AULA 12 FUNÃiES TRIGONOM+TRICAS.pdf

1

AULA 12 - TRIGONOMETRIA Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é aquele que

tem um ângulo reto (90º).

A

B Ca

bc

X

Y

Z

x

y

z

R

S

Tr

s

t

Em um triângulo retângulo temos:

a) Hipotenusa: é o lado

oposto ao ângulo reto.

Nas figuras acima são

hipotenusas: a, x e r.

b) Catetos: são os outros

dois lados do triângulo.

Nas figuras são catetos:

b, c; y, z e s, t.

Relações trigonométricas no triângulo

retângulo

A

B

C

a

b

c

No triângulo retângulo acima

consideremos o ângulo C formado pelo

lado b e a hipotenusa a.

O lado b denomina-se cateto adjacente

ao ângulo C. (É o cateto que faz parte da

constituição do ângulo).

O lado c denomina-se cateto oposto ao

ângulo C.

Os lados do triângulo e um dos ângulos (não o reto) podem ser relacionados por:

a

c

hipotenusa

oposto catetoC sen

a

b

hipotenusa

adjacente catetoC cos

b

c

adjacente cateto

oposto cateto

C cos

Csen C tg

300 450 600

Seno 2

1

2

2

2

3

Co-seno 2

3

2

2

2

1

Tangente 3

3

1 3

OBSERVAÇÃO TODO TRIÂNGULO RETÂNGULO COM DOIS ÂNGULOS DE 45º É UM TRIÂNGULO ISÓSCELES, OU SEJA, TEM CATETOS IGUAIS.

Exemplos:

a) Em um triângulo retângulo a hipotenusa vale 4 m e dos ângulos agudos vale 60º. Determine os dois catetos do triângulo.

m 22

14.b

60º cos ab a

b60º cos

m 322

34.c

60º sen ac 60º

a

csen

(450

450

(

(450

450

(

2

b) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 5 m e um dos catetos 2,5 m. Determinar o ângulo formado pela hipotenusa e por esse cateto. Determine o outro cateto.

A

B Ca = 5 m

bc = 2,5 m

c) Em um triângulo retângulo os lados valem 3 m, 4 m e 5 m. Determine o seno, o co-seno e a tangente do ângulo formado entre o lado de 3 m e o de 5 m.

3 m

4 m

5 m

Todo triângulo de lado 3, 4 e 5, ou múltiplos destes valores, é denominado Triângulo Pitagórico. EXERCÍCIOS 1) Calcule o valor de x, no triângulo retângulo a seguir.

2) Calcule sen e sen no triângulo a seguir.

3) Calcule x e y no triângulo a seguir. 4) Demonstre que sen 300 = cos 600 , sen 600 = cos 30 0 , sen 450 = cos 450 ,

0

0

60

130

tgtg e tg 450 = 1.

a) a a a b)

a 2a

a 5) Uma escada de 12m de comprimento está apoiada em um muro fazendo com este um

m 32,5b

2

35. 60º 5.sen sen ab )2ª

2

1

5

5,2

a

c cos )1ª

3,13

4

6,05

3 cos

8,05

4

tg

sen

) 30 0

30 cm

x

.

.

3

4

) (

9

x

y 45 0

60 0

.

2

a

. 60 0 )

.

2

3ah

3

ângulo de 60º. A altura do muro é: (Faça a figura). 6) Desde os tempos da Antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram resolver, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção. No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Se a distância entre os observadores fosse igual a 50 metros, a distância entre o barco e costa seria de: 7) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30º, como indicação na figura abaixo.

Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, determine a altura do edifício. Dados: sen30º = 0,5, cos30º = 0,866 e tg 30º = 0, 577.

8) Na figura abaixo, o ângulo DAC é reto, e o ponto D pertence ao segmento de reta AB. Sabendo que AC = 5 m, AD = 2 m e BC = 13 m, a área do triângulo DBC é:

Dica: Área do triângulo: BsenBCDBA ˆ..2

1

9) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio.

A

Sendo a largura do rio 60 metros, calcule a distância, em metros, percorrida pelo barco. 10) Para obter a altura de um morro, um topógrafo

estaciona o teodolito em A, obtendo o ângulo . Depois se aproxima do morro, colocando o aparelho em B. Mede também AB = d. Desprezando a altura do teodolito, qual é a altura h

do morro?

RESPOSTAS

1) 310

2) 5

3e

5

4

3) 33933 yex

4) Demonstração 5) 6 m 6) 50 m 7) H = 116,9 m 8) A = 25

9) m340d

10)

tgtg

tg.tg.dx

TRIGONOMETRIA

30º

x

h

120º

A D

B

C

A B

d

A B

d

4

A origem da trigonometria é incerta. Porém, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu pela necessidade de solucionar problemas gerados pela construção de pirâmides, largura de rios, Astronomia, Agrimensura e navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322. Surgiu então, na segunda metade do século II a.C., um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Fortemente influenciado pela matemática da Babilônia, ele acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exatamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 10 em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto. Sua trigonometria baseava-se em uma única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada à respectiva corda. Entretanto o documento mais antigo conhecido sobre o assunto data-se do século II d.C. e denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. A palavra trigonometria:

TRI três

GONO ângulos

METRIA medida

Portanto significa medida dos três ângulos de um triângulo e as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos. Os construtores egípcios usavam muito as razões entre a elevação vertical e o afastamento horizontal e chamavam-na de seqt, como mostrado no exemplo abaixo:

330

90seqt

Percebe-se que eles usavam uma razão que hoje é conhecida como cotangente. APLICAÇÕES

Topografia – largura de um rio

Física - Decomposição de forças

Quando a força é aplicada em uma direção e queremos analisar seus efeitos em outras direções.

c

a

b

A

CB

c

a

b

A

CB

30 m

90 m

30 m

90 m

F

Fx = F.cos

Fy = F.sen

F

Fx = F.cos

Fy = F.sen

a

50 m

5

Problemas de equilíbrio

Utilizando a lei dos senos:

Problemas de dinâmica

Movimento harmônico simples

Corrente alternada

).(. tsenii máx

ARCOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Se dois pontos, A e B, são marcados sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes, chamados de arcos.

0

3

0

2

0

1

903753 sen

T

sen

T

sen

T

P = m.g

Py = P.cos

Px = P.sen

N

P = m.g

Py = P.cos

Px = P.sen

N

v = - A.sen(t)

x = A.cos(wt)

a = - 2.A.cos(t)

v = - A.sen(t)

x = A.cos(wt)

a = - 2.A.cos(t)

6

Se A e B coincidem, têm-se duas possibilidades arco nulo e de uma volta. Arco nulo Arco de uma volta MEDIDA DE UM ÂNGULO Dado um ângulo AÔB, constrói-se, com centro em O, uma circunferência de raio R, então os lados do

ângulo determinam um arco BA

, logo a medida

do ângulo AÔB é a mesma do arco BA

em relação a um padrão definido. UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS

a) Grau: é um arco igual a 360

1da circunferência.

Não se sabe ao certo quais as razões pelas quais, foi escolhido o número 360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 é um dos menores números menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pela qual este número tenha sido adotado. O arco de uma volta mede 360 0 e o arco nulo 00.

4

1de volta mede 900 ou ângulo reto.

Subdivisões do grau: Com a circunferência dividida em 360 partes, a divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As frações sexagesimais babilônicas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram traduzidas como: “primeiras menores partes” = sexagésimos “segundas menores partes”= sexagésimos de sexagésimos Quando tais palavras foram traduzidas para o latim, tem-se: “primeiras menores partes” = pars minutae primae “segundas menores partes” = pars minutae secundae de onde apareceram as palavras minuto e segundo. 10 = 60’ , 1’ = 60’’ , 10 = 3600’’ b) Radiano Radiano é a medida do ângulo central que determina na circunferência um arco cujo comprimento é igual ao raio.

Comprimento de um arco cujo ângulo central é :

O IRRACIONAL

BA

rBAmed .

7

O número pi (representado habitualmente pela letra

grega ) é o irracional mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro .

O é expresso por uma dizima infinita não periódica:

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279

50288 41971 69399 3751...

EQUIVALÊNCIAS ENTRE GRAUS E RADIANOS Pela regra de três diretamente proporcionais, pode-se converter graus para radianos ou radianos para graus.

Na proporção que segue, conhecido G (graus) pode-se obter R (radianos).

Na proporção que segue, conhecido R (radianos) pode-se obter G (graus).

Graus Radianos

180

G R

EXERCÍCIOS

1) Determine a medida , em radianos, de um arco de comprimento 24 cm, em uma circunferência de raio 12 cm.

2) Determine o comprimento do arco da figura:

3) Calcule a medida em graus do arco de 1 rad. 4) Calcule em radianos os seguintes ângulos em graus: a) 1200 b) 2400 c) 3000 d) 1500 e) 2100 f) 3300 5) Obter graficamente, o cosseno, o seno e a tangente de 300 . 6) No triângulo retângulo a seguir mostre que:

)

1350

8 cm

)

1350

8 cm

cc bb

aa

A

B

cc bb

aa

cc bb

aa

A

B

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numirra.htm

8

a) 1cos22 sen

b)

cos

sentg

c)

cos2

sen

e

sen

2cos

SEGMENTO ORIENTADO Determinado por um par de pontos e uma orientação.

C

A BA B

9

Caracteriza-se por apresentar módulo, direção e sentido. Medida de um segmento Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real positivo. A medida do segmento é o seu

comprimento ou módulo , indicado por BA

.

u

BA

= 6 u.c.

Direção e sentido Dois segmentos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas.

• Só comparamos os sentidos de dois

segmentos

orientados se eles têm a mesma direção. • Dois segmentos orientados opostos têm

sentidos contrários.

ARCO ORIENTADO

Um arco BA

de uma circunferência admite dois sentidos de percurso: de A para B ou de B para A; convenciona-se que arcos no sentido anti-horário são positivos e no sentido horário negativos.

traçado no sentido anti-horário;

raçado no sentido horário;

DIVISÃO EM QUADRANTES Fixada a origem no ponto 0º, os quadrantes são em ordem crescente registrados no sentido anti-horário ou sentido positivo.Considerando um

ponto P sobre a circunferência,

P pretence ao 1º

quadrante, se 0º < P < 90º

P pretence ao 2º


P pretence ao 3º


P pretence ao 4º


Quando o ponto P coincidir com qualquer um dos pontos: 0º , 90º, 180º, 270º e 360º, dizemos que são

extremos e por isso não pertencem a nenhum quadrante ARCOS FUNDAMENTAIS POSITIVOS (SENTIDO ANTI-HORÁRIO)

Circunferência dividida em arcos notáveis. Em graus

AB

A

B

`C

D

A

B

`C

DAB

A

B

A

B

`C

D

A

B

A

B

`C

D

+

0º 360º 0

30º

135º 120º 60º

90º

150º

45º

180º

210º 330º

I II

III IV

10

Em radianos

ARCOS FUNDAMENTAIS NEGATIVOS (SENTIDO HORÁRIO)

Circunferência dividida em arcos notáveis. Em graus

Em radianos

ÂNGULOS COM MAIS DE UMA VOLTA Existem alguns fenômenos físicos que trazem a necessidade de ângulos com mais de uma volta, por exemplo: um carro dá várias voltas numa pista circular e para num certo ponto, que distância percorreu? Qual o número de rotações de um motor após certo tempo? A resposta a estas questões envolve arcos de mais de uma volta, cuja expressão é:

sendo:

20 a menor determinação.

k Z número inteiro

k2 expressão geral de todos os arcos

de menor determinação .

Atribuindo valores a pode-se obter a tabela a seguir:

k = 0 1ª. determinação positiva

A =


A = + 2


A = + 4


A = + 6

k = -1 1ª. determinação negativa

A = - 2

k = - 2 2ª. determinação negativa

A = - 4

ARCOS CÕNGRUOS

0

/6

5/4

0

3/4

2/3 º

/3

/2

5/6

/4

7/6

5/6 3/2

4/3

7/4

11/6

2

I II

III IV

0

-330º

-135º

-360º

-225º -240º -300º

-270º

-210º

-315º

-180º

-150º

-60º -90º

-120º -45º

-30º

0º

I II

III IV

/6

0

-3/4

-2

-5/4

-4/3 º

/3

-3/2

-7/6

/4

-5/6

-/6 -/2

-2/3

-/4

-/6

0

I II

III IV

kA 2

11

São arcos cujas medidas apresentam diferença

múltipla de 2 (ou 3600). Exemplo: 200 e 1.1000 1.1100 – 200 = 1.0800 = 3.3600

obs: Arcos de uma mesma família são côngruos. ALGUMAS EXPRESSÕES IMPORTANTES Pelo uso frequente no decorrer da trigonometria monta-se uma tabela de expressões de arcos mais frequentes.

Seja tal que ao 10 quadrante, ou seja, sua extremidade está no ponto B.

Extremidade Expressão

A 2k

B k2

C

k22

A1 + 2k

C1

k22

3

B e B1 k

C e C1

k2

A e A1 k

A, C, A1, C1

2

k

EXERCÍCIOS 1) Dado o triângulo ABC, obtusângulo em A conforme a figura abaixo e sabendo que a medida

“a” do lado BC é um número inteiro, então, o

cosseno relativo ao vértice A é:

A B

C

a2

6 2) Calcule as trações TAB e TAC nos fios e considere g = 10 m/s2 Diagrama do corpo livre: 3) Dado o triângulo ABC e sabendo que o lado a mede 16 , o lado b mede 10 e o ângulo formado por

estes lados é 60o, quais são os valores dos outros elementos ( lado c , e ângulos A e B ) do triângulo ?

4) Qual a menor determinação do arco 1817º. 5) O pneu de um automóvel, com 1 m de diâmetro, percorreu uma distância de 6280 m. Quantas voltas

deu o pneu? (considere = 3,14) 6) Um móvel, partindo da origem dos arcos, percorreu um arco de 3120º. Quantas voltas completas ele deu e em que quadrante parou?

BC

A1

C1

B1

BC

A1

C1

B1

300o 50o

TAC TAB

P

A

75 kg

30 o 50 o

B C

A

12

7) Dado o arco trigonométrico de 8700 , achar: a) A menor determinação b) O quadrante c) A expressão geral d) a 5ª determinação positiva e) a 6ª determinação negativa

8) Dado o arco trigonométrico de 3

22 , achar:

a) A menor determinação b) O quadrante c) A expressão geral 9) Ache a expressão geral de - 4220 20 ‘ 10) Verifique se os arcos de medidas 260 e 7460 são côngruos.

11) Verifique se os arcos de medidas 7

13 e

7

34 são côngruos.

12) Divide-se o ciclo em 12 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores. Determine os

x tal que x [0,2] cujas imagens são os pontos divisores.

Im. de x

A P1 P2 B P3 P4 A’ P5 P6 B’ P7 P8

x

RESPOSTAS

1) 8

3Acos

2) N490TeN658T ACAB

3) c = 14 00 22,38B78,81A

4) 170 5) 1000 voltas 6) 8 voltas e 30 Quadrante 7) a) 1500 b) 20 Q c) EG = 1500 + 360K d) 15900

8) a) 3

4 b) 30 Q c)

K2

3

4

9) EG = 2970 40’ + 360K 10) São côngruos 11) Não são côngruos 12) Tabela

13

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÃO SENO

Dado um número real x [0,2], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x e simboliza-se por sen x a medida do segmento orientado OP1 Montando a tabela a seguir têm-se alguns pontos para o gráfico de f(x).

Características da função seno

• D(f) = R

• Im(f) = [-1,1]

• Contínua

• Período = 2 rad

• Ímpar sen(-x) = - senx

• Sinais: + + - -

Orientação do seno para 300, 1500, 2100 e

3300

x (radiano) y = sen x

0 0

1

0

-1

2 0

2

2

3

xsenPO 1

30°

5,021

sen 30°

210°

5,021

sen 210°

330°

5,021

sen 330°

150°

5,021

sen 150°

14

FUNÇÃO COSSENO

Dado um número real x [0,2], seja P sua imagem no ciclo. Denominamos cosseno de x e simboliza-se por cos x a medida do segmento orientado OP2. Montando a tabela a seguir têm-se alguns pontos para o gráfico de f(x).

Características da função cosseno

• D(f) = R

• Im(f) = [-1,1]

• Contínua

• Período = 2 rad

• par cos(-x) = cosx

• Sinais: + - - +

Orientação do cosseno para 300, 1500, 2100 e

3300

x (radiano) y = cos x

0 1

0

-1

0

2 1

2

2

3

210°86,02

3

cos 210°

30°

86,02

3

cos 30°

330°

86,02

3

cos 330°

150°

86,02

3

cos 150°

xPO cos2

15

FUNÇÃO TANGENTE

Dado um número real x, tal que

kx 2

Seja o prolongamento do segmento MO

e

seja T sua interseção com o eixo das

tangentes. Chama-se tangente de x a medida

do segmento TA

, ou seja, y = tgx.

Montando a tabela a seguir têm-se alguns pontos para o gráfico de f(x).

Características da função tangente

• D(f) =

kx 2

• Im(f) = R

• Descontínua

• Crescente

• Período = rad

• Ímpar

• Sinais: + - + -

Tangente de alguns arcos notáveis:

x (radiano) y = tg x

0 0

-

0

-

2 0

2

2

3

2

2

3

tg 30°

30°

3

3 057 ,

rad

16

FUNÇÃO COTANGENTE

Dado um número real x [0,2], x {0, , 2},

seja P sua imagem no ciclo. Seja a reta PO

e

seja D sua interseção com o eixo das

cotangentes. Denomina-se cotangente de x e

simboliza-se cotg x a medida algébrica do

segmento DB

.

Tabela

Gráfico

Características da função cotangente

a) Domínio: kx

b) Im = R

c) Período =

d) Descontínua

e) Ímpar

tg 45°

45°

1

tg 60°

60°

73,13

tg 90°

90°

x

y

Quadrante Arco tg x cotgx

10 0 a 900 cresce de 0 a decresce de a 0

20 900 a 1800 cresce de - a 0 decresce de 0 a -

30 1800 a 2700 cresce de 0 a decresce de a 0

40 2700 a 3600 cresce de - a 0 decresce de 0 a -

17

f) Sinais + - + -

Cotangentes de alguns arcos notáveis

FUNÇÃO SECANTE

Tabela

Gráfico

Características da função secante

Domínio:

kx 2

Im = 11 youy

Período = 2

Descontínua

Par

Sinais + - - +

cotg 30°

30°

73,13

cotg 0°

0 °

cotg 45°

45°

1

cotg 120°

120°

57,03

3

Quadrante Arco cos x sec x

10 0 a 900 decresce de 1 a 0 cresce de 1 a

20 900 a 1800 decresce de 0 a -1 cresce de - a -1

30 1800 a 2700 cresce de -1 a 0 decresce de -1 a -

40 2700 a 3600 cresce de 0 a 1 decresce de a 1

18

Secante de alguns arcos notáveis

FUNÇÃO COSSECANTE Tabela Gráfico

Sec 0°

1

Sec 90°

Sec x =1

cos x

Sec x =1

cos x

Sec x =1

cos x

sec x =1

cos x

Quadrante Arco sen x cossec x

10 0 a 900 cresce de 0 a 1 decresce de a 1

20 900 a 1800 decresce de 1 a 0 cresce de 1 a

30 1800 a 2700 decresce de 0 a -1 cresce de - a -1

40 2700 a 3600 cresce de -1 a 0 decresce de -1 a -

sec 0

sec 900

xcos

1xsec

xcos

1xsec

xcos

1xsec

xcos

1xsec

19

Características da função cossecante

Domínio: kx

Im = 11 youy

Período = 2

Descontínua

Ímpar

Sinais: + + - -

TRANSFORMAÇÕES NO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Considere a um valor constante CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

Características gráficas gerais da função seno

e cosseno:

Domínio: IR

Imagem: [a - b,a + b]

Período:

Observações:

a e b só interferem na imagem da

função.

m só interfere no período da função.

Exemplos:

Fazer o gráfico das funções a seguir,

determine também o domínio, imagem e o

período.

1) y = - sen x

nmxbsenay

mP

2

x

y

0

2

2

3 2

0x

0y

0x

nmxbay cos

20

2) y = 1 + sen x

Inicialmente monta-se a seguinte tabela.

x sen x y = 1 + sen x

3) y = 2cos 2x faz-se t = 2x

t

2

tx cos t y = 2cos t

x

y

0

2

2

3 2

x

y

0

21

4)

421

xseny faz-se

4

xt

t tx 4 sen t y = 1 + 2sent

5) Faça o gráfico de y = sen x e y = cos x no

intervalo de [0,2].

6) Esboce o gráfico de um período completo,

determine também o domínio e o período da

função

4

xtgy .

x

y

0

x

y

0

x

y

0

2

2

3 2

22

EXERCÍCIOS

1) Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 1, calcule

o valor do cos x.

2) Calcule tg (- 12000)

3) Determine o domínio da função f(x) = tg 2x. 4) Determine o domínio da função

y = tg (2x -3

).

5) Sendo k um número inteiro positivo, determinar quantos k existem, tais que:

sen x = k

512k

6) Determine o período da função f: IR IR,

definida por

42)(

xsenxf .

7) A curva mostrada no gráfico a seguir é uma senóide. Qual a função f(x) que representa está senóide de domínio [0, 2 ].

8) As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplesmente, pela função seno. Suponhamos que, para determinado porto, a variação da altura (h) da lâmina d’água em função das horas (t) do dia seja dada pela função

trigonométrica

12

tsen.410)t(h

.

Considerando a função h(t), determine o período do dia que um navio com 12 metros de casco pode permanecer no porto.

9) Uma bomba de água aspira e expira água a cada

três segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Determine uma função que relaciona o volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t).

10) Sabendo que o gráfico abaixo é da função

y = a + sen bx, calcule o valor de a e b.

11) Faça o gráfico da função f: IR IR dada

por xsenxf )(

12) Faça o gráfico da função f: IR IR dada

por f(x) = sen 3x

13) Determine o período e a imagem da função

f: IR IR, definida por:

43cos.21)(

xxf .

14) Determine o domínio e o período das

funções:

a) y = sec 2x b)

3cot

xgy

15) Seja a função f:IR IR tal que

xsenxf 231)( . Pede-se:

a) O gráfico de f(x)

b) O domínio de f(x)

c) A imagem de f(x)

-1

4

3

2

1

0

/4

/2

/4

/4

/2

/4

f(x)

x

23

d) Os intervalos de crescimento e

decrescimento de f(x) no intervalo de

4

3,

4

e) Período de f(x)

16) Seja a matriz

00

00

390cos120

6525cos

sen

senA , calcule det(A)

17) Determine a função que representa o

gráfico a seguir:

18) Determine a função que representa o

gráfico a seguir:

19) Calcular o valor da expressão:

000

000

90gcot180tg180cos

180sec2360sec90seccos

20) Suponha que a expressão

P = 100 + 20 sen(2t) descreve de maneira

aproximada a pressão sanguínea P, em

milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa

durante um teste. Nessa expressão, t

representa o tempo em segundos. A pressão

oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima

e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio,

indicando que a pressão sanguínea da pessoa

é 120 por 80. Como essa função tem um

período de 1 segundo, o coração da pessoa

bate 60 vezes por minuto durante o teste.

a) Calcule o valor da pressão sanguínea

dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s.

b) Em que momento, durante o primeiro

segundo, a pressão sanguínea atingiu seu

mínimo?

RESPOSTAS

x

y

2 3 4

1

-1

x

y

8

8

3

2

4

2

1

2

1

24

1) 2

2

2) 3

3) 2

k

4x

4) 2

k

12

5x

5) 35

6) rad

7) f(x) = 2 + 2sen x

8) t1 = 2 h e t2 = 10 h

9)

t

3

2sen3y

10) a = 1 e b = 1

11)

12)

13) IM = [-3,1]

14) a) 2

k

4x

b)

k

3x

15)

a)

b) IR

c) IM = [-1,2]

d)

2,

4

decresce

4

3,

2

cresce

e) 2

P

16) zero

17) 2

xseny

18) x4sen2

1y

19) zero

20) a) P = 80 mmHg

b) t = 0,75 s

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

3

2

3

3

2P

25

Seja 2

kx , podem-se definir as seis

funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Vamos obter as relações que a partir de uma delas é possível determinar as outras cinco. a) OP = OA = OP = 1

OP2 = cos x

PP2 = sen x

No triângulo OPP2 pode-se aplicar o teorema de Pitágoras:

2

2

2

2

2 PPOPOP 1 = cos2 x + sen2 x

b)

OAT ~ OPP2

2

2

OP

PP

OA

AT

AT = tg x OA = 1 PP2 = sen x

OP2 = cos x

x

xsenxtg

cos1

c)

OBD ~ OPP1

1

1

OP

PP

OB

BD

BD =cotg x OB = 1 PP1 = cos x

OP1 = sen x

xsen

xxg cos

1

cot

d) De acordo com as duas relações anteriores tem-se:

O P2 x

y

P

x

1cos22 xxsen

x

y

A

B

x

xsenxtg

cos

x

y

xsen

xxg

coscot

26

e)

OPC ~ OPP1

2OP

OP

OP

OS

x

x

cos

1

1

sec

f)

OPC ~ OPP1

1OP

OP

OP

OC

xsen

x 1

1

seccos

g) Sabendo-se que cos2 x + sen2 x = 1

dividindo a relação fundamental por cos2x

tem-se:

xcos

1

xcos

xsen

xcos

xcos22

2

2

2

1 + tg2x = sec2x com

k2

x

h) Sabendo-se que cos2 x + sen2 x = 1

dividindo a relação fundamental por sen2x

tem-se:

xsen

1

xsen

xsen

xsen

xcos22

2

2

2

cotg2x + 1 = cossec2x com x ≠ k

EXEMPLOS

xtgxg

1cot

xx

cos

1sec

xsenx

1seccos

xsecxtg1 22

xseccosxgcot1 22

27

1) Sendo x 40 quadrante e 5

1xcos ,

calcule as outras funções trigonométricas de x.

2) Sendo x 20 quadrante e tg x = - 3, calcule as outras funções trigonométricas de x. 3) Verifique a identidade cotg2x – cos2x = cotg2x . cos2x

4) Calcular cos x sabendo que

1mcom1m

m2xgcot

5) Se tg a + sen a = m e tg a – sen a = n, prove

que: nm

nmacos

28

6) Sabendo que 7

24xgcot e

2

3x

, calcular o valor da expressão

)xcos1)(xcos1(

xcos.xtgy

7) Calcular sen x e cos x sabendo que 3cos x + sen x = 1 8) Prove que

1xseccos

1

1xseccos

1xtg.xsec2

com

k2

x

REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE

29

Quando fazemos operações com ângulos dos segundo, terceiro e quarto quadrantes, algumas vezes é necessário realizar a redução ao primeiro quadrante.

Redução do segundo ao primeiro

quadrante

Redução do terceiro ao primeiro

quadrante

Redução do quarto ao primeiro

quadrante

ou FIGURA GERAL DE REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE REDUÇÃO AO 10 QUADRANTE Na redução de quadrante aparecem basicamente dois tipos de funções:

F( ± x) valor de inteiro. Exemplos:

sen ( + x), cos(2 - x), tg ( - x).

valor de dividido por 2. Exemplos: Tabela de funções

F

sen cos

cos sen

tg cotg

cotg tg

sec cossec

cossec sec

Se a função apresentar-se:

tg)(tg

cos)cos(

sen)(sen

tg)(tg

cos)cos(

sen)(sen

tg)(tg

cos)cos(

sen)(sen

tg)2(tg

cos)2cos(

sen)2(sen

)

-

- 2 -

)

-

- 2 -

xF

2

xxsen

2cos,

2

3

30

F(a ± x) = ± F(x)

para a = 0, , 2, ... mantém a função original e o sinal é determinado pelo quadrante onde se encontra (a ± x). Se a função apresentar-se: F(a ± x) = ± (x) Para Muda a função original de acordo com a tabela de funções e o sinal é determinado pelo quadrante onde se encontra (a ± x). Exemplos:

a) sen( + x) =

b)

xsen

2

3

c) cos(2 - x) =

d) cos( + x) =

e)

x

2cos

f) tg ( - x) = g) tg (- x) =

h)

x

2

7cos

Comprovação de

cos2

sen

e

sen

2cos

Os triângulos OQT OPM são congruentes, assim:

PO =

2cos

PM =

2sen

PO = QT = OS = - sen (- pois o cosseno é – no segundo quadrante).

PM = OQ = cos

Logo:

sen

2cos e

cos2

sen

De modo análogo pode-se obter outras relações. Outro modo de comprovar as relações acima: Exemplo 1:

22sensen

De acordo com o quadrante do arco dado inicialmente que pertence ao 20 quadrante

, utiliza-se a relação - .

,...2

3,

2

a

2

2

2

31

xsensen

22

2

xxsenxsen cos22

2

Exemplo 2:

2

3

2

3sensen

-

cos22

3

sensen

Exemplos: 1) Reduzir ao primeiro quadrante: a) cos 1780 b) sen 2510 c) tg 2900

d) 6

gcot

e) sec 19240 f) 6

23seccos

g)

4

3tg

2) Sabendo que

cos2

sen e

sen

2cos , calcule

2tg ,

2gcot ,

2sec e

2seccos

30 quadrante

32

3) Simplificar as seguintes expressões:

a)

2sen b)

2cos

c)

2

3sen d)

2

3cos

e)

2

3sen f)

2

3cos

4) Simplificar a expressão 5) Simplificar a expressão

33

EXERCÍCIOS

1) Se 2

3xsec , x um ângulo de quarto

quadrante, determine as demais funções trigonométricas. 2) Calcule o valor de m, para que se tenha

simultaneamente 2m1xsen e

2mxcos

3) Sendo 2

1xsen e

2x

2

3 ,calcule

cos x – tg x

4) Se x é um arco do 3º quadrante e 5

4xcos

, calcule cossec x 5) Determine a condição para que exista

xcos

xsenxtg

6) Se existir x IR tal que 1axsen e

2

axcos , com a > 0, calcule o valor de a

7) Sendo xcos3xsen4 , para qualquer

valor real de x, calcule tg x 8) Das afirmativas a seguir, identifique a única opção verdadeira: a) sen215º = 1 - cos215º

b) sen215º + sen215º = 1

c) sen215º = (1 - cos15º)2

d) (sen215º - cos215º)2 = 1

e) sen15º + cos15º = 1

9) Se 0º < x < 90º e 2

1xcos , calcule o valor da

expressão xcotgxcossec

xseny

10) Sendo tg 1 = a e tg 2 = b , com 0º < 1 <

90º e com 0º < 2 < 90º, então a expressão

2cotgθ

1cotgθ

2tgθ

1tgθ

vale:

11) Calcule o valor da expressão

θ2

tg1

1θtgx

,

quando tg < 0, sen = a e cos = b, com 0b. 12) Calcule o valor da expressão

)1770(tg2580seccos

)3195cos(2910seny

00

00

13) Simplifique a expressão

x)cotgxx)(tgsenxx)(cosseccosx(secE

14) Preencha a tabela abaixo:

30º 45º 60º

cossec

sec

cotg

15) Se x e y são dois arcos complementares, calcule o valor de A = (cos x – cos y)2 + (sen x + sen y)2

16) Se x

2

3,

e cos x = -5

1 calcule o valor

de tg x

17) Se 5

2xsen e 900 < x < 1800 , então

calcule 1xcos

xcosxtgy

2

18) A expressão xcos

1–

xcos

xsen1

xsen1

xcos

é equivalente a:

19) Calcule o valor da expressão x2

tgx

2cos

x2

sen2

.

20) Calcule produto dos determinantes

1xsen

xsen1 e

1xtg

xtg1

34

RESPOSTAS

1) 3

5xsen

2

5xtg

5

2xgcot

5

3xseccos

3

2xsec

2) m = - 1

3) 6

35

4) 3

5

5)

k2

x

6) 5

8a

7) 4

3xtg

8) Letra A

9) 2

1y

10) ab

11) ba

bx

12) 6

63y

13) E = 1 14)

35

30º 45º 60º

cossec 2 2 3

32

sec

3

32 2 2

cotg 3 1

3

3

15) A = 2

16) 62

17) 2

5

18) sec x 19) 2 20) - 1

FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Sejam a e b arcos quaisquer. Nosso objetivo é determinar expressões trigonométricas do seno, cosseno e tangente dos arcos a + b e a – b.

1) bsen.asenbcos.acos)bacos(

Sejam os vetores veu

, cujas coordenadas

são )asen,a(cosu

e )bsen,b(cosv

, o

ângulo entre eles a – b. Utilizando a expressão que fornece o ângulo entre dois vetores têm-se:

vu

vu

cos

O módulo de veu

é: 1vu

1.1

bsen.asenbcos.acos)bacos(

Logo:

2) bsen.asenbcos.acos)bacos(

Sabe-se que a + b = a – (-b), então

)b(sen.asen)bcos(.acos)]b(acos[

mas cos(-b) = cos b e sen (-b) = -sen b


36

Assim

3) acos.bsenbcos.asen)ba(sen

)ba

2cos)ba(

2cosbasen

bsen.a2

senbcosa2

cosbasen

Mas

senaa2

cos

e acosa

2sen

3) acos.bsenbcos.asen)ba(sen

Partindo de

acos.bsenbcos.asen)ba(sen

e a – b = a + (-b), têm-se: 4)

k2

)ba(p/

k2

bp/

k2

ap/

)b(tg).a(tg1

)b(tg)a(tg)ba(tg

senb.asenbcos.acos

acos.bsenbcos.asen

)bacos(

)ba(sen)ba(tg

bcos.acos

senb.asen

bcos.acos

bcos.acos

bcos.acos

bsen.acos

bcos.acos

bcos.asen

)ba(tg

5)

k2

)ba(p/

k2

bp/

k2

ap/

)b(tg).a(tg1

)b(tg)a(tg)ba(tg

EXEMPLOS 1) Calcule cos 150

2) Dados 5

3xsen e

13

5ycos , calcule

cos (x + y), sabendo que 2

x0

e

2y2

3 .



)b(sen.acos)b(cos.asen))b(a(sen)ba(sen


btg.tga1

btgatg)ba(tg

)b(tg.tga1

)b(tgatg))b(a(tg)ba(tg

btg.tga1

btgatg)ba(tg

37

3) Sobre a função

xxsenxxsenxf 2cos.cos.2)(

Responda os itens a seguir: a) gráfico

t 3

tx y = sen t

b) Período c) Imagem 4) Verifique a seguinte identidade

22 sensen)(sen).(sen

5) Demonstre que se + + = 1800 então

tg.tg.tgtgtgtg

x

y

0

38

MULTIPLICAÇÃO DE ARCOS Conhecendo as funções circulares de um arco x, obter as funções dos múltiplos deste arco, isto é, seno, cosseno e tangente dos arcos 2x, 3x, 4x,... Essa situação recai na adição de arcos. Duplicação de arcos


Fazendo a = b = x

xcos.xsenxcos.xsen)xx(sen


Fazendo a = b = x

xsen.xsenxcos.xcos)xxcos(

Fazendo a = b = x

Exemplos

1) Calcule o sen 3x e cos 3x

2) Mostre que e

xcos.xsen2)x2(sen

xsenxcos)x2cos( 22

btg.tga1

btgatg)ba(tg

xtg.tgx1

xtgxtg)xx(tg

xtg1

xtg2)x2(tg

2

2

x2cos1xsen 2

2

x2cos1xcos 2

39

3) Sendo 4

3xtg e

2

3x

, calcule sen

2x. 4) Esboce o gráfico da função y = 2.sen2x utilizando o gráfico de cos 2x.

t

2

tx

cos t y = 1 - cost

FÓRMULAS DE DIVISÃO Vamos obter fórmulas que permitem calcular

as funções trigonométricas de 2

x, conhecida

uma das funções trigonométricas de x. Já foi tratado anteriormente que

1acos2a2cos 2 e asen21a2cos 2 ,

fazendo: 2a = x, têm-se:

12

xcos2xcos 2

2

xcos1

2

xcos

2

xsen21xcos 2

2

xcos1

2

xsen

x

y

0

40

2

xcos

2

xsen

2

xtg

xcos1

xcos1

2

xtg

EXEMPLOS

1) Se 25

24xsen e

x

2, calcule as

funções circulares de 2

x.

TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO O objetivo agora é transformar uma adição ou diferença de funções trigonométricas em produto.

Para isso vamos utilizar as fórmulas de adição e diferença.

)b(sen).a(sen)bcos().acos()bacos( 4)

)b(sen).a(sen)bcos().acos()bacos( 3)

)acos().b(sen)bcos().a(sen)ba(sen 2)

)acos().b(sen)bcos().a(sen)ba(sen 1)

Somando a fórmula 1 de 2

)ba(sen + )ba(sen 2 )bcos().a(sen

Subtraindo a fórmula 1 de 2

)ba(sen - )ba(sen 2 )acos().b(sen

Somando a fórmula 3 de 4

)bacos( + )bacos( = )bcos().acos(2

Subtraindo a fórmula 3 de 4

)bacos( - )bacos( = )b(sen).a(sen2

Estas relações se chamam fórmulas de Werner.

qba

pba , logo

2

qpa

e

2

qpb

substituindo nas fórmulas de Werner obtém-se as fórmulas de transformação em produto:

2

qpcos.

2

qpsen2qsenpsen

2

qpcos.

2

qpsen2qsenpsen

2

cos.2

cos2coscosqpqp

qp

2

.2

2coscosqp

senqp

senqp

Têm-se ainda que:

qcos.pcos

)qp(senqtgptg

41

qcos.pcos

)qp(senqtgptg

EXEMPLOS 1) Transforme em produto: a) y = sen 5x + sen 3x b) y = 1 + sen 2x

c) bcosacos

bsenaseny

2) Seja a função f:IRIR dada por y = cos x –

sen x. Faça o gráfico dessa função.

t

4tx

sen t tsen.2y

EXERCÍCIOS

1) A expressão sen(x + 45o) + sen (x - 45o) equivale a:

0 x

y

42

2) Se cos a = -3

5, cos b =

4

7,

2

3a

e

2

πb0 , o valor de cos(a – b) – cos(a + b) é:

3) Se cos15º 15º

15º cos15º

senA

sen

, calcule o

determinante de (2A2)

4) Se 3

ba

, calcule o determinante

0bcossenb

0senaacos

100


2

xcos

xsen2x2seny

2

6) Se 4

33xcosxsen , calcule sen 2x.

7) Calcule o valor de y = sen700 cos500 + sen2600 cos2800 . 8) Transforme em produto 1+ cos x.

9) Sendo ....1263

x

e

.....125

16

25

4

54 y

, calcule sen (x + y ).

10) Considere a matriz quadrada

A =

o

cos54o

sen36

ocos72

osen18

. Calcule o

determinante de A

11) Simplifique a expressão y =

12x2

cos

x2

sen4

, e

deixe em função de sec x.

12) Sejam e as medidas de dois ângulos que

possuem as propriedades

αcosβtgeβsenαtg . Determine

cos( - )


2

x2sen

2

x2cos

2

xcos

2

xsen2

, o


2asen

a2

sena2

cos1

15) Seja a IR com 2

a0

. Simplifique a

expressão:

a

2sena

4

3sena

4

3sen

16) Se os números reais e , 3

4 ,

0 , maximizam a soma ,sensen

calcule o valor de . 17) Dada a expressão

x2senx2sen2

1

xcos2

1x2senE

2

, calcule o valor de E. 18) Um triângulo tem o lado maior medindo 1 m e dois de seus ângulos 270 e 630. Determine valor aproximado do perímetro desse triângulo.

Dados: cos 180 = 0,95 e 4,12

19) Calcule o valor da expressão

0

00

0

00

15cos

75sen15sen

15sen

75cos15cos

20) Se x, y e z são os ângulos internos de um

triângulo ABC e zcosycos

zsenysenxsen

, prove

que o triângulo ABC é retângulo.

43

RESPOSTAS

1) xsen.2

2) – 1

3) 4

4) 2

1

5) y = 4sen x

6) 16

11

7) 4

3

8) 2

xcos2 2

9) 4

26

10) zero

11) xsec2

12) sen)1cos.sen()cos(

13) sen x 14) cotg a

15) acos.2 2

16) 3

2

17) 1 18) 2,33 m 19) 6 20) Demonstração

44

FUNÇÃO ARCO-SENO

Uma função f, de domínio D possui inversa

somente se f for bijetora, por este motivo nem

todas as funções trigonométricas possuem

inversas em seus domínios de definição, mas

podemos tomar subconjuntos desses

domínios para gerar novas funções que

possuam inversas.

Seja a função f:RR / y = sen x , essa função

não é bijetora.

No entanto, restringindo o domínio da função

seno ao intervalo é possível definir

sua inversa, que é chamada função arco-

seno.

Se y = sen x, então x é o arco cujo seno vale y ou

x = arc sen y. Trocando x por y, tem-se y = arc sen

x, isto é a função inversa de f.

Exemplo:

GRÁFICO DOMÍNIO E IMAGEM

2,

2

45

Exemplos:

1) Se 2

1arcseny , calcule y.

2) Se

2

2arcseny , calcule y.

3) Se 2

3arcsen.2y

4) Calcular )1(arcseny

5) Determine o domínio da função

y = arc sen (2x-1)

FUNÇÃO ARCO-COSSENO

Da mesma forma que ocorre com a função

seno, a função cosseno não é sobrejetora,

46

nem injetora, portanto temos que limitar o

domínio da função cosseno ao intervalo [0,].

Assim o cosseno passa a ser definido como:

f: [0,] [-1,1]. Se y = cos x, então x é o arco

cujo o cosseno vale y, x = arccos y. Trocando

y por x, tem-se y = arccos x.

Exemplos:

1) Calcule

2

3arccosy .

2) Calcular )1arccos(y

3) Calcular

3

1arccosseny

4) Calcular

2

1arccosy

FUNÇÃO ARCO-TANGENTE

A função tangente tem domínio

kx 2

e é sobrejetora, mas não é injetora.

Para torná-la injetora basta restringir o

domínio ao intervalo

2,

2

. Assim ela

será definida como:

47

f:

2,

2

IR

Se y = tg x, então x é o arco cuja tangente vale

y,

x = arctg y. Trocando y por x, tem-se y = arctg

x.

Exemplos:

1) Calcule 0arctg

2) Calcular

3

3arctgseny

3) Calcular )1(arctgy

FUNÇÃO ARCO-COTANGENTE

A função cotangente tem domínio kx e

é sobrejetora, mas não é injetora.

Para torná-la injetora basta restringir o

domínio ao intervalo ,0 . Assim ela será

definida como:

f: ,0 IR

Se y = cotg x, então x é o arco cuja cotangente

vale y,

x = arccotg y. Trocando y por x, tem-se

y = arccotg x.

FUNÇÃO ARCO-SECANTE

A função secante tem domínio

kx 2

e

não é sobrejetora nem injetora. Para torná-la

bijetora deve-se defini-la da seguinte forma:

2

48

,

22,0:f ,11,

FUNÇÃO ARCO-COSSECANTE

A função cossecante tem domínio kx e

não é sobrejetora nem injetora. Para torná-la

bijetora deve-se defini-la da seguinte forma:

2,0,0

2:f

,11,

EXERCÍCIOS

1) Determine o valor de )5

3sen(arccosy .

49

2) Considere A = arc sen y

x e B = arc sen

x2y

y

com A e B pertencentes ao 1o

quadrante. Se x = 3 e y = 5, calcule sen (A + B).

3) Se 2

1arccos3x , calcule tg (2x).

4) Calcular

12

5arctg

5

4arccosseny

5) Calcular )2sec(arccostgy

6) Calcule

5

2cosarctg

7) Prove a identidade

47

1tgarc

3

1tgarc.2

8) Calcule

2

xtgarc.2sen

9) Resolva a equação

arc tg(7x – 1) = arc sec(2x + 1)

10) Sendo

2,

2

o contradomínio da

função arco-seno e [0,] o contradomínio da função arco-cosseno calcule

5

4cosarc

5

3senarccos

11) Considere as funções 4

75)x(f

x ,

4

75)x(g

x e h(x) = arc tg x. Se a é tal que

4))a(g(h))a(f(h

, calcule f(a) – g(a).

RESPOSTAS

50

1) 5

4

2) 65

56

3) zero

4) 65

56

5) 3

6) 2

21

7) 1

8) 2x4

x4

9) 3

1

10) 25

7

11) 2

7

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