Aula 10 - Médias e Princípio das Gavetas

Sumario

MEDIAS E PRINCIPIO DAS GAVETAS

Luciana Santos da Silva Martino

PROFMAT - Colegio Pedro II

02 de junho de 2015

Medias A Desigualdade das Medias

Sumario

1 Medias

2 A Desigualdade das Medias


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1 Medias



Medias

Uma media de uma lista de numeros e um valor que pode substituirtodos os elementos da lista sem alterar certa da caracterıstica da lista

Se essa caracterıstica e a soma dos elementos da lista, obtemos amedia aritmetica

A media aritmetica (simples) da lista de n numeros x1, x2, ..., xn e umvalor x tal que x1 + x2 + ...+ xn = x + x + ...+ x = nx

Definicao: A media aritmetica (simples) da lista de n numeros edefinida por

x =x1 + x2 + ...+ xn

n


Medias

Se a caracterıstica a ser considerada for o produto doselementos da lista, obtemos a media geometrica

A media geometrica (simples) dos n numeros positivosx1, x2, ..., xn e um valor positivo g tal quex1 · x2 · ... · xn = g · g · ... · g = gn

Definicao: A media geometrica (simples) dos n numerospositivos x1, x2, ..., xn e definida por

g = G(x1, x2, ..., xn) = n√

x1x2...xn


Medias

Se a caracterıstica a ser considerada for a soma dos inversosdos elementos da lista, obtemos a media harmonica

A media harmonica (simples) dos n numeros positivosx1, x2, ..., xn e um valor positivo h tal que1x1

+ 1x2

+ ...+ 1xn

= 1h + 1

h + ...+ 1h = n

h

Definicao: A media harmonica (simples) dos n numerospositivos x1, x2, ..., xn e definida por

h =n

1x1

+ 1x2

+ ...+ 1xn


Medias

Exerccio p.179 n. 8.1: Um carro percorre metade de certadistancia d com velocidade v1 e percorre a outra metade comvelocidade v2. Qual a sua velocidade media?

Exerccio p.179 n. 8.2: Um carro percorre tem velocidade v1durante metade do tempo t de percurso e tem velocidade v2durante a outra metade do tempo. Qual a sua velocidademedia?

Exerccio p.179 n. 8.3: A populacao de um paıs cresceu 44%em uma decada e cresceu 21% na decada seguinte. Qual e,aproximadamente, a taxa media decenal de crescimentonesses 20 anos?


Medias

Exerccio p.179 n. 8.4: No problema anterior, qual a taxamedia anual de crescimento nesses 20 anos?

Exerccio p.179 n. 8.5: A valorizacao mensal das acoes decerta empresa nos quatro primeiros meses do ano foi de+25%, +25%, -25% e -25%. Qual a valorizacao total e qual avalorizacao media mensal nesse quadrimestre?


Medias

Definicao: A media quadratica (simples) dos n numeros x1, x2, ..., xne definida por

q =

√x2

1 + x22 + ...+ x2

n

n

Exemplo 4: A qualidade de uma aproximacao e medida pelo seuerro, que e a diferenca entre o valor da aproximacao e o valor real dagrandeza. Mede-se a qualidade de uma lista de aproximacoes pelamedia quadratica de seus erros. Tambem se usa o erro medioquadratico, que e o quadrado dessa media quadratica, ou seja, e amedia aritmetica dos quadrados dos erros


Medias

Teorema: Se a media aritmetica dos numeros x1, x2, ..., xn eigual a x , pelo menos um dos numeros x1, x2, ..., xn e maior ouigual a x

Exemplo 5: Mostre que num grupo de 50 pessoas, ha semprepelo menos 5 que nasceram no mesmo mes

Princıpio da Gavetas de DirichletSe n + 1 objetos sao colocados em n ou menos gavetas, entaopelo menos uma gaveta recebe mais de um objeto

Exemplo 6: Mostre que todo inteiro positivo n tem um multiploque se escreve apenas com os algarismos 0 e 1


Medias

Exemplo 7: Cinco pontos sao tomados sobre a superfıcie deum quadrado de lado 2. Mostre que ha dois desses pontos taisque a distancia entre eles e menor que ou igual a

√2

Exemplo 8: Um enxadrista, durante 11 semanas, joga pelomenos uma partida por dia mas nao joga mais de 12 partidaspor semana. Mostre que e possıvel achar um conjunto de diasconsecutivos durante os quais ele jogou exatamente 20partidas


Medias

Definicao: A media aritmetica ponderada dos n numerosx1, x2, ..., xn com pesos respectivamente iguais a p1,p2, ...,pn edefinida por

p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn

p1 + p2 + ...+ pn


Medias

Pesos relativos (nao inteiros): A media aritmetica ponderada dosnumeros x1, x2, ..., xn com pesos respectivamente iguais ap1,p2, ...,pn e definida por

p1

p1 + p2 + ...+ pnx1 +

p2

p1 + p2 + ...+ pnx2 + ...+

pn

p1 + p2 + ...+ pnxn

Uma media aritmetica ponderada dos numeros x1, x2, ..., xn e umaexpressao da forma λ1x1 + λ2x2 + ...+ λnxn, onde

λ1 + λ2 + ...+ λn = 1


Medias

Exercıcio: Calcule as medias aritmetica, geometrica eharmonica ponderadas dos numeros 8, 18 e 48, com pesosiguais a 1, 1 e 0.5


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1 Medias



A Desigualdade das Medias

A Desigualdade das MediasA desigualdade das medias afirma que a media aritmetica de nnumeros positivos e maior que ou igual a sua mediageometrica e so e igual se os numeros forem todos iguais. Istoe, se x1, x2, ..., xn sao numeros positivos entao

x1 + x2 + ...+ xn

n≥ n√

x1x2...xn

Alem disso,x1 + x2 + ...+ xn

n= n√

x1x2...xn

se, e somente se, x1 = x2 = ... = xn



Exemplo 10: Mostre que, entre todos os retangulos deperımetro 2p, o quadrado e o de maior area

Exemplo 11: Mostre que, entre todos os retangulos de area A,o quadrado e o de menor perımetro



A desigualdade das medias pode ser generalizada comosegue:

Se x1, x2, ..., xn sao numeros positivos e Q, A, G e H sao suasmedias quadratica, aritmetica, geometrica e harmonica,respectivamente, entao Q ≥ A ≥ G ≥ H. Alem disso, duasquaisquer dessas medias sao iguais se, e somente se,x1 = x2 = ... = xn.



Exercıcio p.186 n. 8.37: Prove que o produto de dois numerosde soma constante e maximo quando esses numeros saoiguais

Exercıcio p.186 n. 8.38: Prove que a soma de dois numerosde produto constante e mınima quando esses numeros saoiguais


FIM

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