Aula 7 MAT
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PROAB 2010
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU EM SUA DEFINIÇÃO MAIS SIMPLESE COMPREENSÍVEL, PODE SER DEFINIDA COMO TODA EQUALQUER SENTENÇA DA MATEMÁTICA QUE É ABERTA
POR UM SINAL DE DESIGUALDADE.
ax + b > 0ax + b < 0
ax + b >= 0ax + b <= 0
SENDO QUE: “a” E “b”, SÃO NÚMEROS REAIS E DIFERENTESDE ZERO (a E b ≠ 0), RESPECTIVAMENTE.
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EXEMPLOS
2x – 8 > 0
3x – 9 < 0
4x + 9 >= 0
5x + 1/3 <= 0
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INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.
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SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
NAS INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax + b > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR UMCONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEIS VALORES
QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEIS QUEESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA
NO PROBLEMA.
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SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
DETERMINE TODOS OS POSSÍVEIS NÚMEROS INTEIROSPOSITIVOS PARA AS QUAIS SATISFAÇA A INEQUAÇÃO:
3x + 5 < 17
VEJAOS SEGUINTES PASSOS PARA A SOLUÇÃO:
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SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
APÓS FAZER OS DEVIDOS CÁLCULOS DA INEQUAÇÃOACIMA, PODE-SE CONCLUIR QUE A SOLUÇÃO
APRESENTADA É FORMADA POR TODOS OS NÚMEROSINTEIROS E POSITIVOS MENORES QUE O NÚMERO 4.
S = {1, 2, 3}
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EXEMPLOS
2 – 4x >= x + 17
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PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
1)ADICIONANDO UM MESMO NÚMERO A AMBOS OSMEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO, OU SUBTRAINDO UM
MESMO NÚMERO DE AMBOS OS MEMBROS, ADESIGUALDADE SE MANTÉM.
2) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO AMBOS OS MEMBROS DEUMA INEQUAÇÃO POR UM MESMO NÚMERO POSITIVO,
A DESIGUALDADE SE MANTÉM.
3) DIVIDINDO OU MULTIPLICANDO POR UM MESMO NÚMERONEGATIVO AMBOS OS MEMBROS DE UMA INEQUAÇÃO DO
TIPO >, >=, < OU <=, A DESIGUALDADE INVERTE O SENTIDO.
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PRINCÍPIOS PARA SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
É FÁCIL PERCEBER QUE A RESOLUÇÃO DE UMA INEQUA-ÇÃO DO 1º GRAU BASEIA-SE NOS MESMO PRINCÍPIOS DARESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU ATENTANDO
-SE AO ITEM 3 ANTERIORMENTE QUE DIFERENCIA. UMAINEQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA DA MESMA FORMA
QUE SE RESOLVE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU, SÓ QUEQUANDO O “x” É NEGATIVO, NO FINAL DA RESOLUÇÃOMULTIPLICA-SE AMBOS OS MEMBROS DA INEQUAÇÃO
POR (-1) E AÍ O SENTIDO SE INVERTE, SE É “>” FICA “<“,SE É “<“ FICA “>”, SE É “<=“ FICA “>=“ E
SE É “>=“ FICA “<=“.
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EXEMPLO
CONSIDERANDO COMO UNIVERSO O CONJUNTO DOSNÚMEROS NATURAIS, DETERMINE O CONJUNTO
SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO:
5x – 8 < 3x + 125x – 3x < 12 + 8
2x < 20x < 20/2x < 10
ASSIM O CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO É:
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
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EXEMPLO
SE, O UNIVERSO DO EXERCÍCIO ANTERIOR FOSSE OCONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, QUAL SERIA O
CONJUNTO SOLUÇÃO DA INEQUAÇÃO?
NÃO É POSSÍVEL EXPLICITAR, UM A UM, TODOS OSNÚMEROS REAIS MENORES QUE 10. POR ISSO,REPRESENTA-SE O CONJUNTO SOLUÇÃO “S”
SIMPLESMENTE POR
S = {x/x є R / x < 10}
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
QUANDO UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU É RESOLVIDA,SÃO USADOS OS RECURSOS MATEMÁTICOS TAIS COMO:
SOMAR OU DIMINUIR UM VALOR IGUAL AOS DOISMEMBROS DA EQUAÇÃO OU MULTIPLICAR E DIVIDIROS MEMBROS DA EQUAÇÃO POR UM MESMO VALOR.
O MESMO CONCEITO SERVE PARA A RESOLUÇÃO DASINEQUAÇÕES DO 1º GRAU.
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 3
RECURSO:
5 > 3 (SOMAR O VALOR 2)
5 + 2 > 3 + 2
7 > 5 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 3
RECURSO:
5 > 3 (SUBTRARIA O VALOR 1)5 – 1 > 3 – 1
4 > 2 (CONTINUA SENDO UMA INEQUAÇÃO VERDADEIRA)
DESTA FORMA, É POSSÍVEL CONCLUIR QUE DE ACORDOCOM AS PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU,
PODEMOS USAR OS MESMOS RECURSOS MATEMÁTICOSDE SOMAR OU SUBTRAIR, UM MESMO VALOR AOS
MEMBROS DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU.
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
5 > 2
RECURSO:
5 > 2 (MULTIPLICAR PELO VALOR NEGATIVO -2)5.(-2) > 2.(-2)
-10 > -4 (A INEQUAÇÃO NÃO É VERDADEIRA)
PARA QUE A INEQUAÇÃO ACIMA SE TORNE VERDADEIRAÉ PRECISO INVERTER O SINAL.
-10 < -4 (AGORA A INEQUAÇÃO É VERDADEIRA)
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PROPRIEDADES DA INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
PORTANTO, É PRECISO TER O MÁXIMO DE CUIDADO AOUTILIZAR O RECURSO MATEMÁTICO DE (MULTIPLICAR
OU DIVIDIR POR UM MESMO VALOR OS COMPONENTES DAINEQUAÇÃO) PARA RESOLVER UMA INEQUAÇÃO DO
PRIMEIRO GRAU. CASO ESTE VALOR SEJA UM NÚMERONEGATIVO, O SINAL DE DESIGUALDADE (INEQUAÇÃO)
DEVE SER INVERTIDO.
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INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
DADAS AS FUNÇÕES f(x) E g(x), CHAMAMOS DE INEQUAÇÃO-PRODUTO TODA INEQUAÇÃO QUE PODE ASSUMIR UMA DAS
SEGUINTES FORMAS:
f(x).g(x) > 0
f(x).g(x) >= 0
f(x).g(x) < 0
f(x).g(x) <= 0
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INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
A FORMA DA INEQUAÇÃO-PRODUTO PODE SER ESTENDIDAPARA MAIS DE DUAS FUNÇÕES.
(x – 1).(2x – 3).(x + 1) < 0
(x – 2).(-2x + 1).(4 – x) <= 0
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INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
PARA RESOLVERMOS INEQUAÇÕES-PRODUTO, PRIMEIROESTUDAMOS O SINAL DE CADA FUNÇÃO QUE COMPÕE O
PRODUTO E, ENTÃO, DETERMINAMOS O SINAL DO PRODUTO.
(x – 1).(2x – 3) >= 0
f(x) = x – 1g(x) = 2x – 3
f(x) = 0x – 1 = 0
x = 1 (ZERO DA FUNÇÃO)
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INEQUAÇÃO-PRODUTO DO 1º GRAU
COMO a = 1 > 0, VEM:
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g(x) = 02x – 3 = 0
2x = 3x = 3/2 OU x = 1,5
COMO a = 2 > 0, VEM:
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QUADRO DO PRODUTO
LOGO:
S = {x є R/ x <= 1 ou x >= 3/2}
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INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU NA VARIÁVEL “x” É UMAEXPRESSÃO MATEMÁTICA DE DESIGUALDADE ESCRITA
NAS SEGUINTES FORMAS REDUTÍVEIS:
ax² + bx + c > 0ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c >= 0ax² + bx + c <= 0
SENDO QUE: “a”, “b” E “c” PERTENCEM AO CONJUNTO DOSNÚMEROS REAIS E a ≠ 0.
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EXEMPLOS
5x² + 2x – 8 > 0
2x² - 3x – 9 < 0
x² + 4x + 9 >= 0
x² - 5x + 1/3 <= 0
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INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
O QUE REPRESENTA OS SINAIS DAS INEQUAÇÕES.
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SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
NAS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU QUE ESTEJAM NAFORMA ax² + bx + c > 0, TEM-SE O OBJETIVO DE SE APURAR
UM CONJUNTO DE TODAS E QUAISQUER POSSÍVEISVALORES QUE POSSAM ASSUMIR UMA OU MAIS VARIÁVEISQUE ESTEJAM ENVOLVIDAS NAS INEQUAÇÕES PROPOSTA
NO PROBLEMA.
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SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
AS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU SÃO RESOLVIDASUTILIZANDO O TEOREMA DE BÁSKARA.
O RESULTADO DEVE SER COMPARADO AO SINALDA INEQUAÇÃO, COM O OBJETIVO DE FORMULAR
O CONJUNTO SOLUÇÃO.
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EXEMPLOa > 0
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EXEMPLOa < 0
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 3x - 4 > 0.
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EXEMPLO
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EXEMPLO
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 OU x > 4, e o conjunto solução da
inequação é S = {x Є R / x < -1 ou x > 4}
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO 3x² + 10x + 7 < 0.
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EXEMPLO
S = {x Є R / –7/3 < x < –1}
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -2x² - x + 1 <= 0.
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EXEMPLO
S = {x Є R / x <= -1 ou x >= 1/2}
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 4x >= 0.
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EXEMPLO
S = {x Є R / x <= 0 ou x >= 4}
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO x² - 6x + 9 > 0.
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EXEMPLO
S = {x Є R / x < 3 ou x > 3} OU
S = {x Є R / x <> 3}
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 4 >= 0.
x’ = 2x” = -2
S = {x Є R / -2 <= x <= 2}
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 5x - 6 >= 0.
x’ = 2x” = 3
S = {x Є R / 2 <= x <= 3}
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 4x - 4 >= 0.x’ = x” = 2
S = {x Є R / x = 2}
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EXEMPLO
A FUNÇÃO ANTERIOR E TODA NEGATIVA, EXCETONO PONTO x = 2, ONDE ELA É NULA.
COMO, NO EXEMPLO, QUEREMOS SABER ONDE AFUNÇÃO É POSITIVA OU NULA (>= 0), O ÚNICOPONTO QUE FAZ PARTE DA SOLUÇÃO É x = 2.
A SOLUÇÃO É S = {x Є R / x = 2}OU
S = {2}
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EXEMPLO
RESOLVA A INEQUAÇÃO -x² + 2x - 4 > 0.
A FUNÇÃO NÃO POSSUI RAÍZES REAIS. LOGO, ELA NÃOINTERCEPTA O EIXO DAS ABSCISSAS.
A CONCAVIDADE É PARA BAIXO, POIS A < 0.
COMO QUEREMOS SABER ONDE A FUNÇÃO É POSITIVA,O CONJUNTO SOLUÇÃO DA FUNÇÃO É VAZIO.
LOGO, S = Ø.
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EXEMPLO
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EQUAÇÃO LINEAR
É TODA EQUAÇÃO QUE POSSUI VARIÁVEIS E APRESEN-TADA NA SEGUINTE FORMA:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, EM QUE:
x1, x2, x3, ..., xn SÃO AS INCÓGNITAS;
a1, a2, a3, ..., an SÃO OS COEFICIENTES (REAIS OUCOMPLEXOS);
E b É O TERMO INDEPENDENTE REPRESENTADO PORUM NÚMERO REAL OU COMPLEXO.
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EXEMPLOS DE EQUAÇÕES LINEARES
x + y + z = 20
2x -3y + 5z = 6
4x + 5y -10z = -3
x – 4y – z = 0
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EXEMPLOS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
x2 + y2 = 9
x + 2y + 3z w = 0
x2 + y2 = -9
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SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS (r1, r2, r3) ÉSOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LINEAR.
a1x1 + a2x2 + a3x3 = b1
SE TROCARMOS CADA xn POR rn NA EQUAÇÃO E ESTEFATO IMPLICAR QUE O MEMBRO DA ESQUERDA É
IDENTICAMENTE IGUAL AO MEMBRO DA DIREITA, ISTO É:
a1r1 + a2r2 + a3r3 = b1
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SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
EXEMPLO
A SEQÜÊNCIA (5,6,7) É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO2x + 3y -2z = 14 POIS, TOMANDO x=5, y=6 E z=7 NA
EQUAÇÃO DADA, TEREMOS:
2.5 + 3.6 – 2.7 = 14
10 + 18 – 14 = 14
28 – 14 = 14
14 = 14
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR
UM SISTEMA LINEAR OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARESÉ UM CONJUNTO FORMADO POR DUAS OU MAIS EQUAÇÕESLINEARES. UM SISTEMA LINEAR PODE SER REPRESENTADO
NA FORMA:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
... ... ... ... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
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SISTEMA LINEAR
ONDE:
x1, x2, ..., xn SÃO AS INCÓGNITAS;
a11, a12, ..., amn SÃO OS COEFICIENTES;
b1, b2, ..., bm SÃO OS TERMOS INDEPENDENTES.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
UMA SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS (r1, r2, ..., rn) ÉSOLUÇÃO DA SISTEMA LINEAR.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
... ... ... ... ... ... ... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn
SE SATISFAZ IDENTICAMENTE A TODAS AS EQUAÇÕESDESSE SISTEMA LINEAR.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXEMPLO
O PAR ORDENADO (2,0) É UMA SOLUÇÃO DO SISTEMALINEAR:
2x + y = 4x + 3y = 2x + 5y = 2
POIS SATISFAZ IDENTICAMENTE A TODAS AS EQUAÇÕESDO MESMO, ISTO É, SE SUBSTITUIRMOS x = 2 E y = 0,
OS DOIS MEMBROS DE CADA IGUALDADE SERÃO IGUAISEM TODAS AS EQUAÇÕES.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕESE DUAS VARIÁVEIS
x + y = 3x - y = 1
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR COM DUAS EQUAÇÕESE TRÊS VARIÁVEIS
2x + 5y - 6z = 24x - y + 10z = 30
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕESE TRÊS VARIÁVEIS
x + 10y - 12z = 1204x - 2y - 20z = 60-x + y + 5z = 10
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA LINEAR COM TRÊS EQUAÇÕESE QUATRO VARIÁVEIS
x - y - z + w = 102x + 3y + 5z – 2w = 21
4x - 2y - z + w = 16
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SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
PODEMOS DIZER QUE UM SISTEMA DE EQUAÇÕESLINEARES COM “n” INCÓGNITAS, QUE PODEM SERCOLOCADAS COMO x1, x2, x3, x4 ..., ADMITE COMO
SUA SOLUÇÃO UMA SEQÜÊNCIA EM ORDEM DEFINIDACOMO r1, r2, r3, r4, ... SE E SOMENTE NESTA CONDIÇÃO,
SUBSTITUINDO x1 = r1, x2 = r2, x3 = r3, x4 = r4, xn = rn,E EM TODAS AS EQUAÇÕES DO SISTEMA INFORMADO,
ELAS SE TORNAREM TODAS VERDADEIRAS.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
x + y = 12x – y = 4
TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (8,4), POIS SESUBSTITUIRMOS x = 8 E y = 4 EM CADA EQUAÇÃO
DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:
(8) + (4) = 12 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
(8) – (4) = 4 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
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SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
x + y = 16x – y = 2
TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (9,7), POIS SESUBSTITUIRMOS x = 9 E y = 7 EM CADA EQUAÇÃO
DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:
(9) + (7) = 16 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
(9) – (7) = 2 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
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SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
x + y = 42x – y = 8
TEMOS AQUI UMA SOLUÇÃO IGUAL A (25,17), POIS SESUBSTITUIRMOS x = 25 E y = 17 EM CADA EQUAÇÃO
DADA DO SISTEMA, TEMOS O CÁLCULO:
(25) + (17) = 42 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
(25) – (17) = 8 (AFIRMAÇÃO VERDADEIRA)
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OBSERVAÇÃO
UM SISTEMA LINEAR PODE TER MAIS DE UMA SOLUÇÃOOU MESMO PODE NÃO POSSUIR NENHUMA SOLUÇÃO.
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TIPOS DE SISTEMA LINEAR
SISTEMA POSSÍVEL OU CONSISTENTE:
• UMA ÚNICA SOLUÇÃO, O SISTEMA É DETERMINADO;
• MAIS DE UMA SOLUÇÃO, O SISTEMA É INDETERMINADO.
SISTEMA IMPOSSÍVEL OU INCONSISTENTE:
• SISTEMA QUE NÃO ADMITE QUALQUER SOLUÇÃO.
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SISTEMA COM UMA ÚNICA SOLUÇÃO
AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS NO PLANO CARTESIANO QUE TÊM O PONTO (3,-2)
COMO INTERSEÇÃO.
x + 2y = -12x – y = 8
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SISTEMA COM INFINITAS SOLUÇÕES
AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS PARALELAS SOBREPOSTAS NO PLANO CARTESIANO,
LOGO EXISTEM INFINITOS PONTOS QUE SATISFAZEM AAMBAS AS EQUAÇÕES (PERTENCEM A AMBAS AS RETAS).
4x + 2y = 1008x + 4y = 200
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SISTEMA QUE NÃO TEM SOLUÇÃO
AS EQUAÇÕES LINEARES ABAIXO REPRESENTAM DUASRETAS PARALELAS NO PLANO CARTESIANO, LOGO,
NÃO EXISTEM PONTOS QUE PERTENÇAM ÀS DUAS RETAS.
x + 3y = 4x + 3y = 5
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SISTEMAS EQUIVALENTES
DOIS SISTEMAS SÃO EQUIVALENTES SE ADMITEM AMESMA SOLUÇÃO.
SÃO EQUIVALENTES OS SISTEMAS “S1” E “S2”INDICADOS ABAIXO:
S1 3x + 6y = 422x - 4y = 12
S21x + 2y = 141x - 2y = 6
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SISTEMAS EQUIVALENTES
POIS ELES ADMITEM A MESMA SOLUÇÃOx = 10 E y = 2.
NOTAÇÃO
QUANDO DOIS SISTEMAS S1 E S2SÃO EQUIVALENTES, USAMOS A NOTAÇÃO
S1~S2.
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PROPRIEDADE DE UM SISTEMA LINEAR
UM SISTEMA LINEAR CHAMADO DE HOMOGÊNEOTEM SEMPLO PELO MENOS UMA SOLUÇÃO, POIS:
x1 = 0x2 = 0x3 = Oxn = 0
SEMPRE TERÁ TODAS AS SENTENÇAS DO SISTEMAVERDADEIRAS.
A SOLUÇÃO (0,0,0,0,...,0) É CHAMADA DE SOLUÇÃO TRIVIAL.