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EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
AULA # 3
TÓPICOS
Tensão
Taxa de Deformação
Viscosidade
Assistir Filme: Deformation of Continuous Media, Lumley,
National Committee for Fluid Mechanics Films
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Conceitos desta aula
1) Natureza tensorial da tensão no fluido e notação indicial;
2) Representação vetorial do elemento de área;
3) Taxa de deformação;
4) Relação entre tensão e taxa de deformação;
5) Definição de viscosidade dinâmica e cinemática;
6) Definição de deformação em cisalhamento puro;
7) Condição de não-deslizamento;
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Campo escalar, vetorial e tensorial
Pressão, temperatura, energia, entropia, concentração, dependem
da posição no espaço e do tempo. Estas variáveis são denominadas de
escalares. (tensor ordem zero)
Velocidade, vorticidade, força, quantidade de movimento
dependem da posição, do tempo e da direção. Estas variáveis são
denominadas de vetoriais. (tensor ordem um)
Tensão e Taxa de Deformação no fluido dependem da posição, do
tempo, da direção e da área onde atua. Estas variáveis são
denominadas de tensoriais. (tensor ordem dois)
Início da seção de conceitos
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Campo de tensão no fluido
Tensão no fluido é uma força de superfície por unidade de área definida por:
1. intensidade, 2. direção e 3. área onde ela atua.
A análise de escoamento envolve um sistema (termodinâmico) que possui um volume cuja fronteira é uma superfície.
O que é força de superfície?
sistema
ambiente
superfície do sistema
Resposta:
O tensor de tensões do fluido atua na superfície do sistema.
Sua definição é a razão entre a força e o elemento de área onde ela atua.
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Tensões normais e cisalhantes
O 1o índice indica a área onde a tensão atua. A área é representada por um vetor normal à superfície, neste caso An significa uma área A cuja direção é paralelo ao vetor n.
O 2º índice é a direção que a tensão atua. Na superfícia os índices podem ser ‘n’ ou ‘t’, ou x, y, z ou r, , z etc.
O livro texto diferencia tensão normal e de cisalhamento usando os simbolor e respectivamente. A notação indicial também diferencia tensão normal de cisalhamento; dois indices iguais tensão normal se não tensão cisalhamento.
Assim, n,n é uma tensão normal, que atua numa área cuja normal está na direção n e atua na direção é paralela do vetor n.
A n,t atua numa área cuja normal está na direção n e atua na direção paralela ao vetor t, como indica a figura.
n
t
0dAnt
n
n
0dAnn
dA
dFlim
dA
dFlim
n
n
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Componentes da força e da tensão sobre um elemento de área Ax
1o índice: a normal a área onde a tensão atua.
2o índice: a direção que a tensão atua
Tensão num ponto
possui 9 componentes:
3 normais e 6
tangenciais
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Em EM461 vamos trabalhar com uma
tensão cisalhamento e uma normal, a
pressão hidrostática (no cap. 3)
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Qual é a relação entre tensão e deformação para sólidos?
Robert Hooke (1635-1703) propôs uma relação linear entre tensão e deformação para sólidos:
2dG , G coef. Lamé (N/m )
dy
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Qual é a relação entre tensão e taxa de deformação para fluidos?
Por similaridade a derformação de sólidos, Newton (1687) propôs p/ fluidos que tensão é linearmente proporcional a taxa de deformação do fluido (1*)
Por que?
Fluidos que apresentam relação linear tensão-deformação são chamadospor fluidos Newtonianos (água, óleos, todos os gases).
Resta definir a taxa de deformação do fluido e a dimensão de !
(1*) veja pdf anexo “The Newtonian Fluid” José Franco e Pedro Amaral
d taxa deformação fator
relativa a um ponto proporcionalidadedt
O fluido se deforma continuamente, logo taxa dedeformação e não deformação, conceito dado na aula 1!
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i. t = 0, M e N alinhados e dl = 0,
ii. t = dt, M’ deslocou dl em relação M
iii. Deformação: = arcTan(l/y)
iv. Taxa Deformação: d/dt
Filme: deformação
Taxa de deformação
Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto possui natureza tensorial (consistência dimensional – aula 1); isto será visto em EM56.
Em EM461 será tratado deformações em uma única direção. Define a taxa de deformação para cisalhamento simples.
De modo complementar, como varia a no tempo o deslocamento M-M’ ou dl, em relação ao ponto N?
A taxa de deformação é um fenômeno local, ponto N. Considere duas lâminas deslocando com velocidade u e u+du espaçadas de dy.
y
u0+du
u0
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A taxa de deformação é du/dy e sua a dimensão é (1/seg)
u é a velocidade
relativa entre M e N
derivada arc tan
2t 0
d 1 d dtlim
dt dy1 y
0
A taxa de deformação:
2
d 1arctan x
dx 1 x
Derivada de arctan
y
u0+du
u0
Taxa de deformação do fluido
deformação d arctan d dy
taxa deformação = d dt 1 s
As placas paralelas possuem uma velocidade relativa du.
Para um instante t, a deformação entre N e M - M’ é :
; (dl/dy)2 <<1 por isso 1 + (dl/dy)2 = 1 p/ dy0
d du 1
dt dy s
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Viscosidade dinâmica (ou absoluta)
O coeficiente de proporcionalidade entre tensão e taxa de deformação é denominado por viscosidade dinâmica, . A viscosidade é um modelo, não é uma lei física.
A água, óleos, todos os gases e maioria dos líquidos seguem uma relação linear entre a tensão e a taxa de deformação por isso são denominados por fluidos Newtonianos.
A viscosidade µ é uma propriedade do fluido e tem natureza escalar.
A dimensão de sai da consistência dimensional: = .du/dy (aula 1)
yx(N/m2)
du/dy(1/s)
2
N.s kgPa.s
m m.s
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Outras definições de viscosidade e unidades
N.s/m2
kg/m.s
1 Poise = 0,1 kg/m.s
m2/s
1 Stokes = 0,000001 m2/s
viscosidade dinâmica
viscosidade cinemática
= /
Viscosidade dinâmica do ar, água e óleo
ar@20oC 0,02 cP
água @20oC 1 cP
óleo SAE 10W30 @20oC 100 cP
Filme: viscosidade
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Viscosidade dinâmica
para líquidos e gases
Unidades:
[N.s/m2] [Pa.s] [kg/(m.s)]
Observe que o aumento da temperatura faz a :
i. de líquidos diminuir –
efeito forte
ii. de gases aumentar –
efeito fraco
Porque é recomendado aquecer o motor
do carro antes de sair dirigindo o
automóvel, principalmente em dias
frios?
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Taxa deformação em cisalhamento simples
As situações problemas apresentadas nos exercícios propostos em EM461 são casos onde pode-se aproximar a situação real para o movimento de cisalhamento simples.
Isto implica que:1. du/dy é constante;
2. O perfil de velocidades é linear, u(y) = c1y+c2 ;
3. A condição de não-deslizamento é aplicada.
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O que é ‘condição não-deslizamento’ em superfície sólida
O fluido com interface numa fronteira sólida fica aderido ao sólido e possui a velocidade do sólido. Isto é a condição de não-deslizamento. veja filme .
Se a fronteira não se move o fluido adjacente a fronteira tem velocidade nula; se a fronteira se move com U0, o fluido adjacente tem velocidade U0.
Considere duas placas paralelas espaçadas h e deslizando em relação a outra com uma vel. relativa de U0. Os valores das velocidades nas paredes
0 0
0 0 0
0 0 0
(a) u y U h y 0 du dy U h
b u y U h y U 2 du dy U h
c u y U h y U du dy U h
Determine perfil velocidade e a taxa de deformação p/ (a), (b) e (c)
(a) (b) (c)
x
y
Caso Placa PlacaSup. Inf
(a) u(h)=U0 u(0)=0
(b) u(h)=U0/2 u(0)= -U0/2
(c) u(h)=0 u(0)= U0
h
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Taxa deformação em cisalhamento simplesOcorre quando a taxa de deformação, du/dy, é constante; o perfil de velocidade é linear: u(y) = c1y+c2 e a tensão é constante;
Casos (a), (b) e (c) tem duas placas espaçadas h e deslizando com velocidade U0 relativa entre sí.
A taxa de deformação é constante e igual a |du/dy| = U0/h; ela depende apenas do movimento relativo entre um ponto e outro;
São poucos os casos com du/dy constante, em geral du/dy varia com a distância da parede. Vamos ver isso no curso II.
(a) (b) (c)
x
yh
Na prática isto ocorre quando camadas planas de fluido deslizam uma sobre a outra, sem gradiente de pressão;
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Fórmula de Trabalho
2
du ,
dy = viscosidade dinâmica (N.s/m )
uso da condição de não-deslizamento
Fim da seção de conceitos
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Exemplo 1 - Viscosímetro de cilindros concêntricos com folga anular ‘a’ e altura ‘H’. Determine em função: das dimensões r, R, a e H; da aceleração g; da massa M; da frequencia de rotação do eixo, f (Hz), e da velocidade constante de queda da massa: Vm.
z
r
a
wR
R
r
Tensão que o sólido exerce no
fluido
Aproximação cisalhamento
puro: a/R << 1. Veja link fabricante:
Brookfield
Resposta:
2
3
m
M g r a
2 R V H
Confira se a expressão para
possui dimensão correta!
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Exemplo 2 –Obtenha uma expressão para o torque T entre os discos paralelos em função das dimensões: h e R; da viscosidade e da velocidade angular wem (rad/seg).
w
z
Tensão que o fluidoexerce no sólido
dA=rd.dr
Aproximação cisalhamento puro é válida quando não há escoamento radial ou que a aproximação abaixo seja válida:
2
R R dA h R hFcentrifuga h1
Fatrito RR h dA
w w
w
Resposta:4R
du dz r h e T2 h
deformação e tensão variam com r!
w w
Confira se a expressão para
T possui dimensão correta!
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Exemplo 3 - Considere o escoamento laminar de água a 15oC entre duas placas paralelas com o perfil de velocidades dado abaixo. Determine a força F (módulo e direção) exercida pelo fluido numa área A de 1 m2 na placa inferior.
Considere umax = 0,05 m/s e h = 1mm.
Propriedades -> Apêndice A, tab A8 =1,14E-03 Ns/m2 e =999 kg/m3.
O perfil de velocidades mostra que a velocidade varia com y, logo a tensão
também varia com y.
Para calcular a força na parede precisamos primeiro calcular a tensão na
parede!
maxyx
Resposta :
4. 1,14E 03 . 0,05 .14 u AF A 0,228 N (direita)
h 0,001
Esta é a força que o fluido exerce na parede. Igual e contrária é a força que a parede exerce no fluido.
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Exemplo 4 - Escoamento viscoso incompressível sobre uma placa plana semi-infinita, veja fig. ao lado. Determine:
i. Esboçe yx em função de y nas localizações x1 e x2 mostrada na fig. abaixo.
ii. Esboce yx ao longo da superfície da placa (y=0) como função de x.
x1 x2
Udu du , lembre que:
dy dy
w (x1) > w (x2) por que?
x1 x2
x
y
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Explique como uma lâmina de um patins interage com o gelo de forma a reduzir o atrito entre a lâmina e o gelo sólido
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Propriedade termodinâmica da água
P Líq.
P Solido
• O aumento da pressão faz a temperatura de fusão da água diminur possibilitando água líquida sob a lâmina.
• A lâmina do patins (2mm larga com 150mm de comprimento) possui uma área de 300mm2.
• Um patinador de 75kg pode exercer um acréscimo de pressão de 12 atm suficiente para liquefazer o gelo.
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O fenômeno de lubrificação
• Quando a pressão aumenta o gelo se
funde abaixo da lâmina formando um
filme de água.
• Este filme exerce o papel de um
lubrificante.
• A força viscosa exercida pelo filme
de líquido é muito menor que o atrito
dinâmico com a lâmina e o gelo
sólido
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Porque tensão e deformação são linearmente dependentes?
A relação = du/dy é um modelo (o mais simples!). Não há razão que na natureza os fluidos devam seguir este modelo.
Entretanto, os gases seguem este modelo;
Água, óleos em geral e uma grande maioria de líquidos podem ser bem representados por este modelo;
Mas há líquidos que não são representados: tintas, fluidos biológicos, emulsões em geral.
Por exemplo: assista ao filme: Veja no YouTube: A pool filled
with non-newtonian fluid
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Fluidos Newtonianos Generalizados pertencem a classe de fluidos não Newtonianos.
Possuem relação ‘mais’ geral entre tensão x deformação:• n – índice de comportamento do escoamento.• k – índice de consistência.
Fluidos Newtonianos Generalizados ou ‘power law fluids’
n < 1 fluido pseudo plástico
n > 1, fluido dilatante
n = 1, fluido newtoniano, k = m
Veja no YouTube: A pool filled with
non-newtonian fluid
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Fluidos Não-Newtonianos ou Não Lineares
Plástico Bingham – até atingir tensão limite é sólido, acima tem comportamento newton.
n < 1 fluido pseudo plástico – (mais frequentes) a taxa de crescimento da tensão diminui com o aumento da taxa de deformação.
n > 1, fluido dilatante – (raros) a taxa de crescimento da tensão aumenta com o aumento da taxa de deformação ( o fluido usado no filme do you tube é dilatante!) .
n = 1 fluido Newtoniano – a taxa de crescimento da tensão com a taxa deformação é constante.
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Viscosidade Aparente, h
É uma conveniência matemática ajustar à forma de modelos lineares.
Desmembrando a tensão em um termo linear e outro com potência (n-1):
A viscosidade aparente é h = k.(du/dy)(n-1) .
Note que ela não é mais propriedade do fluido mas depende do campo de velocidades!
Ela pode variar ponto a ponto dentro do campo do escoamento
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n < 1 fluido pseudo plástico –(mais frequentes) viscosidadeaparente diminui com o aumentoda taxa de deformação.
n > 1, fluido dilatante – (raros)viscosidade aparente aumentacom o aumento da taxa dedeformação.
n = 1 fluido Newtoniano –viscosidade aparente écoincidente com a viscosidadedinâmica.
Viscosidade Aparente, h
Com a viscosidade aparente fica mais fácil de visualizar:
• Pseudoplástico diminui viscosidade aparente com aumento taxa def.
• Dilatante aumenta viscosidade aparente com aumento taxa def.
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REOLOGIA
Fluidos comportamento Não-linear
tensão x deformação
Sólidos comportamento Não-linear
tensão x deformação
Materiais comportamento
Visco-elástico
Fluido Newtoniano Comportamento
Puramente Viscoso Linear
Mecânica dos Fluidos
Sólido Hookeano Comportamento
Puramente Elástico Linear
Mecânica dos Sólidos
du/dy
tan =
tan = G
Reologia
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Classificação da Mecânica dos Fluidos
mecânica fluidos meios contínuos
Sem viscosidade
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Visão Geral dos Cursos I e II
Gas Liquids Statics Dynamics
Air, He, Ar,
N2, etc.
Water, Oils,
Alcohols,
etc.
0 iF
Viscous/Inviscid
Steady/Unsteady
Compressible/
Incompressible
0 iF
Laminar/
Turbulent
, Flows
Compressibility ViscosityVapor
Pressure
Density
PressureBuoyancy
Stability
Chapter 1: Introduction Chapter 2: Fluid StaticsFluid Dynamics:
Rest of Course
Surface
Tension
FluidMechanics
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Classificação dos Escoamentos
Interno ou externo
Regime laminar ou turbulento
Com viscosidade ou sem viscosidade
Visão geral dos cursos EM461 e EM 561
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Escoamento externo x interno
Escoamentos externos não são
confinados por paredes .
Escoamentos internos possuem
fronteiras que limitam ou restrin-
gem o campo de escoamento
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Escoamento laminar x turbulento
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Escoamento com e sem viscosidade
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O que foi apresentado nos caps. 1 e 2?
1) Definição de Fluido
2) Dimensões e Unidades
3) O Fluido como um Contínuo
4) Campo de Velocidade
5) Campo de Tensão
6) Viscosidade
7) Tensão Superficial
Os tópicos acima correspondem ao “Fluido e propriedades”, nas próximas aulas vamos começar aplicar o termo “Mecânica” introduzindo a conservação da massa, 2ª lei de Newton e Energia .
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FIM DO CONTEÚDO
A seguir exercícios de fixação para fazer em casa.
Exercício p/ fazer em casa
Os exercícios selecionados contém os conceitos
desenvolvidos nos exercícios resolvidos em sala
de aula. O aluno deve fazer estes exercícios para
checar e fixar os conceitos.
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Exercício 1 -Transmissão de cilindros concêntricos com folga anular ‘d’ e raio interno R. Determine se a Pot = 5W dadas as rotações.
0.5mm
w1R
R=10mm
Respostas:
w2R+)
w2=9000rpmw1=10000rpm
1 2 2R R RduTaxa
1 def dy
w w w w
:
.
w 2du
2 Tensão: Rdy
w w
w 23 Torque T 2 RL R R 2 RL R w w :
2 2 2Potencia
4 : P T R 2 RL Rtransmitida
w w w w .
Exercício p/ fazer em casa
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Exercício 2 – Viscosímetro cone e placa possui tensão
constante em z e r. O ângulo < 0,5 grau. Deduza uma expressão
para a taxa de deformação e expresse o torque em função de , w
e R.
wr
h = r.tan ~r z
3
R2Ttorque
3
wResposta:
Note que a taxa de deformação e a tensão são constantes em todo
espaço entre os discos. Esta configuração é a mais usada em
viscosímetros.
r rtaxa du
def . dz h r
w w w
Exercício p/ fazer em casa
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Exercício 3 – Os dados foram medidos num viscosímetro. Identifique:
i) que tipo de fluido não-Newtoniano é;
ii) os coeficientes k e n.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
100 300 500 700 900 1100
taxa deformação (1/s)
mi
(N.s
/m2)
dilatante
y = 0.2068x - 3.1024
R2 = 0.9925
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
ln(taxa deformação)
ln(m
i a
pa
ren
te)
du
Ln Ln k n 1 Lndy
h
k=0.045 & n=1.21
vel (rpm) 10 20 30 40 50 60 70 80
neta (N.s/m2) 0.121 0.139 0.153 0.159 0.172 0.172 0.183 0.185
def (1/s) 120 240 360 480 600 720 840 960
ln(neta) -2.11 -1.97 -1.88 -1.84 -1.76 -1.76 -1.70 -1.69
ln(du/dy) 4.79 5.48 5.89 6.17 6.40 6.58 6.73 6.87
Exercício p/ fazer em casa
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Desafio 1 – Um bloco de massa M desliza sobre um filme de óleo de espessura h. Cada face do bloco possui área A.i. Desenvolva uma expressão para a força viscosa no bloco.ii. Encontre a velocidade V(t) em função do tempo
t
Resposta :
M m hmV g 1 e
M m A
Confira se as expressões para V e possuem
dimensões de m/s e s!
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Desafio 2 – Determine como Vm varia no tempo se a massa M parte do repouso e começa acelerar. O valor de é dado. Considere nos cálculos o momento de inércia do cilindro Iz1 = ½.M1.R
2 sendo M1 a massa do cilindro, despreze massa da polia c/ raio = r
2
2 21
2 R HR
a rt
m2 R H M R
R2ra r
M g rResposta : V V 1 e onde V e
M r
• Mostre que balanço torques p/ o cil. é:
2 2M1 cabo M
V1 d RM R r F 2 R H; e V r
2 dt a r
w w
z
r
Polia
pequena
MdV dt forças externas & Id dt torques externos w
M
cabo
dVM Mg F
dt
• e o balanço das forças para massa M:
221
2 R HM R m Rm2r a r
dVMr Mgr V
dt
• Encontre a EDO usando Vm , M1, M, g, a e :
Exercício p/ fazer em casa
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Exercícios recomendados – aula #3
Search on the web what is boundary layer flow.
(1) (2)
(3)
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
(4)
29. C. L. Yaws, Handbook of Viscosity, 3 vols., Elsevier
Science and Technology, New York, 1994.
49. R. L. Mott, Applied Fluid Mechanics, Pearson Prentice-
Hall, Upper Saddle River, NJ, 2006.
(5)
(6)
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
F I M