Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita - II
Transcript of Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita - II
Aula-6
Teoria da Relatividade
Restrita - II
Física Geral F-428
1
• Se, no referencial S, dois eventos estão separados
por uma diferença de coordenada ; e
ocorrem em dois instantes de tempo separados por
, no referencial S’ teremos:
• Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes
independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente
único: o espaço-tempo.
• Podemos também inverter as transformações acima:
)( tvxx )(2
xc
vtt
)( tvxx )(2
xc
vtt
As transformações de Lorentz
H. A. Lorentz (1853 – 1928)
2
A relatividade das velocidades
Vimos que:
Logo:
Na transformação clássica
de Galileu teríamos :
)( tvxx )(2
xc
vtt
Portanto: )( v d td xxd )(2
dxc
vdttd
21
c
uv
vu
td
xdu
x
xx
vutd
xdu xx(v << c)
3
Podemos ainda deduzir expressões para as relações entre
as demais componentes nos outros eixos:
Portanto, a transformação está coerente com o fato da
velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e
nenhuma velocidade poder excedê-la.
• As transformações podem ser invertidas, trocando os
índices com linha sem linha e v por –v :
2
2
1
)1(
c
uv
u
td
ydu
x
y
y
2
2
1
)1(
c
uv
u
td
zdu
x
z
z
c
c
uv
vuu
x
xx
21
cu xteremos:
A relatividade das velocidades
• Se:
4
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações
em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector.
Isto, porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se
propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a
fonte e o detector.
O efeito Doppler da luz
Som
5
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga
no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o
detector.
O efeito Doppler da luz
Fonte v Detector
v a
6
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga
no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o
detector.
O efeito Doppler da luz
Fonte v Detector
v a
7
Se o observador O, em S, descreve o campo
de uma onda eletromagnética, o observador O’, em S’, deverá
observar . Pelo princípio da relatividade,
devemos ter invariância de fase:
tk x txk
)( tvxx )(2
xc
vttEntão, usando que: e
podemos mostrar que:
2c
vkk vke
O efeito Doppler da luz
)s in (),( 0 tk xEtxE
)s in (),( 0 txkEtxE
8
Mas: c
fkk
c ;
1kk 1e
O efeito Doppler da luz
Esta expressão é válida no caso do observador ( f ´ = fobs)
e a fonte ( f = f0) estarem se afastando ( > 0).
1
1ff
Fonte v ´, f ´
c
v;
9
Esta expressão é válida no caso do observador (f ´ = fobs)
e a fonte ( f = f0 ) estarem se aproximando ( < 0).
Mas: c
fkk
c ;
1kk 1e
1
1ff
O efeito Doppler da luz
Fonte v ´, f ´
c
v;
10
;k
Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação:
c o s1
Se “Doppler transverso”. Note que aqui a fonte em
movimento emite radiação com frequência conhecida . 2
2
0º9 0 1
0
O efeito Doppler da luz
;k
11
Fonte
Observador
• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma
velocidade relativamente pequena, . Neste caso temos:
Em termos dos comprimentos de onda, temos:
•Se a estrela estiver se afastando
( v > 0 ) temos 0
Deslocamento da luz
para o vermelho
•Se a estrela estiver se aproximando
(v < 0) teremos < 0
O efeito Doppler na Astronomia
Deslocamento da
luz para o azul
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif
12
13
Observações experimentais
e suas implicações para a Cosmologia:
Em 1929, Edwin Hubble propôs que o desvio para o vermelho
observado para as linhas espectrais originadas de átomos de cálcio
de galáxias distantes era devido ao efeito Doppler:
as galáxias estariam se afastando de nós.
É possível medir a velocidade de recessão V de várias galáxias e
Hubble encontrou V = H0 r , com H0 é a constante de Hubble =
= 71 4 km/s/Mpc.
Esta é a primeira evidência experimental
da expansão do Universo!
Dinâmica relativística
Na Mecânica Newtoniana temos
dt
, onde o momento linear é definido por: vmp
co nst.0 pF
a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas
isolados, assim como na Mecânica Newtoniana.
b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite
.
Procuramos um análogo relativístico desta expressão que
tenha as seguintes propriedades:
14
Dinâmica relativística
Colisão das partículas a e b, de
mesma massa, no referencial S’.
Vamos definir o referencial S´ como
aquele em que o momento total seja
nulo (Ref. Centro de Momento=RCM).
Se
)( antes
avm )( antes
bvm
)( depois
bvm)( depois
avm
+
+ =
const.0 pFex t
x
y S’
)(antes
bv
)(depois
bv
)(depois
av
)(antes
av
15
Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades:
21
c
uv
vu
dt
dxu
x
x
x
... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial
S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao
longo do eixo x ...
2
2
1
)1(
c
uv
u
dt
dyu
x
y
y
2
2
1
)1(
c
uv
u
dt
dzu
x
z
z
Momento linear relativístico
16
y
antes
byy
antes
ay
x
antes
bxx
antes
ax
vvvv
vvvv
Momento linear relativístico
y
depois
byy
depois
ay
x
depois
bxx
depois
ax
vvvv
vvvvx
yS’
)(antes
bv)(depois
bv
)(depois
av)(antes
av
mmm ba
)/(1)/(1
)/(1)/(1
22
22
cvv
vvv
cvv
vvv
cvv
vvv
cvv
vvv
x
xdepoisbx
x
xdepoisax
x
xantesbx
x
xantesax
)/(1
1
)/(1
1
)/(1
1
)/(1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
cvv
vv
cvv
vv
cvv
vv
cvv
vv
x
ydepois
by
x
ydepois
ay
x
yantes
by
x
yantes
ay
transformação
de Lorentz das
velocidades
21
c
vv
vv
dt
dxv
x
xx
2
2
1
)1(
c
vv
v
dt
dyv
x
y
y
y
x
S v
17
não fornece uma expressão tal que o momento
linear total conservado na colisão.
vmp
Momento linear relativístico
18
Mas, pode-se mostrar que o momento total será uma quantidade
conservada se definirmos:
22
00
/1 cv
vmvmp
22
0
01
)(cv
mmvm
• A força é, então, dada por:
)(0
vmdt
d
dt
• Pode-se ainda definir uma massa relativística, dada por:
Momento linear relativístico
(com m0 sendo a massa do corpo
no referencial em que o corpo se
encontra em repouso.)
19
Energia relativística • A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula
continua sendo dada por:
dt
pdvvF
dt
dK
rrr
d tvd t
vmdrd
d t
vmdrdFK
0
0
0
0
0
)()(
0
2
0
2
0 :o n d e)()1( mmcmmcmK
2220 m cEEm ccmKentão:
vvv
xcmx
d xxcmcv
cv
cvdcmK 0
2/1220
0
2/12
20
022
20 1
)1()/()
/1
/(
22 /1
/
cv
cvx
Energia
Total
(Supondo Epotencial = 0 )
vmγp
0
20
21
Veja uma outra forma de deduzir essas expressões
da energia total e da energia cinética
(através de derivada, não de integral)
no arquivo “Dinâmica Relativística”.
Usando que vmp
temos E
pcv
c
vmcp
2
2
2
Como 42
0
2422 cmcmE obtemos:
2242
0
2 cpcmE
Se m0 = 0 pcE
• Portanto, a radiação eletromagnética transporta um momento
linear , e podemos imaginá-la como composta por
corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante. cUp /
Relação energia-momento linear
Energia relativística
22
24
42
02
1Ec
pc
cmE
2)/(1
1
cv
22
• Limite clássico da energia
...8
3
21
14
4
2
22
022
2
0
c
v
c
vcm
cv
cmE
Expandindo E=mc2 para v/c << 1 :
...8
3
2 2
22
0
2
02
0c
vvmvmcmE
Energia de repouso: 2
0cmE
2
2
0vmK
Energia cinética para v/c << 1 :
Energia relativística
pontos experimentais (x)
23
Energia de repouso: 2
0cmE
2
2
0vmKEnergia cinética para v/c << 1 :
Energia relativística
pontos experimentais (x)
24
Experimento de William Bertozzi para medir v
e K de elétrons relativísticos no acelerador
linear no MIT (Amer.Jour.Phys. 32(1964)551)
25
22
22
22422
1 mcmcEE
EmcmcE
cpcmE
mvpp
cin
cin
Procedimento mais usual: usar apenas a massa
de repouso da partícula nas nossas equações,
que é a única massa definida para a partícula.
As equações da dinâmica ficarão:
• A energia de um sistema isolado se mantém constante.
Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia
∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa:
Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares,
embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível.
Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua
velocidade), sua massa também aumenta:
2c
Qmmm if
2c
Em
Energia relativística
QcmE 2)(
26
Relatividade Geral
• Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece
acelerado, se visto de um referencial não-inercial.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia:
É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante
daquela num referencial uniformemente acelerado!
O elevador de
Einstein
27
Relatividade Geral
• Princípio da equivalência de Einstein
Num recinto suficientemente pequeno para que o campo
gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme e em
queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as
mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo
gravitacional.
(a)
ga
g
aa
ga
28
• Só precisamos de geometria para descrever trajetórias dos corpos.
Relatividade Geral
“A massa diz ao espaço-tempo como se
curvar; e o espaço-tempo diz à massa
como se mover”!
• Einstein encarou a força gravitacional como uma
força de inércia curvatura do espaço-tempo!
29
30
Expressão geral para o efeito Doppler:
cos -1f f´
S
S´
v
P
Note: os casos mencionados
são casos particulares do
caso geral, com = 0° ou
180°. Se a fonte se move,
então f´ = f0 e a frequência
observada a 90° é f = f0/
(1- 2/2) f0 .
Prob. 31: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo
com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito,
também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave
viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela
espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ?
v
v
L0
L0 = 350 m
v = 0,82 c
x S
y
Velocidade do meteorito
em relação à nave:
21
c
uv
vuu
x
xx
sv
Lt 19,1
m/s102,94
m3508
00
cc
c
v
v
c
vv
vvv 98,0
)82,0(1
64,1
1
2
)(1
2
2
2
2
m/s1094,2 8v
31
Prob. 39: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c.
Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os
passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde,
amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.
v = 0,20c
1
1ff
• Efeito Doppler da luz (se afastando):
2/1
1
1cc
nm5518,0
2,1nm450
1
12/12/1
a)
b) Luz "verde-amarelada":
32
33
Prob. 47: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de
massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que
a sua energia de repouso ?
22420
2 cpcmE
)(3 20
2 cmm cE
22420
4209 cpcmcm
mas:
22208 pcm cmp 022
34
Prob. 51: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um
momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ;
(b) de ; (c) da razão sua energia cinética e energia de repouso.
cmvvmp 0)( 2
2
2
2
02/1
2
2
0 1
1c
v
c
vcm
c
v
vm
707,02
112
2
2
c
v
c
va)
414,122/1
1
2/11
1
414,01414,1)1(
20
20
0 cm
cm
E
K
b)
c)
35