Probabilidade e Estatística II

Prof Marcos Cruz – 2011-I

Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle

Estimação de estados a partir de medidas; Medidas incertas – sujeitas a ruído; Distúrbios ≡ Perturbações na forma de ruído; Processos Estocásticos;

Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle

Estimação de estados a partir de medidas; o que são ‘estados’? Em uma modelagem de

sistemas chamada de ‘espaço de estados’ adotada em uma área de conhecimento da Engenharia de Controle chamada de ‘controle moderno’, ‘estado’ – falando muito livremente – é uma variável que representa armazenamento de energia;

Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle

Estimação de estados a partir de medidas; o que são ‘estados’? Formalmente, pode ser

definido (OGATA): “o estado de um sistema é uma coleção de um número mínimo de variáveis em um sistema x1(t),x2(t),...,xn(t), representada pelo vetor , cujo valor (em t = t0) juntamente com a entrada u(t) dada por t ≥ t0 é suficiente para determinar o comportamento do sistema para todo o tempo futuro t ≥ t0.”

Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle

Estimação de estados a partir de medidas; Por que ‘estimação’ e não ‘cálculo’? Porque o

processo não é determinístico, não dá para calcular com segurança. O processo é estocástico porque as medidas são incertas, sujeitas a ruídos que mascaram as leituras. Estes ‘ruídos’ são gaussianos, ou têm distribuição normal, que será vista mais a frente nesta cadeira;

Motivação para Aplicação em Engenharia de Controle

Processos Estocásticos; o tratamento realístico desses processos

(sistemas físicos, econômicos, biológicos, etc.), requer a incorporação explicita de incertezas;

Essas incertezas podem ser resultantes de, por exemplo,flutuações (p.ex., atmosféricas, variações na bolsa de valores), demanda aleatória, ruídos em sistemas de comunicações, falhas durante operação, etc.

Exemplo

Detecção de Radar; Para a figura ao lado,

se tem um alvo presente (1 no eixo x), o mais provável é retornar de 6 a 14 ecos (pings);

Exemplo

Detecção de Radar; Para a figura ao lado,

se não tem um alvo presente (0 no eixo x), o mais provável é retornar de 9 ecos (pings) para baixo;

Exemplo

Detecção de Radar; Em um modelo

determinístico, retornariam tantos pings quanto os emitidos se alvo presente e retornariam zero se alvo ausente;

Exemplo

Um sistema de radar tem a seguinte função de distribuição de probabilidades condicionais:

pnada = 10-2[04 07 11 12 17 16 13 09 06 04 01 00 00] palgo = 10-2[00 00 02 06 08 10 15 15 15 13 09 05 02]

X1: evento ‘alvo não visível’; X2: evento ‘alvo visível’

Yi: evento ‘radar retorna i pings’

Exemplo

Probabilidades condicionais: P(YiX1) = pinada e

P(YiX2) = pialgo

Defina uma regra de classificação de evento (‘alvo presente’ ou ‘alvo ausente’) e calcule a probabilidade de erro associada;

Se a regra for: até 7 pings detectados (inclusive) aceita X1, caso contrário, aceita X2, qual a probabilidade de erro associada à regra?

Dados: p* = 10-2[1 ping 2 pings .... 13 pings] P(X1) a priori é 0,6 e P(X2) a priori é 0,4.

Exemplo - Solução

Se a regra é: ‘até 7 pings – inclusive – aceita que alvo não visível;

Erro acontece se: mais de 7 pings e alvo não visível+ até 7 pings inclusive e alvo visível

Exemplo - Solução

Erro acontece se: mais de 7 pings e alvo não visível+ até 7 pings inclusive e alvo visível

Σ[pnada de 8 pings em diante] x 0,6 +

Σ[palgo de 1 a 7 pings] x 0,4

Exemplo - Solução

Σ[pnada de 8 pings em diante] x 0,6 significaqual é a probabilidade (conceito de probabilidade condicional) de se receber mais de 8 pings (Σ) dado que efetivamente não tem um alvo visível (0,6);

Exemplo - Solução

Σ[palgo de 1 a 7 pings] x 0,4 significaqual é a probabilidade (conceito de probabilidade condicional) de se receber até 7 pings (Σ) dado que efetivamente não tem um alvo visível (0,4);

Exemplo - Solução

Σ[pnada de 8 pings em diante] x 0,6 pnada = 10-2[04 07 11 12 17 16 13 09 06 04 01 00 00] 09+06+04+01 = 0,20 x 0,6 = 0,12 Σ[palgo de 1 a 7 pings] x 0,4 palgo = 10-2[ 00 00 02 06 08 10 15 15 15 13 09 05 02]

02+06+08+10+15 = 041 x 0,4 = 0,164

0,120 + 0,164 = 0,284

Exercício

Exemplo de estimação; Dois dados:

Evento A: soma maior que 5; Evento B: o primeiro é maior que 3;

Medindo B (uma quantidade aleatória), obtemos informação sobre A (outra quantidade aleatória);

Qual a P(AlB)?