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MATEMÁTICA I
AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E FUNÇÕES
Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
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Parte 1
• Conjuntos numéricos
• A reta real
• Intervalos Numéricos
• Valor absoluto de um número
• Potências
• Produtos notáveis e binômio de Newton
Parte 2
• Função
• Variáveis
• Traçando Gráficos
• Domínio e Imagem
• Família de Funções
• Funções Polinomiais
• Funções Exponenciais e Logarítmicas
• Funções Trigonométricas
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
São, em geral, subconjuntos de ℝ, o conjunto dos números reais.
Números naturais ℕ: São os números empregados em processos de contagem.
Exemplos: 0,1, 2, 3, 4,...
Números Inteiros ℤ : São os números empregados em processos de contagem,
acrescidos de seus opostos.
Exemplos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
Números racionais ℚ : É o conjunto de todos os números que podem ser
escritos como quocientes 𝑎
𝑏, 𝒃 ≠ 𝟎.
Exemplos:−1
4, −
1
18,1
2,
7
10, 10
50, 20
20, ...
Números irracionais ℚ′ ou I : Todos os números reais que não são racionais
Exemplos: 𝜋 = 3,141592653589793…, 2 = 1,414213562373095… ,
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Exemplo 1.1 Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os
números abaixo pertencem
a) −7 b) 0,7 c) 7 d) 𝟕
𝟎 e) −7 f)
0
7
OBS.: 7 = 2,645751311064591
ℂ
ℝ ℚ
I
ℤ ℕ
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Números reais podem ser representados por pontos em
uma reta 𝑟, tal que
a cada número real 𝑎 corresponda exatamente a um ponto
sobre a reta 𝑟, e reciprocamente.
Exemplo. Represente o conjunto 3; −5;
2
3 ; 5; −1,5; −𝜋 sobre uma reta
real.
ℝ
A RETA REAL
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O intervalo fechado 𝑎, 𝑏 é o conjunto de todos números
reais 𝑥 tais que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Costumamos simplificar a notação acima como {x : a ≤ x ≤ b},
𝑎, 𝑏 = 𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
ficando entendido que 𝑥 ∈ ℝ.
INTERVALOS NUMÉRICOS
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O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos:
O intervalo infinito −∞,∞ é toda a reta real ℝ.
Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado.
INTERVALOS NUMÉRICOS
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Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades.
Representação:
Generalizando, para todo 𝑐 ∈ ℝ,
Representação:
Nesse caso o intervalo 𝑎, 𝑏 = 𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟 , onde 𝑐 =𝑎+𝑏
2 e 𝑟 =
𝑏−𝑎
2
INTERVALOS NUMÉRICOS
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Exemplo 2.2 (Descrevendo desigualdade com intervalo)
Descreva o conjunto 𝑆 = 𝑥:1
2𝑥 − 3 > 4 em termos de intervalos.
Solução. É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta
1
2𝑥 − 3 ≤ 4, assim
1
2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 ≤
1
2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 + 3 ≤
1
2𝑥 − 3 + 3 ≤ 4 + 3
−1 ≤1
2𝑥 ≤ 7 ⇒ −1 ∙ 2 ≤
1
2𝑥 ∙ 2 ≤ 7 ∙ 2 ⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 14
Note que 1
2𝑥 − 3 ≤ 4 está satisfeito quando 𝑥 ∈ −2, 14 .
O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números x que não
estão em −2, 14 , ou seja, 𝑺 = −∞,−𝟐 ∪ 𝟏𝟒,∞
Representação.
INTERVALOS NUMÉRICOS
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O valor absoluto de um número real 𝑥, denotado por 𝑥 ,
é definido por:
𝒙 = 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐦 = 𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 < 𝟎
Representação
Distância entre dois números reais
A distância entre dois números reais 𝑎 e b é |b − 𝑎 |, que é o
comprimento do segmento de reta que liga 𝑎 a b
|𝑥|
𝑥
VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO
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Observação. 𝑎 + 𝑏 não é igual a 𝑎 + 𝑏
A menos que 𝑎 e 𝑏 tenham o mesmo sinal ou pelo menos
um dos dois for zero.
Se a e b tiverem sinais opostos, então
𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏
• Por exemplo,
|2 + 5| = |2| + |5|
|−2 + 5| = 3 < 7 =|−2| + |5| .
• Em todo caso, |a + b| nunca é maior do que |a| + |b|
e assim temos a importante desigualdade triangular:
VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO
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Definição. Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então a expressão 𝑎𝑛 é
chamada de potência na base 𝑎 e expoente 𝑛.
Note que: 𝒂𝟎 = 𝟏
𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂 ∙ 𝒂𝒏
Exemplo:
100 = 1
101 = 10 ∙ 100 = 10
102 = 10 ∙ 101 = 100
103 = 10 ∙ 102 = 1.000
104 = 10 ∙ 103 = 10.000
POTÊNCIAS
Propriedades: Se 𝑎 ≠ 0
e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ então:
i) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
ii)𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
iii) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
iv) 𝑎 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛
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POTÊNCIAS
Potência com expoente negativo
Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛
Exemplo: 10−1 =1
10= 0,1; 10−2 =
1
10∙101 =1
100= 0,01
10−3 =1
10∙102 =1
1.000= 0,001; ...
Potência fracionária
Se 𝑎 > 0 e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎𝑛
𝑚 = 𝑎𝑛𝑚
Exemplo: 103 2 = 1023
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𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2
𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2
𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3
𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3
𝑥 + 𝑎 𝑛 = 𝑥𝑛 +𝑛
1!𝑎𝑥𝑛−1 +
𝑛 𝑛 − 1
2!𝑎2𝑥𝑛−2 +
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2
3!𝑎3𝑥𝑛−3 + ⋯
+𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …2
𝑛 − 1 !𝑎 𝑛−1 𝑥1 + 𝑎𝑛, 𝑛 > 1 inteiro.
PRODUTOS NOTÁVEIS
BINÔMIO DE NEWTON
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Parte 1
• Conjuntos numéricos
• A reta real
• Intervalos Numéricos
• Valor absoluto de um número
• Potências
• Produtos notáveis e binômio de Newton
Parte 2
• Função
• Variáveis
• Traçando Gráficos
• Domínio e Imagem
• Família de Funções
• Funções Polinomiais
• Funções Exponenciais e Logarítmicas
• Funções Trigonométricas
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Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem
como uma quantidade depende de outra.
• Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o
termo função para indicar a dependência de uma quantidade em
relação a uma outra, conforme a definição a seguir.
DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x
de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor
de y, então dizemos que y é uma função de x.
• Três maneiras usuais de representar funções são:
• Numericamente com tabelas
• Geometricamente com gráficos
• Algebricamente com fórmulas
FUNÇÕES
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Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a
ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo,
trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou tabelas.
• Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que
estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com a
matéria seca
Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio na ração)
Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio no solo)
Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para o animal ou planta que
atua no processo do substrato
DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única
saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é
denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ de x”).
FUNÇÕES
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• Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada
valor de f em x, ou imagem de x por f.
• Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra,
digamos y, e escrevemos
y = f(x)
• A variável x é denominada variável independente ou
argumento de f
• A variável y é denominada variável dependente de f.
• Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre
para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o
valor correspondente de y está determinado.
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
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Se ƒ for uma função de uma variável real a valores reais,
então o gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o
gráfico da equação y = ƒ(x).
• Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da
equação y = x
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
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FUNÇÕES - VARIÁVEIS
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Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre uma
função.
• Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o
gráfico da equação y = f(x), os pontos do gráfico são da forma
(x, f(x))
• ou seja, a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o
valor de f na coordenada x correspondente
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
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Os valores de x para os quais 𝑓(𝑥) = 0 são as
coordenadas x dos pontos nos quais o gráfico de f
intercepta o eixo x.
• Esses valores são denominados
• zeros de f
• raízes de f(x) = 0
• pontos de corte de y = f(x) com o eixo x.
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
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FUNÇÕES - VARIÁVEIS
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O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no
Cálculo, assim como na Álgebra e na Trigonometria.
• As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são
definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo x e o
eixo y.
𝒙
𝒚
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
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A um par (a, b) de números associamos o ponto P localizado na interseção
da reta perpendicular ao eixo x em a e a reta perpendicular ao eixo y em b.
• Os números a e b são as coordenadas x e y de P.
• A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
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Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados de I a
IV, determinados pelos sinais das coordenadas.
• Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (x, y) tais que
x < 0 e y < 0.
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
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Se x e y estão relacionados pela equação y = f(x), então
• o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de x)
é denominado domínio de f.
• o conjunto de todas as saídas (os valores de y) que resultam
quando x varia sobre o domínio é denominado imagem de f.
Exemplo. Se f é a função definida pela tabela ao lado abaixo,
então:
• o domínio é o conjunto 𝐷𝑓 ={0, 1, 2, 3}
• a imagem é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ={3, 4, −1, 6}.
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
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Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem
restrições sobre as entradas permissíveis de uma função.
• Por exemplo, se y denota a área de um quadrado de lado
x, então essas variáveis estão relacionadas pela equação
𝑦 = 𝑥2.
• Embora essa equação produza um único valor de y para
cada número real x, o fato de que os comprimentos devem
ser números não-negativos impõe a exigência que x ≥ 0.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
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Quando uma função está definida por uma fórmula
matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre as
entradas permissíveis.
• Por exemplo:
• se 𝑦 =1
𝑥, então x = 0 não é uma entrada válida
• pois divisão por zero não está definida.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≠ 0
• se 𝑦 = 𝑥, então valores negativos de x não são entradas
válidas, pois produzem valores imaginários de y.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
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O domínio e a imagem de uma função f podem ser
identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os
eixos coordenados
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
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Em alguns casos explicitamos o domínio ao definir uma função.
• Por exemplo, se 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é a área de um quadrado de lado x,
então podemos escrever
𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑥 ≥ 0
para indicar que tomamos o domínio de f como sendo o
conjunto dos números reais não-negativos
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
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FAMÍLIA DE FUNÇÕES
As funções são, frequentemente, agrupadas em famílias
de acordo com a forma das fórmulas que as definem ou
outras características comuns.
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O gráfico de uma função constante
ƒ(x) = c
é o gráfico da equação y = c, que é a
reta horizontal.
Se variarmos c, obteremos um
conjunto ou uma família de retas
horizontais.
FUNÇÕES – FAMÍLIA DE CURVAS
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Uma função linear é uma função do tipo
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 e 𝑏 constantes reais
O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma reta de inclinação 𝑚 e, como 𝑓 0 = 𝑏, o gráfico
intersecta o eixo y no ponto (0, b).
Usamos os símbolos Δ𝑥 e Δ𝑦
para denotar a variação (ou
incremento) em 𝑥 e 𝑦 = 𝑓 𝑥
ao longo do intervalo 𝑥1, 𝑥2 .
FUNÇÃO LINEAR
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FUNÇÃO LINEAR
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Uma função linear se caracteriza por representar um
crescimento ou decrescimento constantes.
• Qualquer mudança na variável independente causa
uma mudança proporcional na variável dependente.
FUNÇÃO LINEAR
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Dada uma função linear 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏,
• se 𝑚 > 0, o gráfico será inclinado para a direita,
ou seja, será uma função crescente;
• se 𝑚 < 0, o gráfico será inclinado para a
esquerda, ou seja, será uma função decrescente;
• se 𝑚 = 0, o gráfico não terá inclinação, ou seja,
será uma função constante;
𝑓 𝑥
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
FUNÇÃO LINEAR
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Observações
• Se mantivermos b fixo e tratarmos m
como um parâmetro, obteremos uma
família de retas cujos membros têm,
todos, o mesmo corte em b com o eixo y.
• Se mantivermos m fixo e tratarmos b
como um parâmetro, obteremos uma
família de retas paralelas cujos
membros têm, todos, a mesma
declividade m.
FUNÇÃO LINEAR
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS
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Uma função quadrática é uma função definida por um polinômio
quadrático
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, com 𝑎 ≠ 0.
O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma parábola
A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante 𝑎 for
positivo 𝑎 > 0 .
A parábola tem concavidade para baixo se 𝑎 for negativo 𝑎 < 0 .
O discriminante de 𝑓 𝑥 é a quantidade Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
FUNÇÃO QUADRÁTICA
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Se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , as raízes de 𝑓 𝑥 são dadas pela fórmula
quadrática ou de Bhaskara.
O sinal de Δ determina se 𝑓 𝑥 tem ou não tem raízes reais
Quando 𝑓 𝑥 tem duas raízes reais e 𝑟1 e 𝑟2 , então 𝑓 𝑥 pode ser fatorado
como
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2
𝑎 > 0 e Δ > 0 𝑎 > 0 e Δ = 0 𝑎 > 0 e Δ < 0 𝑎 < 0 e Δ > 0
−𝑏 ± Δ
2𝑎
FUNÇÃO QUADRÁTICA
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FUNÇÕES POLINOMIAIS
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Para todo número real 𝑛, a função
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
é denominada função potência de expoente 𝑛.
Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência
de expoentes naturais.
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥
OBS.: A função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥−1 não é um polinômio,
pois inclui uma função potência 𝑥−1 de expoente
negativo.
Gráfico da função
𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥
FUNÇÕES POLINOMIAIS
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O polinômio geral na variável 𝑥 pode ser escrito
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
e é denominado função polinomial de grau 𝑛.
Os números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 são denominados coeficientes.
O grau de 𝑃 𝑥 é 𝑛 (supondo que 𝑎𝑛 ≠ 0).
O coeficiente 𝑎𝑛 é denominado coeficiente dominante.
O domínio de 𝑃 𝑥 é ℝ.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
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Note que:
A função
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏
é uma função polinomial de grau 1, sendo:
𝑎1 = 𝑚 ≠ 0 e 𝑎0 = 𝑏, com 𝑚 e 𝑏 constantes.
A função
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
é uma função polinomial de grau 2, sendo:
𝑎2 = 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
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OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS
FUNÇÕES LINEARES
Não confunda 𝒎 com 𝜽:
Considere o gráfico abaixo:
𝜃
𝑀
O ângulo 𝜃 é formado pela reta 𝑦 e pelo ponto 𝑃.
• Esse ângulo 𝜃 é a inclinação da reta
tangente e é o valor do seu coeficiente
angular. Assim,
𝑚 = tg 𝜃
• Exemplo. Se 𝜃 = 60° então o coeficiente
angular da reta é:
𝑚 = tg 60° = 3
𝑃
𝑦
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FUNÇÕES EXPONENCIAIS
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A função
𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥
onde 𝑏 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑏.
Alguns exemplos são
A função 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 é crescente se 𝑏 > 1 e decrescente se 𝑏 < 1.
1 1
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
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FUNÇÕES EXPONENCIAIS
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![Page 51: AULA 1: PRÉ CÁLCULO E FUNÇÕES - fcav.unesp.br · Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades. ... e 𝑟= − 2 INTERVALOS NUMÉRICOS. Exemplo 2.2 (Descrevendo](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021715/5c0c8cb409d3f247038c4060/html5/thumbnails/51.jpg)
Considere 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, assim a função logarítmica com base
𝑎 é:
denotada por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ou 𝑦 = log𝑎 𝑥
a relação inversa da função exponencial 𝑎𝑦 = 𝑥
Os gráficos de 𝑦 = log𝑎 𝑥 quando variamos os valores da base
𝑎 > 1 são:
Note que sempre que 𝑥 = 1 log𝑎 𝑥 = 0, assim o gráfico de todas as
funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0 .
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
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Propriedades. Se 𝑥 e 𝑦 forem números positivos, então:
Exemplo:
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
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Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases 𝑎 para os
logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é 𝑒.
O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo
natural e tem uma notação especial:
𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙
Propriedades
1) ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥
2) ln 𝑒𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ
3) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 > 0
4) ln 𝑒 = 1
5) Para todo número positivo a ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =ln 𝑥
ln 𝑎
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
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CONTEÚDO
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois
sistemas de medição de ângulos: radianos e graus.
Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre
ângulos e rotação.
Utilizamos a letra grega minúscula teta (𝜃), para denotar ângulos
e rotação.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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• Cada ângulo tem uma medida em
radianos única satisfazendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.
• Com essa escolha, o ângulo 𝜃 subentende
um arco de comprimento 𝜃 ∙ 𝑟 num
círculo de raio r.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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• Para converter:
• Radianos em graus: multiplique por 180
𝜋
• Graus em radianos: multiplique por 𝜋
180
• Exemplo 1. Converta:
(a) 55𝑜 em radianos.
Solução: 55o ×𝜋
180≅ 0,9599 rad
(b) 0,5 rad em graus.
Solução: 0,5 rad ×180
𝜋≅ 28,648o
Radianos Graus
0 0o
𝜋
6 30o
𝜋
4 45o
𝜋
3 60o
𝜋
2 90o
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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As funções trigonométricas sen 𝜃 e cos 𝜃 são definidas em termos de
triângulos retângulos.
Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e denotemos os
lados
então
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo 𝜃
então
cos 𝜃 = coordenada x de P
sen 𝜃 = coordenada y de P
Note que:
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos 𝜃 e
sen 𝜃.
Tabulando esses dados, temos que:
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Função Seno: 𝑓 𝜃 = sen 𝜃
O gráfico de 𝑦 = sen𝜃 é gerado quando o ponto percorre o círculo
unitário.
O gráfico de 𝑦 = sen𝜃 é a conhecida “onda senoidal”
ou, simplesmente, “senóide”
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Função Cosseno: 𝑓 𝜃 = cos 𝜃
O gráfico de 𝑦 = cos 𝜃 tem o mesmo formato do gráfico da seno,
mas é transladado 𝜋
2 unidades para a esquerda.
Os sinais de sen 𝜃 e cos 𝜃 variam quando o ponto
P = (cos 𝜃 , sen 𝜃 )
do círculo unitário muda de quadrante
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Função Periódica
Uma função 𝑓 𝑥 é dita periódica de período T se 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥
(para cada 𝑥 ) e 𝑇 é o menor número positivo com essa
propriedade.
As funções seno e cosseno são periódicas com período 𝑇 = 2𝜋
Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de 2𝜋𝑘
correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Identidades Trigonométricas
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS