aula 8

Um sistema axiomatico na logica proposicional

Alexsandro Santos [email protected]

Universidade Federal de GoiasDepartamento de Ciencia da Computacao

17 de abril de 2008

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Sumario

1 Objetivos

2 O Sistema Axiomatico Pa

3 Consequencia logica em Pa

4 Completude do Sistema Axiomatico Pa

5 Referencia

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Objetivos da aula

Analise de um sistema formal de deducao em logica proposicional: osistema Pa;

Definicao das nocoes de prova e consequencia logica.

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Definicao

sistema axiomatico Pa

O sistema axiomatico Pa da logica proposicional e definido pelacomposicao de quatro elementos:

O alfabeto da logica proposicional.

O conjunto de formulas da logica proposicional.

Um subconjunto das formulas denominado de axiomas.

Um conjunto de regras de deducao.

Um dos objetivos do estudo do sistema Pa e o estudo formal darepresentacao e deducao de conhecimento.

E analisada a deducao de um conhecimento implcito dado a partirde outro fornecido de antemao e denominado por axiomas.

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Definicao

axiomas do sistema Pa

Os axiomas Pa sao formulas da logica proposicional determinadas pelosesquemas indicados a seguir. Nestes esquemas E , G e H sao formulasquaisquer da logica proposicional.

Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 ((H G )) (((E H)) (G E ))

Note que o sistema Pa possui infinitos axiomas.Utilizando outros conectivos, tais axiomas sao representadosequivalentemente por:

Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 (H G ) ((E H) (G E ))

Fazendo G = E no axioma Ax2, pode-se reescreve-lo como:Ax2 H (E H)

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Definicao




Note que o sistema Pa possui infinitos axiomas.

Utilizando outros conectivos, tais axiomas sao representadosequivalentemente por:



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Definicao




Note que o sistema Pa possui infinitos axiomas.Utilizando outros conectivos, tais axiomas sao representadosequivalentemente por:



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Axiomas sao tautologias

Os axiomas de Pa sao tautologias.

A validade de Ax1 e Ax2 e imediata.

A validade de Ax3 e demonstrada pela tabela verdade

H G E H G E H G E Ax3T T T T T T TT T F T T T TT F T F T T TT F F F T F TF T T T T T TF T F T F T TF F T T T T TF F F T F F T

Note que a coluna da formula Ax3 somente contem o smbolo T.

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Definicao

regra de inferencia do sistema Pa, Modus Ponens

Dadas as formulas H e G, o esquema de regra de inferencia do sistemaPa, denominado Modus Ponens (MP), e definido pelo procedimento aseguir: tendo H e (H G ) deduza G.

Para representar o esquema da regra de inferencia Modus Ponens,usa-se

H, (H G )G

O numerador desta equacao e denominado antecedente, e odenominador consequente.

O esquema do Modus Ponens na verdade representa um conjuntoinfinito de regras pois H e G sao formulas arbitrarias.

Ele define um procedimento sintatico de deducao de conhecimentoque pode ser mecanizado em um computador.

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Consequencia logica em Pa

No incio da deducao no sistema axiomatico Pa ha o conhecimentorepresentado pelos axiomas e mais algumas formulas extrar,denominadas hipoteses.

As regras de inferencia determinam um mecanismo de inferencia quese aplicado aos axiomas e hipoteses permite deduzir um conjunto deformulas denominado por consequencias logicas.

Assim, as consequencias logicas representam o conhecimentoprovado partindo dos axiomas e hipoteses, via as regras deinferencias.

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Definicao

prova no sistema Pa

Sejam H uma formula e um conjunto de formulas denominadashipoteses. Uma prova de H a partir de , no sistema axiomatico Pa, euma sequencia de formulas H1,H2, ,Hn, onde:

H = HnPara todo i , tal que 1 i n,

Hi e um axioma ouHi ouHi e deduzida de Hj e Hk , utilizando a regra Modus Ponens, comj < i e k < i . Isto e,

Hj HkHi

Observe que neste caso, necessariamente, tem-se que Hk = Hj Hi .

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Exemplo: prova no sistema Pa

Exemplo 1: prova no sistema Pa

Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.

G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R

G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}

H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}

H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }

H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }

H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}

H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}

H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}

H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}

H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}

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G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2

Dem.

H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8} 10 / 60

Outra notacao para provas em Pa

A prova anterior poderia tambem ser representada conforme oesquema a seguir.

P1 (P1 Q)Q (Q P4)

P4 (P4 P)P (P (S P))

(S P)

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Definicoes

consequencia logica no sistema Pa

Dada uma formula H e um conjunto de hipoteses , entao H e umaconsequencia logica de em Pa, se existe uma prova de H a partir de .

teorema no sistema Pa

Uma formula H e um teorema em Pa se existe uma prova de H, em Pa,que utiliza apenas os axiomas. Neste caso, o conjunto de hipoteses evazio.

Dada uma formula H, se H e consequencia logica de um conjunto de hipoteses

= {H1,H2, ,Hn},entao isto e indicado pela notacao

` H ou {H1,H2, ,Hn} ` HNo caso em que H e um teorema, isto e, e vazio, entao utiliza-se a notacao

` H

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Definicoes







` H ou {H1,H2, ,Hn} ` H

No caso em que H e um teorema, isto e, e vazio, entao utiliza-se a notacao

` H

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Definicoes







` H ou {H1,H2, ,Hn} ` HNo caso em que H e um teorema, isto e, e vazio, entao utiliza-se a notacao

` H

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Teorema

Teorema 1

Sejam um conjunto de formulas e A, B e C tres formulas da logica proposicional.Tem-se que

{ ` (A B) e ` (C A)} { ` (B C)}

Dem.

1 Seja D a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendo:H = A, G = B, E = C .

2 Assim,D = (A B) ((C A) (B C))

3 Como, ` (A B), entao, usando Modus Ponens, ocorre a deducao

` (A B) ` ((A B) ((C A) (B C))) ` ((C A) (B C))

4 Considerando que, ` (C A) e aplicando novamente Modus Ponens,

` (C A) ` ((C A) (B C)) ` (B C)

5 E assim a prova de ` (B C) e obtida.

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Teorema

Teorema 1

Sejam um conjunto de formulas e A, B e C tres formulas da logica proposicional.Tem-se que

{ ` (A B) e ` (C A)} { ` (B C)}

Dem.

1 Seja D a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendo:H = A, G = B, E = C .

2 Assim,D = (A B) ((C A) (B C))

3 Como, ` (A B), entao, usando Modus Ponens, ocorre a deducao

` (A B) ` ((A B) ((C A) (B C))) ` ((C A) (B C))

4 Considerando que, ` (C A) e aplicando novamente Modus Ponens,

` (C A) ` ((C A) (B C)) ` (B C)

5 E assim a prova de ` (B C) e obtida.13 / 60

Teorema

Teorema 2

Tem-se que ` (P P).

Dem.

1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.

2 Assim,

A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))

3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.

4 Assim,B = (P P) P

5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se

C = (P (P P)) (P P).

6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).

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Teorema

Teorema 2

Tem-se que ` (P P).

Dem.

1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.

2 Assim,

A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))

3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.

4 Assim,B = (P P) P

5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se

C = (P (P P)) (P P).

6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).14 / 60

Teoremacontinuacao da demonstracao

Dem.

1 Portanto,C = (P (P P)) (P P).

2 Considere a formula D obtida a partir do axioma Ax2 fazendo:H = P e G = P.

3 Assim,D = P (P P).

4 Aplicando Modus Ponens em C e D, a formula P P e obtida.5 Logo, ` (P P).

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Dem.




4 Aplicando Modus Ponens em C e D, a formula P P e obtida.

5 Logo, ` (P P).

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Dem.




4 Aplicando Modus Ponens em C e D, a formula P P e obtida.5 Logo, ` (P P).

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Regra de substituicao

Teorema 3 (regra da substituicao)

Sejam um conjunto de formulas e H uma formula da Logica Proposicional tais que ` H. Considere P1,P2, ,Pn um conjunto de smbolos proposicionais que ocorremem H mas nao ocorrem nas formulas de . Seja G a formula obtida de H substituindoos smbolos proposicionais

P1,P2, ,Pnpelas formulas

E1,E2, ,Enrespectivamente. Tem-se que ` G.

Comentario

Para obter a prova de G a partir de , basta substituir os smbolos proposicionais


E1,E2, ,Enem todos os passos da prova de H a partir de .

Observe que no argumento acima e essencial que os smbolos proposicionaisP1,P2, ,Pn nao ocorram nas formulas do conjunto .A demonstracao desta proposicao utiliza inducao finita no comprimento da provae e proposta como exerccio.

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Comentario




Observe que no argumento acima e essencial que os smbolos proposicionaisP1,P2, ,Pn nao ocorram nas formulas do conjunto .

A demonstracao desta proposicao utiliza inducao finita no comprimento da provae e proposta como exerccio.

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Comentario




Observe que no argumento acima e essencial que os smbolos proposicionaisP1,P2, ,Pn nao ocorram nas formulas do conjunto .A demonstracao desta proposicao utiliza inducao finita no comprimento da provae e proposta como exerccio.

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Teorema

Teorema 4

Tem-se que ` (P P).

Dem.

1 A formula (P P) pode ser reescrita como (P P).

2 Portanto, basta demonstrar que ` (P P).3 Conforme o teorema 2 tem-se que

` (P P).

4 Utilizando a regra de substituicao e substituindo P por P noteorema acima,

5 a prova` (P P)

e obtida.

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Teorema

Teorema 4

Tem-se que ` (P P).

Dem.

1 A formula (P P) pode ser reescrita como (P P).2 Portanto, basta demonstrar que ` (P P).

3 Conforme o teorema 2 tem-se que

` (P P).


5 a prova` (P P)

e obtida.

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Teorema

Teorema 4

Tem-se que ` (P P).

Dem.

1 A formula (P P) pode ser reescrita como (P P).2 Portanto, basta demonstrar que ` (P P).3 Conforme o teorema 2 tem-se que

` (P P).


5 a prova` (P P)

e obtida.

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Exemplo: uso incorreto da regra da substituicao

Exemplo 2: uso incorreto da regra da substituicao

1 Considere = {P, P Q}

2 Aplicando Modus Ponens em o smbolo proposicional Q ededuzido de P e P Q .

3 Logo, ` Q

4 Aplicando de forma incorreta a regra da substituicao neste resultadoe possvel concluir

` Ronde Q e substitudo por R.

5 Mas e falso que{P, P Q} ` R

6 A regra da substituicao foi aplicada de forma incorreta poisQ {P, Q}, o conjunto de smbolos proposicionais da hipotese eisto fere as condicoes de aplicacao da regra.

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax3

2. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax3

3. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax2

4. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .3

5. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .4

6. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .5

7. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .6

8. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .7

9. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex5

10. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Teorema 5

Tem-se que ` (P P).

Dem.

No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9

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Teorema

Nas proposicoes que se seguem, e um conjunto de hipoteses e A, B eC sao formulas.

Teorema 6

Tem-se que ` (A B) (B A).

Dem.1. ` (P P) teo5

2. ` (B B) teo3, .13. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax34. ` (A B) (B A) MP, .2, .3

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Teorema


Teorema 6


Dem.1. ` (P P) teo52. ` (B B) teo3, .1

3. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax34. ` (A B) (B A) MP, .2, .3

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Teorema


Teorema 6


Dem.1. ` (P P) teo52. ` (B B) teo3, .13. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax3

4. ` (A B) (B A) MP, .2, .3

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Teorema


Teorema 6


Dem.1. ` (P P) teo52. ` (B B) teo3, .13. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax34. ` (A B) (B A) MP, .2, .3

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Teorema

Teorema 7 (transitividade)

Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).

Dem.1. ` (A1 A2) hip

2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5

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Teorema


Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).

Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip

3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5

21 / 60

Teorema


Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).

Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .2

4. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5

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Teorema


Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).

Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo6

5. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5

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Teorema


Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).

Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .4

6. ` (A1 A3) reescrita de .5

21 / 60

Teorema


Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).

Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5

21 / 60

Teorema

Teorema 8

Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).

Dem.1. ` (B C ) hip

2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 8


Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax3

3. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 8


Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .2

4. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 8


Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip

5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 8


Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax3

6. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 8


Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .5

7. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 8


Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .6

8. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 8


Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax1

9. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 8


Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8

22 / 60

Teorema

Teorema 9

Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .

Dem.1. ` (A C ) hip

2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4

23 / 60

Teorema

Teorema 9

Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .

Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip

3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4

23 / 60

Teorema

Teorema 9

Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .

Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .2

4. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4

23 / 60

Teorema

Teorema 9

Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .

Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo2

5. ` C MP, .3, .4

23 / 60

Teorema

Teorema 9

Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .

Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4

23 / 60

Teorema

Teorema 10

Se ` (A B) entao ` (A (C B)) e ` (A (B C )).

Dem.1. ` (A B) hip

2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4

24 / 60

Teorema

Teorema 10


Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax2

3. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4

24 / 60

Teorema

Teorema 10


Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .2

4. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4

24 / 60

Teorema

Teorema 10


Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo6

5. ` A (B C ) teo7, .3, .4

24 / 60

Teorema

Teorema 10


Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4

24 / 60

Teorema

Teorema 11 (associatividade)

Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).

Dem.1. ` (P P) teo5

2. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7

25 / 60

Teorema



Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo10

3. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7

25 / 60

Teorema



Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo10

4. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7

25 / 60

Teorema



Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .3

5. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7

25 / 60

Teorema



Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .4

6. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7

25 / 60

Teorema



Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo10

7. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7

25 / 60

Teorema



Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .6

8. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7

25 / 60

Teorema



Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7

25 / 60

Teorema

Teorema 12

Se ` ((A B) C ) entao ` (A (B C )).

Dem.1. ` (A B) C ) hip

2. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo113. ` (A (B C )) MP, .1, .2

26 / 60

Teorema

Teorema 12

Se ` ((A B) C ) entao ` (A (B C )).

Dem.1. ` (A B) C ) hip2. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo11

3. ` (A (B C )) MP, .1, .2

26 / 60

Teorema

Teorema 12

Se ` ((A B) C ) entao ` (A (B C )).

Dem.1. ` (A B) C ) hip2. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo113. ` (A (B C )) MP, .1, .2

26 / 60

Teorema

Teorema 13

Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).

Dem.1. ` (A B) hip

2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip

3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .2

4. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .3

5. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita

6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .5

7. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita

8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .7

9. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .8

10. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .9

11. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Teorema

Teorema 13


Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita

27 / 60

Lema

Lema 14

Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).

Dem.

1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.

2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova

` (A B)e obtida.

7 Caso 2: Suponha que B = A.

8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)

9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).

28 / 60

Lema

Lema 14


Dem.


2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.

3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova

` (A B)e obtida.




28 / 60

Lema

Lema 14


Dem.


2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.

4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova

` (A B)e obtida.




28 / 60

Lema

Lema 14


Dem.


2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A

5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova

` (A B)e obtida.




28 / 60

Lema

Lema 14


Dem.


2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).

6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova

` (A B)e obtida.




28 / 60

Lema

Lema 14


Dem.



` (A B)e obtida.




28 / 60

Lema

Lema 14


Dem.



` (A B)e obtida.



9 Obtem-se ` (A A)

10 Logo, ` (A B).

28 / 60

Lema

Lema 14


Dem.



` (A B)e obtida.




28 / 60

Teorema da deducao

Teorema 15 (Teorema da deducao)

Seja um conjunto de hipoteses da logica proposicional.Se {A} ` B, entao ` (A B).

Dem.

Tem-se que {A} ` B

e e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.

E demonstrado a seguir, utilizando o princpio da inducao, que

` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que

` (A B)pois B = Cn.

29 / 60

Teorema da deducao



Dem.

Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).

Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.



` (A B)pois B = Cn.

29 / 60

Teorema da deducao



Dem.

Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,

entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.



` (A B)pois B = Cn.

29 / 60

Teorema da deducao



Dem.

Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.

Isto significa que B = Cn.



` (A B)pois B = Cn.

29 / 60

Teorema da deducao



Dem.

Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.



` (A B)pois B = Cn.

29 / 60

Teorema da deducao



Dem.



` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.

A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que

` (A B)pois B = Cn.

29 / 60

Teorema da deducao



Dem.




` (A B)pois B = Cn. 29 / 60

Teorema da deducaoDemonstracao pelo princpio da inducao

Dem.

1 A demonstracao de ` (A Ci )

utiliza o princpio da inducao no natural i .

2 Considere a assercao:

A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se

A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)4 Portanto, deve-se demonstrar que

` (A C1)partindo de

{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que

` (A C1).

30 / 60


Dem.




A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )

3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se


` (A C1)partindo de


` (A C1).

30 / 60


Dem.





A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)

4 Portanto, deve-se demonstrar que

` (A C1)partindo de


` (A C1).

30 / 60


Dem.






` (A C1)partindo de

{A} ` C1.

5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que

` (A C1).

30 / 60


Dem.






` (A C1)partindo de

{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}

6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que

` (A C1).

30 / 60


Dem.






` (A C1)partindo de

{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.

7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que

` (A C1).

30 / 60


Dem.






` (A C1)partindo de


` (A C1).30 / 60

Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao

Dem.

1 Demonstracao do passo da inducao Esta demonstracao considera a segundaforma do princpio da inducao.

2 Neste caso, para cada natural i , 1 i n e necessario demonstrar que se A(k)e verdadeira para todo k < i , entao A(i) tambem e verdadeira.

3 Em outras palavras, se a assercao

A(k) se {A} ` Ck , entao ` (A Ck )e verdadeira para todo k < i entao tambem e verdadeira a assercao

A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .5 O resultado

` (A Ci )e demonstrado a seguir.

6 Neste caso, se Ci e axioma, hipotese ou e igual a A, entao utilizando o lemaanterior, conclui-se que

` (A Ci )

31 / 60


Dem.





A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )

4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .5 O resultado



` (A Ci )

31 / 60


Dem.





A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .

5 O resultado ` (A Ci )

e demonstrado a seguir.


` (A Ci )

31 / 60


Dem.





A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .5 O resultado



` (A Ci )

31 / 60


Dem.

1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.

2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )

tal queCs = (Cj Ci ),

onde j < i , s < i .

3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,

{A} ` Cj e {A} ` Cs .6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que

` (A Cj ) e ` (A Cs ).

7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).

8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado

` (A Ci ).

32 / 60


Dem.





3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .

4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,


` (A Cj ) e ` (A Cs ).

7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).


` (A Ci ).

32 / 60


Dem.





3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.

5 Portanto, {A} ` Cj e {A} ` Cs .

6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que

` (A Cj ) e ` (A Cs ).

7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).


` (A Ci ).

32 / 60


Dem.






{A} ` Cj e {A} ` Cs .

6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que

` (A Cj ) e ` (A Cs ).

7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).


` (A Ci ).

32 / 60


Dem.







` (A Cj ) e ` (A Cs ).

7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).


` (A Ci ).

32 / 60


Dem.







` (A Cj ) e ` (A Cs ).

7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).


` (A Ci ).32 / 60

Teorema

Teorema 16

Tem-se que` (A (B (A B))).

Dem.1. ` A A teo3, teo4

2. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita

33 / 60

Teorema

Teorema 16


Dem.1. ` A A teo3, teo42. ` B B teo3, teo4

3. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita

33 / 60

Teorema

Teorema 16


Dem.1. ` A A teo3, teo42. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .1

4. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita

33 / 60

Teorema

Teorema 16


Dem.1. ` A A teo3, teo42. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .2

5. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita

33 / 60

Teorema

Teorema 16


Dem.1. ` A A teo3, teo42. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .4

6. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)

aula 8

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