Aula-10 Indução e...
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Aula-10Indução e Indutância
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Uma espira condutora percorrida por uma corrente na presença de um campo magnético sofre ação de um torque: espira de corrente + campo magnético torque
• Se uma espira, com a corrente desligada, girar no interior de uma região onde há um campo magnético B,
aparecerá uma corrente na espira? Isto é:
• torque + campo magnético corrente?i
i
Indução
Aprendemos que:
mas...
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Experimentos de Faraday
As respostas a essas questões foram dadas por Faraday. Ele observou que o movimento relativo no conjunto ímãs e circuitos metálicos fechados fazia aparecer nestes últimos correntes transientes.
Espira conectada a um galvanômetro – não há bateria!1- Se houver movimento relativo ímã-espira aparecerá uma corrente no galvanômetro. 2- quanto mais veloz for o movimento, maior será a corrente na espira.
Fig.1 corrente induzida
Primeiro experimento:
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Figura ao lado: duas espiras condutoras próximas uma da outra, mas sem se tocarem. Fechando-se S (para ligar a corrente na espira da direita) aparece um pico momentâneo de corrente no galvanômetro.
Abrindo-se S (para desligar a corrente), aparece um pico momentâneo de corrente no galvanômetro, na direção oposta à anterior.
Embora não haja movimento das espiras, temos uma corrente
Nesta experiência, uma fem é induzida na espira somente quando o campo magnético que a atravessa estiver variando.
Experimentos de Faraday
Segundo experimento:
induzida ou uma força eletromotriz induzida (fem)
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A Lei de Faraday da Indução
φB=∫S
B⃗ . n̂ dA
Fluxo do campo magnético:
A unidade SI para fluxo é o weber (Wb)
A intensidade da fem é igual à taxa de variação temporal do fluxo do campo magnético :
O sinal negativo indica que a fem deve se opor à variação do fluxo que a produziu.
1weber = 1Wb = 1T.m2
ε=−dφBdt
(Lei de Faraday )
ε
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Um longo solenóide S (em corte longitudinal) mostrado na figura ao lado tem 220 voltas/cm e transporta uma corrente i =1,5A; seu diâmetro D = 3,2 cm. Em seu centro encontra-se uma bobina compacta C de 130 voltas e diâmetro d = 2,1 cm. A corrente no solenóide é reduzida a zero a uma taxa uniforme em 25 ms . Qual a intensidade da fem induzida na bobina C enquanto a corrente no solenóide estiver variando?
O fluxo por volta na bobina compacta é
A variação deste é então
Como conseqüência a fem
φB=BA=( μ0 in )(π d2
4 )=( 4 π×10−7T⋅m/A )(1,5 A )(22×103 voltas/m )×(3 ,46×10−4m2)=1 ,44×10−5 Wb
Exemplo 1
dφBdt=ΔφBΔt=φB , f−φB , iΔt
=0−1 ,44×10−5 Wb25×10−3 s
=−5 ,76×10−4V
ε=−NdφBdt=−(130 voltas )(−5 ,76×10−4V )=75 mV
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A Lei de Lenz
Uma corrente induzida possui o sentido tal que o campo magnético devido a ela se opõe à variação do fluxo magnético que a produziu.
Oposição do movimento do ímã
Oposição à variação do fluxo
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Guitarras elétricas
Fender stratocaster – possuem três grupos de seis pickups.
(pickups são dispositivos que convertem oscilações elétricas em oscilações acústicas)
Vista lateral de um pickup elétrico de uma guitarra
Quando a corda oscila, o pequeno imã nela criado pelo magneto do pickup provoca uma variação do fluxo do campo magnético na bobina.
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Indução e transferência de energia
φB=BLx⇒ ε=BLv
i=εR=BLvR
F⃗ex=F⃗ ; F⃗1 , F⃗2 e F⃗3
F⃗+ F⃗1= 0⃗ ou F= B2 L2vR
⇒ P=B2L2 v2
R
Espira sendo deslocada para direita com velocidade . O trabalho realizado pelo agente externo por unidade de tempo (potência aplicada) é:
v⃗
vFvFP ⃗⃗
Como o fluxo está diminuindo, aparece uma fem e portanto uma corrente induzida na espira.
Forças sobre a espira:
v = constante
Taxa de aparecimento de energia térmica na espira:
P=Ri2=( BLvR )2
R= B2 L2 vR
(igual à potência aplicada)
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Campos elétricos induzidos
Seja um anel de cobre de raio r numa região onde há um campo magnético variável no tempo (com módulo crescendo à taxa ).
A variação de B faz aparecer uma corrente no anel. Portanto, um campo elétrico induzido passa a existir no anel.
Et
B
Pode-se então dizer que: um campo
magnético variável produz um campo elétrico (Lei de Faraday reformulada).
dBdt
As linhas do campo elétrico induzido são tangentes ao anel, formando um conjunto de circunferências concêntricas.
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Campos elétricos induzidos
Mas, também:
Trabalho sobre uma partícula com carga , movendo-se ao redor de uma circunferência de raio r:
ΔW=∮ F⃗⋅d l⃗=q0∮ E⃗⋅d l⃗
Note que o campo induzido não pode ser relacionado com um potencial elétrico!
q0
ΔW=q0ε (ε = fem induzida)
Então: ε=∮ E⃗⋅d l⃗Ou:
∮ E⃗ .d l⃗=−dφBdt
(Lei de Faraday)
(ou: ΔW=q0 E . 2πr )
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Para a figura do slide da página anterior adotar dB/dt = 0,13 T/s e R = 8,5 cm. Determinar as expressões da intensidade do campo elétrico induzidos para r < R e r > R . Obtenha os valores numéricos para r = 5,2 cm e r =12,5 cm .
)( 2rBBAB dt
dBrE
dt
dBrrE
2)()2( 2 a) r < R:
Para r =5,2 cm
b) r > R: )( 2RBBAB dt
dB
r
RE
2
2
Gráfico de E(r)
mmVsTm
E /4,3)/13,0(2
102,5 2
mmVsTm
mE /8,3)/13,0(
105,122
)105,8(2
22
Exemplo 2
∮E .d l⃗=∮Edl=E∮ dl=E(2 πr )
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Indução e indutores
Para dois ou mais circuitos próximos, as correntes em cada um deles produzem campos e fluxos magnéticos nos demais.
O fluxo no circuito m será então:
Segue então da lei de Faraday que dt
d B
B⃗( r⃗m)=∑n
μ0 in4 π∫Cn
d l⃗ n×( r⃗m− r⃗ n )
| r⃗m− r⃗ n|3
φBm=∫Sm
B⃗( r⃗m )⋅d A⃗m=∫Sm
∑n
μ0 in4 π∫Cn
d l⃗ n ¿ ( r⃗m−r⃗ n)|r⃗m− r⃗ n|
3 ¿ d A⃗m
εm=−μ0
4 πddt {∫Sm [∑n in∫Cn d l⃗ n×( r⃗m− r⃗ n )| r⃗m− r⃗ n|
3⋅d A⃗m ]}
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Indução
Para Sm, Cn independentes do tempo podemos escrever a fem induzida na forma
dt
diL n
nnmm ,
onde a indutância é escrita na forma
Na prática os Lm,n são denominados de auto-indutância, L, quandon = m e indutância mútua, M, para . mn
(*)Lm,n=μ0
4 π∫Sm
∫Cn
d l⃗ n×( r⃗m− r⃗ n )
|r⃗ m− r⃗ n|3⋅d A⃗m
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= fluxo concatenado)
Consideremos uma bobina de N voltas, chamada de indutor, percorrida por uma corrente i que produz um fluxo magnético através de todas as espiras da mesma. Se , pela lei de Faraday aparecerá nela uma fem dada por:
φB
εL=−d (NφB)dt
NφB (
Na ausência de materiais magnéticos, é proporcional à corrente:
NφB=Li ou: L=NφBi
i=i( t )
NφB
Então:
ε L=−d (Li )dt
=−L didt
(fem auto-induzida)
(L: auto-indutância)
O sentido de εL é dado pela lei de Lenz: ela deve se opor à variação da corrente (figura).
Auto-indução
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Lembrando que neste caso B é dado por
Indutância de um solenóide
Solenóide longo de comprimento l e área A
))(( BAnlN B inB 0
lAni
Aninl
i
NL B 2
00 ))()((
(L só depende de fatores geométricos do dispositivo e do meio).
Anl
L 20 (Indutância por unidade de comprimento)
,
A unidade SI de indutância é o henry:
1 henry=1 H=1 T⋅m2 /A
da definição de indutância tem-se:
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Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores. Eles são interessantes porque as correntes e os potenciais, nestes circuitos, variam com o tempo. Apesar das fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo, ocorrem efeitos dependentes do tempo com a introdução de indutores. Estes efeitos são úteis para controle de funcionamento de máquinas e motores.
Circuito RL
Circuito básico para analisar correntes em um indutor
a) chave S na posição a do circuito. No instante t = 0, a corrente no resistor começa a crescer.
t=0 ⇒ i (0 ) =0 → t≠0 ⇒ i ( t )
Resolver (estudar) este circuito é encontrar a expressão para a corrente i(t) que satisfaça à equação:
ε−Ri−Ldidt=0
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Resolvendo esta equação diferencial para i(t), vamos ter:
(I0 : corrente máxima)
didt+RLi=εL
Para t muito grande, a corrente atinge um valor máximo constante.
(constante de tempo indutiva)
i ( t )=εR(1−e−Rt / L)
i ( t )=I 0(1−e−t / τL)
τ L=LR
I 0=εR
Circuito RL
εL : voltagem no indutor
A equação anterior fica:
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V L=Ldidt
V L=ε e−Rt / L
i=εR(1−e−1 )=0 ,63
εR
V L=ε e−1=0 ,37 ε
Voltagens no resistor e no indutor – figura abaixo
V R=Ri e
t=0 , V L=máximo → equivalente a um circuito aberto
Circuito RL
t>> τ L , V L= zero → equivalente a um curto−circuito
Interpretação de τ L :
t= τ L =LR
:Para
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Ao lado, temos gráficos das tensões em e para várias mudanças da chave de a para b.
b) Chave em b: Neste caso, a equação das tensões será:
A solução desta equação é:
Variações das voltagens com o tempo:
Circuito RL
LtLRt eIeR
ti /0
/)(
Ri+ Ldidt=0
V L ,V R V R +V L=ε
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Os termos são, respectivamente, a potência fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e taxa com que a energia é armazenada no campo magnético do indutor, isto é:
Energia armazenada no campo magnético
ε i , R i2 e L i di /dt
dU Bdt
=Li didt→dU B=Lidi
∫0
UB dU B=∫0
iLidi
Do circuito abaixo tem-se:
ε=Ri+Ldidt→ε i=Ri2+Li
didt
U B=12Li2
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Densidade de energia do campo magnético
Consideremos o campo magnético de um solenóide longo de
uB=U BAl=1
2Li2
Al.
Como L=μ0 n2 lA→uB=
12μ0 n
2 i2
A densidade de energia será dada por:
Lembrando que resulta que:B=μ0 in
uB=B2
2 μ0
comprimento l e seção transversal A, transportando uma corrente i.
uB=B2
2 μ0
(densidade de energia magnética )
(densidade de energia magnética)
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22
20
0
2
82 r
iBuB
brB
brar
iB
,0
,2
0
Cabo coaxial de raios a e b. Os cilindros interno e externo transportam correntes iguais em sentidos opostos. Determine:
a) a energia magnética UB armazenada num comprimento l do cabo; b) UB por unidade de comprimento, se a = 1,2 mm, b = 3,5 mm e I = 2,7 A
Exemplo 3
U B=∫dU B=∫ uBdV=∫ab μ0 i
2 2 π rldr
8 π 2r2
U Bl=μ0 i
2
4 πlnba=( 4 π×10−7 H/m)(2,7 A )2
4 πln
3,5 mm1,2 mm
=7,8×10−7 J/m=780 nJ/m
U B=μ0 i
2 l
4 πlnba
Da lei de Ampère tem-se:
b)
a)
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Indutância mútua
Fluxos conectados: variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem na bobina 2 e vice-versa.
Indução mútua 2121 ML 1
21221 i
NM
dt
diM
dt
dNouNiM 1
2121
2212121
dt
diM 1
212 A fem induzida na bobina 2:
A fem induzida na bobina 1:dt
diM 2
121
dt
diM
dt
diM
12
21
A indução é de fato mútua
M 12=M 21=MPode-se provar que:
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Duas bobinas circulares compactas, a menor delas (raio R2 e N2 voltas) sendo coaxial com a maior (raio R1 e N1 voltas) e no mesmo plano. Suponha R1 >> R2 . a) deduzir uma expressão para a indutância mútua deste arranjo ; b) Qual o valor de M para N1 = N2 =1200 voltas, R2 = 1,1 cm e R1 = 15 cm?
Exemplo 4
2122122121 ABNNAB a)
1
101 2R
iNB
11
22210
212 2i
R
RNNN
mHm
mmHM 29,2
)015(2
)011,0)(1200)(1200)(/104( 27
b)
Mi
NM
1
21221
1
22210
2R
RNNM
Então: