Probabilidade

Aula 5

Profa. Dra. Juliana Garcia CespedesDepartamento de Matemática e Computação

UNIFEI – MAT 013

Introdução

• Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas nos permite calcular medidas de posição (média, mediana, moda) e medidas de dispersão (variância e desvio padrão).

• Poderemos caracterizar uma massa de dados, com o objetivo de organizar e resumir informações.

• Essas medidas são chamadas de estimativasassociadas a populações das quais os dados foram extraídos na forma de amostras.

Modelos probabilísticos• Agora estudaremos os chamados modelos probabilísticos.

• São modelos que permitem, sem a observação direta do fenômeno aleatório, reproduzir de maneira razoável a distribuição de frequências.

Definição: Fenômeno aleatório é a situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza.

Ex: Condições climáticas do próximo domingo.

Taxa de inflação do próximo mês.

Em situações como estas, modelos probabilísticos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas das diversas ocorrências.

Conceitos da teoria dos conjuntos -REVISÃO

• Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os possíveis resultados de um certo fenômeno aleatório. Representaremos pela letra grega Ω.Representaremos pela letra grega Ω.

• Subconjuntos de Ω são denominados eventos e representados por letras maíusculas (A, B, C, …).

• Um subconjunto vazio do espaço amostral é representado por .

Espaço amostral

AB

Eventos

C D

Ω

Espaço amostral

Elementos do espaço amostral

Propriedades dos eventos

• A união de dois eventos A e B, denotada por AB representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B.

• A intersecção do evento A com o B, denotada por AB, • A intersecção do evento A com o B, denotada por AB, é a ocorrência simultânea de A e B.

Propriedades dos eventos

• Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quanto não têm elementos em comum. Isto é AB=.

• Dois eventos A e B são chamados complementares se • Dois eventos A e B são chamados complementares se AB= e AB=Ω.

A

B

Ω

A

B

Ω

O evento B complementar de A é também denotado por Ac

Exemplo simples do uso dos termosmencionados anteriormente

Fenômeno Aleatório – Jogar um dado de seis faces.

Espaço Amostral – Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Evento A –Sair um número par A={2, 4, 6}.

Evento B –Sair o número 2 B={2}.

1 3 5

2 4 6Ω

Exemplo para clarear adefinição de espaço amostral

Fenômeno aleatório: Jogar um dado duas vezes.Descreva o espaço amostral.

Início : 1a jogada

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

36 resultados

2a jogada

1 2 3 4 5 6

5,15,25,35,45,5

Espaço amostral e probabilidades

1,11,21,31,41,5

2,12,22,32,42,5

3,13,23,33,43,5

4,14,24,34,44,5

6,16,26,36,46,55,5

5,61,51,6

2,52,6

3,53,6

4,54,6

6,56,6

Evento A: A soma dos dados é igual a 4.

Evento B: A soma dos dados é igual a 11

Evento C: A soma é 4 ou 11.

A={(1,3);(2,2);(3,1)}

B={(5,6);(6,5)}

C={(1,3);(2,2);(3,1);(5,6);(6,5)}

O que é probabilidade?

• Probabilidade é uma afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1 ou 0% a 100%.

• Formalmente, probabilidade é uma função P(.) que atribui valores numéricos aos eventos de um espaço amostral:

Função probabilidade

Def: Uma função P(.) é denominada probabilidadese satisfaz as condições:

1. 0 P(A) 1, AΩ;

2. P(Ω)=1 e P()=0;

3. Para Aj eventos disjuntos:

n

jj

n

jj

11

)A(PAP

Como atribuir probabilidades aoselementos do espaço amostral?

• Existem duas maneiras:

1. Interpretação frequentista:

Observando as diversas repetições do fenômeno em que Observando as diversas repetições do fenômeno em que ocorre a variável de interesse, podemos anotar o número de ocorrências de cada valor dessa variável, ou seja, obtemos as probabilidades através das frequências de ocorrências.

Para um número grande de realizações (n) a frequência relativa pode ser usada como probabilidade.

Ou seja,

fri(A)= número de repetições em que ocorre A = fi n n

2. Probabilidade teórica P(A):2. Probabilidade teórica P(A):

Atribuir as probabilidades baseando-se em características teóricas da realização do fenômeno.

Quando n cresce: fr(A) P(A)

Lançar um dado, admitindo que o dado foi construído de forma homogênea e com medidas rigorosamente simétricas (dado não viciado).

Da primeira maneira: podemos jogar o dado 30 vezes e anotar as saídas, montar uma tabela de frequências e a probabilidade de ocorrência será igual a frequência

Exemplo

probabilidade de ocorrência será igual a frequência relativa de cada observação. (exercício)

Da segunda maneira: Não temos nenhuma razão para privilegiar uma ou outra face do dado, pois ele é não viciado. Então podemos considerar que todas as faces tem a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja:

P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6.

Exercício

• Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade no ano passado:

Sexo Homens MulheresCurso (H) (F) Total (cursos)

• Considere M o evento de escolher ao acaso um aluno e ele estar matriculado no curso de matemática pura.

Matemática Pura (M) 70 40 110Matemática Aplicada (A) 15 15 30Estatística (E) 10 20 30Computação (C.) 20 10 30Total (sexo) 115 85 200

1. Descreva graficamente o espaço amostral.

2. Qual a probabilidade de escolher um aluno matriculado no curso de matemática pura? (P(M)?)

3. Qual a probabilidade do aluno ser do sexo masculino? (P(H)?)

4. Qual a probabilidade de um aluno ser homem e estar matriculado no curso matemática aplicada? (P(AH)?)

5. Qual a probabilidade de um aluno estar matriculado em matemática aplicada ou ser homem? (P(AH)?)

M A E C

Resposta

1. Descrever o espaço amostral:

FH

2. P(M)?

P(M)=110/200

3. P(H)?

P(H)=115/200

4. P(AH)?

P(AH)=15/200

Sexo Homens MulheresCurso (H) (F) Total (cursos)

Matemática Pura (M) 70 40 110Matemática Aplicada (A) 15 15 30Estatística (E) 10 20 30Computação (C.) 20 10 30Total (sexo) 115 85 200

P(AH)=15/200

5. P(AH)?

M A E C

P(AH)=P(A)+P(H)-P(AH)= 30/200 + 115/200 – 15/200= 130/200

FH

• Considerando agora a união dos eventos A e C:

P(AC)=P(A)+P(C)-P(AC)

= 30/200 + 30/200 – 0

= 60/200

Os eventos A e C são disjuntos ou mutuamente exclusivos.exclusivos.

M A E C

Regra da adição de probabilidades

• Considere os eventos U e V quaisquer, a regra da adição de probabilidades é dada por:

P(UV)=P(U)+P(V)-P(UV)P(UV)=P(U)+P(V)-P(UV)

• Se U e V forem eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos, a regra é dada por:

P(UV)=P(U)+P(V)

Evento complementar

• Suponha agora que queremos calcular a probabilidade de aluno NÃO estar matriculado no curso da computação:

M A E C

• P(Cc)= P(Ω) - P(C) = 1- P(C) = 1-30/200 = 170/200

Propriedades

1. P(A)+P(Ac)=12. (AB)c=AcBc

3. (AB)c=AcBc

4. A=

9. AAc= Ω10.AΩ = Ω11.A = A12.A(BC)=4. A=

5. AΩ=A6. c= Ω7. Ωc= 8. AAc=

12.A(BC)=(AB) (AC)

Mega Sena

• O jogo da mega sena consiste em escolher 6 dezenas entre 60. O jogador pode marcar num cartão de 6 a 15 dezenas. Os custos (em

Dezenas Custo

6 1,00

7 7,00

8 28,00

9 84,00

a 15 dezenas. Os custos (em reais) de cada jogo estão relacionados na tabela:

10 210,00

11 462,00

12 924,00

13 1716,00

14 3005,00

15 5005,00

• Temos, ao todo possibilidades.

• Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio máximo?

860.063.506

60

• Porque o jogo com 7 dezenas custa R$ 7,00?

• Resposta 1: A probabilidade de ganhar o prêmio máximo é , ou seja, uma

chance em 50 milhões.

• Resposta 2: Porque com 7 dezenas

6

601

• Resposta 2: Porque com 7 dezenas podemos formar jogos de 7 dezenas.

• Ou seja, fazer um jogo com 7 dezenas ou 7 jogos com 6 dezenas são ações equiprováveis (equivalentes em termo de probabilidade ganhar).

76

7

Exercício

• Considere o lançamento de dois dados. Considere o evento A = soma dos números obtidos igual a 9 e o evento B = número no primeiro dado maior ou igual a 4.

• Enumere os elementos de A e B.

• Obtenha de AB, AB e Ac.

• Obtenha as probabilidades do ítem anterior.

1,11,21,31,4

2,12,22,32,4

3,13,23,33,4

4,14,24,34,4

5,15,25,35,4

6,16,26,36,4

Dois dados são jogados e sua soma é anotada.

Exercício

1,41,51,6

2,42,52,6

3,43,53,6

4,44,54,6

5,45,55,6

6,46,56,6

Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.

Determine a probabilidade de que a soma seja 11.

Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.

3/36 = 1/12 = 0,083

2/36 = 1/18 = 0,056

(3+2)/36 = 0,139

Exercício

• De um grupo de duas mulheres(M) e três homens (H), uma pessoa será sorteada para presidir uma reunião. Queremos saber qual a probabilidade de o presidente saber qual a probabilidade de o presidente ser do sexo masculino ou feminino?

• Defina o espaço amostral.

• Defina o evento.

• Calcule as probabilidades.

Ω = {H,M}

E1 = {H} ou E2={M}

P(E1)=3/5

P(E2)=2/5