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Mecânica dos Fluidos Computacional
Aula 3
Leandro Franco de Souza
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 1/22
Fluido Perfeito
⇒ Duas camadas em contato (fluido-fluido / fluido-estrutura)não apresentam forças tangenciais (tensão decisalhamento), somente forças normais (pressão);
⇒ Teoria que descreve este tipo de movimento está bemdesenvolvida e em alguns casos pode retornar bonsresultados como por exemplo o movimento de ondas desuperfície e a formação de jatos líquidos no ar;
⇒ Por outro lado, com esta teoria é impossível prever asforças de arrasto de um corpo;
⇒ Paradoxo de Alembert: um corpo que se movimenta em umfluido, o qual se extende até o infinito, não apresenta forçade arrasto;
⇒ a existência de forças tangenciais e a condição de nãodeslizamento em superfícies sólidas constituem asprincipais diferenças entre um fluido real e um perfeito.
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Valores de constantes de fluidos
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
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Comparacao de fluidos perfeitos e reais
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
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Comparacao de fluidos perfeitos e reais
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 5/22
Camada Limite
⇒ Condição de não deslizamento;⇒ Forças de fricção aderem o fluido em uma camada fina
próximo a um corpo sólido;⇒ Nesta camada fina a velocidade do fluido cresce de u = 0,
na superfície do corpo sólido, para o valor da velocidadeu = U∞ fora desta camada, sem influência da fricção;
⇒ a espessura desta fina camada (camada limite) cresce nadireção do escoamento.
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
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Camada Limite
Tensão de cisalhamento
⇒ Mesmo quando estudamos fluidos de baixa viscosidade(alto número de Reynolds) a tensão de cisalhamento:
τ = µ∂u
∂y
não pode ser desconsiderada devido ao alto gradiente develocidade na direção normal à parede;
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Separacao da Camada Limite
⇒ As partículas desaceleradas não ficam, em todos osescoamentos, na camada limite, pode ocorrer que acamada limite cresça bastante e o escoamento na camadalimite se torna reverso;
⇒ Este fenômeno é sempre associado à formação de vórticese culmina em grande perda de energia na esteira do corpo;
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Separacao e formacao de vortices
⇒⇒ Aceleração de partículas e diminuição da pressão entre D eE;
⇒ Desaceleração de partículas e aumento da pressão entre Ee F;
⇒ De E até F tem gradiente de pressão adverso que leva ofluido à separação;
O ponto S indica onde está ocorrendo a separação.
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
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Separacao da camada limite
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
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Separacao do escoamento em um canal divergente
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
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Separacao em um automovel
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
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Separacao em um perfil aerodinamico
Livro Schlichting - Boundary Layer Theory
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Equacoes de Navier-Stokes
ρDu
Dt= X −
∂p
∂x+
(
∂τxx
∂x+∂τxy
∂y+∂τxz
∂z
)
,
ρDv
Dt= Y −
∂p
∂y+
(
∂τxy
∂x+∂τyy
∂y+∂τyz
∂z
)
,
ρDw
Dt= Z −
∂p
∂z+
(
∂τxz
∂x+∂τyz
∂y+∂τzz
∂z
)
,
∂ρ
∂t+∂ρu
∂x+∂ρv
∂y+∂ρw
∂z= 0.
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Equacoes de Navier-Stokes
ρDu
Dt= X−
∂p
∂x+
∂
∂x
»
µ
„
2∂u
∂x−
2
3∇.u
«–
+∂
∂y
»
µ
„
∂u
∂y+
∂v
∂x
«–
+∂
∂z
»
µ
„
∂w
∂x+
∂u
∂z
«–
,
ρDv
Dt= Y −
∂p
∂y+
∂
∂x
»
µ
„
∂u
∂y+
∂v
∂x
«–
+∂
∂y
»
µ
„
2∂v
∂y−
2
3∇.u
«–
+∂
∂z
»
µ
„
∂w
∂y+
∂v
∂z
«–
,
ρDw
Dt= Z−
∂p
∂z+
∂
∂x
»
µ
„
∂w
∂x+
∂u
∂z
«–
+∂
∂y
»
µ
„
∂v
∂z+
∂w
∂y
«–
+∂
∂z
»
µ
„
2∂w
∂z−
2
3∇.u
«–
,
∂ρ
∂t+
∂ρu
∂x+
∂ρv
∂y+
∂ρw
∂z= 0.
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Eq. Navier-Stokes para escoamento Incompressıvel
ρDu
Dt= X −
∂p
∂x+ µ
(
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
)
,
ρDv
Dt= Y −
∂p
∂y+ µ
(
∂2v
∂x2+∂2v
∂y2+∂2v
∂z2
)
,
ρDw
Dt= Z −
∂p
∂z+ µ
(
∂2w
∂x2+∂2w
∂y2+∂2w
∂z2
)
,
∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z= 0.
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Eq. Navier-Stokes para escoamento Incompressıvel
ADIMENSIONALIZADAS
Du
Dt= −
∂p
∂x+
1
Re
(
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2
)
,
Dv
Dt= −
∂p
∂y+
1
Re
(
∂2v
∂x2+∂2v
∂y2+∂2v
∂z2
)
,
Dw
Dt= −
∂p
∂z+
1
Re
(
∂2w
∂x2+∂2w
∂y2+∂2w
∂z2
)
,
∂u
∂x+∂v
∂y+∂w
∂z= 0.
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Eq. Navier-Stokes para escoamento bi-dimensional
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −
∂p
∂x+
1
Re
(
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
,
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y= −
∂p
∂y+
1
Re
(
∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)
,
∂u
∂x+∂v
∂y= 0.
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Eq. Navier-Stokes para camada limite
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −
∂p
∂x+
1
Re
∂2u
∂y2,
∂u
∂x+∂v
∂y= 0.
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Eq. Navier-Stokes para camada limite em placa plana
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= ν
∂2u
∂y2,
∂u
∂x+∂v
∂y= 0.
Introduzindo a coordenada adimensional:
η = y
√
U∞
νx,
e a função de corrente:
ψ =√
νxU∞f(η)
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Eq. Navier-Stokes para camada limite em placa plana
sabendo que:
u =∂ψ
∂ye v = −
∂ψ
∂x,
podemos escrever:
u = U∞f′(η) e v =
1
2
√
νU∞
x
(
ηf ′(η) − f(η))
substituindo pode-se obter:
ff ′′ + 2f ′′′ = 0
que é conhecida como equação de Blasius.
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 21/22
Trabalho 2
Resolver a equação de Blasius utilizando um métodoRunge-Kutta de 4a ordem de precisão, utilizando comocondições iniciais:
η = 0 → f = 0; f ′ = 0 e f ′′ = 0.33206
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 22/22
