Aula 4 - Lógica Aplicada a Computação

8/17/2019 Aula 4 - Lógica Aplicada a Computação

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Aula 4 – Tautologias,

Contradições e Contingências


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Toda proposição composta cuja última colunada sua tabela-verdade possua apenas a letraV(verdade)Em outras palavras, trata-se de umaproposição P(p, q, r...) cujo valor lógico final ésempre V (verdadeiro)

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Proposições tautológicasProposições logicamente verdadeiras

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Princípio de identidade para as proposições

p → p

p ↔ pSão tautológicas


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I. Proposição “~ (p ^ ~ p)” princípio da nãocontradição) é tautológica

p ~ p ^ ~ p)V V V F F VF V F F V F

p ~p p ̂ ~ p) ~ p ̂ ~ p)

V F F VF V F V

ou


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II. Proposição “p v ~ p” princípio do terceiroexcluído) é tautológica

p p v ~ pV V V F VF F V V F


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III. Proposição “p v ~ (p ^ q)” é tautológica

p q p v ~ p ^ q)


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III. Proposição “p v ~ (p ^ q)” é tautológica

p q p v ~ p ^ q)V V V V F V V VV F V V V V F FF V F V V F F V

F F F V V F F F1 4 3 1 2 1


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IV. Proposição “p ^ q → (p ↔ q)” é tautológica

p q


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V. Proposição “p v (q ^ ~q) ↔ p ” é tautológica

p q

V VV FF VF F


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V. Proposição “p v (q ^ ~q) ↔ p ” é tautológica

p q p v q ^ ~q) ↔ p

V V V V V F F V VV F V V F F V V VF V F F V F F V FF F F F F F V V F


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VI. Proposição “p ^ r → ~q v r” é tautológica

p q r


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VI. Proposição “p ^ r → ~q v r” é tautológica

p q r p ^ r → ~q v rV V V VV V V F V V

V V F VF F V F F FV F V VV V V V V VV F F VF F V V V FF V V F F V V F V V

F V F F F F V F F FF F V F F V V V V VF F F F F F V V V F


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VII. Proposição “((p→q)→r) →(p→(q →r))” étautológica

p q r


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VII. Proposição “((p→q)→r) →(p→(q →r))” étautológica

p q r p → q) → r) → p → q → r))

V V V V V V V VV V V V V VV V F V V V F FV V F V F FV F V V F F V VV V V F V VV F F V F F V F V V V F V F

F V V F V V V VV F V V V VF V F F V V F F V F V V F FF F V F V F V VV F V F V VF F F F V F F F V F V F V F


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Toda proposição composta cuja última colunada sua tabela-verdade possua apenas a letraF (falsidade)Em outras palavras, trata-se de umaproposição P(p, q, r...) cujo valor lógico final ésempre F (falsidade) independente dosvalores lógicos das suas proposiçõescomponentes

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Uma tautologia sempre apresenta comovalores lógicos finais valores verdadeiros , anegação de uma tautologia resulta sempreem valores falsos, isto é, uma contradição

P(p, q, r,...) é uma tautologia se e somente se~P(p, q, r,...) é uma contradição

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Proposições contraválidasProposições logicamente falsas


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I. Proposição “p ^ ~ p” é uma contradição

p p ^ ~ p)

V V F F VF F F V F

p ~p p ̂ ~ p)V F FF V F

ou


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II. Proposição “p ↔ ~ p” é uma contradição

p p ↔ ~ p

V V F F VF F F V F

p ~p p ↔ ~ p)V F FF V F

ou


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III. Proposição “(p ^ q) ^ ~ (p v q)” é contradição

p q


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III. Proposição “(p ^ q) ^ ~ (p v q)” é contradição

p q p ̂ q) p v q) ~ p v q) p ̂ q) ̂ ~ p v q)

V V V V F FV F F V F FF V F V F FF F F F V F


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IV. Proposição “~p ^ (p ^ ~q) é uma contradição

p q


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Toda proposição composta cuja última colunada sua tabela-verdade possua as letras V(verdadeiro) e F (falsidade) pelo menos umavez para cada uma delasEm outras palavras, trata-se de umaproposição que não seja uma tautologia , nemuma contradição

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Proposições contingentesProposições indeterminadas

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I. Proposição “p → ¬p” é uma contradição

p p → ¬ p

V V F F VF F V V F

p ¬p p → ¬p

V F FF V V

ou


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II. Proposição “p v q → p” é uma contradição

p qV VV FF V

F F


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II. Proposição “p v q → p” é uma contradição

p q p v q → pV V V V V V VV F V V F V VF V F V V F F

F F F F F V F


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III. Proposição “x=3 ^ (x≠y→x≠3)” é umacontingência

x=3 x=y x=3 ^ x≠y → x≠3)

V V V V F V FV F V F V F FF V F F F V VF F F F V V V


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a) (p→p) v (p→¬p)b) (p↔p ^ ¬p)↔¬pc) (p→q) ^ p→q)d) p v (q v ¬p)e) (p→q)^¬q→¬pf) (p v q) ^¬p→q

g) p↔p ^ (p v q)h) ¬(p v ¬p) v (q v ¬q)i) ¬(p ^¬p) v (q→¬q)

j) p v (p ^ q)↔pk) ¬(p v q) →(p↔q)l) (p↔q)^p→ q

Mostrar que as proposições a seguir sãotautológicas:


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Qual das proposições seguintes sãocontradições?a) (p→q)→(p ^ r→q)b) ¬(p v (p ^ q) ↔ p)c) p→(p →q ^ ¬q)d) p→(p v q) v re) ((p→q ↔ q ) →pf) ¬p v ¬ q→ (p→q)


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Qual das proposições seguintes sãocontingentes?a) (p→q ) ^ qb) (p v q)c) q ^ ( q→r )d) (p→q ) ^ (q v p)

e) (p→q ) ^ ~q

f) ~(p ^ q) v ~(q ↔ p)g) ~r v ~(s →t)h) (p ^ q) v (r ↔ p)

i) (r ^ s) ^ ~(q ↔ p) j) (r ^ s) → ~(q ↔ p)

k) p → (q ↔ ~q)l) ~(q ↔ p)

m) (p ^ p) v (q ↔ r)

n) (~q v ~(r → s)) v po) ~r v ~(s →t)p) ~r ↔ ~(s →t)q) ~r v (s↔ ~(t → s)) v ( r^t)


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Sempre que uma proposição P(p,q,r,...) forverdadeira ela implica em outra proposiçãoQ(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) for verdadeira (V)Com outras palavras, uma proposição P

implica uma proposição Q sempre que nasrespectivas tabelas-verdade dessas duasproposições não aparece V e F na mesmalinha da última coluna

SÍMBOLO:⇒


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