Aula - 1 - Separação de Variáveis

Equaes diferenciais

ordinrias

Prof. Sandro

Aula 1 Separao de variveis.

Se voc no controlar sua mente, algum far isto por voc.

Horrio: 07:50 s 11:30,

Intervalo: 09:30 s 09:50,

Tolerncia de 15 minutos no primeiro perodo.

Tolerncia de 10 minutos no segundo perodo.

Avaliaes: ACVA / ED 10:40 s 11:30, segunda e sexta semana.

ACVA - N1 e N2 09:50 s 11:30. quarta e oitava semana.

ACVA - N1 individual sem consulta,ACVA - N2 individual com consulta.

Notas:

N1 = (ACVA-N1)*0.7 + (ACVA-ED)*0.15 + (L1)*0.15

N2 = (ACVA-N2)*0.7 + (ACVA-ED)*0.15 + (L2)*0.15

Contrato Pedaggico

L1 Lista referente as quatro primeiras semanas. Os exerccios sero escolhidos durante o curso.

Objetivos:O aluno dever conhecer os

conceitos preliminares de Equaes

diferenciais e utilizara o mtodo de

separao de variveis para

encontrar soluo geral.

1) Equao Diferencial

Equao diferencial uma equao que contm derivadas.

1) Quanto ao tipo:

1.a) Equao Diferencial ordinria EDO: Contm somente uma varivel independente.

Introduo

5' xydy

dxx 5

a varivel independente x

Ao e plstico so forjados no fogo

1.b) Equao Diferencial parcial EDP: Contm mais de uma varivel independente.

yx'y"y 2 yxy

u

x

u 2

2

2

1.2) Quanto ordem: a ordem mais alta da derivada

que ela contm.

2xy

u

x

u

d y

dx

dy

dxy

2

22 0

Primeira ordem Segunda ordem

Introduo


1.3) Quanto ao grau: indicado pela potncia da

Derivada de mais alta ordem.

022

2

yxy

u

x

u

02

32

2

2

y

dx

dy

dx

yd

Primeira grau Segundo grau

Introduo

Grau relacionado com a derivada.Ordem relacionado com o termo da equao.


1.4) Quanto ao tipo de soluo:

a) Soluo Geral: a primitiva desta equao.

y Ax Bx C 2d y

dx

3

30

Exerccio 1. Obter a soluo acima.

Introduo


b) Soluo Particular: a primitiva da Equao

Diferencial, mas com valores definidos para as

constantes arbitrrias nela contida.

CBxAxy 2

y A B C 0 0

y x A B C 2 5 0 2 5, ,

3,2,5325 2 CBAxxy

Solues

particulares

da equao

diferencial

de terceira

ordem.

Introduo

Caso as condies iniciais da equao diferencial

abaixo forem, por exemplo:

d y

dx

3

30

20 y

00

xdx

dy

1

0

2

2

x

dx

yd

Exerccio 2. Encontre as constantes A, B e C.


Introduo


c) Soluo Singular: uma soluo da equao diferencial

que no pode ser obtida por combinao das constantes

arbitrrias, isto , a partir da primitiva desta.

Introduo

02

2

y

dx

dyx

dx

dy

2CAxy Soluo geral

2

8

1xy Soluo singular


d) Soluo explcita: a soluo na forma y = f(x), isto , a

varivel dependente (funo) y pode ser isolada e igualada a

uma expresso, a qual funo apenas da varivel

independente x.

Introduo

01

ydx

dy

x

2

2x

Cey

e) Soluo implcita: a soluo da equao apresentada de

forma que a varivel y no est escrita como funo somente

de x.

0dx

dyyx 22222 xCyCxy


1.5) Como identificar se uma soluo proposta soluo da

equao diferencial?

Para identificar se uma soluo proposta soluo de uma

equao diferencial, basta substitui a soluo encontrada no

Lugar onde a varivel dependente (funo) aparece na equao,

e se aps os clculos feitos, a equao se transformar em uma

identidade, ento a funo encontrada soluo da equao

diferencial.

Introduo


Introduo

Exerccio 3. Verificar se y1 e y2 so solues da equao

diferencial abaixo.

0 xydx

dy

22 3

x

ey

21

2

3x

ey


2) Mtodos de Separao de variveis.

Uma Equao Diferencial de 1a Ordem permite ser

resolvida por separao de variveis, quando

M x y dx N x y dy, , 0

puder ser escrita na forma: f x g y dx f x g y dy1 2 2 1 0( ) ( )

Esta equao pode ser reduzirmos a uma forma mais

simples. Basta multiplicar a equao por acima por:

1

2 2f x g y( )

f x

f xdx

g y

g ydy

1

2

1

2

0 ( )

( )

gerando


1) Obtenha a soluo geral das equaes diferenciais

pelo mtodo da separao das variveis.

Exemplos:

0)1()1() 22 dyyxydxxa

y

x

dx

dyb )

2) Obtenha a soluo particular das equaes diferenciais pelo

mtodo da separao das variveis.

3)0(0) yxydx

dya


1)1(0) yydx

dyxc

Continuao de 2 ...

1)1(0) yxdx

dyyd

1)0()(2) 2 yxsendx

dyye

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