Aula Carac Geom

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Determinação das características geométricas de superfícies planas

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  • Determinao das caractersticas geomtricas de superfcies planas

  • Apresentao da aulaIntroduoBaricentros e centridesMomentos de primeira ordem ou momentos estticosMomentos de segunda ordem ou momentos de inrciaProdutos de inrciaTranslao de eixosRotao de eixosMomentos e eixos principais de inrciaExemplos numricos

  • 1. INTRODUO disciplinas Resistncia dos Materiais e Anlise de Estruturas :clculo de esforos internos e externos resultantes de aes aplicadas nas estruturas

    deslocamentos e tenses caractersticas geomtricas das superfcies planas formadas pelas sees transversais das barras

  • Viga em balanoAnlise de Estruturas equaciona o problema de determinao da flecha f na extremidade da barra:funo proporcional ao P aplicada e ao comprimento da pea L e inversamente proporcional capacidade de deformao do material (representada pelo mdulo de elasticidade E) e tambm ao denominado Momento de Inrcia I, uma caracterstica geomtrica da seo transversal

  • Baricentros e centridesSuperfcie de espessura constante

    Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais PO peso total P da superfcie, conforme se sabe, dado por:

    sendo que, no limite:

  • Para determinar as coordenadas do ponto de aplicao da resultante P, denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfcie, basta escrever somatrios de momentos dos pesos em relao aos eixos , ou sejam:

    Levando tais expresses ao limite, tem-se:

    Analogamente s consideraes feitas para o Peso P, tem-se:onde as coordenadas , denominadas Centride ou Centro Geomtrico da superfcie A, neste caso particular, coincidem com as do Baricentro.

  • Momentos de primeira ordem ou momentos estticosAs integrais pertinentes ao clculo das coordenadas do Centride recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem em relao aos eixos y e x, respectivamente, cuja notao expressa por:Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por analogia aos momentos dos pesos, como momentos das reas em relao aos eixos coordenados, motivo pelo qual so denominadas Momentos Estticos.

  • VARIAO DE SINAIS DOS MOMENTOS ESTTICOS

    Dependendo da posio do eixo escolhido, o resultado numrico do Momento Esttico pode apresentar sinais distintos ou mesmo se anular, conforme pode ser observado no exemplo da figura.

  • Momentos de segunda ordem ou momentos de inrciaDe modo anlogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas expresses contm funes x e y, as integrais do tipo abaixo so denominadas Momentos de Segunda Ordem ou Momentos Inrcia em relao aos eixos x e y respectivamente, em notao dada por:

    Nestas integrais, a exemplo do clculo de reas, nota-se que um problema de integrao dupla. Para calcul-las, basta ter em conta a definio de integral dupla de uma funo qualquer no domnio A localizado entre duas curvas, conforme mostra a figura seguinte:

  • FRMULA PARA CLCULO DE INTEGRAL DUPLA

  • Efetuando-se o clculo do momento de inrcia de um retngulo em relao sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura: onde

    Para calcular, basta ter em conta a definio de integral dupla de uma funo qualquer no domnio A localizado entre duas curvas.

    De maneira anloga, para o eixo y:

  • Produtos de inrcia

    Outra caracterstica geomtrica de importncia para utilizao nos itens que se seguem, denomina-se Produto de Inrcia, definido pela integral dada por:

    A exemplo dos momentos estticos, fcil verificar que seu resultado apresenta variao de sinais, conforme mostra a figura, dependendo da posio que a rea se encontrar em relao aos eixos (x,y).(x,y)(-x,y)

  • Para exemplificar, calcula-se a seguir o Produto de Inrcia do retngulo da figura, aproveitando-se os parmetros utilizados para o clculo de Ix. Nesse caso basta substituir a funo na frmula de integrao dupla, ou seja:

    Para outra posio de eixos coordenados passando pelo Centride, fcil verificar que o resultado de Ixy zero, face simetria e ao produto dos sinais indicados nos respectivos quadrantes.

  • Translao de eixos

    Demonstra-se que possvel estabelecer uma relao entre Momentos de Inrcia localizados em relao aos eixos passando pelo Centride e eixos paralelos quaisquer conforme ilustra a firura, por meio do denominado Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner), conforme a seguir se expe.

    O Momento de Inrcia da superfcie, referido ao eixo x, :

  • Conhecendo-se as coordenadas (xc , yc ) do baricentro da rea, e havendo interesse em obter o Momento de Inrcia relativo a novo eixo x paralelo a x passando por C, basta ter em conta que:

    Substituindo tal relao na expresso de Ix obtm-se:Desenvolvendo o termo elevado ao quadrado e retirando das integrais as constantes pertinentes tem-se:

    ou ainda, vista que o momento esttico em relao ao Centride nulo, resulta:

    ou

  • Analogamente, para o eixo y:Nos dois casos, conhecendo-se os Momentos de Inrcia em relao ao Centride, o valor do Momento de Inrcia em relao a qualquer eixo paralelo pode ser obtido adicionando-se uma parcela correspondente ao produto da rea pelo quadrado da distncia transladada ou vice versa.Procedimento idntico pode ser realizado para o Produto de Inrcia em relao a novos eixos paralelos escrevendo:

    ou

  • Rotao de eixos

    Completando o estudo, passa-se determinao das caractersticas geomtricas em relao a novos eixos localizados na mesma origem e girados de um ngulo qualquer.Observe-se que, embora de carter geral, em aplicaes prticas interessa providenciar a rotao ao redor dos eixos ( x , y ) localizados no Centride. Por esse motivo, estabeleceu-se para a redao das frmulas deste item, a conveno ilustrada na figura, onde esto indicadas frmulas para rotao das coordenadas.

  • Assim sendo, para obter Iu, Iv e Iuv como funes de Ix, Iy e Ixy o bastante substituir as novas coordenadas ( u , v ) nas expresses das caractersticas geomtricas relativas a esses eixos, ou sejam:

    Aps algumas manipulaes algbricas, obtm-se as seguintes frmulas mais concisas:

  • Momentos e eixos principais de inrcia

    Tendo em vista que os Momentos de Inrcia Iu e Iv esto relacionados a Ix e Iy apenas como funes do ngulo , possvel determinar seus valores extremos, bastando para tanto derivar tais expresses, igualando-as a zero, providncia que conduz a:A soluo dessa equao tem como resultado dois valores de defasados de 90o , que definem outro par de eixos denominados Eixos Principais de Inrcia, indicados por ( 1 , 2 ) , nos quais os Momentos de Inrcia so extremos, e denominados Momentos Principais de Inrcia, em notao expressa por

  • 5. Esforos solicitantes em estruturas planas isostticas5.1- Definio e conveno de sinais Definio: Em uma estrutura em equilbrio, os esforos solicitantes em uma seo transversal genrica so as foras que equilibram as aes externas que atuam esquerda ou direita desta seo. Os esforos solicitantes formam pares (ao e reao entre corpos) de mesma direo e intensidade, porm de sentidos contrrios, nas duas sees transversais.

  • Estas foras atuantes na seo transversal podem ser reduzidas a uma fora resultante aplicada em um ponto (centro de gravidade da seo) e a um momento (binrio) resultante.

    Para facilitar os clculos destes esforos solicitantes, obtm-se as componentes destas resultantes nas direes do eixo longitudinal e dos eixos ortogonais a este, que contm a seo transversal da barra.

  • N - fora normal ou axial V - fora cortante M - momento fletor T - momento tororAs componentes destas foras, considerando-se estrutura plana e carregamento contidos no plano xy, so os esforos solicitantes esforo axial N, momento fletor Mz e esforo cortante Vy.

  • Conveno de sinais: sentidos positivos dos esforos

    Esforo normal (axial): N

    Esforo cortante: V

    Momento fletor: M

    Momento toror: T

  • Determinao dos esforos solicitantes

    As equaes de equilbrio determinam as condies da estrutura, ou de parte dela, esquerda ou direita da seo transversal estudada.

    Exemplo

    apoio fixo A: deslocamentos restritos vx e vy

    apoio mvel C: deslocamento restrito vyxyCBVAAVcHA4,01,5m5,0 kN/m8,0 kN8,0 kN

  • Reaes de apoio

    Carga distribuda transformada em fora concentrada fictcia, Fq = 5,0.5,5=27,5 kNEquaes de equilbrio

    27,5 kN8,0 kN

  • Esforos solicitantes

    Seo transversal B (distante 2 metros do apoio A)

    equaes de equilbrio

    10,0 kNRA2,0MBVBNBHA

  • 6. Equaes analticas e diagrama de esforos6.1- Equaes analticas Os esforos solicitantes so obtidos em uma determinada seo transversal;Deseja-se, porm, conhecer a sua evoluo (variao) ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como um todo;Pode-se obter as expresses analticas dos esforos em funo da coordenada x, onde so representados os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seo transversal de referncia em posio genrica.As funes obtidas so contnuas para carregamentos contnuos e descontnuas onde houver alguma fora (ou reao) concentrada ou descontinuidade geomtrica da estrutura.

  • Esforos solicitantes

    Seo transversal S (distante de s do apoio A)Variao de a coordenada s: 0 < s < 4,0 mequaes de equilbrio

    5,0.sRAsMSVSNSsHA

  • Esforos solicitantes para o trecho AC, entre apoios

    Para s=0:

    Para s=4,0 (seo esquerda do apoio C):

  • Esforos solicitantes

    Seo transversal S (distante de s do apoio A)Variao de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m

    5,0.sRAsMSVSNSsRCHA

  • Esforos solicitantes para o trecho CD, em balanoPara s=4,0:

    Para s=5,5 (seo extrema do balano):

  • Diagrama dos esforos solicitantes

    As expresses obtidas permitem traar os diagramas dos esforos solicitantes seguindo algumas convenes:Momento fletor e fora cortante, valores positivos indicados abaixo do eixo de abcissa x8,611,47,5+_+7,25,6+_B1,4V (kN)M (kN.m)

  • Observaes:Fora cortante: descontinuidade no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reao de apoio)A diferena (ou a soma dos mdulos) dos valores de fora cortante, direita e esquerda do apoio (VC,dirVC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN) representam a carga concentrada naquele ponto (reao de apoio VC=18,9kN)Momento fletor: descontinuidade da inclinao no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reao de apoio)

  • 7. Relaes diferenciais entre os esforos solicitantes e carregamentos

    As expresses analticas dos esforos solicitantes de flexo (momento fletor e fora cortante) apresentam relaes diferenciais entre si.Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal dx de uma barra geral em equilbrio, sobrecarregada uniformemente:

  • Equaes de equilbrio

  • Integrando-se as duas equaes, tem-se:

    onde C1 e C2 so constantes de integrao e so conhecidos a partir da definio de condies de contorno do problema estudado.

  • Segundo as expresses diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforos M e V para os diversos tipos de carga distribuda:

    q=0: V - constante M - variao linear

    q=constante: V - variao linear M - polinmio 2o. grau

    q=linear: V pol. 2o. Grau M - polinmio 3o. grau

    E ainda:

  • ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS - NBR6120 Cargas para o clculo de estruturas de edificaes. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p.DIAS, L. A M. Estruturas de ao: conceitos, tcnicas e linguagem. Zigurate, 1998.FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto estrutural. So Paulo: McGraw Hill, 1976. GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. So Carlos: Publicao EESC/USP, 1993.MACHADO JUNIOR, E.F. Introduo isosttica. So Carlos: Publicao EESC/USP,1999.SCHIEL, F. Introduo resistncia dos materiais. So Paulo: Harbra, 1984.Bibliografia