Aula 6 - Probabilidade-P2

PROBABILIDADE E ESTATSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano [email protected]

Aula 6 Probabilidade 10/2014

Aulas 6 Probabilidade Probabilidade e Estatstica 3/79

Interpretaes de

Probabilidade


Probabilidade

Vamos trabalhar com espaos amostrais DISCRETOS.

Probabilidade usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrncia de um resultado de um experimento aleatrio.

Quantificamos com um nmero entre [0, 1] ou em porcentagem, de 0% a 100%.


Probabilidade

Nmeros maiores indicam que o resultado mais provvel que nmeros menores.

Probabilidade igual a 0 Resultado no ocorrer

Probabilidade igual a 1 Resultado ocorrer com certeza.


Definies de Probabilidade

Definio Clssica;

Definio Frequentista;

Definio Axiomtica.


Definio Clssica

A probabilidade de um acontecimento E, que um subconjunto finito de um espao amostral S, de resultados igualmente provveis, :

Sendo n(E) e n(S) as quantidades de elementos de E e de S, respectivamente.

( ) ( )( )SnEnEP =


Definio Clssica

A definio clssica dbia, j que a ideia de igualmente

provvel a mesma de com probabilidade igual, isto ,

a definio circular, porque est definindo essencialmente

a probabilidade com seus prprios termos.

A definio no pode ser aplicada quando o espao amostral

infinito.


Frequncia Relativa Probabilidade

Nem sempre possvel determinar, pela definio clssica, a probabilidade de ocorrncia de um evento.

Qual a probabilidade de um avio cair?

Qual a probabilidade de que um carro seja roubado?

Qual a probabilidade de um aluno de Cincia da Computao ser aprovado na disciplina de Probabilidade e Estatstica?


Respostas para esses problemas so fundamentais mas, como no podemos calcular essas probabilidades pela definio clssica, tudo o que podemos fazer observar com que frequncia esses fatos ocorrem.

Com um grande nmero de observaes, podemos obter uma boa estimativa da probabilidade de ocorrncia desse tipo de eventos.

Denominamos de



Seja E um experimento e A um evento de um espao

amostral associado S. Suponha que E repetido n vezes e

seja frA a frequncia relativa do evento. Ento, a

probabilidade de A definida como sendo o limite de frA

quando n tende ao infinito. Ou seja:


( ) AnfrAP lim

=


Deve-se notar que a frequncia relativa do evento A uma

aproximao da probabilidade de A. As duas se igualam

apenas no limite.

Em geral, para um valor de n razoavelmente grande, a frA

uma boa aproximao de P(A).




A proporo, ou frequncia relativa, de rplicas do experimento 0,2.

Escolhemos as probabilidades de modo que a em um experimento

seja igual a .

Probabilidade de 0,2 ao resultado que contm um pulso corrompido em um sinal digital

Se analisarmos muitos pulsos, aproximadamente

20% deles estaro corrompidos


EXEMPLO

Distribuio de frequncias referente s alturas (em centmetros) dos alunos da UTFPR obtida na primeira aula.

Intervalos de Classe

Ponto mdio Frequncia absoluta

Frequncia Relativa

Freq. Abs. Acumulada

Freq. Rel. Acumulada

150 | 154 (150+154)/2 = 152

4 4 / 40 = 0,100 4 0,100

154 | 158 156 9 0,225 4 + 8 = 13 0,325 158 | 162 160 11 0,275 24 0,600 162 | 166 164 8 0,200 32 0,800 166 | 170 168 5 0,125 37 0,925 170 | 174 172 3 0,075 40 1,000

40 1


EXEMPLO

Distribuio de frequncias referente s alturas (em centmetros) dos alunos da UTFPR obtida na primeira aula.

Intervalos de Classe

Ponto mdio Frequncia absoluta

Frequncia Relativa

Freq. Abs. Acumulada

Freq. Rel. Acumulada

150 | 154 (150+154)/2 = 152

4 4 / 40 = 0,100 4 0,100

154 | 158 156 9 0,225 4 + 8 = 13 0,325 158 | 162 160 11 0,275 24 0,600 162 | 166 164 8 0,200 32 0,800 166 | 170 168 5 0,125 37 0,925 170 | 174 172 3 0,075 40 1,000

40 1

Probabilidade de um aluno ter altura entre 150 e 154 cm

de 10%

Probabilidade de um aluno ter altura entre 162 e 166 cm

de 20%

Soma das probabilidades de

todos os resultados


Resultados Igualmente Provveis

Toda vez que um espao amostral consistir em N resultados

possveis que forem , a probabilidade

de cada resultado .

Lanamento de um dado

N = 6 Probabilidade de cada

resultado 1/6


Pela definio frequentista, para saber qual a probabilidade de que a face sorteada de um dado seja igual a 1, teramos que realizar o experimento aleatrio n vezes.

Quanto maior n, mais prximos estaremos da probabilidade exata (1/6 = 0,1666...).

Nmero de Lanamentos Face 1 Frequncia

100 23 0,23 1.000 171 0,171 10.000 1688 0,1688 50.000 8266 0,16532


Probabilidade de Eventos

frequentemente necessrio atribuir probabilidades a eventos que sejam compostos por vrios resultados do espao amostral.

Para espao amostral :

A , denotada por P (E), igual soma das probabilidades dos resultados em E.


Exemplo 1

Um experimento aleatrio pode resultar em um dos

resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1,

respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o evento {b, c,

d} e C o evento {d}.

Ento quanto vale:

P (A); P (B); P (C)?

e P (A ); P (B ); P (C )?


Exemplo 1

Quanto vale:

( )BAP

( )BAP

( )CAP


Exemplo 2

Uma inspeo visual de um ponto em pastilhas de um processo de fabricao de semicondutores resultou na seguinte tabela:

Nmero de partculas de contaminao

0 1 2 3 4 5 ou mais

Proporo de Pastilhas 0,40 0,20 0,15 0,10 0,05 0,10


Exemplo 2

Se informao fosse disponvel para cada pastilha, poderamos definir o espao amostral como o conjunto de todas as pastilhas inspecionadas, porm esse nvel de detalhamento no necessrio nesse caso.

Ento, qual o espao amostral???

Podemos considerar o espao amostral consistindo nas seis categorias que resumem o nmero de partculas contaminantes em uma pastilha.

{ }maisou 5 4, 3, 2, 1, 0,=S


Exemplo 2

Se desse processo uma pastilha for selecionada, ao acaso, e o

ponto for inspecionado, qual ser a probabilidade de que ele

no contenha partculas?

Qual a probabilidade de uma pastilha conter trs ou mais

partculas no ponto inspecionado?


Exemplo 2

Os nveis de contaminao afetam o rendimento de dispositivos funcionais na fabricao de semicondutores,

de modo que probabilidades, tais como essas, sejam regularmente estudadas.


Exemplo 3

Suponha que uma batelada contenha seis itens

{a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam selecionados

aleatoriamente, sem reposio. Suponha que o item f seja

defeituoso, porm que os outros sejam bons.

Qual a probabilidade de que o item f aparea na amostra?


Esta definio frequentista, embora til na prtica,

apresenta dificuldades matemticas, pois o limite pode no

existir.

Em virtude dos problemas apresentados pela definio

clssica e pela definio frequentista, foi desenvolvida uma

teoria moderna, que a


Definio Axiomtica de Probabilidade


Axiomas de Probabilidade

Os axiomas asseguram que as probabilidades atribudas a um experimento podem ser interpretadas como frequncias relativas e que as atribuies so consistentes com nosso entendimento intuitivo das relaes entre frequncias relativas.

Se o evento A estiver contido no evento B. Ento, deveramos ter:

P(A) P(B)



Probabilidade um nmero que atribudo a cada membro de uma coleo de eventos, a partir de um experimento aleatrio que satisfaa as seguintes propriedades:

Se S for o espao amostral e E for qualquer evento em um experimento aleatrio:

P (S) = 1;

0 P (E) 1;

Para dois eventos E1 e E2 com

= 21 EE

P E1E2( ) = P E1( )+P E2( )



Estes axiomas implicam nos seguintes resultados:

Se o evento E1 estiver contido no evento E2:

P ( ) = 0

P E '( ) =1P E( )

P E1( ) P E2( )


so gerados pela aplicao de operaes bsicas de conjuntos a eventos individuais.

A pode frequentemente ser determinada a partir de probabilidades dos eventos individuais que o compreendem.

AB AB


Regra da

Adio


EXEMPLO 4

A Tabela abaixo lista a histria de 940 pastilhas em um processo de fabricao de semicondutores. Suponha que uma pastilha seja selecionada, ao acaso.

Localizao na Ferramenta de Recobrimento Contaminao Centro Borda Total

Baixa 514 68 582 Alta 112 246 358 Total 626 314 940


EXEMPLO 4

Seja A o evento em que a pastilha contm altos nveis de contaminao.

Qual a probabilidade do evento A ?


EXEMPLO 4



Baixa 514 68 582 Alta 112 246 358 Total 626 314 940

A


EXEMPLO 4

Seja C o evento em que a pastilha esteja no centro de uma ferramenta de recobrimento.

Qual a probabilidade do evento C ?


EXEMPLO 4



Baixa 514 68 582 Alta 112 246 358 Total 626 314 940

A

C


EXEMPLO 4

Qual a probabilidade de uma pastilha ser proveniente do centro da ferramenta de recobrimento e conter altos nveis de contaminao?

Qual a probabilidade de uma pastilha ser proveniente do centro da ferramenta de recobrimento ou conter altos nveis de contaminao (ou ambos)?


Regra Geral de Adio

P AB( ) = P A( )+P B( )P AB( )

P AB( ) = P A( )+P B( )


P ABC( ) = P A( )+P B( )+P C( )P AB( )P AC( )P BC( )+P ABC( )


Uma coleo de eventos, E1, E2, ..., Ek, dita mutuamente

excludente se para todos os pares:

Para uma coleo de eventos mutuamente excludentes:

P E1E2!Ek( ) = P E1( )+P E2( )+!+P Ek( )

EiEj =


Probabilidade Condicional



Algumas vezes, probabilidades necessitam ser reavaliadas medida que informaes adicionais se tornam disponveis.

A probabilidade de um evento B, sabendo qual ser o resultado do evento A, dada por:

chamada de .

P B A( )


EXEMPLO 5

A tabela abaixo fornece um exemplo de 400 itens classificados por falha na superfcie e como defeituosos (funcionalmente).

Falhas na superfcie Sim No Total

Defeituosos Sim 10 18 28 No 30 342 372

Total 40 360 400


EXEMPLO 5

Qual a probabilidade de um item COM falhas na superfcie ser defeituoso?

Qual a probabilidade de um item SEM falhas na superfcie ser defeituoso?


EXEMPLO 5

A tabela abaixo fornece um exemplo de 400 itens classificados por falha na superfcie e como defeituosos (funcionalmente).

Falhas na superfcie Sim No Total

Defeituosos Sim 10 18 28 No 30 342 372

Total 40 360 400

D F F


EXEMPLO 5

Qual a probabilidade de um item COM falhas na superfcie ser defeituoso?

Qual a probabilidade de um item SEM falhas na superfcie ser defeituoso?

( ) 25,0=FDP

( ) 05,0' =FDP


EXEMPLO 5

Podemos concluir que a probabilidade de itens defeituosos

cinco vezes maior para itens com falhas na superfcie.

O resultado sugere tambm que pode haver uma ligao

entre falhas na superfcie e itens funcionalmente defeituosos

que deveria ser investigada.



A de um evento B, dado um evento A, denotada como :

para .

P B A( ) = P AB( )P A( )

P B A( )

P A( ) > 0



Essa definio pode ser entendida em um caso especial em que todos os resultados de um experimento aleatrio so

. Se houver n resultados totais:

Logo:

P A( ) = nmero de resultados em A( ) n

P AB( ) = nmero de resultados em AB( ) n

P AB( ) P A( ) =nmero de resultados em AB( )

nmero de resultados em A( )


Amostras Aleatrias

Quando uma amostra selecionada aleatoriamente a partir de uma batelada grande, geralmente mais fcil evitar a numerao do espao amostral e calcular probabilidades a partir de probabilidades condicionais.

Selecionar aleatoriamente implica que, em cada etapa da amostragem, os itens que permanecem na batelada so igualmente provveis de serem selecionados.


Amostras Aleatrias

Considere uma batelada que contenha 10

itens da ferramenta 1 e 40 itens da ferramenta 2. Se dois

itens forem selecionados aleatoriamente, sem reposio, qual

ser a probabilidade condicional de que um item da

ferramenta 2 seja selecionado na segunda retirada, dado que

um item da ferramenta 1 tenha sido selecionado primeiro?


Regra da

Multiplicao


Regra da Multiplicao

Do agora considere E o evento consistindo

nos resultados contendo o primeiro item selecionado

proveniente da ferramenta 1 e o segundo item proveniente da

ferramenta 2. Qual a probabilidade de E?

P E( ) = P E2 E1( )P E1( ) =849


Regra da Multiplicao

Frequentemente, necessita-se calcular a probabilidade da

interseo de dois eventos. A definio de probabilidade

condicional pode ser reescrita e teremos, a conhecida

para probabilidades.

P AB( ) = P B A( )P A( ) = P A B( )P B( )


EXEMPLO 7

A probabilidade de que o primeiro estgio de uma operao, numericamente controlada, de usinagem para pistes com alta rpm atenda s especificaes igual a 0,90.

Dado que o primeiro estgio atende s especificaes, a probabilidade de que o segundo estgio de usinagem atenda s especificaes de 0,95. Qual a probabilidade de ambos os estgios atenderem s especificaes?


EXEMPLO 7

Sejam A e B os eventos em que o primeiro e o segundo estgios atendem s especificaes, respectivamente. A probabilidade requerida :

P AB( ) = P B A( )P A( ) = 0,95 0, 90( ) = 0,855


Regra da Probabilidade

Total


EXEMPLO 8

Algumas vezes, a probabilidade de um evento dada sujeita a cada uma das vrias condies.

Suponha que na fabricao de semicondutores, a probabilidade de um chip, que est sujeito a altos nveis de contaminao durante a fabricao, causar uma falha no produto seja de 0,10. A probabilidade de um chip, que no est sujeito a altos nveis de contaminao durante a fabricao, causar uma falha no produto seja de 0,005.


EXEMPLO 8

Em uma batelada particular de produo, 20% dos chips esto sujeitos a altos nveis de contaminao.

Qual a probabilidade de um produto usando um desses chips vir a falhar?


Regra da Probabilidade Total

Claramente, a probabilidade requerida depende se o chip foi ou no exposto a altos nveis de contaminao.

Para qualquer evento B, podemos escrever B como uma unio da parte de B em A e da parte de B em A.

Pelo fato de A e A serem mutuamente excludentes,

e sero mutuamente excludentes.

( ) ( )BABAB = '( )BA

( )BA'



Por meio do da Regra da Adio e da Regra da Multiplicao, temos:

de dois eventos

Para quaisquer eventos A e B,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )''

'APABPAPABP

ABPABPBP+=

+=


EXEMPLO 8

Voltando ao exemplo 8, temos:

Seja F o evento em que o produto falha e seja A o evento em que o chip exposto a altos nveis de contaminao.

A probabilidade solicitada P (F), ento:

Probabilidade de Falha

Nvel de Contaminao

Probabilidade do Nvel

0,10 Alto 0,20 0,005 No Alto 0,80

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 024,0'' =+= APAFPAPAFPFP



Em geral, uma coleo de conjuntos E1, E2, ..., Ek, tal que:

, dita ser exaustiva.

Suponha que E1, E2, ..., Ek, sejam k conjuntos mutuamente .

A de mltiplos eventos ser ento:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk

k

EPEBPEPEBPEPEBPEBPEBPEBPBP

+++=

+++=

!

!

2211

21

SEEE k = !21


EXEMPLO 9

Continuando com a fabricao de semicondutores, suponha as seguintes probabilidades para falha no produto sujeito a nveis de contaminao na fabricao:

Em uma batelada particular da produo, 20% dos chips esto sujeitos a nveis altos de contaminao, 30% a nveis mdios de contaminao e 50% a nveis baixos de contaminao.

Probabilidade de Falha 0,10 0,01 0,001 Nvel de Contaminao Alto Mdio Baixo


EXEMPLO 9

Qual a probabilidade de um produto falhar ao usar um desses chips?

Seja A o evento em que um chip esteja exposto a nveis altos de contaminao.

Seja M o evento em que um chip esteja exposto a nveis mdios de contaminao.

Seja B o evento em que um chip esteja exposto a nveis baixos de contaminao.

Seja F o evento em que o produto falhou.


INDEPENDNCIA


Independncia

Em alguns casos, a probabilidade condicional

pode ser igual a P(B).

Nesse caso especial, o conhecimento de que o resultado do

experimento esteja no evento A no afeta a probabilidade de

que o resultado esteja no evento B.

( )ABP


Exemplo 10

Suponha que uma produo diria de 850 peas fabricadas

contenha 50 peas que no satisfaam as exigncias dos

consumidores. Suponha que duas peas sejam selecionadas

da batelada, porm a primeira pea seja reposta antes de a

segunda pea ser selecionada.

Qual a probabilidade de que a segunda pea seja defeituosa

(evento B), dado que a primeira pea defeituosa

(evento A)?


Exemplo 10

Pelo fato de a primeira pea ser reposta antes da seleo da

segunda, a batelada ainda contm 850 peas, 50 das quais

so defeituosas.

Assim, a probabilidade de B no depende de a primeira pea

ser defeituosa.


Exemplo 11

Do Exemplo 5, temos uma tabela com informaes que

relacionam falhas na superfcie a itens funcionalmente

defe i tuosos . Naquele caso , de te rminamos que

P (D|F) = 10/40 = 0, 25

e P (D) = 28/400 = 0,07.


Exemplo 11

Suponha que a situao seja diferente e dada pela tabela:

Agora, P (D|F) = 2/40 = 0,05 e P (D) = 20/400 = 0,05.

Isto indica que, a probabilidade de que o item seja defeituoso no depende de ele ter falhas na superfcie.

Falhas na superfcie Sim (Evento F) No Total

Defeituosos Sim (Evento D) 2 18 20

No 38 342 380 Total 40 360 400


Exemplo 11

Tambm, P (F|D) = 2/20 = 0,10 e P (F) = 40/400 = 0,10.

Assim, a probabilidade de uma falha na superfcie no

depende de o item ser defeituoso.


Exemplo 11

Alm disso, a Regra da Multiplicao diz que:

Porm, no caso especial desse problema:

( ) ( ) ( )FPDPDFP =

( ) ( ) ( )FPFDPDFP =


Exemplo 11

Falhas na superfcie Sim (Evento F) No Total

Defeituosos Sim (Evento D) 2 18 20

No 38 342 380 Total 40 360 400

D F

( )2001

4002

==DFP

( )40040

=FP( )40020

=DP


2001

40040

40020

==

Exemplo 11

Porm, no caso especial desse problema:

Essas concluses levam a uma importante definio.

( ) ( ) ( )FPDPDFP =


Independncia (dois eventos)

Dois eventos A e B so se qualquer

uma das seguintes afirmaes for verdadeira:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )BPAPBAP

BPABPAPBAP

=

=

=

32

1


Independncia (mltiplos eventos)

Os eventos E1, E2, ..., En so independentes se, e somente se:

P E1E2!Ek( )= P E1( )P E2( )!P Ek( )


EXEMPLO 12

Considere que a probabilidade de uma pastilha conter uma

grande partcula de contaminao seja 0,01 e que as pastilhas

sejam independentes; isto , a probabilidade de uma pastilha

conter uma grande partcula no dependente das

caractersticas de qualquer uma das outras pastilhas.

Se 15 pastilhas forem analisadas, qual ser a probabilidade

de nenhuma partcula grande ser encontrada?


EXEMPLO 12

Seja Ei o evento em que a i-sima pastilha no contm

partculas grandes, i = 1, 2, ..., 15. Ento, P(Ei) = 0,99. A

probabilidade pode ser representada como:

Da suposio de independncia:

( )1521 EEEP !

( )( ) ( ) ( )

86,099,0 151521

1521

==

=

=

EPEPEPEEEP!

!

Aula 6 - Probabilidade-P2

Documents

Transcript of Aula 6 - Probabilidade-P2