Aula 17: 24/05/2012

Movimento de Partículas Movimento de Partículas em Fluidos em Fluidos

- Balanço de forças em uma partícula

- Velocidade terminal

- Reynolds da Partícula- Coeficiente de arraste (Cd)

TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS ITA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I

- Lei de Stokes

MOVIMENTO DE PARTÍCULAS EM FLUIDOS

Não é uma operação unitária, é um conceito físico que será utilizado em várias operações unitárias de transferência de quantidade de movimento, como:

• Fluidização

• Transporte de sólidos em leito de fluido

• Sedimentação simples

• Centrifugação

• etc.

As partículas ao cair no seio de um fluido, sob ação de uma força constante, por exemplo a força da gravidade, sofrem aceleração durante um período de tempo muito curto e depois disso se movem à uma velocidade constante.

Velocidade Terminal: definição

aceleração

Velocidade constante (terminal)

Essa máxima velocidade que as partículas podem alcançar é chamada de velocidade terminal, e depende da densidade, tamanho e forma da partícula, além das propriedades do fluido e do campo.

Que forças agem sobre uma partícula sólida em movimento em um fluido (líquido ou gás)?

eacpr FFFamF resultante

gVgVamF pfdeslocadoffdeslocadofe

gVamF pppc .

Força de campo gravitacional:

Força de empuxo:

Força de arraste (atrito):

Força resultante

2)(2

1Rdcfa vCAF

As forças de campo, de empuxo e de arraste

Rpf vvv )(

Fe

Fc

FaResistência

Movimento da partícula

partículadavolume

partículadadensidade

partículadarelativavelocidade

arrastedeecoeficient

partículadatica"caracterís"área

fluidododensidade

nalgravitacioaceleração

aceleração

p

p

R

d

c

f

p

V

v

C

A

g

a

partículadamassam

)()(21)( 2. gVvCAgVam pfRdcfppresultp

[1]

eacp FFFam resultante

Abaixo, encontram-se possibilidades para a velocidade relativa de uma partícula em uma corrente de fluido sob ação de um campo gravitacional:

vp = 0

fp

vf = 0

Velocidade da partícula (+)

Velocidade do fluido (+)g

vp = velocidade partícula

vf = velocidade do fluido +

pfpfpfR vvvvvvv )(

pfpfpfR vvvvvvv )(

pfpfR vvvvv

fpfR vvvv

pppfR vvvvv )(

-

vp = 0

vf = 0

+ -

(a) (b) (c) (d) (e)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do balanço de forças [1], tem-se:

0. resultaComo não há aceleração da partícula, tem-se:

gVvCA pfpRdcf )()(210 2

dcf

pfpR CA

gVv

)(2

Rearranjando tem-se:

Como calcular Vp, Ac e Cd?

[2]

[1] )()(21)( 2. gVvCAgVam pfRdcfppresultp

A área característica é a área projetada. Quando a partícula é esférica, tem-se:

2

4 pc dA

3)(6 pdVp

Calculo de Vp e Ac:

Área projetada

Partícula esférica

Área projetada de uma esfera

Volume de uma esfera

Para partículas não esféricas, usar o diâmetro equivalente (deq) definido na “aula de sólidos particulados”.

[3]

[4]

3*6

.

esféricanãopartículaVdeq

Fluxo de fluido

esféricanãopartículaÁrea

deq 2.

E o valor de Cd?

Substituindo [3] e [4] em [2] tem-se:

fd

fppR C

gdv

3

)(4 [5]

p

CdRe

24

p

CdRe

10

44,0Cd

4,0Re p

500Re4,0 p

510 x 2Re 500 p

O coeficiente de arraste (Cd) é função do número de Reynolds da Partícula:

Regime Laminar(Eq. de Stokes)

Regime Intermediário

Regime Turbulento(Eq. Newton)

f

fRpp

vd

Re(Re)fCd , onde

Regime AltaTurbulência

2,0Cd510 x 2Re p

[6]

0.1

1

10

100

1000

0.1 1 10 102 103 104 105 106 107

2

)(2

Rfc

pfpd vA

gVC

Região camadaquase laminar

Região camada turbulenta

Região alta turbulência

Re

10Cd 44,0Cd 2,0Cd

Regime laminarLei de Stokes

Gráfico do Coeficiente de Atrito

Reynolds da Partícula

pdC Re

24

Ao aumentar a velocidade relativa (vR), as linhas de corrente começam a oscilar na parte de trás da esfera.

A pressão na parte frontal aumenta e ocorre um atrito adicional devido as oscilações.

Quando o Re atinge valores altos ocorre uma separação de camada de fluido, no início laminar depois turbulenta

Video sobre escoamento laminar:http://www.youtube.com/watch?v=rbMx2NMqyuI&feature=relmfu

Vídeo sobre escoamento turbulento: http://www.youtube.com/watch?v=7KKFtgx2anY&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=LvVuuaqCC7A&feature=related

p

CdRe

24No regime laminar tem-se:

f

fppR

gdv

)(

18

12

Lei de Stokes

Substituindo Rep [6] em Cd laminar e usando [5]

fd

fppR C

gdv

3

)(4 [5]

f

fRpp

vd

Re [6]

Equação fundamental do movimento de partículas em fluidos.

Se obtém:

De forma análoga para os outros regimes tem-se:

f

fppR

gdv

)(

.18

12

pff

fpR dgv

31

22)(

225

4

21

)(1,3

p

f

fpR dgv

4,0Re p

500Re4,0 p

5105,2Re500 xp

p

CdRe

24

p

CdRe

10

44,0Cd

Regime laminar

Regime de transição

Regime turbulento sem oscilações

Mas como saber o regime se Rep depende de vr?

Abordagens para o cálculo de vr:

Método 1

Método 2

As equações [5] e [6] podem ser utilizadas para calcular vR por tentativa e erro.

f

fRpp

vd

Re

Processo de cálculo com laço de interação:

dC

Se propõe um valor de vR

Gráfico

O laço de interação continua até que o valor da velocidade calculada seja igual (próximo) ao valor da velocidade proposta.

Método 1

vR

Comparar valores. Propor novo valor

ou aceitar o valor de vR calculado

fd

fppR C

gdv

3

)(4

Início

[6]

[5]

Define-se o número adimensional de Arquimedes

Cd Rep2

2

32

3

)(4Re

f

fpfppd

gdC

Método 2

f

fRpp

vd

Re

GráficoCd Rep2 versus Rep

Isola-se vr de [6] e substitui-se em [5].

vr

f

fRpp

vd

Re

2Re pdC

Esfer

icid

ade

2Re pdC

Esf

eric

idad

e

Exemplo:

(1) Para o sistema onde um fluido tem um fluxo ascendente e uma partícula sólida descende, utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa. Trata-se de um grão de soja cujas características são:

dp = 0,006m; p = 0,98; p = 1190 kg/m3

f = 1,2 kg/m3

μf = 1,7.10-5 kg/m.s

O fluido é ar a 20ºC:

Método 1

vr (m/s) Cd (gráfico) dp= 0,006 mChute inicial 2,00 838,55 0,50 12,40 pf = 1,2 kg/m3

12,40 5199,24 0,40 13,86 uf = 1,70E-05 kg/m.s13,86 5812,93 0,40 13,86 g = 9,8 m/s2

pp= 1190 kg/m3

Velocidade relativa de 13,86m/s

f

fRpp

vd

Re

fd

fppR C

gdv

3

)(4

0.1

1

10

100

1000

0.1 1 10 102 103 104 105 106 107

2

)(2

Rfc

pfpd vA

gVC

Região camadaquase laminar

Região camada turbulenta

Região alta turbulência

Re

10Cd 44,0Cd 2,0Cd

Regime laminarLei de Stokes

Gráfico do Coeficiente de Atrito

Reynolds da Partícula

pdC Re

24

Re Cd (gráfico)

838,55 0,505199,24 0,405812,93 0,40

0.5

f

fRpp

vd

Re

2Re pdC

1,35.10^7

6,00.103

Método 2

2Re pdC

vr=14,3m/s

2

32

3

)(4Re

f

fpfppd

gdC

(2) Calcule a velocidade relativa de partículas de pó com 60 m e 10 m de diâmetro, em ar a 21oC e 100 kPa de pressão. Se assume que as partículas são esféricas, com densidade de 1280kg/m3, que o ar tem uma viscosidade de 1,8.10-5 N.s/m2 e uma densidade de 1,2 kg/m3. Assuma regime laminar para iniciar os cálculos.

Para a partícula de 60 m:  vR = (60 10-6)2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,139 m s-1

18 (1,8 10-5)

f

fppR

gdv

)(

.18

12

f

fRpp

vd

Re

Regime Laminar

pff

fpR dgv

31

22)(

225

4

Regime Transição

Verificando o Re para a partícula de 60 m:Re = (60 10-6) 0,14 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,556 (Transição)

Recalculando para regime transição: vR = 0,303 m s-1 ; Re = 1,212 (confirmado regime de transição).

Para a partícula de 10m:

  vR = (10 10-6)2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,00387 m s-1

18 (1,8 10-5)

Verificando o Re para a partícula de 10 m:

Re = (10 10-6) 0,00387 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,0026 (Laminar)