a força (Fig. 1.1a)podemos desenhar o diagrama da parte AC (Fig.1.1b), e concluirmos que devem existir forças internas na secção transversal, e que sua resultante deve igualar a P. Essa resultante de intensidade P, é chamada de força cortante na secção. Ao dividirmos a força cortante P pela área secção transversal A, obtemos a tensão média de cisalhamento na secção. A tensão de cisalhamento é indicada com a letra grega τ (tau). Podemos escrever então:

τméd = P/A ………………………………………………………..(1)

Devemos frisar bem que o valor obtido na equação (1) é um valor médio das tensões de cisalhamento. E, contrariamente ao que dissemos para as tensões normais, a distribuição de tensões de cisalhamento na secção transversal não pode ser assumida como uniforme.

O valor real da tensão de cisalhamento varia da superfície para o interior da peça, onde pode atingir valores bem superior a τméd .

A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam as diversas partes das maquinas e estruturas. Consideremos (Fig.1.2) as duas chapas A e B, ligadas pelo rebite CD. Ao aplicarmos às chapas as forças de tração de intensidade F, aparecerão tensões na secção do rebite que corresponde ao plano EE´. Desenhando os diagramas do rebite e da parte deste que fica acima do plano EE´(Figura 1.2 a e b), concluímos que a força cortante P na secção é igual a F.



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F

F´

A

B

C

D

EE´

F

FÉ E´

C

D

F

F´

C

b)a)

Figura 1.2

A tensão de cisalhamento média na secção é obtida dividindo-se P=F pela secção transversal A, de acordo com a formula (1)

τméd = P/A = F/A ...................................................................(2)

Nas condições descritas, dizemos que o rebite está sujeito a corte simples. Podem surgir outras situações de carregamento. Por exemplo, se as chapas de ligação C e D são usadas para conectar as chapas A e B (Fig. 1.3), o rebite HJ poderá ser cortado nos planos KKé LL´(do mesmo modo essa situação ocorre para o rebite EG). Nesse caso, os rebites se dizem sujeitos a corte duplo.

FF´

H

J

E

G

K´K

L L´

FC

FD

F K´

L´

K

LF P=F/2

P=F/2

b)a)

H

J

Figura 1.3

Para determinarmos a tensão média de cisalhamento em cada plano, desenhamos os diagramas do rebite HJ e da porção entre os planos KKé LL´(fig 1.3a e b). A força cortante P em cada uma das seções é P = F/2, e a tensão média de cisalhamento vale:

τméd = P/A = F/2A .................................................................. (3)

Tensões de esmagamento. Os parafusos, pinos e rebites provocam tensões de esmagamento nas barras que estão ligando, ao longo da superfície de contato. Tomemos como exemplo, novamente, as chapas A e B ligadas pelo rebite CD discutidas anteriormente (Fig. 1.2). 0 rebite exerce na placa A uma força P igual e de sentido contrário à força F, aplicada sobre o rebite pela placa (Fig. 1.4). A força P representa a resultante das forças elementares que se distribuem ao longo da superfície interna do semicilindro de diâmetro d e comprimento t, igual a espessura da chapa. A distribuição das tensões ao longo dessa superfície cilíndrica é de difícil obtenção e, na prática, se utiliza um valor nominal médio para a tensão. A esse valor nominal dá-se o nome de tensão de esmagamento σe Obtém.-se σe dividindo-se a forca P pela área do retângulo que representa a projeção do rebite sobre a secção da chapa (Fig. 1.4). Essa área é igual a t.d. onde t é a espessura da chapa, e d é o diâmetro do rebite.

t

d

F

F´P

A

C

D Figura 1.4

σe = P/A = P/ t.d ........................................................................ (4)



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Cálculo das tensões normais em chapas rebitadas submetidas a forças axiais

Em qualquer união através de rebites, pinos ou parafusos é necessária a utilização de furos que permitem a união entre dois ou vários elementos. Estes furos irão provocar uma diminuição na área da secção transversal da chapa, que deverá considerar-se no momento de efetuar o calculo a tração da mesma. A seguir se ilustra com um exemplo como é feito o calculo das tensões normais provocadas pela tração por uma chapa pertencente a uma união por rebites.

td PA

P

P

F=12kN F´=12kN

b

Figura 1.5

Como já foi estudado, para uma barra sujeita a ação de uma força centrada, a tensão normal σ pode ser obtida do quociente entre a forca P e a área da secção transversal da barra. Quando a secção transversal é variável ao longo da barra, exemplo da barra da figura 1.5, deve-se calcular a área subtraindo a parte dos furos, que debilitam a secção transversal da chapa.

Tal como mostrado apresenta-se duas chapas de secção transversal retangular constante, sendo a largura de cada uma b= 50 mm, espessura t = 8 mm e rebitadas através de um número de rebites n = 3, cujo diâmetro é d = 5 mm.

Portanto, a maior tensão que ocorre na secção transversal.

σ = F/Amenor

Amenor = menor área na secção transversal da barra determinada através de:

Amenor = [b - n(d)]. t

b= largura da barra;

n = quantidades de rebites;

d = diâmetro dos rebites

Substituindo os dados das dimensões da chapas e dos rebites obtemos

Amenor = [50 - 3(5)](8) = 280 mm2

Então finalmente a maior tensão normal que ocorre é

σ = F/Amenor = 12x103N/280 mm2 = 42,86 MPa.

Determinação da tensão de esmagamento nos furos das chapas:

Para determinar a tensão de esmagamento atuante em cada furo da barra, deve-se lembrar que, a força P representa a resultante das forças elementares que se distribuem ao longo do semicilindro de diâmetro d e comprimento t, gerando uma área projetada A = d.t , pode-se então calcular a tensão média de esmagamento como:

σe = P/A

P = 12kN/3 = 4 kN = 4x103 [N]

A = 5mm(8mm)= 40 mm2

σe = 4x103N/40 mm2 = 100 MPa.

Resolvamos outro exemplo de calculo de tensões de cisalhamento.



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Problema 1.1 No suporte da Figura, a haste ABC tem, na parte superior 9 mm de espessura, e na parte inferior, 6 mm de espessura de cada lado. Uma resina à base de epoxy é usada para colar as partes, superior e inferior da haste, no ponto B. Os pinos A e C têm 9 mm e 6 mm de diâmetro, respectivamente. Pede-se determinar:

a) a tensão de cisalhamento no pino A; b) a tensão de cisalhamento no pino C; c) a maior tensão normal na haste ABC; d) a tensão media de cisalhamento nas superfícies coladas no ponto B; e) a tensão de esmagamento na haste em C.

25 mm

12 mm

178

mm

152

mm

45 mm

A

CE

D

32 mm

2200 N

2200 N

B

Dy

Dx

FAC25 mm

37 mm

ΣMD= 2200N(37mm)- FAC(25mm) = 0 => FAC = 81400(N mm)/25 (mm)

FAC = 3256 N

a) A tensão de cisalhamento no pino A: O pino está sujeito a corte simples, e podemos escrever.

τC = F / A ; A = Πd2/4 = (3,1416)(9)2 /4 => A = 63,62 mm2

τC = 3256N / 63,62 mm2 =>τC = 51,18 MPa

b) A tensão de cisalhamento no pino C: O pino está sujeito a corte duplo e podemos escrever

τC = F / 2A ; F/2 = 3256/2 = 1628 N; A = Πd2/4 = (3,1416)(6)2 /4 => A = 28,27 mm2

τC= 1628N / 28,18 mm2 => τC= 57,58 MPa

c) A maior tensão normal na haste ABC: No ponto A, a haste tem menor área de secção transversal, devido ao furo para passagem do pino de 9 mm. Nesse ponto temos a haste com largura de (32-9) = 23 mm, e:

σA = FAC / A ; A = b.t = (23) (9) => A = 207 mm2

σA = 3256N / 207 mm2 =>σA = 15,73 MPa

d) A tensão media de cisalhamento nas superfícies coladas no ponto B: As duas faces da parte superior da haste estão coladas à parte inferior. Assim, a força de corte em cada face é F/2 = 3256/2 = 1628 N. A tensão de cisalhamento em cada face é:

τB = F / A ; A = b. h = (32)(45) => A = 1440 mm2



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τB = F / A = 1628 N/1440mm2 => τB = 1,13 MPa

e) A tensão de esmagamento na haste no ponto C: Para cada parte da haste, F1 = 1628 N, e área nominal para esmagamento é

A = (6mm) (6mm) = 36 mm2

Então,

σe = P/A = P/ t.d = 1628 N/36 mm2 => σe = 45,22 MPa

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