Aula 7 - Matemática Financeira - Juros e Descontos

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 7: Juros Simples e Compostos

1. PORCENTAGEM .............................................................................................................................. 2

2. JUROS SIMPLES ............................................................................................................................... 6

2.1. Frmula de juros simples ...................................................................................................................... 7 2.2. Cuidados na aplicao da frmula de juros simples ............................................................................ 9 2.3. Questes em que no necessria a converso .................................................................................. 10 2.4. Converses de prazo ........................................................................................................................... 13

2.5. Juros exatos, bancrios e comerciais.................................................................................................. 17

2.6. Taxas equivalentes em juros simples................................................................................................... 23 2.7. Capital, taxa e prazo mdio ................................................................................................................ 29

3. DESCONTO SIMPLES ..................................................................................................................... 35

3.1. Desconto racional simples .................................................................................................................. 35

3.2. Desconto comercial simples ................................................................................................................ 40

3.3. Relao entre desconto comercial e racional ..................................................................................... 50 4. TAXA EFETIVA EM EMPRSTIMOS COM VALORES RETIDOS ANTECIPADAMENTE ...................... 53

5. JUROS COMPOSTOS ..................................................................................................................... 58

5.1. Frmula de juros compostos ............................................................................................................... 58 5.2. Taxa nominal e efetiva ........................................................................................................................ 66 5.3. Taxas equivalentes em juros compostos .............................................................................................. 70 5.4. Conveno linear e conveno exponencial ....................................................................................... 80

6. DESCONTO COMPOSTO ............................................................................................................... 85

6.1. Desconto racional composto ............................................................................................................... 86

6.2. Desconto composto comercial ............................................................................................................ 92 7. INFLAO ..................................................................................................................................... 97

7.1. Perda do poder de compra .................................................................................................................. 97

7.2. Juros reais e juros aparentes. ............................................................................................................. 98 8. CAPITALIZAO CONTNUA ....................................................................................................... 103

9. QUESTES APRESENTADAS EM AULA ........................................................................................ 109

10. GABARITO .............................................................................................................................. 125

11. RESUMO............................................................................................................................... 125

12. TABELAS EXTRADAS DA PROVA DA ESAF .............................................................................. 127



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Carssimos,

Mil perdes, mas ainda no consegui concluir a segunda lista de reviso, com questes referentes s aulas 3, 4, 5 e 6. Ela est com 78 exerccios, todos de Esaf. J devo ter resolvido algo em torno de 50. Peo ento ainda mais alguns dias para terminar, ok?

Hoje iniciamos o terceiro bloco da matria: matemtica financeira. Para alguns tipos de exerccio que julgo interessantes no encontrei questes da Esaf. Por isso, aumentei um pouco a proporo de questes de outras bancas. As demais questes de Esaf, que eu no utilizei, deixo para a 3 lista de reviso.

1. PORCENTAGEM

Ns j estudamos porcentagem na aula 3. Vimos que o smbolo % significa que o nmero est dividido por 100. Exemplo:

5% =5

100= 5 0,01 = 0,05

Vimos tambm como a porcentagem serve para dar a noo de parte e de todo. At tivemos o seguinte resumo:

TOME NOTA!!!

Para achar um percentual, basta dividir a parte pelo todo:

[parte]

[todo]=[percentual]

Dado o percentual, para achar a quantidade referente parte, basta multiplicar o percentual pelo todo.

[parte]=[todo][percentual]

Estudamos tambm os aumentos e as redues percentuais.

Vimos que aumentar algo em 1% o mesmo que multiplicar por 1,01. Ou que aumentar algo em 20% o mesmo que multiplicar por 1,20.

Analogamente, diminuir algo em 15% o mesmo que multiplicar por (1 0,15).

Como nessa aula vamos voltar a usar bastante a porcentagem, trago mais alguns exerccios, para aquecermos os motores. Desde que j usamos todas as questes de Esaf que eu tinha separado, vamos agora usar questes de algumas de outras bancas.

Questo 1 SEFAZ SP 2009 [FCC]

Em toda a sua carreira, um tenista j disputou N partidas, tendo vencido 70% delas. Considere que esse tenista ainda v disputar, antes de se aposentar, mais X partidas, e que vena todas elas. Para que o seu percentual de vitrias ao terminar sua carreira suba para 90%, X dever ser igual a



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(A) N.

(B) 1,2 N.

(C) 1,3 N.

(D) 1,5 N.

(E) 2 N.

Resoluo:

O tenista venceu 70% das partidas que disputou.

Ou seja, dividindo o nmero de vitrias por N, obtemos 70%.

vitorias

= 70% = 0,7 vitorias=0,7

O tenista j venceu 0,7N partidas.

Se o percentual de vitrias 70%, ento sabemos que ele perdeu 30% das partidas que disputou.

Com isso, conclumos que ele j perdeu 0,3N partidas.

Resumindo, na situao inicial ele tem 0,7N vitrias e 0,3N derrotas.

Em seguida, o tenista disputa mais X partidas, e vence todas elas.

Aps as partidas adicionais, ele ter vencido 0,7 + partidas e perdido 0,3N. Com isso, o total de partidas ser:

+ Dividindo a quantidade de vitrias pelo total de partidas, temos o percentual de vitrias.

0,7 + + = 90%

0,7 + + = 0,9

Multiplicando cruzado:

+ 0,9 = 0,7 + 0,9 + 0,9 = 0,7 +

0,9 0,7 = 9 0,2 = 0,1 = 2

Gabarito: E



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Questo 2 MPU 2010 [CESPE]

Em determinado rgo do Poder Executivo, foram alocados R$ 110.000,00 no oramento para a aquisio de 1.000 cadeiras de escritrio. Com a previso de realizao de um concurso para provimento de novas vagas, constatou-se a necessidade de compra de mais 300 cadeiras, alm das 1.000 j previstas. Com base nas informaes da situao hipottica apresentada, julgue os itens a seguir.

124. Para a aquisio das 300 unidades adicionais, a verba suplementar dever ser de 35% do valor inicialmente alocado, desde que no haja mudana no preo das cadeiras.

125. Se houver aumento de 20% no preo para as 300 cadeiras adicionais, a verba suplementar para aquisio dessas cadeiras ser igual a 36% do valor originalmente alocado para a aquisio das 1.000 cadeiras iniciais.

Resoluo:

Item 124.

Inicialmente so 1.000 cadeiras pelo valor R$ 110.000,00.

Com isso, conclumos que cada cadeira custa:

110.000

1.000= 110,00

Cada cadeira custa R$ 110,00.

Se este preo for mantido, o preo para adquirir as 300 unidades adicionais ser:

300 110 = 33.000,00

Pergunta-se: quantos por cento esta verba adicional representa em relao verba inicial?

Para encontrar o percentual, basta dividir os dois valores:

33.000

110.000= 30%

A verba suplementar ser 30% da verba inicial. O item est errado.

Para resolver a questo no era necessrio fazer todas as contas acima. Dava para responder a questo de forma bem mais rpida.

Como o preo unitrio mantido, s o que influencia no preo total das cadeiras a quantidade comprada.

Assim, para compararmos a verba suplementar com a verba inicial, poderamos ter tomado apenas as quantidades de cadeiras.

A quantidade suplementar 300. A quantidade inicial 1.000.

300

1.000= 30%

Isso j suficiente para concluirmos que a verba suplementar 30% da verba inicial. Item errado.



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Item 125.

O preo unitrio de cada cadeira, inicialmente, de R$ 110,00.

Para as 300 cadeiras adicionais, o preo unitrio ser aumentado em 20%. J vimos que aumentar algo em 20% o mesmo que multiplicar por 1,2.

O novo preo unitrio ser:

110 1,2 = 132

A cadeira agora custa 132,00.

Embora tenhamos feito a conta, nossa soluo ser facilitada se, em vez de escrevermos 132, deixarmos indicado o produto de 110 por 1,2.

Isto porque, l na frente, teremos 110 no numerador e 110.000 no denominador. Assim poderemos simplificar a frao.

Novo preo unitrio:

110 1,2

As 300 cadeiras adicionais custaro:

300 110 1,2

Para saber a quantos por cento da quantia inicial corresponde a verba suplementar, basta dividir:

verba suplementar

verba inicial=

300 110 1,2

110.000=

300 1,2

1.000= 36%

Item certo.

Gabarito: errado, certo

Questo 3 TCE RN 2009 [CESPE]

Se o preo original de um produto sofrer reajustes sucessivos de 15% e de 20%, ento o percentual de aumento no preo desse produto em relao ao preo original ser de 38%.

Resoluo

Considere que o preo inicial do produto R$ 100,00.

O preo original sofre um aumento de 15%. Ou seja, ele multiplicado por 1,15.

O novo preo unitrio ser:

100 1,15 = 115

O produto agora custa 115,00.

Em seguida, ele sofre um aumento de 20%. Ou seja, ele multiplicado por 1,2.

Assim, o novo preo unitrio ser:



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115 1,2 = 138

O preo unitrio passa a ser 138,00.

Ou seja, em relao ao preo inicial, o aumento foi de R$ 38,00 em um universo de R$ 100,00.

O aumento total foi de 38%.

Outra forma de resolver considerar os dois aumentos de uma s vez.

So dois aumentos: 15% e 20%. Ento basta multiplicar por 1,15 e depois por 1,2.

100 1,15 1,2 = 100 1,38

Note que o preo inicial (R$ 100,0) est sendo multiplicado por 1,38.

J sabemos que aumentar algo em 38% o mesmo que multiplicar por 1,38.

Conclumos que o preo inicial est sendo aumentado em 38%.

Gabarito: certo

2. JUROS SIMPLES

A situao a seguinte: algum possui dinheiro hoje, mas no precisa ou no quer us-lo. Outra pessoa no possui dinheiro agora, mas quer ou precisa usar uma graninha no momento atual. Quem tem o dinheiro hoje pode ced-lo para a pessoa que precisa. Para tanto, ela cobra um aluguel. Este aluguel so os juros.

Esta uma maneira simplificada de entender porque pagamos juros quando pegamos dinheiro emprestado. Estamos pagando uma remunerao para que quem nos emprestou deixe de usar o dinheiro hoje, para poder us-lo s depois.

Na realidade, os juros so calculados com base em vrios fatores. Veja alguns deles:

Risco: quem empresta o dinheiro est correndo um risco de no receber o dinheiro de volta.

Despesas para emprestar: em alguns casos existem despesas para o emprstimo. Imagine um banco emprestando. Ele tem algumas despesas nesta operao, que certamente so cobradas de quem pegou o dinheiro emprestado.

Perda de valor do dinheiro: sabemos que a inflao corri o poder de compra do dinheiro. Obviamente, quem emprestou vai querer ter o seu poder de compra preservado. Ele vai repassar este nus ao emprestador.

Custo de Oportunidade: imagine que existam outras opes de investimento. Pense, por exemplo, que, em vez de emprestar o dinheiro, eu possa colocar na poupana. A poupana um investimento muito seguro. S vou deixar de investir meu dinheiro nela (deixando de auferir seus rendimentos), se o investimento pelo qual eu optar me propiciar um retorno maior. Esse retorno maior tem que compensar o custo de oportunidade que estou tendo (ou seja, o rendimento que estou deixando de ganhar, ao no aplicar na poupana).



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2.1. Frmula de juros simples

Exemplo 1

Joo empresta R$ 200,00 para Pedro, cobrando uma taxa de 1% ao ms (juros simples). Qual o valor da dvida, depois de dez meses?

Resoluo:

Pronto. Entramos em um dos problemas mais comuns de matemtica financeira. A cobrana de juros. Este tipo de problema vai nos acompanhar durante todas as aulas de matemtica financeira. A ideia sempre a mesma. O que vai dificultando, aos poucos, so os clculos envolvidos.

A ideia dos juros remunerar o capital. Pedro precisa do dinheiro hoje, mas no tem este dinheiro. Joo tem o dinheiro, mas no precisa dele agora. Assim, Joo empresta o dinheiro para Pedro, mas cobra uma remunerao por isto. Esta remunerao so os juros.

Os juros representam uma receita (ou rendimento) para quem empresta o dinheiro e uma despesa para quem toma emprestado.

O valor dos juros depende da taxa. Dizer que cobrada uma taxa de 1% significa que os juros cobrados so de:

= 1% 200 = 0,01 200 = 2 Portanto, os juros so iguais a R$ 2,00.

Pois bem, passado o primeiro ms, Pedro j deve a Joo R$ 202,00. Deste valor, temos R$ 200,00 correspondentes ao inicialmente emprestado, mais R$ 2,00 de juros.

Passa o segundo ms. Pedro continua usando o dinheiro de Joo. Portanto, ter que pagar novos juros. A taxa permanece em 1%. Como calcular os juros do segundo ms?

A partir do segundo ms, temos que saber se a taxa de juros simples ou de juros compostos.

Quando temos juros simples, a taxa sempre incide sobre o valor inicial.

Assim, os juros do segundo ms sero, novamente, iguais a R$ 2,00.

Fica assim:

= 1% 200 = 2 Passa o terceiro ms. E o Pedro continua com o dinheiro do Joo. Portanto, vai ter que pagar mais uma remunerao. Novamente teremos uma taxa de 1%. E, como so juros simples, novamente esta taxa incidir sobre o valor inicialmente emprestado (R$ 200,00).

Portanto, os juros do terceiro ms sero novamente de R$ 2,00.

E assim por diante, at o dcimo ms.

Ao final do dcimo ms, Pedro ter que devolver os R$ 200,00 iniciais mais R$ 2,00 reais para cada ms que passou.



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Assim, Pedro ter que devolver:

200 + 10 2 = 220

Resposta: depois de dez meses o valor da dvida de R$ 220,00.

Alguns nomes importantes.

A quantia inicial (=200,00) geralmente recebe um nome importante: capital inicial (C).

A quantia final (=220,00) tambm recebe um nome importante: montante (M).

Podemos dizer que o montante (M) igual ao capital (C) mais os juros (J).

= + Foi exatamente isto que aconteceu no nosso exemplo. O capital foi de 200. Os juros foram de 20. E o montante foi 220.

Esta equao sempre vale, sejam juros simples, sejam compostos. O que vai mudar, conforme as taxas sejam simples ou compostas, a forma de calcular os juros.

No caso de regime simples, os juros ficam:

= Nesta frmula temos:

J so os juros

n o nmero de perodos que passaram

i a taxa de juros

C o capital

E foi exatamente esta frmula que usamos no problema acima.

Pedro teve que pagar, de juros, vinte reais.

Ou seja, Pedro teve que pagar juros de:

Ento esta a frmula que temos que saber para juros simples:

= Considerando que = + , podemos obter:

= + = +



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Colocando C em evidncia:

= (1 + )

TOME NOTA!!!

Frmulas para juros simples:

= + (vale sempre, mesmo que sejam juros compostos) = (vale s para juros simples) = (1 + ) (decorrncia das duas anteriores, ento s para juros simples)

Mais alguns comentrios sobre todas as parcelas vistas.

O capital a quantidade de moeda que uma pessoa tem disponvel para ceder a outra pessoa. Os problemas podem utilizar outros nomes, de mesmo significado. So eles: principal, valor aplicado, investimento inicial. A pessoa que cede o dinheiro o investidor. Quem recebe o dinheiro o tomador.

A remunerao paga pelo emprstimo (ou ainda, pela cesso do dinheiro) so os juros. Como j dissemos, para o tomador os juros so uma despesa e para o investidor os juros so uma receita.

O montante o valor total da transao financeira, sendo equivalente soma dos juros com o capital.

A taxa de juros representa a relao entre o juro e o capital investido. No nosso exemplo, o capital investido foi de R$ 200,00 e os juros mensais eram de R$ 2,00. Vamos fazer a relao entre esses dois valores:

2

200= 0,01 = 1%

Este valor acima justamente a taxa de juros. Dizemos que a taxa de juros de 1% ao ms. Isto porque, a cada ms, sero pagos juros correspondentes a 1% do capital.

2.2. Cuidados na aplicao da frmula de juros simples

De uma forma geral, o conhecimento das frmulas acima suficiente para resolver todas as questes de juros simples. O cuidado que se deve ter com as unidades. As unidades de tempo e da taxa tm que ser coerentes. Assim, se a taxa est ao ms e o prazo est em anos, no podemos sair aplicando a frmula. Antes, temos que garantir que as unidades estejam condizentes.

Temos sempre duas opes:

podemos converter o prazo (passando-o de anos para meses, ou para dias etc.);



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podemos converter a taxa (passando uma taxa que est ao dia para outra ao ms, ao ano, ao semestre, ao bimestre etc.)

A converso de prazo sempre feita por regra de trs. J a converso da taxa depende do regime de juros. No caso do regime de juros simples, tambm basta a aplicao da regra de trs. Veremos este assunto com mais detalhes nos itens seguintes.

TOME NOTA!!!

Converso de prazo: sempre aplicar regra de trs

Converso de taxa: no caso do regime simples, aplicar regra de trs.

Inicialmente veremos questes que dispensam as converses, pois j so dadas informaes na mesma unidade (coerncia entre a unidade da taxa e do prazo).

Depois veremos questes em que as unidades so diferentes entre si e a converso necessria.

2.3. Questes em que no necessria a converso

Questo 4 SEFAZ RJ 2009 [FGV]

O valor a ser pago por um emprstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias, de:

a) R$ 6.255,00

b) R$ 5.500,00

c) R$ 6.500,00

d) R$ 4.855,00

e) R$ 4.675,50

Resoluo:

O capital de R$ 4.500,00, a taxa de juros simples de 0,5% ao dia e o prazo de 78 dias. Pergunta-se o montante obtido.

Note que a taxa est ao dia e o prazo tambm est em dias. J podemos aplicar a frmula.

= 1 + = 4.500 1 + 78 0,5

100

= 4.500 1,39 = 6.255 Gabarito: A



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Questo 5 SEFAZ PB 2006 [FCC]

Um investidor aplica em um determinado banco R$ 10.000,00 a juros simples. Aps 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ 10.900,00 referente a esta operao e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente primeira aplicao. O montante no final do segundo perodo igual a

(A) R$ 12.535,00

(B) R$ 12.550,00

(C) R$ 12.650,00

(D) R$ 12.750,00

(E) R$ 12.862,00

Resoluo:

Primeiro investimento: o capital de R$ 10.000,00, o prazo de seis meses e o montante R$ 10.900. Precisamos calcular a taxa de juros.

= = 10.900 10.000 = 900 Logo:

= 900 = 10.000 6

= 9006 10.000

=150

10.000= 1,5%

Como o prazo utilizado na frmula est em meses, esta taxa tambm ao ms.

A taxa de 1,5% ao ms.

Segundo investimento: o capital de R$ 10.900,00, o prazo de cinco meses, a taxa de 3% ao ms (o dobro da primeira aplicao). Pergunta-se o montante.

= = 10.900 0,03 5 = 1.635

= + = 10.900 + 1.635 = 12.535 Gabarito: A

Questo 6 IRB 2006 [ESAF]

Um capital de 1000 unidades monetrias foi aplicado durante um ms a 3% ao ms, tendo o montante ao fim do ms sido reaplicado no segundo ms a 4% ao ms e o montante ao fim do segundo ms sido reaplicado no terceiro ms a 5% ao ms. Indique o montante ao fim do terceiro ms.

a) 1 170

b) 1 124,76



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c) 1 120

d) 1 116,65

e) 1 110

Resoluo:

So trs investimentos separados.

No primeiro, o capital inicial de 1.000, a taxa de 3% (ao ms) e o prazo de 1 ms.

Repare que a taxa est ao ms e o prazo tambm est em meses. J podemos aplicar a frmula para achar o montante:

= 1 + = 1.000 1 + 1 0,03 = 1.000 1,03 = 1.030

O montante obtido foi de R$ 1.030,00.

Encerrado o primeiro investimento, pegamos todo este valor (1.030) e reaplicamos em um segundo investimento.

Portanto, para o segundo investimento, o capital inicial ser de R$ 1.030,00. A taxa de 4% (ao ms) e o prazo de 1 ms.

O montante obtido com o segundo investimento :

= 1 + = 1.030 1 + 1 0,04 = 1.030 1,04 = 1.071,20

O montante obtido, ao final do segundo investimento, foi de R$ 1.071,20.

Encerrado o segundo investimento, pegamos todo este valor (1.071,20) e reaplicamos em um terceiro investimento. Portanto, para o terceiro investimento, o capital inicial de R$ 1.071,20. A taxa de 5% (ao ms). E o perodo de 1 ms. O montante ao final do terceiro ms fica:

= 1 + = 1.071,20 1 + 1 0,05 = 1.124,76

Gabarito: B

Questo 7 AFRF 2002 [ESAF]

Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O no pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanncia de 0,2% por dia til de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo ms, considerando que no h nenhum feriado bancrio no perodo.

a) R$ 2.080,00

b) R$ 2.084,00



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c) R$ 2.088,00

d) R$ 2.096,00

e) R$ 2.100,00

Resoluo:

Por enquanto, vamos esquecer a multa.

A taxa de juros de 0,2% (por dia til). O capital inicial de R$ 2.000,00. Queremos saber o montante.

Note que aqui no temos nem emprstimo, nem um investimento. o pagamento de uma conta em atraso. O pagamento deveria ser feito no dia 8. S que atrasamos o pagamento. Ou seja, estamos retendo o dinheiro de outra pessoa por um perodo indevido. Por conta disto, esta pessoa cobra juros (de mora).

Para aplicar a frmula, precisamos do prazo. A taxa est ao dia til. Temos que saber quantos dias teis se passaram.

Vamos montar um minicalendrio:

Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22

Em vermelho temos os dias de atraso. So 10 dias teis.

O montante fica:

= 1 + = 2.000 1 + 10 0,2% = 2.040

Portanto, o montante pago no dia 22 seria de R$ 2.040,00

Seria se no fosse por um detalhe.

Alm dos juros cobrados ao dia h uma multa. Esta multa de 2% sobre o valor da conta.

A multa de:

2% de R$ 2.000,00 = 2% 2.000 = 40

Assim, no dia 22, pagaremos:

2.040 + 40 = 2.080

Gabarito: A

2.4. Converses de prazo

Como vimos, a aplicao da frmula de juros simples depende de uma coerncia entre as unidades de tempo e da taxa. Se o prazo estiver em meses e a taxa estiver ao ano, no podemos aplicar a frmula. Antes, precisamos converter pelo menos uma das grandezas.



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Por hora, vamos nos concentrar no prazo. J vimos que para a converso de prazo basta aplicar a regra de trs.

Exemplo 2

Joo empresta a Pedro R$ 1.000,00 durante um perodo de 12 meses a uma taxa de 30% ao ano (juros simples). Qual o rendimento obtido por Joo?

Resoluo:

O perodo de doze meses (n=12). A taxa de 30% (i=30%). E o capital de R$ 1.000,00 (C=1000)

Aplicando a frmula:

= = 12 0,3 1.000 = 3.600

Certo???

Errado!!!

Repare que a taxa est ao ano e o prazo est em meses. Para podermos aplicar a frmula, tanto a taxa quanto o prazo tm que estar na mesma unidade.

Como a taxa est ao ano, vamos passar o prazo para anos.

Doze meses o mesmo que um ano.

Ficamos ento com um capital de R$ 1.000,00, aplicado por 1 ano, a uma taxa de 30% ao ano.

Pronto, agora a taxa est ao ano e o prazo tambm est em anos.

= = 1 0,3 1.000 = 300

Resposta: O rendimento (=juros) conseguido por Joo de R$ 300,00.

Questo 8 ANCINE 2006 [CESPE]

O clculo financeiro relevante, tendo em vista as tarefas de escolha de melhores opes de uso do dinheiro. Acerca de matemtica financeira, julgue os itens seguintes.

114. 110% ao ano a taxa que, em 3 anos e 4 meses, far quintuplicar de valor um capital aplicado a juros simples.

Resoluo.



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Observem que a taxa est ao ano e o prazo de 3 anos e 4 meses.

Para podermos aplicar as frmulas, as unidades devem coincidir.

Vamos passar o prazo para anos.

Prazo: 3 anos + 4 meses.

Precisamos saber a quantos anos correspondem 4 meses. Basta fazer regra de trs.

1 ano ---- 12 meses

x anos --- 4 meses.


4 1 = 12 = 4

12=

1

3

4 meses correspondem a 1/3 de ano.

3 anos + 1/3 anos = 10/3 anos

Assim, o prazo de dez teros de ano.

Agora sim, podemos aplicar a frmula:

= (1 + ) O montante cinco vezes o capital (informao dada na questo):

5 = 1 + 103

5 = 1 +10

3

4 =10

3

= 3 410

= 1,2 = 120%

Gabarito: errado.

Questo 9 SEFAZ SP 2009 [FCC]

Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depsitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicao e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dvida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao ms. No final do perodo, o montante da segunda aplicao apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicaes igual a



AFRFB e AFT


(A) R$ 10.080,00

(B) R$ 8.506,80

(C) R$ 7.204,40

(D) R$ 6.933,60

(E) R$ 6.432,00

Pancada!!!

Resoluo:

No uma questo impossvel, mas bem chatinha de fazer l no dia da prova, com o relgio jogando contra, mais a presso do momento.

Como so dois investimentos diferentes, vou diferenciar os smbolos de capital, montante e taxa.

M1, C1, n1 e i1 so o montante, o capital, o prazo e a taxa para o primeiro investimento.

M2, C2, n2 e i2 so o montante, o capital, o prazo e a taxa para o segundo investimento.

Primeiro investimento: o capital desconhecido, a taxa de 12% ao ano e o prazo de seis meses.

Note que a taxa est ao ano e o prazo est em meses. No podemos aplicar a frmula ainda.

Antes, precisamos tornar as unidades do prazo e da taxa coerentes entre si.

Vamos passar o prazo, que est em meses, para anos.

Um ano corresponde a doze meses.

Quantos anos correspondem a seis meses?

Basta fazer regra de trs:

1 ano ---- 12 meses

x anos ---- 6 meses


1 6 = 12 = 6

12= 0,5

O prazo de 0,5 anos.

Agora sim j podemos aplicar a frmula.

= 1 + = 1 + 0,5 0,12

= 1,06



AFRFB e AFT


Passados os seis meses, a pessoa retira R$ 20.000,00 para pagar uma dvida. A quantia restante :

1,06 20.000 Esta quantia aplicada durante um ano (=12 meses), a uma taxa de 1,5% ao ms.

O montante assim obtido foi de R$ 28.933,60.

= 1 + 28.933,60 = (1,06 20.000) 1 + 0,015 12

28.933,60 = (1,06 20.000) 1,18 1,06 20.000 = 28.933,601,18 = 24.520

1,06 = 44.520 = 44.5201,06 = 42.000

Ou seja, a pessoa partiu de R$ 42.000,00 e obteve:

- R$ 20.000,00 usados para pagar a dvida

- R$ 28.933,60 que sobraram no final da aplicao.

Total: 48.933,60.

A diferena entre o valor total obtido e o capital inicial corresponde ao juro obtido com as duas aplicaes.

= 48.933,60 42.000 = 6.933,60 Gabarito: D

2.5. Juros exatos, bancrios e comerciais

Quando a converso de prazo envolver a contagem de dias, a ns temos uma srie de detalhes a que temos que nos atentar.

Considere a seguinte transformao: queremos converter um prazo de 1 ano em meses. Como fazer?

Bem, sabemos que 1 ano tem 12 meses. imediato. Sem dificuldades, certo? Ok, isso aconteceu porque a converso no envolveu o nmero de dias.

Considere agora outra situao. Queremos converter o prazo de 1 ms em dias. De outro modo: quantos dias h em um ms?

Bom, agora as coisas mudam. Temos vrias opes. Um ms pode ter 30 dias. Pode tambm ter 31. Ou at mesmo 28. Assim como 1 ano pode ter 365 dias ou 366 (se for bissexto).

Quando a converso de prazo envolver o nmero de dias, podemos ter diversas convenes. So elas:

juro exato: considera o ano civil (365 dias ou 366, se for bissexto)



AFRFB e AFT


juro comercial ou ordinrio: considera o ano comercial (360 dias); se o exerccio for omisso, consideramos juro comercial.

juro bancrio: mistura dos dois anteriores.

No juro exato, ns contamos os dias como se estivssemos olhando um calendrio. O ano ter 365 dias (ou 366, se for bissexto). Os meses de janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro e dezembro tero 31 dias. Fevereiro ter 28 dias (ou 29, se o ano for bissexto). Os demais meses tero 30 dias.

No juro comercial, consideramos que qualquer ms ter 30 dias (mesmo que seja fevereiro). E consideramos que qualquer ano ter 360 dias.

Vejamos como fica por meio de um exemplo.

Exemplo 3

Um capital de R$ 13.140,00 investido a uma taxa de juros simples de 10% ao ano, do dia 21/3/5 ao dia 9/6/5. Qual o montante obtido, considerando:

a) juros exatos

b) juros comerciais

c) juros bancrios

Resoluo:

a) Nos juros exatos, contamos os dias como se estivssemos consultando um calendrio. Assim, temos:

21.3.5 a 31.3.5 10 dias

1.4.5 a 30.4.5 30 dias

1.5.5 a 31.5.5 31 dias

1.6.5 a 9.6.5 9 dias

Total 80 dias

Agora podemos fazer a regra de trs.

Dias Ano

365 1

80 x

365

80=

1


365 = 80 = 80

365

Esse o nosso prazo, em anos. Agora podemos aplicar a frmula:

= 1 +



AFRFB e AFT


= 13.140 1 + 80365

0,10 = 13.248

b) Nos juros comerciais, consideramos que todos os meses tm 30 dias e o ano tem 360 dias. Esta a contagem usual. Se o exerccio no disser nada, pode supor que se trata de juros comerciais.

21.3.5 a 30.3.5 9 dias

1.4.5 a 30.4.5 30 dias

1.5.5 a 30.5.5 30 dias

1.6.5 a 9.6.5 9 dias

Total 78 dias

Agora podemos fazer a regra de trs.

Dias Ano

360 1

78 x

360

78=

1

360 = 78

= 78360


= 1 + = 13.140 1 + 78

360 0,1 = 13.424,70

c) Nos juros bancrios, ns fazemos o seguinte. Ns contamos os dias como se estivssemos olhando num calendrio. exatamente a mesma contagem que vimos l nos juros exatos. Fica assim:

21.3.5 a 31.3.5 10 dias

1.4.5 a 30.4.5 30 dias

1.5.5 a 31.5.5 31 dias

1.6.5 a 9.6.5 9 dias

Total 80 dias

Ok, at aqui, sem novidades. O detalhe que, na hora de fazer a regra de trs, consideramos que o ano tem 360 dias. Estranho no? Pois . Ficou uma mistura dos dois mtodos anteriores.

Fazendo a regra de trs:



AFRFB e AFT


Dias Ano

360 1

80 x

360

80=

1

360 = 80

= 80360


= 1 + = 13.140 1 + 80

360 0,1 = 13.432

Observem que os juros bancrios forneceram o maior montante. Isto ocorre porque esse mtodo d um jeito de esticar o prazo. Ele coloca no denominador o menor nmero possvel (360). E no numerador coloca o maior nmero possvel (aquele resultante da contagem no calendrio).

Com isso, o prazo em anos ser maior que o obtido pelos demais mtodos (salvo uma rarssima exceo em que a contagem de prazo passe pelo final de fevereiro, de modo que a contagem dos dias no calendrio ser menor que a contagem do ano comercial).

Questo 10 SEFAZ-RJ 2008 [FGV]

Um capital aplicado durante 120 dias a uma taxa de juros simples ordinrio de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00.

Nestas condies, o capital aplicado, desprezando os centavos, :

a) R$ 6.500,00

b) R$ 7.850,00

c) R$ 8.017,00

d) R$ 8.820,00

e) R$ 8.000,00

Resoluo:

O exerccio nos d o prazo em dias e a taxa em anos. Dessa forma, no podemos aplicar de cara a frmula para juros simples. Temos que colocar o prazo e a taxa nas mesmas unidades.

Vemos tambm que o exerccio nos diz que se trata de juros simples ordinrio. Isto significa que devemos considerar que todos os 12 meses possuem 30 dias cada um e que o ano possui 360 dias.

Vamos transformar o prazo de dias para anos.



AFRFB e AFT


Dias Ano

360 1

120 x

360

120=

1

= 120360

= 13

Ento nosso prazo de 1/3 de ano e a taxa de 15% ao ano. Agora podemos aplicar a frmula dos juros simples. Vejam que nos foi dado o valor do Montante (o valor final) e nos foi pedido o valor do Capital aplicado (o capital inicial).

= 1 + 8400 = 1 + 1

3 0,15

8400 = 1,05 = 8400

1,05= 8.000

Portanto, o capital inicial foi de R$ 8.000,00.

Gabarito: E.

Questo 11 SEFAZ/CE 2006 [ESAF]

Qual o capital que aplicado a juros simples taxa de 2,4% ao ms rende R$ 1.608,00 em 100 dias?

a) R$ 20.000,00.

b) R$ 20.100,00.

c) R$ 20.420,00.

d) R$ 22.000,00.

e) R$ 21.400,00.

Resoluo:

Diante da omisso da questo, vamos usar os juros comerciais.

Sabemos que a taxa de 2,4% ao ms, o juro de R$ 1.608,00 e o prazo de 100 dias.

Repare que o prazo est em dias e a taxa est ao ms. Ainda no podemos aplicar a frmula. Vamos passar o prazo para meses.




AFRFB e AFT


Dias Meses

30 1

100 x

30

100=

1

30 = 100 1 = 103

Pronto, agora o nosso prazo, em meses, de 10/3.

Aplicando a frmula, temos:

= 1608 =

10

3 2,4%

= 1608 310 2,4%

= 20.100

Gabarito: B.


Certas operaes podem ocorrer por um perodo de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diria e obtendo os juros segundo a conveno do ano civil ou do ano comercial. Ento, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias taxa de juros simples de 9,3% ao ms, em um ms de 31 dias, o mdulo da diferena entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos :

a) R$ 7,50

b) R$ 15,00

c) R$ 22,50

d) R$ 30,00

e) R$ 37,50

Resoluo:

Contagem pelos juros exatos:

1 ms ---- 31 dias

x meses ---- 5 dias


31 = 5 = 5

31



AFRFB e AFT


Contagem pelos juros comerciais:

1 ms ---- 30 dias

y meses --- 5 dias

30 = 5

= 5

30

A diferena entre os prazos :

5

30

5

31= 5 1

30

1

31

= 5 31 3030 31

= 530 31

=1

186

A diferena entre os juros corresponde incidncia da taxa de 9,3% ao ms, durante o prazo de 1/186 meses.

9,3% 15.000 1

186=

1.395

186= 7,5

Gabarito: A

2.6. Taxas equivalentes em juros simples

Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante um mesmo perodo, produzem os mesmos juros (ou os mesmos montantes).

a equivalncia de taxas que nos permite passar uma taxa que est ao ano para outra, ao semestre (ou ao ms, ao bimestre, etc). Quando mudamos a unidade da taxa, temos que garantir que a nova taxa obtida seja equivalente que lhe deu origem, de forma a no alterar o montante final.

No caso do regime simples, para achar tachas equivalentes, basta a aplicao da regra de trs.

Exemplo 4

Uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre equivale a qual taxa trimestral?

Resoluo:

Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzem juros iguais.

Vimos que, no caso de juros simples, vale a regra de trs.

Em 2 meses (=1 bimestre), a taxa de 4%.

Em trs meses (=1 trimestre), a taxa de x



AFRFB e AFT


Taxa Meses

4% 2

x 3

4%

=2

3

2 = 3 4% = 6% Conclumos que a taxa de 4% ao bimestre equivale taxa de 6% ao trimestre.

Vamos fazer um teste?

Vamos aplicar R$ 1.000,00, durante um ano, num investimento que rende 4% ao bimestre (juros simples). Qual o rendimento conseguido?

O prazo est em anos e a taxa est ao bimestre. Ainda no podemos aplicar a frmula.

Podemos considerar que 1 ano o mesmo que 6 bimestres.

Ficamos com:

= = 6 0,04 1.000

= 240 Ok, agora vamos fazer outro investimento. Aplicamos R$ 1.000,00, durante 1 ano, em um investimento que rende 6% ao trimestre (juros simples). Qual o rendimento conseguido?

O prazo est em anos e a taxa ao trimestre. Ainda no podemos aplicar a frmula.

Podemos considerar que 1 ano igual a 4 trimestres.

= = 4 0,06 1.000

= 240 Os dois investimentos, a partir de um capital de R$ 1.000,00, aplicado durante 1 ano, produzem o mesmo rendimento. Exatamente por este motivo a taxa de 4% ao bimestre equivalente taxa de 6% ao trimestre.

Antes de entrarmos nos exerccios, importante dizer que muito comum as questes escreverem os perodos das taxas assim:

1% a.m. = 1% ao ms;

2% a.a. = 2% ao ano;

3% a.b = 3% ao bimestre;

4% a.t. = 4% ao trimestre;

5% a.s. =5% ao semestre.



AFRFB e AFT


Questo 13 BANCOP 2007 [CESPE]

Suponha que um capital C aplicado por 12 meses taxa de juros simples de i% ao ms se transforme em um montante de R$ 37.000,00. Esse mesmo capital aplicado mesma taxa, no mesmo regime de juros, mas por 6 meses se transforma em um montante de R$ 31.000,00. Nessa situao, a taxa anual equivalente taxa de i%

A inferior a 37%.

B superior ou igual a 37% e inferior a 40%.

C superior ou igual a 40% e inferior a 43%.

D superior ou igual a 43% e inferior a 46%.

E superior ou igual a 46%.

Resoluo.

O montante conseguido ao final de 6 meses de 31.000,00.

O montante conseguido ao final de 12 meses de 37.000,00.

000.3712 =M

000.316 =M

A diferena entre ambos justamente o juro que se consegue no perodo de 6 meses. Logo, num perodo de 6 meses o juro obtido de:

000.6000.31000.376 ==J

O enunciado informa que este capital, aplicado a uma taxa i ao ms, durante 6 meses, se transforma em um montante de R$ 31.000,00.

?=C ; 6=n ; ?=i ; 000.31=M J vimos que, neste perodo de 6 meses, o juro de 6.000. Com isso, podemos achar o capital:

JCM += 000.25000.6000.31 =+= CC

Agora, aplicamos a frmula dos juros:

CinJ = 6000.25000.6 = i

%4251

==i

A taxa de 4%. Como o prazo trabalhado foi de 6 meses, ento a taxa ao ms.

Dizemos que a taxa de juros de 4% ao ms. Outra forma de representar isso escrevendo 4% a.m.

S que o exerccio pergunta sobre a taxa anual equivalente.



AFRFB e AFT


Duas taxas so equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, durante o mesmo perodo de tempo, produzem o mesmo montante.

Em juros simples, para achar taxas equivalentes, basta aplicar regra de trs.

Isto ocorre porque, em juros simples, a taxa proporcional ao nmero de perodos.

Temos:

4% correspondem a 1 ms

Qual a taxa que corresponde a 12 meses (=1 ano)?


taxa nmero de meses

4% 1

x 12

As grandezas so diretamente proporcionais. Logo:

%48121%4

== xx

(ao ano)

Dizemos que a taxa de 4% ao ms equivalente taxa de 48% ao ano.

Vamos checar se elas so mesmo equivalentes.

Para tanto, considere um capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa de 4% ao ms, durante 12 meses. O montante obtido ser:

)1( niCM += 48,1)1204,01(1 =+=M

Agora, considere o mesmo capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa de 48% ao ano, durante 1 ano. O montante obtido ser:

)1( niCM += 48,1)148,01(1 =+=M

O montante foi o mesmo, nos dois casos.

Por isso dizemos que as taxas em questo so equivalentes. Aplicamos o mesmo capital de R$ 1,00, durante o mesmo perodo de um ano (=12 meses) e obtivemos o mesmo montante.

Gabarito: E

Questo 14 GDF SEPLAG 2009 [UNIVERSA]

Uma empresa aplicou, em uma instituio financeira, R$ 50.000,00, resgatando R$ 54.000,00 quatro meses depois. Assinale a alternativa que determina a taxa de juros simples equivalente, auferida nesta aplicao.

(A) 6% ao trimestre.

(B) 4% ao quadrimestre.

(C) 22 % ao ano.



AFRFB e AFT


(D) 10% ao semestre.

(E) 1,5% ao ms.

Resoluo.

Dados da questo:

= 50.000,00; = 54.000,00; = 4 (meses)

Ficamos com:

= 1 + 54.000 = 50.000 1 + 4

1,08 = 1 + 4 0,08 = 4 = 0,02

Como o prazo utilizado est em meses, a taxa obtida mensal.

Resposta: a taxa de 2% ao ms.

Olhando as alternativas, vemos que no h qualquer uma com 2% ao ms. Cada alternativa apresenta um perodo diferente. Vamos ter que testar uma a uma.

A letra e diz que a taxa de 1,5% ao ms. Isto est errado. J vimos que a taxa ao ms de 2%.

(A) 6% ao trimestre.

(B) 4% ao quadrimestre.

(C) 22 % ao ano.

(D) 10% ao semestre.

(E) 1,5% ao ms.

Vamos agora calcular a taxa ao trimestre.

Basta fazer uma regra de trs.

Para agilizar as contas, vamos pensar assim. Quando passamos de um ms para um trimestre, o intervalo de tempo triplicado.

Assim, a taxa aumentar na mesma proporo (grandezas diretamente proporcionais). A taxa tambm ser triplicada.

Logo, a taxa ao trimestre ser de:

2% 3 = 6%(ao trimestre)

A taxa de 6% ao trimestre, valor expresso na letra A.

Gabarito: A



AFRFB e AFT


Apesar de j sabermos a resposta correta, vamos testar as demais alternativas.

Para achar a taxa ao quadrimestre, basta multiplicarmos a taxa mensal por 4. A taxa ao quadrimestre de:

4 2% = 8%

A letra B est errada pois afirma que a taxa ao quadrimestre de 4%.

Para achar a taxa ao semestre, basta multiplicarmos a taxa mensal por 6. A taxa ao semestre de:

6 2% = 12%

Finalmente, para achar a taxa ao ano, basta multiplicar por 12:

2% 12 = 24%

Questo 15 AFRFB 98 [ESAF]

Indique, nas opes abaixo, qual a taxa unitria anual equivalente taxa de juros simples de 5% ao ms.

a) 60,0

b) 1,0

c) 12,0

d) 0,6

e) 5,0

Resoluo:

Temos uma taxa de juros simples de 5% ao ms. Queremos converter esta taxa para anual.

Como so juros simples, basta fazer a regra de trs.

Em 1 ms, a taxa de 5%

Em 12 meses, a taxa de X

1 ----- 5%

12 ---- X


1 = 5% 12 = 60% Ou seja, a taxa de 60%.

A vamos ns e marcamos letra A.

Certo???

Errado!!!



AFRFB e AFT


60% no a mesma coisa que 60.

Lembrem-se que o smbolo % indica que o nmero est sendo dividido por 100.

Portanto:

60% =60

100= 0,6

Gabarito: D.

Tanto faz, escrever 60% ou 0,6. Quando escrevemos 60%, dizemos que a taxa est escrita na forma percentual. Quando escrevemos 0,6 (sem o smbolo de porcentagem), dizemos que a taxa est na forma unitria.

Questo 16 SEFAZ SP 2009 [ESAF]

Um capital unitrio aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicao deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

Resoluo:

O prazo de 2,5 meses (=2 meses e meio), o capital unitrio, o montante igual a 1,1. Ficamos com:

= 1 + 1,1 = 1 1 + 2,5

2,5 = 1,1 1 = 0,1

2,5

Multiplicando numerador e denominador por 4:

= 0,410

= 4%

A taxa mensal de 4%.

A taxa anual, portanto, de 4% 12 = 48%

Gabarito: E

2.7. Capital, taxa e prazo mdio



AFRFB e AFT


Considere que tenhamos vrios investimentos. Cada um deles feito a uma dada taxa de juros, durante um dado prazo, a partir de capitais diferentes.

Existem situaes em que estamos interessados em descobrir qual a taxa mdia de juros que estamos conseguindo em nossos investimentos. O que seria essa tal taxa mdia? uma taxa que poderia substituir todas as taxas iniciais, de forma que o total dos juros no se altere. Assim, se aplicarmos todos os nossos investimentos a uma taxa igual taxa mdia, o juro total no se altera.

Com raciocnios semelhantes, alm da taxa mdia, podemos pensar tambm em capital mdio e prazo mdio.

Assim, poderamos substituir todos os capitais acima referidos por um capital nico, que v produzir o mesmo juro da situao inicial. Este o capital mdio.

Por fim, podemos substituir todos os prazos por um prazo nico, de tal forma que o juro no se altera. Este seria o prazo mdio.

Vamos ver como fica, por meio de um exemplo.

Antes de entrarmos no exemplo, vamos relembrar o que uma mdia ponderada.

Mdia ponderada

A mdia ponderada uma variao da mdia aritmtica. Vamos ver do que se trata por meio de um exemplo.

Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final a mdia dessas quatro provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6.

A nota final fica:

84

67910=

+++=NF

Ok, at aqui nenhuma novidade. Fizemos a mdia aritmtica normal.

Esse mesmo aluno faz outro curso, em que so aplicadas apenas duas provas. Suas notas so: 9,5 e 7,5.

A mdia aritmtica dessas notas fica:

5,82

5,75,9=

+

S que, nesse segundo curso, a nota final no calculada simplesmente por meio da mdia aritmtica. Isso porque a primeira prova de mltipla escolha. A segunda discursiva. Como a segunda prova mais complicada, mais difcil, ela vale mais. Ela tem peso trs. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso?

Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale trs vezes mais.

A nota final, nesse segundo curso, igual a:

84

5,735,91' =

+=NF



AFRFB e AFT


como se a segunda prova fosse triplicada. como se estivssemos, na verdade, fazendo uma mdia aritmtica entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque ela tem peso 3.

A nota final, neste segundo curso, uma mdia ponderada das notas das duas provas.

Ok, visto isso, vamos ao exemplo de taxa mdia, capital mdio e prazo mdio.

Exemplo 5

Considere os dois investimentos abaixo (todos aplicados num regime de juros simples):

R$ 100,00 aplicados durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao ms;

R$ 200,00 aplicados durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao ms;

Calcule:

a) a taxa mdia

b) o capital mdio

c) o prazo mdio

Resoluo:

O primeiro passo calcular qual o juro obtido com os dois investimentos. No primeiro investimento, temos:

= 100 0,02 2 = 4 No segundo investimento, temos:

= 200 0,01 3 = 6 Assim, o juro total obtido de R$ 10,00.

( )5,735,9141

' +=NF

primeira notasegunda nota

peso da primeira nota peso da segunda nota

soma dos pesos(=1+3)



AFRFB e AFT


a) Vamos substituir todas as taxas por uma taxa i. Esta taxa i ser a taxa mdia. Ela produzir, a partir dos capitais iniciais, durante os prazos estabelecidos, o mesmo juro de R$ 10,00.

No primeiro investimento, agora temos um capital de 100,00, aplicado durante 2 meses, a uma taxa i. O novo juro fica:

= 100 2 No segundo investimento, agora temos um capital de 200,00, aplicado durante 3 meses, a uma taxa i.

= 200 3 Para que a i seja a taxa mdia, o juro total produzido deve permanecer igual a 10,00.

Ou seja:

100 2 + 200 3 = 10 800 = 10 = 1,25%

Resposta: a taxa mdia de 1,25%. uma taxa que substitui todas as outras, produzindo o mesmo juro total.

Se, em vez de substituirmos os valores, tivssemos mantido as expresses originais at o final, teramos obtido a seguinte expresso para a taxa mdia:

= 100 2 2% + 200 3 1%100 2 + (200 3) Ou seja, a taxa mdia simplesmente uma mdia ponderada das taxas individuais. E os pesos de ponderao so os produtos .

b) Vamos substituir todos os capitais por um capital nico, igual a C, de tal forma que o juro total no se altere. Este capital C ser o capital mdio.

No primeiro investimento, ficamos com um capital C, investido durante 2 meses, a uma taxa de 2% ao ms.

= (0,02 2) No segundo investimento, ficamos com um capital C, aplicado durante 3 meses, a uma taxa de 1% ao ms.

= (0,01 3) Para que C seja o capital mdio, o juro total deve se manter.

0,04 + 0,03 = 10 = 10

0,07 142,88

O capital mdio de R$ 142,88.

Se tivssemos mantido as expresses originais at o final, teramos obtido o seguinte valor para o capital mdio:



AFRFB e AFT


= 0,02 2 100 + 0,01 3 2000,02 2 + (0,01 3)

O capital mdio uma mdia ponderada dos capitais individuais. Os pesos de ponderao so os produtos . c) Vamos agora ao prazo mdio. Vamos substituir todos os prazos por um prazo n, de tal forma que o juro total no se altere. Esse ser o prazo mdio. Os juros ficam:

= 100 0,02 = 2 = 200 0,01 = 2

Para que o juro total no se altere, devemos ter:

2 + 2 = 10 = 10

4= 2,5

O prazo mdio de 2,5 meses.

Se tivssemos mantido as expresses originais, teramos chegado a:

= 0,02 100 2 + 0,01 200 30,02 100 + (0,01 200)

O prazo mdio uma mdia ponderada dos prazos individuais, onde os pesos de ponderao so os produtos .

Questo 17 AFRF 2003 [ESAF]

Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 so aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao destes capitais.

a) 2,9%

b) 3%

c) 3,138%

d) 3,25%

e) 3,5%

Resoluo.

A taxa mdia uma mdia ponderada das taxas originais. Os pesos de ponderao so os produtos . = 6% 2.500 + 4% 3.500 + 3% 4.000 + 1,5% (3.000 )

2.500 + 3.500 + 4.000 + 3.000 Podemos dividir o denominador e o numerador por n:



AFRFB e AFT


= 6% 2.500 + 4% 3.500 + 3% 4.000 + 1,5% (3.000)2.500 + 3.500 + 4.000 + 3.000

= 150 + 140 + 120 + 4513.000

= 45513.000

= 3,5%

A taxa mdia de 3,5%.

Gabarito: E

Questo 18 SEFAZ PA 2002 [ESAF]

Trs capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00 so aplicados respectivamente s taxas de 5,5%, 4% e 4,5% ao ms, durante o mesmo nmero de meses. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao destes capitais.

a) 3,5%

b) 4%

c) 4,25%

d) 4,5%

e) 5%

Resoluo:

A taxa mdia uma mdia das taxas individuais. Os pesos de ponderao so os produtos .

= 5,5% 1.000 + 4% 2.000 + 4,5% 4.000 1.000 + 2.000 + 4.000

Dividindo numerador e denominador por n:

= 5,5% 1.000 + 4% 2.000 + 4,5% 4.0001.000 + 2.000 + 4.000

= 55 + 80 + 1807.000

=315

7.000= 4,5%

Gabarito: D

Questo 19 AFRF 2002-1 [ESAF]

Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 so aplicados taxa de 4% ao ms, juros simples, durante dois, trs, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo mdio de aplicao

destes capitais.

a) quatro meses

b) quatro meses e cinco dias

c) trs meses e vinte e dois dias



AFRFB e AFT


d) dois meses e vinte dias

e) oito meses

Resoluo:

O prazo mdio uma mdia ponderada dos prazos individuais. Os pesos de ponderao so os produtos Como as taxas so todas de 4%, no final das contas, os pesos de ponderao sero apenas os capitais.

= 2.000 2 + 3.000 3 + 1.500 4 + 3.500 62.000 + 3.000 + 1.500 + 3.500

= 4

O prazo mdio de 4 meses.

Gabarito: A

3. DESCONTO SIMPLES

Quando estudamos porcentagem, vimos como calcular uma reduo percentual.

Exemplo: se um produto custa 100,00 e conseguimos uma reduo de 10%, o produto passa a custar 90,00.

Este procedimento est intimamente relacionado ao clculo do desconto: trata-se da reduo de um determinado valor. No caso, este tipo de clculo acima descrito corresponde ao desconto comercial simples.

Aqui veremos dois tipos de desconto: o desconto comercial simples e o desconto racional simples.

Embora no nosso dia a dia o desconto comercial seja o mais comum, veremos que o desconto racional que merece maior ateno. Ele mais importante, digamos assim, pois sua frmula guarda correspondncia com a frmula dos juros simples.

3.1. Desconto racional simples

Geralmente ns associamos o desconto reduo do preo de uma mercadoria em virtude de um pedido do cliente (barganha, choro, pechincha). Este, sem dvidas, um possvel entendimento. Aqui, contudo, o sentido em que estamos interessados outro.

Para gente, o desconto ainda vai significar a reduo de um valor (de uma dvida, por exemplo). Mas a reduo est associada ao pagamento antecipado da dvida. Podemos pensar que o desconto corresponde ao juro que se deixa de pagar, devido antecipao de pagamento.

A este tipo de desconto, que corresponde aos juros que se deixam de pagar, chamamos de desconto racional. Se o regime for simples, teremos juros simples correspondendo ao



AFRFB e AFT


desconto racional simples. Se o regime for composto, teremos juros compostos correspondendo ao desconto racional composto.

Alm destes, h o desconto comercial (que pode ser simples ou composto). O desconto comercial, por sua vez, no guarda correspondncia com os juros, como veremos mais adiante.

Exemplo 6

Pedro pegou um dinheiro emprestado com Joo. Os dois combinaram que a dvida seria quitada em 15/12. O valor da dvida, nesta data, seria de R$ 1.300,00, incluindo principal mais juros. Contudo, em 15/10, Pedro consegue um dinheirinho a mais, suficiente para quitar a dvida com Joo. Os dois acertam uma taxa de desconto racional simples de 2% ao ms. Nestas condies, qual o valor que quita a dvida, em 15/10?

Resoluo.

Este um problema tpico de desconto. Aqui temos uma situao contrria vista com os juros. No problema de juros visto l no comeo da aula (Exemplo 1 fl. 7), Pedro usou o dinheiro de Joo por um certo tempo. Por conta disto, pagou juros. O juro uma remunerao pelo dinheiro emprestado.

Aqui, novamente, Pedro est com o dinheiro de Joo. Portanto, est pagando juros. O total da dvida, em 15/12, ser de R$ 1.300,00.

Contudo, Pedro consegue dinheiro para quitar a dvida j em outubro, com dois meses de antecedncia.

Ora, se Pedro est pagando antes, ento ele vai ficar menos tempo com o dinheiro de Joo. Portanto, ter o direito de pagar menos juros. Da vem o desconto. Desconto o juro que se deixa de pagar.

Na verdade, no regime simples esta afirmao no realmente verdadeira. Ela quase verdadeira No regime composto (juros e descontos compostos) ela j se torna 100% correta. Quando estudarmos o desconto composto, falaremos mais a respeito.

Ento isso. Pedro vai pagar com dois meses de antecedncia. Portanto, vai pagar menos, pois est ficando menos tempo com o dinheiro de Joo.

Alguns nomes especiais. O valor final da dvida (se ela fosse paga na data inicialmente combinada, ou seja, 15/12) costuma receber o nome de Valor Nominal ( N ).

A quantia paga em 15/10 recebe o nome de Valor Atual ( A ).

A diferena entre o Valor Nominal e o Valor Atual o Desconto ( D )

A frmula envolvida :

= 1 +

Onde:



AFRFB e AFT


A o valor atual (valor da dvida em 15/10; neste exemplo, o valor que queremos calcular)

N o valor nominal (valor da dvida em 15/12; neste caso, igual a R$ 1.300,00).

n o nmero de perodos de antecipao (o pagamento antecipado em dois meses; portanto n = 2)

i a taxa de desconto (neste exemplo, igual a 2%, ou 0,02)

Substituindo os valores ficamos com:

= 1 +

= 1.3001 + 0,02 2

=1.300

1,04= 1.250

Portanto, o valor que quita a dvida em 15/10 de R$ 1.250,00.

Vamos calcular o desconto conseguido por Pedro.

= = 1.300 1.250 = 50

Pedro consegue um desconto de R$ 50,00, por ter feito o pagamento antecipado.

Acima vimos a frmula do valor atual. Ela mais conhecida, pois, em geral, a grandeza que seja deseja calcular justamente o valor atual. Mas nada impede de isolarmos o valor nominal:

= 1 +

= (1 + ) A partir da frmula do valor nominal podemos chegar em outra frmula para o desconto:

= = 1 + = +

= O desconto racional tambm pode ser chamado de desconto por dentro.

Mais alguns comentrios sobre os termos que acabamos de estudar.

O valor nominal a quantia devida ao final do prazo pactuado, na data de vencimento da operao. Quando a operao envolve o resgate de um ttulo, o valor nominal tambm pode ser chamado de valor de face.

O valor atual a quantia devida em instante anterior data de vencimento da operao. Tambm pode ser chamado de valor presente.



AFRFB e AFT


O desconto a quantia que deve ser deduzida do valor nominal para a obteno do valor atual. Ele ocorre justamente em funo do pagamento antecipado da dvida (ou do resgate antecipado de um ttulo).

TOME NOTA!!!

Frmulas para o desconto racional simples (ou desconto por dentro)

= 1 + (vale s para desconto racional simples)

= (vale para qualquer tipo de desconto) = (decorrente das duas anteriores, vale s para desconto

racional simples

Exemplo 7

Vamos dar continuidade ao problema anterior. Suponha que Pedro pagou os R$ 1.250,00 ao Joo, no dia 15/10, s 10 horas da manh, quitando assim sua dvida. Pois bem, nesse mesmo dia, tarde, Mrio, o irmo de Pedro, foi preso. Pedro teve que ir pagar a fiana. Por coincidncia, a fiana era exatamente de R$ 1.250,00. s 16 horas Pedro liga para Joo e pede emprestado os R$ 1.250,00 que acabara de lhe entregar. Joo empresta o dinheiro. Os dois combinam uma taxa de juros simples de 2% ao ms. Em 15/12, Pedro quita sua nova dvida com Joo. Pergunta: qual o valor que, em 15/12, quita a dvida?

Resoluo:

Agora o problema no mais de desconto. de juros. Pedro ficou com o dinheiro de Joo por dois meses e, por conta disto, tem que pagar juros.

Os juros pagos so de:

= = 2 0,02 1.250 = 50

Portanto, o montante ao final dos dois meses ser igual ao capital inicial (=1.250,00) mais os juros de 50,00.

= + = 1.250 + 50 = 1.300 A dvida ficou, em 15/12, novamente igual a R$ 1.300,00



AFRFB e AFT


Observe a correspondncia entre juros simples (visto neste exerccio) e o desconto racional simples (visto no exerccio anterior).

Um valor nominal de 1.300, sofrendo um desconto racional simples de 2% ao ms, durante dois meses, resulta num valor atual de 1.250.

E um capital de 1.250, rendendo juros simples de 2% ao ms, durante dois meses, resulta em um montante de 1.300.

Por isso dizemos que as frmulas de juros simples e desconto racional simples so correspondentes. Para deixar mais claro, observem o procedimento a seguir.

Vamos partir da frmula do montante de uma aplicao sob juros simples:

= 1 + Agora vamos trocar os nomes.

No lugar do montante, colocamos o valor nominal. Ambos se referem quantia de dinheiro l em 15/12.

No lugar do capital, colocamos o valor atual. Ambos se referem quantia de dinheiro em 15/10.

Ficamos com:

= 1 + Isolando o valor atual:

= 1 +

Que a mesma frmula vista no exerccio anterior.

Devido a esta correspondncia entre juros e desconto racional, a taxa de juros praticada no desconto racional tambm chamada de taxa efetiva. Em outras palavras, a taxa efetiva a taxa de juros que faz com que um capital de valor A se transforme em um montante de valor N.

TOME NOTA!!!

A taxa praticada no desconto racional tambm chamada de taxa efetiva.

Ou ainda: a taxa efetiva aquela que incide sobre o valor atual e o transforma no valor nominal.

300.150250.1 =+Capital Juros Montante

V.atual Desconto V. nominal



AFRFB e AFT


3.2. Desconto comercial simples

Este outro tipo de desconto, tambm chamado de desconto por fora.

Ao contrrio do desconto racional, a frmula do desconto comercial no guarda correspondncia com a frmula de juros simples.

A frmula do valor atual (no caso de desconto simples comercial) fica:

= (1 ) A partir disso, podemos obter a frmula do desconto.

= = 1

= + =

Como j dissemos, os problemas de descontos (sejam comerciais, sejam racionais) estaro relacionados com a antecipao de valores. Pode ser o pagamento de uma dvida de forma antecipada, o resgate antecipado de um ttulo, no importa. Sempre haver o fator tempo. Sempre haver uma antecipao!

Alm desse tipo de desconto, temos aquele do dia a dia do comrcio. Aquele fruto da barganha, da pechincha. Esse desconto ns no estudamos aqui em matemtica financeira. Melhor dizendo: at pode haver questes abordando este assunto, mas isso no o foco da matemtica financeira: aqui s nos interessamos pelo estudo do dinheiro no tempo (antecipao de dvidas, financiamentos, refinanciamentos, sries de pagamentos etc)

Apesar disso, devemos destacar que o clculo do desconto comercial idntico ao clculo desse desconto do dia a dia. Falamos mais sobre isso no exemplo a seguir.

TOME NOTA!!!

Frmulas para o desconto comercial simples (ou desconto por fora)

= (1 ) (vale s para desconto comercial simples) = (vale para qualquer tipo de desconto)

= (decorrente das duas anteriores, vale s para desconto comercial simples



AFRFB e AFT


Exemplo 8

Pedro pegou um dinheiro emprestado com Joo. Os dois combinaram que a dvida seria quitada em 15/12. O valor da dvida, nesta data, seria de R$ 1.300,00, incluindo principal mais juros.

Contudo, em 15/10, Pedro consegue um dinheirinho a mais, suficiente para quitar a dvida com Joo. Os dois acertam uma taxa de desconto comercial simples de 2% ao ms.

Nestas condies, qual o valor que quita a dvida, em 15/10?

Resoluo:

Questo muito semelhante ao Exemplo 6. A nica coisa que mudou foi a forma de se calcular o desconto: de racional para comercial.

Aplicando a frmula do valor atual:

)1( inNA = )02,021(1300 =A

1248=A

E o desconto fica:

5212481300 ==D

Assim, o valor que quita a dvida em 15/10 de R$ 1.248,00. E o desconto obtido foi de R$ 52,00.

Exemplo 9

Um ttulo de valor de face de R$ 110,00 vence dentro de 1 ms. Considerando uma taxa de desconto de 10% ao ms, calcule o valor atual deste titulo nas seguintes situaes:

a) considerando desconto comercial

b) considerando desconto racional

Resoluo:

a) Aplicando a frmula:

)1( inNA = 99)1,01(110 ==A

Podemos pensar que foi dado um desconto de 10%, percentual este que incide sobre o valor nominal. Assim, desde que %10 de 110 igual a 11, ento o desconto dado foi de 11 reais.

Este talvez seja a forma de clculo de desconto mais usual no nosso dia a dia. a forma a que estamos acostumados. Se chegarmos numa loja em que o produto custa 110,00 e



AFRFB e AFT


pedirmos um desconto de 10%, naturalmente, consideramos que este percentual vai incidir sobre os R$ 110,00.

Assim, dizemos que, no desconto comercial, o percentual de desconto incide sobre o valor nominal.

b) Aplicando a frmula:

)1( inNA

+=

100)1,1(110

==A

Agora a situao mudou. Foi dado um desconto de 10%, percentual este que incide sobre o valor atual. Logo, se o valor atual igual a 100, ento o desconto conseguido de 10,00 (que corresponde a 10% de 100).

Esse tipo de desconto talvez no seja assim to usual para gente. Mas, em matemtica financeira, o mais importante, pois o desconto que guarda correspondncia com os juros.

Agora, algumas dicas para lembrarmos dos nomes.

L nos problemas de juros, geralmente estvamos interessados em calcular o montante (obtido ao final de uma aplicao, por exemplo). Por isso foram dadas frmulas para o clculo do montante. evidente que um problema poderia fornecer o montante e pedir o valor do capital. Isso perfeitamente possvel. Mas, de forma geral, dizemos que o grande interesse o clculo do montante.

Aqui, em descontos, a coisa muda. De forma geral o interesse no clculo do valor atual. Temos um ttulo que vence em data futura e queremos saber qual o valor dele na data de hoje. Queremos, portanto, seu valor atual. Por isso as frmulas fornecidas so para clculo do A.

Pois bem, analisemos estas frmulas.

No desconto racional, a frmula do valor atual :

)1( inNA

+=

O valor atual obtido a partir de uma diviso, que em matemtica sinnimo de razo. Da podemos lembrar do nome: desconto racional.

J no desconto comercial, a frmula :

)1( inNA = Aqui no tem razo alguma. No h qualquer diviso. No um desconto racional. Pelo contrrio: esse o desconto que mais usual no dia a dia, no comrcio. Acaba correspondendo ao clculo do desconto conseguido quando a gente barganha com o vendedor. Da: desconto comercial.



AFRFB e AFT


Vamos comparar os dois descontos. Na primeira situao, o valor nominal de 110,00. Ele pode ser separado em duas partes: uma de 99, referente ao valor atual; outra de 11, referente ao desconto.

A figura acima representa os R$ 110,00 e suas duas partes, de tal modo que:

DAN +=

1199110 +=

Note que o desconto de 10%, percentual que incide sobre o valor nominal, ou seja, o valor maior, o valor de fora. Da: desconto por fora.

Na letra b, o valor nominal de R$ 110,00 decomposto assim:

Agora, temos:

DAN +=

10100110 +=



AFRFB e AFT


Note que o desconto de 10%, percentual que incide sobre o valor atual, ou seja, o valor menor, o valor de dentro. Da: desconto por dentro.

Questo 20 MTE 2010 [ESAF]

Um ttulo sofre um desconto simples por dentro de R$ 10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao ms. Qual o valor mais prximo do valor nominal do ttulo?

a) R$ 60.000,00.

b) R$ 46.157,00.

c) R$ 56.157,00.

d) R$ 50.000,00.

e) R$ 55.000,00.

Resoluo:

No desconto simples racional (ou por dentro) a taxa de desconto incide sobre o valor atual:

= 10.000 = 5 0,04 = 10.000

0,2= 50.000

Tendo o valor atual e o desconto, podemos calcular o valor nominal.

= 10.000 = 50.000

= 60.000 Gabarito: A


Ao descontar em um banco, 2 meses antes de seu vencimento, um ttulo de valor nominal igual a R$ 30.000,00, uma empresa recebe na data da operao de desconto comercial simples o valor de R$ 28.500,00. Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a operao de desconto comercial simples, descontando um ttulo de valor nominal de R$ 24.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, receber

(A) R$ 22.500,00

(B)) R$ 22.200,00

(C) R$ 22.000,00

(D) R$ 21.000,00

(E) R$ 20.000,00



AFRFB e AFT


Resoluo:

Na primeira situao, o desconto foi de:

= = 30.000 28.500 = 1.500 No desconto comercial simples, a taxa incide sobre o valor nominal.

= 1.500 = 30.000 2 = 1.500

30.000 2= 2,5%

Na segunda situao, o valor nominal de R$ 24.000 e o prazo de antecipao de 3 meses.

= 1 = 24.000 1 3 2,5% = 22.200

Gabarito: B

Questo 22 INFRAERO 2009 [FCC]

Um ttulo de valor nominal igual a R$ 20.000,00 descontado 3 meses antes de seu vencimento apresentando um valor atual de R$ 18.800,00, segundo uma operao de desconto comercial simples. Um outro ttulo de valor nominal igual a R$ 25.000,00, descontado 2 meses antes de seu vencimento, com a mesma taxa mensal e operao de desconto do primeiro ttulo, apresenta um desconto de valor igual a

(A) R$ 1.500,00

(B) R$ 1.200,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 900,00

(E) R$ 750,00

Resoluo:

Primeira operao:

= = 20.000 18.800 = 1.200 Portanto:

= 1.200 = 3 20.000 = 1.200

3 20.000= 2%

Segunda operao:

=



AFRFB e AFT


= 25.000 0,02 2 = 1.000 Gabarito: C

Questo 23 CVM 2001 [ESAF]

Um ttulo de valor de face de R$ 100.000,00 vence no dia 31 de julho. Calcule o desconto comercial simples no dia 11 do mesmo ms, a uma taxa de desconto de 6% ao ms.

a) R$ 4.000,00

b) R$ 3.000,00

c) R$ 2.000,00

d) R$ 1.500,00

e) R$ 1.000,00

Resoluo:

Valor de face o mesmo que valor nominal.

O ttulo vence em 31 de julho. Entretanto, o pagamento feito antes do dia 31. O pagamento antecipado em 20 dias. Graas a esta antecipao de pagamento a pessoa que paga o ttulo ter um desconto.

A taxa de desconto de 6% ao ms.

Vamos aplicar a frmula do valor atual:

= 1 = 100.000 1 20 0,06

= 20.000

Certo???

Errado!!!

Observe que o prazo est em dias e a taxa est ao ms. No podemos aplicar a frmula quando isto acontece.

Vamos passar o prazo para meses por meio de regra de trs.

1 ms corresponde a trinta dias.

X meses correspondem a 20 dias.

1 ----- 30

X ----- 20




AFRFB e AFT


20 1 = 30 = 2

3

Assim, o pagamento foi feito com antecipao de dois teros de ms.

Agora, a taxa est ao ms e o prazo est em meses.

J podemos aplicar a frmula:

= 1 = 100.000 1 2

3 0,06

= 100.000 1 2 0,02 = 100.000 0,96 = 96.000

= = 100.000 96.000 = 4.000 Gabarito: A

Questo 24 STN 2005 [ESAF]

Marcos descontou um ttulo 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do ttulo e o valor mais prximo da taxa efetiva da operao so, respectivamente, iguais a:

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao ms

b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao ms

c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano

d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano

e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao ms

Resoluo:

Primeiro vamos calcular o valor nominal do ttulo.

Para aplicar a frmula, precisamos que a taxa e o prazo estejam na mesma unidade.

Para tanto, fazemos a regra de trs. Como o exerccio nada disse sobre a forma de contagem do prazo, consideramos que cada ms tem trinta dias e o ano tem 360 dias.

1 ano corresponde a 360 dias.

X anos correspondem a 45 dias.

1 ---- 360

X ----- 45


360 = 1 45



AFRFB e AFT


= 45360

=1

8

O prazo foi, ento de um oitavo de ano.

Aplicando a frmula do valor atual:

= (1 ) 370.000 = 1 1

8 0,6

370.000 = 8 0,68

370.000 = 7,48

= 370.000 8 7,4 = 400.000 J achamos o valor nominal. Ficamos entre as alternativas b e d.

Agora precisamos calcular a taxa efetiva.

A taxa efetiva a taxa que praticada no desconto racional.

Vejamos qual seria esta taxa, aplicando a frmula do valor atual quando o desconto racional.

O valor nominal 400.000. O valor atual de 370.000. O prazo de 1/8 de ano.

A taxa efetiva faz com que o valor atual (370.000) se transforme no nominal (400.000).

400.000 = 370.000 1 + 400.000 = 370.000 1 + 1

8

1 +8

=400.000

370.000= 1,081

8

= 0,081

= 0,649 A taxa de 64,9%. Como o prazo utilizado est em anos, esta taxa tambm ao ano. Portanto, a letra d est errada, pois afirma que a taxa efetiva de 60% ao ano. A taxa de desconto racional (=taxa efetiva) procurada de 64,9%.

A letra b traz uma taxa mensal. Vamos converter esta taxa anual (=64,9%) para taxa mensal.

Como o regime simples, podemos aplicar regra de trs. Em um ano (=12 meses) a taxa efetiva de 64,9%.

Em um ms a taxa efetiva de X.

12 meses ----- 64,9%

1 ms ----- X




AFRFB e AFT


12 = 64,9 = 5,4% Gabarito: B

Questo 25 PREFEITURA DO RIO DE JANEIRO 2010 [ESAF]

Um ttulo sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao ms. Qual o valor mais prximo do valor nominal do ttulo?

a) R$ 22.500,00

b) R$ 25.000,00

c) R$ 17.500,00

d) R$ 20.000,00

e) R$ 27.500,00

Resoluo:

Temos aplicao direta da frmula:

= 2.500 = 0,025 4

2.500 = 0,1 = 2.500

0,1= 25.000

Gabarito: B

Questo 26 MP RS 2008 [FCC]

Duas duplicatas com a soma dos respectivos valores nominais igual a R$ 22.000,00 so descontadas em um banco segundo uma operao de desconto bancrio simples, a uma taxa de 36% ao ano. A primeira descontada 2 meses antes de seu vencimento e a segunda 3 meses antes. Se a soma dos valores dos descontos das duas duplicatas foi igual a R$ 1.680,00, ento o maior valor nominal das duplicatas, em R$, igual a

(A) 15.000,00

(B) 18.000,00

(C) 12.000,00

(D) 14.000,00

(E) 16.000,00

Pancada!!!



AFRFB e AFT


Resoluo:

Outra questo bem difcil.

O desconto bancrio um tipo de desconto comercial em que, alm da taxa de juros usual, embutida uma taxa de despesas administrativas.

Neste exerccio, a taxa de 36% ao ano. Portanto, a taxa mensal :

36%

12= 3%

Sejam e os valores nominais das duplicatas e , os descontos obtidos. Temos:

= 2 0,03 = 0,06 (equao I)

Para a segunda duplicada, tem-se:

= 3 0,03 = 0,09 (equao II)

O exerccio disse que a soma dos dois descontos 1.680,00.

Vamos somar as equaes I e II:

+ = 0,06 + 0,09 1.680 = 0,06 + 0,09

1.680 = 0,06 + 0,06 + 0,03 Colocando 0,06 em evidncia:

1.680 = 0,06 + + 0,03 A soma dos valores nominais 22.000.

1.680 = 0,06 22.000 + 0,03 1.680 = 1.320 + 0,03

0,03 = 1.680 1.320 = 360 = 3600,03 = 12.000

Como a soma dos valores nominais R$ 22.000,00 e uma das duplicatas vale R$ 12.000,00, conclumos que a duplicata restante de R$ 10.000,00.

Ou seja, as duplicatas so de R$ 10.000,00 e R$ 12.000,00.

Gabarito: C

3.3. Relao entre desconto comercial e racional

Fixado o valor nominal, e fixada a taxa de desconto i, ento os descontos comercial (Dc) e racional (Dr) se relacionam do seguinte modo:



AFRFB e AFT


= 1 + Isso pode ser percebido do seguinte modo.

No desconto comercial, temos:

= No desconto racional, temos:

= Substituindo o valor de A:

= 1 + Dividindo os dois descontos:

=

1 +

=

1

1 + = 1 +

Que o resultado apresentado.

Alguns exerccios cobram justamente isso.

Questo 27 AFRF 2002-1 [ESAF]

Um ttulo sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 trs meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao ms. Indique qual seria o desconto mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.

a) R$ 9.810,00

b) R$ 9.521,34

c) R$ 9.500,00

d) R$ 9.200,00

e) R$ 9.000,00

Resoluo:

Basta aplicar a frmula que relaciona os dois descontos:

)1( inDrDc += )03,031(810.9 += Dr

)09,1(810.9 = Dr

000.909,1810.9

==Dr



AFRFB e AFT


O desconto racional simples seria de R$ 9.000,00.

Gabarito: E

Questo 28 SEFAZ/PA 2002 [ESAF]

Uma nota promissria sofre um desconto simples comercial de R$ 981,00, trs meses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto de 3% ao ms. Caso fosse um desconto simples racional, calcule o valor do desconto correspondente mesma taxa.

a) R$ 1.000,00

b) R$ 950,00

c) R$ 927,30

d) R$ 920,00

e) R$ 900,00

Resoluo:

Basta aplicar a frmula que relaciona os dois descontos:

)1( inDrDc += )03,031(81.9 += Dr

)09,1(81.9 = Dr

90009,181.9

==Dr

O desconto racional simples seria de R$ 900,00.

Gabarito: E

Questo 29 BACEN 2001 [ESAF]

Um ttulo deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00 trs meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociao levou troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao ms.

a) R$ 500,00

b) R$ 540,00

c) R$ 560,00

d) R$ 600,00

e) R$ 620,00

Aula 7 - Matemática Financeira - Juros e Descontos

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