Aula 23 Integrais Triplas. Integral Tripla Seja definida em uma caixa retangular.
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Integral Tripla
Seja definida em uma caixa retangular
( , , )f x y z
Caixa Retangular
Integral Tripla
Definição: A integral tripla de sobre a caixa é
se o limite existir.
fB
Região do Tipo 1
Região do Tipo 1
E e D como Região do Tipo 1
E e D como Região Tipo 1
E como região do Tipo 1 e D como região do Tipo 2
E como região do Tipo 1 e D como região do Tipo 2
Exemplo 1
Calcule onde é o tetraedro
do sólido delimitado pelos quatro planos
,E
z dV
0, 0, 0 e 1.x y z x y z
E
Exemplo 1
Exemplo 1
Exemplo 1
Região do Tipo II
Região do Tipo II
Região do Tipo III
Região do Tipo III
Exemplo 2
Calcule onde é a
região limitada pelo parabolóide
e pelo plano
2 2 ,E
x z dV2 2y x z
4.y
E
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
É extremamente difícil calculá-la.
Exemplo 2
Exemplo 2
e
Aplicações da Integral Tripla
Exemplo 1
Utilize uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos
T
2 2, 2 , 0 e 0.x y z x y x z
Exemplo 1
Exemplo 1
2 2
ou 12
x y
xy
Exemplo 1
Outras Aplicações
Todas as aplicações de integrais duplas podem imediatamente estendidas para as integrais triplas.
Massa e Momentos
onde ( , , ) é a função densidade
em unidades de massa por unidade de volume.
x y z
Centro de massa
onde
Centróide e Momentos de Inércia
Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centróide de
Os momentos de inércia são dados por:
.E
Carga Elétrica Total
onde ( , , ) é a densidade de carga.x y z
Exemplo 2
Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
2x y, 0 e 1.x z z x
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
(por causa da simetria de
em relação ao plano portanto
eE
,xz 0.)y
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
Portanto, o centro de massa é