A Derivada e a Inclinação de um Gráfico

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

A Derivada e a Inclinação de um Gráfico

1.Tangente a um gráfico

2.Inclinação de um gráfico

3.Inclinação e o processo de limite

4.A derivada de uma função

5.Diferenciabilidade e continuidade

3

1. Tangente a um gráfico

O Cálculo é o ramo da matemática queestuda as taxas de variação de funções. Na funçãode 1o grau, sabemos que o coeficiente angular deuma reta indica a taxa à qual a reta sobe ou desce.Para uma reta, esta taxa é a mesma em todos osseus pontos. Para outros gráficos, que não retas, ataxa à qual o gráfico sobe ou desce pode variar deponto para ponto.

4

1. Tangente a um gráfico

Por exemplo, na figura abaixo, a parábolasobe mais rapidamente no ponto (x1, y1) do que noponto (x2, y2). No vértice (x3, y3), o gráfico deixade subir ou descer, e no ponto (x4, y4), o gráficoestá descendo.

5

1. Tangente a um gráfico

Para determinar a taxa à qual um gráficosobe ou desce em um ponto determinado, podemosachar o coeficiente angular da tangente no ponto.Em termos simples, a tangente ao gráfico de umafunção f em um ponto P (x, y) é a reta que melhoraproxima o gráfico naquele ponto, conformemostra a figura do slide anterior.

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1. Tangente a um gráfico

A figura abaixo ilustra outros exemplos detangentes.

7

1. Tangente a um gráfico

Quando Isaac Newton (1642-1727) estavatrabalhando no “problema da tangente”, constatouquão difícil era definir com precisão o que significatangente a uma curva genérica. Pela geometria,sabemos que uma reta é tangente a um círculo se ointercepta em apenas um ponto, conforme a figuraabaixo.

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1. Tangente a um gráfico

As tangentes a gráficos não-circulares,entretanto, podem interceptar o gráfico em maisde um ponto. Assim é que, no gráfico da figuraabaixo, se prolongarmos a tangente ela iráinterceptar o gráfico em outro ponto distinto doponto de tangência. Veremos como a noção delimite pode ser usada para definir uma tangentegenérica.

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2. Inclinação de um gráfico

Como a tangente é a aproximação linear dográfico em um ponto, o problema da determinaçãoda inclinação de um gráfico se reduz ao de achar ocoeficiente angular da tangente naquele ponto.

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2. Inclinação de um gráfico

Exemplo 1: Utilizando o gráfico abaixo, obtenhauma aproximação da inclinação do gráfico def(x) = x2 no ponto (1, 1).

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2. Inclinação de um gráfico

Pelo gráfico de f(x) = x2,vemos que a tangente em (1, 1)sobe aproximadamente duasunidades para cada unidade devariação em x. Assim, o coefi-ciente angular da tangente em(1, 1) é dado por

variação de y 22

variação de x 1= =

12

2. Inclinação de um gráfico

Como a tangente no ponto(1, 1) tem inclinação 2 aproxima-damente, podemos concluir que ográfico tem essa mesma inclina-ção em (1, 1)

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2. Inclinação de um gráfico

Exemplo 2: A figura abaixo ilustra a temperaturadiária (em graus Fahrenheit) em Duluth,Minnesota. Estime a inclinação deste gráfico noponto indicado e interprete fisicamente oresultado.

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2. Inclinação de um gráfico

Pelo gráfico podemosver que a tangente no pontodado cai aproximadamente 27unidades para cada duasunidades de variação de x.Podemos, assim, estimar ainclinação no ponto dadocomo

variação de y 2713,5 graus/mês.

variação de x 2−= = −

Isto siginifica que podemos esperar, em novembro,temperaturas diárias médias mais baixas do que astemperaturas correspondentes em outubro.

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3. Inclinação e o processo delimite

Nos exemplos anteriores aproximamos ainclinação de um gráfico em um ponto fazendo umesboço cuidadoso e traçando “a olho” a tangente noponto de tangência.

Um método mais preciso de obteraproximação de tangentes consiste em fazer usoda reta secante pelo ponto de tangência e por umsegundo ponto do gráfico, conforme a figura aseguir.

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3. Inclinação e o processo delimite

Se (x, f(x)) é o ponto de tangência e(x + ∆x, f(x + ∆x)) é um segundo ponto do gráficode f, então o coeficiente angular da secante pelosdois pontos é

sec

( ) ( ) Coef. ang. da secante

f x x f x ym

x x+ ∆ − ∆= =

∆ ∆

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3. Inclinação e o processo delimite

O membro direito desta equação é chamadoquociente de diferenças. O denominador ∆x é avariação de x, e o numerador é a variação de y.Obteremos aproximações cada vez melhores docoeficiente angular da tangente, escolhendo osegundo ponto cada vez mais próximo do ponto detangência. Observe a sequência de imagens aseguir.

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3. Inclinação e o processo delimite

Utilizando oprocesso de limite,podemos achar ocoeficiente angularexato da tangente em(x, f(x)).

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3. Inclinação e o processo delimite

Nota: ∆x é usada como variável pararepresentar a variação em x na definição docoeficiente angular de um gráfico. Podem serusadas também outras variáveis. Assim é que estadefinição se escreve às vezes como:

sec0 0

( ) ( )lim limx x

f x x f xm m

x∆ → ∆ →

+ ∆ −= =∆

20

3. Inclinação e o processo delimite

Definição da inclinação de um gráfico:

A inclinação m do gráfico de f no ponto(x, f(x)) é igual ao coeficiente angular da tangenteem (x, f(x)) e é dado por

desde que o limite exista.

sec0 0

( ) ( )lim limx x

f x x f xm m

x∆ → ∆ →

+ ∆ −= =∆

21

3. Inclinação e o processo delimite

Exemplo 3: Determine a inclinação do gráfico def(x) = x2 no ponto (-2, 4).

Comecemos achando uma expressão querepresente o coeficiente angular de uma secanteno ponto (-2, 4).

22

3. Inclinação e o processo delimite

sec

2 22

( 2 ) ( 2) Estabelecer o quociente de diferenças

( 2 ) ( 2) Fazer ( )

4

f x fm

xx

f x xx

− + ∆ − −=∆

− + ∆ − −= =∆

=24 ( ) 4x x− ∆ + ∆ −

2

Desenvolver

4 ( ) Simplificar

xx x

x

x

∆− ∆ + ∆=

∆∆= ( 4 )x

x

− + ∆∆

Fatorar e cancelar

4 , x 0 Simplificarx= − + ∆ ∆ ≠

23

3. Inclinação e o processo delimite

Em seguida, tomemos o limite de msec quando∆x → 0.

Assim, o gráfico de f tem inclinação -4 noponto (-2, 4), conforme mostra a figura a seguir.

sec0 0lim lim ( 4 ) 4x x

m m x∆ → ∆ →

= = − + ∆ = −

24

3. Inclinação e o processo delimite

25

3. Inclinação e o processo delimite

Exemplo 4: Ache a inclinação do gráfico def(x) = -2x + 4.

Pelo estudo das funções lineares, sabemosque a reta dada por f(x) = -2x + 4 tem coeficienteangular -2, conforme a figura a seguir. Estaconclusão é consistente com a definição deinclinação como limite.

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3. Inclinação e o processo delimite

0 0

0

( ) ( ) [ 2( ) 4] [ 2 4]lim lim

2lim

x x

x

f x x f x x x xm

x x

x

∆ → ∆ →

∆ →

+ ∆ − − + ∆ + − − += =∆ ∆

−= 2 4x− ∆ + 2x+ 4−0

2limx

xx ∆ →

− ∆=∆ x∆

2= −

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3. Inclinação e o processo delimite

É importante distinguir entre as maneirascomo foram estabelecidos os quocientes dediferenças nos Exemplos 3 e 4. No Exemplo 3,determinamos a inclinação de um gráfico em umponto específico (c, f(c)). Para achar a inclinação,podemos utilizar a seguinte forma de um quocientede diferenças.

0

( ) ( )lim Inclinação em um ponto x

f c x f cm

x∆ →

+ ∆ −=∆

28

3. Inclinação e o processo delimite

Já no Exemplo 4, obtivemos uma fórmulapara a inclinação em um ponto arbitrário dográfico. Em tais casos, devemos utilizar x, e não c,no quociente de diferenças.

Com exceção das funções lineares, estaforma sempre produz uma função de x, que podeentão ser calculada para se determinar a inclinaçãoem qualquer ponto que queiramos.

0

( ) ( )lim Fórmula para a inclinação x

f x x f xm

x∆ →

+ ∆ −=∆

29

3. Inclinação e o processo delimite

Exemplo 5: Determine uma fórmula para ainclinação do gráfico de f(x) = x2 + 1. Qual é ainclinação nos pontos (-1, 2) e (2, 5)?

sec

2 22

2

( ) ( ) Estabelecer o quociente de diferenças

[( ) 1] [ 1] Fazer ( ) 1

f x x f xm

xx x x

f x xx

x

+ ∆ −=∆

+ ∆ + − += = +∆

=22 ( ) 1x x x+ ∆ + ∆ + 2x− 1−

2

Desenvolver

2 ( ) Simplificar

xx x x

x

x

∆∆ + ∆=

∆∆= (2 )x x

x

+ ∆∆

Fatorar e cancelar

2 , x 0 Simplificarx x= + ∆ ∆ ≠

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3. Inclinação e o processo delimite

Em seguida, tomemos o limite de msec quando∆x → 0.

Aplicando a fórmula m = 2x, podemos achara inclinação em pontos específicos. Em (-1, 2) ém = 2(-1) = -2, e em (2, 5), é m = 2(2) = 4. A figuraa seguir mostra o gráfico de f.

sec0 0lim lim (2 ) 2x x

m m x x x∆ → ∆ →

= = + ∆ =

31

3. Inclinação e o processo delimite

32

4. A derivada de uma função

No exemplo 5, partimos da funçãof(x) = x2 + 1 e utilizamos o processo de limite paradeduzir outra função m = 2x, que representa ainclinação do gráfico de f no ponto (x, f(x)). Estafunção é chamada a derivada de f em x.Representa-se por f’ ’(x) e se lê “f linha de x”.

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4. A derivada de uma função

Definição da derivada:

A derivada de f em x é dada por

desde que o limite exista. Uma função édiferenciável em x se sua derivada existe em x. Oprocesso de cálculo de derivadas é chamadodiferenciação.

'

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x∆ →

+ ∆ −=∆

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4. A derivada de uma função

Nota: A notação dy/dx se lê “derivada de y emrelação a x” e, utilizando a notação de limite,podemos escrever

Além de f’(x), podem ser utilizadas outrasnotações para a derivada de y = f(x). As maiscomuns são

'

0 0

( ) ( )lim lim ( ).x x

dy y f x x f xf x

dx x x∆ → ∆ →

∆ + ∆ −= = =∆ ∆

[ ] [ ]', , ( ) , x

dy dy f x e D y

dx dx

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4. A derivada de uma função

Exemplo 6: Ache a derivada de f(x) = 3x2 – 2x.'

0

2 2

0

2

0

( ) ( )( ) lim

[3( ) 2( )] [3 2 ] lim

3 lim

x

x

x

f x x f xf x

xx x x x x x

x

x

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ −=∆

+ ∆ − + ∆ − −=∆

=26 3( ) 2x x x x+ ∆ + ∆ − 22 3x x− ∆ − 2x+

2

0

0

6 3( ) 2 lim

lim

x

x

xx x x x

x

x

∆ →

∆ →

∆∆ + ∆ − ∆=

∆∆= (6 3 2)x x

x

+ ∆ −∆

0 lim (6 3 2)

6 2x

x x

x∆ →

= + ∆ −

= −

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4. A derivada de uma função

Assim, a derivada de f(x) = 3x2 – 2x éf ’(x) = 6x – 2.

Em muitas aplicações, é convenienteutilizarmos outro símbolo que não x como variávelindependente. O Exemplo 7 mostra uma função emque t é a variável independente.

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4. A derivada de uma função

Exemplo 7: Ache a derivada de y em relação a t

para a função .

0 0 0

0

2 2( )2 2( ) ( ) ( )lim lim lim

2

lim

t t t

t

t t tdy f t t f t t t tt t tdt t t t

t

∆ → ∆ → ∆ →

∆ →

− + ∆−+ ∆ − + ∆+ ∆= = =

∆ ∆ ∆

=

2t−

0

2 2( ) lim

t

t tt t t

t ∆ →

− ∆ − ∆+ ∆ =∆

( )t t tt

+ ∆∆ 20

2 2lim

( )t t t t t∆ →

−= = −+ ∆

2y

t=

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4. A derivada de uma função

A derivada de uma função dá uma fórmulapara achar o coeficiente angular da tangente emqualquer ponto do gráfico da função. Por exemplo,o coeficiente angular da tangente ao gráfico de fno ponto (1, 2) é dado por

'2

2(1) 2

(1)f = − = −

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5. Diferenciabilidade e conti-nuidade

Nem toda função é diferenciável. A figura aseguir mostra algumas situações usuais em que umafunção não é diferenciável em um ponto –tangentes verticais, descontinuidades e reversõesbruscas. As funções apresentadas no gráfico sãodiferenciáveis para todos os valores de x excetoem x = 0.

40

5. Diferenciabilidade e conti-nuidade

41

5. Diferenciabilidade e conti-nuidade

Pela figura anterior, podemos ver que acontinuidade não é uma condição suficientementeforte para garantir a diferenciabilidade. Todas asfunções exibidas – exceto uma – são contínuas em(0, 0), mas nenhuma é diferenciável ali. Por outrolado, se uma função é diferenciável em um ponto,então ela é contínua aí. Este importante resultadoestá englobado no teorema seguinte.

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5. Diferenciabilidade e conti-nuidade

A diferenciabilidade implica continuidade

Se uma função é diferenciável em x = c,então ela é contínua em x = c.