Aula 1: Introdução ao...
Transcript of Aula 1: Introdução ao...
![Page 1: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/1.jpg)
Aula 1: Introdução ao cursoMCTA027-17 - Teoria dos Grafos
Prof. Maycon [email protected]
Centro de Matemática, Computação e Cognição – Universidade Federal do ABC
Basedo no material da Profa. Carla Negri Lintzmayer
1
![Page 2: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/2.jpg)
Grafos
• Grafo é um estrutura (matemática/dados) que modelarelacionamentos par-a-par entre objetos
• Os objetos (pontos) são chamados vértices ou nós• Os relacionamentos (linhas) são chamados de arestas
2
![Page 3: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/3.jpg)
Grafos
• Grafo é um estrutura (matemática/dados) que modelarelacionamentos par-a-par entre objetos
• Os objetos (pontos) são chamados vértices ou nós
• Os relacionamentos (linhas) são chamados de arestas
2
![Page 4: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/4.jpg)
Grafos
• Grafo é um estrutura (matemática/dados) que modelarelacionamentos par-a-par entre objetos
• Os objetos (pontos) são chamados vértices ou nós• Os relacionamentos (linhas) são chamados de arestas
2
![Page 5: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/5.jpg)
Por que estudar grafos?
Estrutura útil para representar relacionamentos par-a-par:
• Vértices podem representar pessoas, animais, computadores,fábricas, cidades, antenas, …
• Arestas podem representar interferências, relações sociais,estradas, conexões, …
• Podemos ampliar a gama de situações que podemos modelarusando grafos se associarmos atributos aos vertices e/ouarestas (veja os próximos slides)
3
![Page 6: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/6.jpg)
Grafos + atributos: cores associadas as vértices
4
![Page 7: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/7.jpg)
Grafos + atributos: cores associadas as arestas
5
![Page 8: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/8.jpg)
Grafos + atributos: cores associadas aos vértices e arestas
6
![Page 9: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/9.jpg)
Grafos + atributos: pesos associados aos vértices
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
w8
onde wi ∈ R para todo i
7
![Page 10: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/10.jpg)
Grafos + atributos: pesos associados as arestas
w0
w 1
w2
w3 w4
w 5
w6
w7
w 8
w9
w10
w11
w 12
w13w14
w15
onde wi ∈ R para todo i8
![Page 11: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/11.jpg)
Grafos + atributos: pesos associados aos vértices e arestas
w1
w2
w3
w4
w5
w6
w7
w8
w8
w 9
w10
w11 w12
w 13
w14
w15
w 16
w17
w18
w19
w 20
w21w22
w23
onde wi ∈ R para todo i9
![Page 12: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/12.jpg)
Grafos + atributos: orientação das arestas
10
![Page 13: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/13.jpg)
Grafos + atributos
• Atributos aumentam a gama de situações que podemosmodelar usando grafos
• Vejamos alguns problemas que podemos modelar com grafos
11
![Page 14: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/14.jpg)
Grafos + atributos
• Atributos aumentam a gama de situações que podemosmodelar usando grafos
• Vejamos alguns problemas que podemos modelar com grafos
11
![Page 15: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/15.jpg)
Representar situações e resolver problemas
Malha rodoviária
• Qual o jeito mais barato/rápido de ir de x a y?• É possível ir de x a y?• É possível sair de x, passar por todas as cidades uma única vez e
voltar a x?
12
![Page 16: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/16.jpg)
Representar situações e resolver problemas
Redes sociais
• Quais amigos convidar para uma festa onde todos se conheçam?• Teoria dos seis graus de separação: Erdős Number, Bacon Number,
Erdős-Bacon Number
13
![Page 17: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/17.jpg)
Representar situações e resolver problemas
Redes sociais
• Quais amigos convidar para uma festa onde todos se conheçam?• Teoria dos seis graus de separação: Erdős Number, Bacon Number,
Erdős-Bacon Number
14
![Page 18: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/18.jpg)
Representar situações e resolver problemas
Redes
• Existem k computadores que, se ficarem offline, eliminam a conexãoentre dois computadores online?
• Qual a forma mais barata de manter todos os computadoresconectados entre si?
15
![Page 19: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/19.jpg)
Representar situações e resolver problemas
Relações de precedência
• Qual sequência de filmes assistir sem dependências?
16
![Page 20: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/20.jpg)
Representar situações e resolver problemas
Relações de exclusão mútua
• Quais disciplinas podem ser ofertadas no mesmo horário?
• Quais disciplinas podem ser ofertadas nas salas disponíveis nessehorário?
17
![Page 21: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/21.jpg)
Representar situações e resolver problemas
Circuitos
• É possível imprimir esse circuito em uma placa sem cruzamento detrilhas?
18
![Page 22: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/22.jpg)
Representar situações e resolver problemas
Relações de preferência
• É possível alocar todas as pessoas a empregos?
19
![Page 23: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/23.jpg)
Por que estudar teoria dos grafos?
Grafos pequenos podem ser facilmente visualizados
20
![Page 24: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/24.jpg)
Por que estudar teoria dos grafos?
Em grafos grandes a situação pode ser bem diferente
21
![Page 25: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/25.jpg)
Por que estudar teoria dos grafos?
Em grafos grandes a situação pode ser bem diferente
22
![Page 26: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/26.jpg)
Por que estudar teoria dos grafos?
Impossível analisar visualmente a estrutura do grafo.
O que fazer?
• Usar recursos computacionais• Usar técnicas sofisticadas envolvendo combinatória,
probabilidade, álgebra, …
23
![Page 27: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/27.jpg)
Por que estudar teoria dos grafos?
Impossível analisar visualmente a estrutura do grafo.
O que fazer?
• Usar recursos computacionais
• Usar técnicas sofisticadas envolvendo combinatória,probabilidade, álgebra, …
23
![Page 28: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/28.jpg)
Por que estudar teoria dos grafos?
Impossível analisar visualmente a estrutura do grafo.
O que fazer?
• Usar recursos computacionais• Usar técnicas sofisticadas envolvendo combinatória,
probabilidade, álgebra, …
23
![Page 29: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/29.jpg)
Nosso objetivo
Compreender as leis que governam o comportamento dessaestrutura
24
![Page 30: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/30.jpg)
Neste curso
Conhecer os principais aspectos da Teoria dos Grafos
• Conceitos e noções básicas• Alguns algoritmos importantes• Propriedades estruturais dos grafos• Classes importantes de grafos• Modelar problemas usando grafos• Aprender a demonstrar propriedades em grafos e explorá-las
no desenvolvimento de algoritmos
25
![Page 31: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/31.jpg)
Neste curso
Conhecer os principais aspectos da Teoria dos Grafos
• Conceitos e noções básicas
• Alguns algoritmos importantes• Propriedades estruturais dos grafos• Classes importantes de grafos• Modelar problemas usando grafos• Aprender a demonstrar propriedades em grafos e explorá-las
no desenvolvimento de algoritmos
25
![Page 32: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/32.jpg)
Neste curso
Conhecer os principais aspectos da Teoria dos Grafos
• Conceitos e noções básicas• Alguns algoritmos importantes
• Propriedades estruturais dos grafos• Classes importantes de grafos• Modelar problemas usando grafos• Aprender a demonstrar propriedades em grafos e explorá-las
no desenvolvimento de algoritmos
25
![Page 33: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/33.jpg)
Neste curso
Conhecer os principais aspectos da Teoria dos Grafos
• Conceitos e noções básicas• Alguns algoritmos importantes• Propriedades estruturais dos grafos
• Classes importantes de grafos• Modelar problemas usando grafos• Aprender a demonstrar propriedades em grafos e explorá-las
no desenvolvimento de algoritmos
25
![Page 34: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/34.jpg)
Neste curso
Conhecer os principais aspectos da Teoria dos Grafos
• Conceitos e noções básicas• Alguns algoritmos importantes• Propriedades estruturais dos grafos• Classes importantes de grafos
• Modelar problemas usando grafos• Aprender a demonstrar propriedades em grafos e explorá-las
no desenvolvimento de algoritmos
25
![Page 35: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/35.jpg)
Neste curso
Conhecer os principais aspectos da Teoria dos Grafos
• Conceitos e noções básicas• Alguns algoritmos importantes• Propriedades estruturais dos grafos• Classes importantes de grafos• Modelar problemas usando grafos
• Aprender a demonstrar propriedades em grafos e explorá-lasno desenvolvimento de algoritmos
25
![Page 36: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/36.jpg)
Neste curso
Conhecer os principais aspectos da Teoria dos Grafos
• Conceitos e noções básicas• Alguns algoritmos importantes• Propriedades estruturais dos grafos• Classes importantes de grafos• Modelar problemas usando grafos• Aprender a demonstrar propriedades em grafos e explorá-las
no desenvolvimento de algoritmos
25
![Page 37: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/37.jpg)
Informações
professor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/cursos/2019Q3-TG/
26
![Page 38: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/38.jpg)
Aula de hoje
• Conceitos básicos mais importantes• O que é uma demonstração/prova• Técnicas e exemplos de demonstrações/provas
Conteúdo baseado nos seguintes documentos:
• Livro ”Velleman, D. J.. How to Prove It: A StructuredApproach. Second Edition. Cambridge University Press.2006”.
• “Elementos de Matemática Discreta para Computação”, dosprofs. Anamaria Gomide e Jorge Stolfi, da Unicamp.
27
![Page 39: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/39.jpg)
Aula de hoje
• Conceitos básicos mais importantes• O que é uma demonstração/prova• Técnicas e exemplos de demonstrações/provas
Conteúdo baseado nos seguintes documentos:
• Livro ”Velleman, D. J.. How to Prove It: A StructuredApproach. Second Edition. Cambridge University Press.2006”.
• “Elementos de Matemática Discreta para Computação”, dosprofs. Anamaria Gomide e Jorge Stolfi, da Unicamp.
27
![Page 40: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/40.jpg)
Conceitos importantes
• Proposição: sentença declarativa que é verdadeira ou falsa (P,P(x)).
• Conectivos: conjunção (∧), disjunção (∨), negação (¬),condicional (→), bicondicional (↔).
• Leis de equivalência:¬(P ∧Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q (DeMorgan),¬(P ∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q (DeMorgan),P→ Q ≡ ¬Q→ ¬P (contrapositiva),P→ Q ≡ ¬P ∨Q.
• Quantificadores: ∀xP(x), ∃xP(x).
28
![Page 41: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/41.jpg)
Conceitos importantes
• Proposição: sentença declarativa que é verdadeira ou falsa (P,P(x)).
• Conectivos: conjunção (∧), disjunção (∨), negação (¬),condicional (→), bicondicional (↔).
• Leis de equivalência:¬(P ∧Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q (DeMorgan),¬(P ∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q (DeMorgan),P→ Q ≡ ¬Q→ ¬P (contrapositiva),P→ Q ≡ ¬P ∨Q.
• Quantificadores: ∀xP(x), ∃xP(x).
28
![Page 42: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/42.jpg)
Conceitos importantes
• Proposição: sentença declarativa que é verdadeira ou falsa (P,P(x)).
• Conectivos: conjunção (∧), disjunção (∨), negação (¬),condicional (→), bicondicional (↔).
• Leis de equivalência:¬(P ∧Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q (DeMorgan),¬(P ∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q (DeMorgan),P→ Q ≡ ¬Q→ ¬P (contrapositiva),P→ Q ≡ ¬P ∨Q.
• Quantificadores: ∀xP(x), ∃xP(x).
28
![Page 43: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/43.jpg)
Conceitos importantes
• Proposição: sentença declarativa que é verdadeira ou falsa (P,P(x)).
• Conectivos: conjunção (∧), disjunção (∨), negação (¬),condicional (→), bicondicional (↔).
• Leis de equivalência:¬(P ∧Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q (DeMorgan),¬(P ∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q (DeMorgan),P→ Q ≡ ¬Q→ ¬P (contrapositiva),P→ Q ≡ ¬P ∨Q.
• Quantificadores: ∀xP(x), ∃xP(x).
28
![Page 44: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/44.jpg)
Conceitos importantes
• Conjuntos: {x : P(x)}, ×, ∅.
• Relações em conjuntos: ∈, /∈, ⊂, ⊆, ⊈.• Operações em conjuntos: ∪, ∩, \.• Conjuntos especiais: Z, N, R.• Cardinalidade de conjunto: |A|.• Somatórios:
∑ni=0 ai,
∑b∈A b.
29
![Page 45: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/45.jpg)
Conceitos importantes
• Conjuntos: {x : P(x)}, ×, ∅.• Relações em conjuntos: ∈, /∈, ⊂, ⊆, ⊈.
• Operações em conjuntos: ∪, ∩, \.• Conjuntos especiais: Z, N, R.• Cardinalidade de conjunto: |A|.• Somatórios:
∑ni=0 ai,
∑b∈A b.
29
![Page 46: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/46.jpg)
Conceitos importantes
• Conjuntos: {x : P(x)}, ×, ∅.• Relações em conjuntos: ∈, /∈, ⊂, ⊆, ⊈.• Operações em conjuntos: ∪, ∩, \.
• Conjuntos especiais: Z, N, R.• Cardinalidade de conjunto: |A|.• Somatórios:
∑ni=0 ai,
∑b∈A b.
29
![Page 47: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/47.jpg)
Conceitos importantes
• Conjuntos: {x : P(x)}, ×, ∅.• Relações em conjuntos: ∈, /∈, ⊂, ⊆, ⊈.• Operações em conjuntos: ∪, ∩, \.• Conjuntos especiais: Z, N, R.
• Cardinalidade de conjunto: |A|.• Somatórios:
∑ni=0 ai,
∑b∈A b.
29
![Page 48: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/48.jpg)
Conceitos importantes
• Conjuntos: {x : P(x)}, ×, ∅.• Relações em conjuntos: ∈, /∈, ⊂, ⊆, ⊈.• Operações em conjuntos: ∪, ∩, \.• Conjuntos especiais: Z, N, R.• Cardinalidade de conjunto: |A|.
• Somatórios:∑n
i=0 ai,∑
b∈A b.
29
![Page 49: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/49.jpg)
Conceitos importantes
• Conjuntos: {x : P(x)}, ×, ∅.• Relações em conjuntos: ∈, /∈, ⊂, ⊆, ⊈.• Operações em conjuntos: ∪, ∩, \.• Conjuntos especiais: Z, N, R.• Cardinalidade de conjunto: |A|.• Somatórios:
∑ni=0 ai,
∑b∈A b.
29
![Page 50: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/50.jpg)
Método dedutivo
• Como ter certeza que nossa resposta é correta?• Como transmitir aos outros essa certeza?• Começamos por axiomas: fatos simples que assumimos que
são verdadeiros.• Desenvolvemos um raciocínio a partir deles usando regras de
inferência.
30
![Page 51: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/51.jpg)
Método dedutivo
• Considere uma pergunta/afirmação.• Você acha que ela possui uma certa resposta (conjectura).• Você pode demonstrar que essa resposta está correta
(teorema, lema, corolário).• Você pode demonstrar que essa resposta está errada
(contraexemplo).• Você pode não conseguir nada (a conjectura fica em aberto).
31
![Page 52: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/52.jpg)
Método dedutivo
Se você encontrou um contraexemplo para sua questão, pode tercerteza de que ela está incorreta.
Suponha que x > 3. Então x2 − 2y > 5.
Falso. Tome, por exemplo, x = 4 e y = 9.Nesse caso, x2 − 2y = 16− 18 = −2 ≯ 5.
32
![Page 53: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/53.jpg)
Método dedutivo
Se você encontrou um contraexemplo para sua questão, pode tercerteza de que ela está incorreta.
Suponha que x > 3. Então x2 − 2y > 5.Falso. Tome, por exemplo, x = 4 e y = 9.Nesse caso, x2 − 2y = 16− 18 = −2 ≯ 5.
32
![Page 54: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/54.jpg)
Método dedutivo
Porém a única forma de ter certeza que sua questão está correta édemonstrando-a.
Suponha que x > 3 e y < 2. Então x2 − 2y > 5.
Como x > 3, temos que x2 > 9.Como y < 2, temos que −y > −2 e −2y > −4.Assim, x2 − 2y > 9− 4 = 5. C.Q.D.
33
![Page 55: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/55.jpg)
Método dedutivo
Porém a única forma de ter certeza que sua questão está correta édemonstrando-a.
Suponha que x > 3 e y < 2. Então x2 − 2y > 5.Como x > 3, temos que x2 > 9.
Como y < 2, temos que −y > −2 e −2y > −4.Assim, x2 − 2y > 9− 4 = 5. C.Q.D.
33
![Page 56: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/56.jpg)
Método dedutivo
Porém a única forma de ter certeza que sua questão está correta édemonstrando-a.
Suponha que x > 3 e y < 2. Então x2 − 2y > 5.Como x > 3, temos que x2 > 9.Como y < 2, temos que −y > −2 e −2y > −4.
Assim, x2 − 2y > 9− 4 = 5. C.Q.D.
33
![Page 57: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/57.jpg)
Método dedutivo
Porém a única forma de ter certeza que sua questão está correta édemonstrando-a.
Suponha que x > 3 e y < 2. Então x2 − 2y > 5.Como x > 3, temos que x2 > 9.Como y < 2, temos que −y > −2 e −2y > −4.Assim, x2 − 2y > 9− 4 = 5. C.Q.D.
33
![Page 58: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/58.jpg)
Demonstração/Prova
• Uma demonstração é uma argumentação precisa que procuraconvencer o leitor de que uma certa proposição, previamenteenunciada, está correta.
• É uma sequência de afirmações organizada da seguintemaneira:
• cada afirmação é consequência simples das afirmaçõesanteriores e das hipóteses da proposição em discussão;
• a última afirmação é a proposição que se deseja demonstrar.
• Descreve apenas os passos necessários para chegar àconclusão, sem explicar o raciocínio utilizado.
34
![Page 59: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/59.jpg)
Demonstração/Prova
• Uma demonstração é uma argumentação precisa que procuraconvencer o leitor de que uma certa proposição, previamenteenunciada, está correta.
• É uma sequência de afirmações organizada da seguintemaneira:
• cada afirmação é consequência simples das afirmaçõesanteriores e das hipóteses da proposição em discussão;
• a última afirmação é a proposição que se deseja demonstrar.
• Descreve apenas os passos necessários para chegar àconclusão, sem explicar o raciocínio utilizado.
34
![Page 60: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/60.jpg)
Demonstração/Prova
• Uma demonstração é uma argumentação precisa que procuraconvencer o leitor de que uma certa proposição, previamenteenunciada, está correta.
• É uma sequência de afirmações organizada da seguintemaneira:
• cada afirmação é consequência simples das afirmaçõesanteriores e das hipóteses da proposição em discussão;
• a última afirmação é a proposição que se deseja demonstrar.
• Descreve apenas os passos necessários para chegar àconclusão, sem explicar o raciocínio utilizado.
34
![Page 61: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/61.jpg)
Demonstração/Prova
• Uma demonstração é uma argumentação precisa que procuraconvencer o leitor de que uma certa proposição, previamenteenunciada, está correta.
• É uma sequência de afirmações organizada da seguintemaneira:
• cada afirmação é consequência simples das afirmaçõesanteriores e das hipóteses da proposição em discussão;
• a última afirmação é a proposição que se deseja demonstrar.
• Descreve apenas os passos necessários para chegar àconclusão, sem explicar o raciocínio utilizado.
34
![Page 62: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/62.jpg)
Demonstração/Prova
• Uma demonstração é uma argumentação precisa que procuraconvencer o leitor de que uma certa proposição, previamenteenunciada, está correta.
• É uma sequência de afirmações organizada da seguintemaneira:
• cada afirmação é consequência simples das afirmaçõesanteriores e das hipóteses da proposição em discussão;
• a última afirmação é a proposição que se deseja demonstrar.
• Descreve apenas os passos necessários para chegar àconclusão, sem explicar o raciocínio utilizado.
34
![Page 63: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/63.jpg)
Demonstração/Prova
• Infelizmente não existe um “algoritmo” para escreverprovas/demonstrações.
• Em geral também não se consegue escrever umademonstração de uma única vez.
• Por outro lado, existem algumas técnicas gerais.• Mas qual usar?
• A que funcione …• Talvez tenhamos que recomeçar várias vezes.• Mas com o tempo ganhamos alguma intuição.
• É bem útil sempre ter “em mente” qual o objetivo e o o quejá se sabe.
35
![Page 64: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/64.jpg)
Demonstração/Prova
• Infelizmente não existe um “algoritmo” para escreverprovas/demonstrações.
• Em geral também não se consegue escrever umademonstração de uma única vez.
• Por outro lado, existem algumas técnicas gerais.• Mas qual usar?
• A que funcione …• Talvez tenhamos que recomeçar várias vezes.• Mas com o tempo ganhamos alguma intuição.
• É bem útil sempre ter “em mente” qual o objetivo e o o quejá se sabe.
35
![Page 65: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/65.jpg)
Demonstração/Prova
• Infelizmente não existe um “algoritmo” para escreverprovas/demonstrações.
• Em geral também não se consegue escrever umademonstração de uma única vez.
• Por outro lado, existem algumas técnicas gerais.
• Mas qual usar?
• A que funcione …• Talvez tenhamos que recomeçar várias vezes.• Mas com o tempo ganhamos alguma intuição.
• É bem útil sempre ter “em mente” qual o objetivo e o o quejá se sabe.
35
![Page 66: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/66.jpg)
Demonstração/Prova
• Infelizmente não existe um “algoritmo” para escreverprovas/demonstrações.
• Em geral também não se consegue escrever umademonstração de uma única vez.
• Por outro lado, existem algumas técnicas gerais.• Mas qual usar?
• A que funcione …• Talvez tenhamos que recomeçar várias vezes.• Mas com o tempo ganhamos alguma intuição.
• É bem útil sempre ter “em mente” qual o objetivo e o o quejá se sabe.
35
![Page 67: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/67.jpg)
Demonstração/Prova
• Infelizmente não existe um “algoritmo” para escreverprovas/demonstrações.
• Em geral também não se consegue escrever umademonstração de uma única vez.
• Por outro lado, existem algumas técnicas gerais.• Mas qual usar?
• A que funcione …
• Talvez tenhamos que recomeçar várias vezes.• Mas com o tempo ganhamos alguma intuição.
• É bem útil sempre ter “em mente” qual o objetivo e o o quejá se sabe.
35
![Page 68: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/68.jpg)
Demonstração/Prova
• Infelizmente não existe um “algoritmo” para escreverprovas/demonstrações.
• Em geral também não se consegue escrever umademonstração de uma única vez.
• Por outro lado, existem algumas técnicas gerais.• Mas qual usar?
• A que funcione …• Talvez tenhamos que recomeçar várias vezes.
• Mas com o tempo ganhamos alguma intuição.
• É bem útil sempre ter “em mente” qual o objetivo e o o quejá se sabe.
35
![Page 69: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/69.jpg)
Demonstração/Prova
• Infelizmente não existe um “algoritmo” para escreverprovas/demonstrações.
• Em geral também não se consegue escrever umademonstração de uma única vez.
• Por outro lado, existem algumas técnicas gerais.• Mas qual usar?
• A que funcione …• Talvez tenhamos que recomeçar várias vezes.• Mas com o tempo ganhamos alguma intuição.
• É bem útil sempre ter “em mente” qual o objetivo e o o quejá se sabe.
35
![Page 70: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/70.jpg)
Demonstração/Prova
• Infelizmente não existe um “algoritmo” para escreverprovas/demonstrações.
• Em geral também não se consegue escrever umademonstração de uma única vez.
• Por outro lado, existem algumas técnicas gerais.• Mas qual usar?
• A que funcione …• Talvez tenhamos que recomeçar várias vezes.• Mas com o tempo ganhamos alguma intuição.
• É bem útil sempre ter “em mente” qual o objetivo e o o quejá se sabe.
35
![Page 71: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/71.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma P como verdade e prove Q.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
Objetivo:
• m + n é par
36
![Page 72: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/72.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma P como verdade e prove Q.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
Objetivo:• (m e n são pares) →
(m + n é par)
• m + n é par
36
![Page 73: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/73.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma P como verdade e prove Q.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
• m,n pares
Objetivo:• m + n é par
36
![Page 74: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/74.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma P como verdade e prove Q.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
• ∃r ∈ Z (m = 2r)• ∃s ∈ Z (n = 2s)
Objetivo:• m + n é par
36
![Page 75: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/75.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma P como verdade e prove Q.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
• r, s ∈ Z
• m = 2s• n = 2r
Objetivo:• m + n é par
36
![Page 76: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/76.jpg)
Para provar algo da forma P
Prove P diretamente.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente, existeinteiro s tal que n = 2s. Portanto, m + n = 2r + 2s = 2(r + s).Como r + s é inteiro, temos que m + n é par. C.Q.D.
37
![Page 77: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/77.jpg)
Para provar algo da forma P
Prove P diretamente.TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r.
Similarmente, existeinteiro s tal que n = 2s. Portanto, m + n = 2r + 2s = 2(r + s).Como r + s é inteiro, temos que m + n é par. C.Q.D.
37
![Page 78: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/78.jpg)
Para provar algo da forma P
Prove P diretamente.TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente, existeinteiro s tal que n = 2s.
Portanto, m + n = 2r + 2s = 2(r + s).Como r + s é inteiro, temos que m + n é par. C.Q.D.
37
![Page 79: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/79.jpg)
Para provar algo da forma P
Prove P diretamente.TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente, existeinteiro s tal que n = 2s. Portanto, m + n = 2r + 2s = 2(r + s).
Como r + s é inteiro, temos que m + n é par. C.Q.D.
37
![Page 80: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/80.jpg)
Para provar algo da forma P
Prove P diretamente.TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente, existeinteiro s tal que n = 2s. Portanto, m + n = 2r + 2s = 2(r + s).Como r + s é inteiro, temos que m + n é par. C.Q.D.
37
![Page 81: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/81.jpg)
Para provar algo da forma P
Assuma que P é falso e tente chegar a uma contradição.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n, r, s ∈ Z
• m = 2s• n = 2r
• m + n é ímpar
Objetivo:
• contradição
38
![Page 82: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/82.jpg)
Para provar algo da forma P
Assuma que P é falso e tente chegar a uma contradição.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n, r, s ∈ Z
• m = 2s• n = 2r
• m + n é ímpar
Objetivo:• m + n é par
• contradição
38
![Page 83: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/83.jpg)
Para provar algo da forma P
Assuma que P é falso e tente chegar a uma contradição.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n, r, s ∈ Z
• m = 2s• n = 2r• m + n é ímpar
Objetivo:• contradição
38
![Page 84: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/84.jpg)
Para provar algo da forma P
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r.
Similarmente,existe inteiro s tal que n = 2s. Assuma, para fins de contradição,que m + n é ímpar. Então existe inteiro t tal que m + n = 2t + 1.Assim, 2r + 2s = 2t + 1, ou seja, 2(r + s− t) = 1, o que é umacontradição, pois r + s− t é um inteiro, e consequentemente2(r + s− t) é um número par, e 1 é ímpar. Então m + n deve serpar. C.Q.D.
39
![Page 85: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/85.jpg)
Para provar algo da forma P
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente,existe inteiro s tal que n = 2s.
Assuma, para fins de contradição,que m + n é ímpar. Então existe inteiro t tal que m + n = 2t + 1.Assim, 2r + 2s = 2t + 1, ou seja, 2(r + s− t) = 1, o que é umacontradição, pois r + s− t é um inteiro, e consequentemente2(r + s− t) é um número par, e 1 é ímpar. Então m + n deve serpar. C.Q.D.
39
![Page 86: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/86.jpg)
Para provar algo da forma P
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente,existe inteiro s tal que n = 2s. Assuma, para fins de contradição,que m + n é ímpar.
Então existe inteiro t tal que m + n = 2t + 1.Assim, 2r + 2s = 2t + 1, ou seja, 2(r + s− t) = 1, o que é umacontradição, pois r + s− t é um inteiro, e consequentemente2(r + s− t) é um número par, e 1 é ímpar. Então m + n deve serpar. C.Q.D.
39
![Page 87: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/87.jpg)
Para provar algo da forma P
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente,existe inteiro s tal que n = 2s. Assuma, para fins de contradição,que m + n é ímpar. Então existe inteiro t tal que m + n = 2t + 1.
Assim, 2r + 2s = 2t + 1, ou seja, 2(r + s− t) = 1, o que é umacontradição, pois r + s− t é um inteiro, e consequentemente2(r + s− t) é um número par, e 1 é ímpar. Então m + n deve serpar. C.Q.D.
39
![Page 88: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/88.jpg)
Para provar algo da forma P
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente,existe inteiro s tal que n = 2s. Assuma, para fins de contradição,que m + n é ímpar. Então existe inteiro t tal que m + n = 2t + 1.Assim, 2r + 2s = 2t + 1, ou seja, 2(r + s− t) = 1, o que é umacontradição, pois r + s− t é um inteiro, e consequentemente2(r + s− t) é um número par, e 1 é ímpar.
Então m + n deve serpar. C.Q.D.
39
![Page 89: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/89.jpg)
Para provar algo da forma P
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Como m é par, existe inteiro r tal que m = 2r. Similarmente,existe inteiro s tal que n = 2s. Assuma, para fins de contradição,que m + n é ímpar. Então existe inteiro t tal que m + n = 2t + 1.Assim, 2r + 2s = 2t + 1, ou seja, 2(r + s− t) = 1, o que é umacontradição, pois r + s− t é um inteiro, e consequentemente2(r + s− t) é um número par, e 1 é ímpar. Então m + n deve serpar. C.Q.D.
39
![Page 90: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/90.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma Q como falso e prove que P é falso (prove acontrapositiva).
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
Objetivo:
• m ou n é ímpar
40
![Page 91: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/91.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma Q como falso e prove que P é falso (prove acontrapositiva).
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
Objetivo:• ¬(m + n é par) → ¬(m e
n são pares)
• m ou n é ímpar
40
![Page 92: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/92.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma Q como falso e prove que P é falso (prove acontrapositiva).
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
Objetivo:• (m + n é ímpar) → (m ou
n é ímpar)
• m ou n é ímpar
40
![Page 93: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/93.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma Q como falso e prove que P é falso (prove acontrapositiva).
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
• m + n é ímpar
Objetivo:• m ou n é ímpar
40
![Page 94: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/94.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma Q como falso e prove que P é falso (prove acontrapositiva).
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
• ∃t ∈ Z (m + n = 2t + 1)
Objetivo:• m ou n é ímpar
40
![Page 95: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/95.jpg)
Para provar algo da forma P→ Q
Assuma Q como falso e prove que P é falso (prove acontrapositiva).
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n ∈ Z
• t ∈ Z
• m + n = 2t + 1
Objetivo:• m ou n é ímpar
40
![Page 96: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/96.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
Se P é verdade, então claramente P ∨Q é verdade.Assim, apenas precisamos nos preocupar com o caso em que P éfalso, restando provar Q.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n, t ∈ Z
• m + n = 2t + 1
• n é par
Objetivo:
• m é ímpar
41
![Page 97: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/97.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
Se P é verdade, então claramente P ∨Q é verdade.Assim, apenas precisamos nos preocupar com o caso em que P éfalso, restando provar Q.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n, t ∈ Z
• m + n = 2t + 1
• n é par
Objetivo:• m ou n é ímpar
• m é ímpar
41
![Page 98: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/98.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
Se P é verdade, então claramente P ∨Q é verdade.Assim, apenas precisamos nos preocupar com o caso em que P éfalso, restando provar Q.
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Sabemos:• m,n, t ∈ Z
• m + n = 2t + 1• n é par
Objetivo:• m é ímpar
41
![Page 99: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/99.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Vamos provar a contrapositiva.
Como m + n é ímpar, existe inteirot tal que m + n = 2t + 1. Se n é ímpar, então o resultado vale.Assuma, portanto, que n é par. Então existe inteiro r tal quen = 2r. Neste caso, m = 2t + 1− n = 2t + 1− 2r = 2(t− r) + 1.Como t− r é inteiro, concluímos que m é ímpar. C.Q.D.
42
![Page 100: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/100.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Vamos provar a contrapositiva. Como m + n é ímpar, existe inteirot tal que m + n = 2t + 1.
Se n é ímpar, então o resultado vale.Assuma, portanto, que n é par. Então existe inteiro r tal quen = 2r. Neste caso, m = 2t + 1− n = 2t + 1− 2r = 2(t− r) + 1.Como t− r é inteiro, concluímos que m é ímpar. C.Q.D.
42
![Page 101: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/101.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Vamos provar a contrapositiva. Como m + n é ímpar, existe inteirot tal que m + n = 2t + 1. Se n é ímpar, então o resultado vale.
Assuma, portanto, que n é par. Então existe inteiro r tal quen = 2r. Neste caso, m = 2t + 1− n = 2t + 1− 2r = 2(t− r) + 1.Como t− r é inteiro, concluímos que m é ímpar. C.Q.D.
42
![Page 102: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/102.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Vamos provar a contrapositiva. Como m + n é ímpar, existe inteirot tal que m + n = 2t + 1. Se n é ímpar, então o resultado vale.Assuma, portanto, que n é par.
Então existe inteiro r tal quen = 2r. Neste caso, m = 2t + 1− n = 2t + 1− 2r = 2(t− r) + 1.Como t− r é inteiro, concluímos que m é ímpar. C.Q.D.
42
![Page 103: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/103.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Vamos provar a contrapositiva. Como m + n é ímpar, existe inteirot tal que m + n = 2t + 1. Se n é ímpar, então o resultado vale.Assuma, portanto, que n é par. Então existe inteiro r tal quen = 2r.
Neste caso, m = 2t + 1− n = 2t + 1− 2r = 2(t− r) + 1.Como t− r é inteiro, concluímos que m é ímpar. C.Q.D.
42
![Page 104: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/104.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Vamos provar a contrapositiva. Como m + n é ímpar, existe inteirot tal que m + n = 2t + 1. Se n é ímpar, então o resultado vale.Assuma, portanto, que n é par. Então existe inteiro r tal quen = 2r. Neste caso, m = 2t + 1− n = 2t + 1− 2r = 2(t− r) + 1.
Como t− r é inteiro, concluímos que m é ímpar. C.Q.D.
42
![Page 105: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/105.jpg)
Para provar algo da forma P ∨Q
TeoremaSejam m e n números inteiros. Se m e n são pares, então m + n épar.
Demonstração.Vamos provar a contrapositiva. Como m + n é ímpar, existe inteirot tal que m + n = 2t + 1. Se n é ímpar, então o resultado vale.Assuma, portanto, que n é par. Então existe inteiro r tal quen = 2r. Neste caso, m = 2t + 1− n = 2t + 1− 2r = 2(t− r) + 1.Como t− r é inteiro, concluímos que m é ímpar. C.Q.D.
42
![Page 106: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/106.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
Prove P→ Q e Q→ P separadamente.
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
43
![Page 107: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/107.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
Prove P→ Q e Q→ P separadamente.
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Primeiro: se m e n são ímpares, então mn é ímpar.Sabemos:
• m,n, r, s ∈ Z
• m = 2r + 1• n = 2s + 1
Objetivo:• mn é ímpar
43
![Page 108: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/108.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
Prove P→ Q e Q→ P separadamente.
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Segundo: se mn é ímpar, então m e n são ímpares.Sabemos:
• m,n, t ∈ Z
• t ∈ Z
• mn = 2t + 1
Objetivo:• m e n são ímpares
43
![Page 109: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/109.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
Prove P→ Q e Q→ P separadamente.
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Segundo: se mn é ímpar, então m e n são ímpares.Sabemos:
• m,n ∈ Z
• m ou n é par
Objetivo:• mn é par
43
![Page 110: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/110.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar.
Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1. Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par. Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro). Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s. Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro). Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D.
44
![Page 111: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/111.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar. Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1.
Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par. Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro). Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s. Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro). Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D.
44
![Page 112: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/112.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar. Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1. Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.
(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par. Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro). Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s. Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro). Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D.
44
![Page 113: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/113.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar. Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1. Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par.
Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro). Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s. Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro). Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D.
44
![Page 114: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/114.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar. Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1. Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par. Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.
Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro). Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s. Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro). Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D.
44
![Page 115: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/115.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar. Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1. Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par. Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro).
Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s. Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro). Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D.
44
![Page 116: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/116.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar. Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1. Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par. Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro). Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s.
Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro). Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D.
44
![Page 117: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/117.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar. Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1. Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par. Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro). Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s. Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro).
Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D.
44
![Page 118: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/118.jpg)
Para provar algo da forma P↔ Q
TeoremaOs inteiros m e n são ambos ímpares se, e somente se, mn é ímpar.
Demonstração.(→) Primeiro vamos mostrar que se m e n são ímpares, então mné ímpar. Como m e n são ímpares, existem inteiros r e s tais quem = 2r + 1 e n = 2s + 1. Assim,mn = (2r + 1)(2s + 1) = 4rs + 2r + 2s + 1 = 2(2rs + r + s) + 1,que é ímpar.(←) Agora vamos mostrar por contrapositiva que se m ou n é par,então mn é par. Se m é par, então existe inteiro r tal que m = 2r.Com isso, mn = (2r)n = 2(rn) é par (pois rn é inteiro). Se n épar, então existe inteiro s tal que n = 2s. Nesse caso,mn = m(2s) = 2(ms) é par (pois ms é inteiro). Assim, emqualquer caso mn é par. C.Q.D. 44
![Page 119: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/119.jpg)
Para provar algo da forma ∀x P(x)
Considere um objeto x arbitrário e prove P(x).
TeoremaSejam A, B e C conjuntos e A \ B ⊆ C. Prove que A \ C ⊆ B.
Sabemos:• A \ B ⊆ C
• x ∈ A ∧ x /∈ C
Objetivo:
• x ∈ B
45
![Page 120: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/120.jpg)
Para provar algo da forma ∀x P(x)
Considere um objeto x arbitrário e prove P(x).
TeoremaSejam A, B e C conjuntos e A \ B ⊆ C. Prove que A \ C ⊆ B.
Sabemos:• A \ B ⊆ C
• x ∈ A ∧ x /∈ C
Objetivo:• A \ C ⊆ B
• x ∈ B
45
![Page 121: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/121.jpg)
Para provar algo da forma ∀x P(x)
Considere um objeto x arbitrário e prove P(x).
TeoremaSejam A, B e C conjuntos e A \ B ⊆ C. Prove que A \ C ⊆ B.
Sabemos:• A \ B ⊆ C
• x ∈ A ∧ x /∈ C
Objetivo:• ∀x (x ∈ A \ C → x ∈ B)
• x ∈ B
45
![Page 122: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/122.jpg)
Para provar algo da forma ∀x P(x)
Considere um objeto x arbitrário e prove P(x).
TeoremaSejam A, B e C conjuntos e A \ B ⊆ C. Prove que A \ C ⊆ B.
Sabemos:• A \ B ⊆ C
• x ∈ A ∧ x /∈ C
Objetivo:• x ∈ A \ C → x ∈ B
• x ∈ B
45
![Page 123: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/123.jpg)
Para provar algo da forma ∀x P(x)
Considere um objeto x arbitrário e prove P(x).
TeoremaSejam A, B e C conjuntos e A \ B ⊆ C. Prove que A \ C ⊆ B.
Sabemos:• A \ B ⊆ C• x ∈ A \ C
• x ∈ A ∧ x /∈ C
Objetivo:• x ∈ B
45
![Page 124: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/124.jpg)
Para provar algo da forma ∀x P(x)
Considere um objeto x arbitrário e prove P(x).
TeoremaSejam A, B e C conjuntos e A \ B ⊆ C. Prove que A \ C ⊆ B.
Sabemos:• A \ B ⊆ C• x ∈ A ∧ x /∈ C
Objetivo:• x ∈ B
45
![Page 125: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/125.jpg)
Para provar algo da forma ∃x P(x)
Tente encontrar um valor de x para o qual P(x) é verdadeiro.
TeoremaExiste um grafo com 5 vértices e com arestas entre todos os pares devértices, cujas arestas estão coloridas com duas cores, que não contémtriângulos monocromáticos.
Demonstração.O grafo a seguir satisfaz a afirmação.
C.Q.D.
46
![Page 126: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/126.jpg)
Para provar algo da forma ∃x P(x)
Tente encontrar um valor de x para o qual P(x) é verdadeiro.TeoremaExiste um grafo com 5 vértices e com arestas entre todos os pares devértices, cujas arestas estão coloridas com duas cores, que não contémtriângulos monocromáticos.
Demonstração.O grafo a seguir satisfaz a afirmação.
C.Q.D. 46
![Page 127: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/127.jpg)
Para provar algo da forma ∀n ∈ N P(n)
Comece mostrando que P(0) é verdadeiro.Agora considere um natural n arbitrário, assuma que ∀k < n P(k)e prove P(n).
47
![Page 128: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/128.jpg)
Indução
• Se n ∈ N, então n2 + n + 41 é primo?
• Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que não éprimo.
• Se n é inteiro positivo, então 991n2 + 1 não é quadradoperfeito?
• Não vale para x = 12055735790331359447442538767 mas valepara todos os números n < x.
• A soma dos n primeiros números ímpares é n2?
• Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42 e 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas é possívelque seja apenas uma coincidência.
48
![Page 129: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/129.jpg)
Indução
• Se n ∈ N, então n2 + n + 41 é primo?• Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que não é
primo.
• Se n é inteiro positivo, então 991n2 + 1 não é quadradoperfeito?
• Não vale para x = 12055735790331359447442538767 mas valepara todos os números n < x.
• A soma dos n primeiros números ímpares é n2?
• Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42 e 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas é possívelque seja apenas uma coincidência.
48
![Page 130: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/130.jpg)
Indução
• Se n ∈ N, então n2 + n + 41 é primo?• Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que não é
primo.• Se n é inteiro positivo, então 991n2 + 1 não é quadrado
perfeito?
• Não vale para x = 12055735790331359447442538767 mas valepara todos os números n < x.
• A soma dos n primeiros números ímpares é n2?
• Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42 e 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas é possívelque seja apenas uma coincidência.
48
![Page 131: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/131.jpg)
Indução
• Se n ∈ N, então n2 + n + 41 é primo?• Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que não é
primo.• Se n é inteiro positivo, então 991n2 + 1 não é quadrado
perfeito?• Não vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale
para todos os números n < x.
• A soma dos n primeiros números ímpares é n2?
• Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42 e 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas é possívelque seja apenas uma coincidência.
48
![Page 132: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/132.jpg)
Indução
• Se n ∈ N, então n2 + n + 41 é primo?• Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que não é
primo.• Se n é inteiro positivo, então 991n2 + 1 não é quadrado
perfeito?• Não vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale
para todos os números n < x.• A soma dos n primeiros números ímpares é n2?
• Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42 e 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas é possívelque seja apenas uma coincidência.
48
![Page 133: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/133.jpg)
Indução
• Se n ∈ N, então n2 + n + 41 é primo?• Vale para n = 1, 2, . . . , 39 mas 402 + 40 + 41 = 412, que não é
primo.• Se n é inteiro positivo, então 991n2 + 1 não é quadrado
perfeito?• Não vale para x = 12055735790331359447442538767 mas vale
para todos os números n < x.• A soma dos n primeiros números ímpares é n2?
• Note que 1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42 e 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52, mas é possívelque seja apenas uma coincidência.
48
![Page 134: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/134.jpg)
Indução
TeoremaA soma dos n primeiros naturais ímpares é n2.
Demonstração.Por indução em n.
Quando n = 1, o primeiro natural ímpar é 1, que é igual a 12.Seja n > 1 um número natural qualquer. Suponha que a soma dosk primeiros naturais ímpares é k2, para qualquer 1 ≤ k < n.Vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ímpares(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1)) é n2.Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipótese (deindução). Então1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1) = (n− 1)2 + (2n− 1)
= n2 − 2n + 1 + 2n− 1 = n2 .
C.Q.D.
49
![Page 135: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/135.jpg)
Indução
TeoremaA soma dos n primeiros naturais ímpares é n2.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, o primeiro natural ímpar é 1, que é igual a 12.
Seja n > 1 um número natural qualquer. Suponha que a soma dosk primeiros naturais ímpares é k2, para qualquer 1 ≤ k < n.Vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ímpares(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1)) é n2.Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipótese (deindução). Então1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1) = (n− 1)2 + (2n− 1)
= n2 − 2n + 1 + 2n− 1 = n2 .
C.Q.D.
49
![Page 136: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/136.jpg)
Indução
TeoremaA soma dos n primeiros naturais ímpares é n2.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, o primeiro natural ímpar é 1, que é igual a 12.Seja n > 1 um número natural qualquer.
Suponha que a soma dosk primeiros naturais ímpares é k2, para qualquer 1 ≤ k < n.Vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ímpares(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1)) é n2.Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipótese (deindução). Então1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1) = (n− 1)2 + (2n− 1)
= n2 − 2n + 1 + 2n− 1 = n2 .
C.Q.D.
49
![Page 137: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/137.jpg)
Indução
TeoremaA soma dos n primeiros naturais ímpares é n2.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, o primeiro natural ímpar é 1, que é igual a 12.Seja n > 1 um número natural qualquer. Suponha que a soma dosk primeiros naturais ímpares é k2, para qualquer 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ímpares(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1)) é n2.Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipótese (deindução). Então1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1) = (n− 1)2 + (2n− 1)
= n2 − 2n + 1 + 2n− 1 = n2 .
C.Q.D.
49
![Page 138: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/138.jpg)
Indução
TeoremaA soma dos n primeiros naturais ímpares é n2.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, o primeiro natural ímpar é 1, que é igual a 12.Seja n > 1 um número natural qualquer. Suponha que a soma dosk primeiros naturais ímpares é k2, para qualquer 1 ≤ k < n.Vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ímpares(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1)) é n2.
Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipótese (deindução). Então1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1) = (n− 1)2 + (2n− 1)
= n2 − 2n + 1 + 2n− 1 = n2 .
C.Q.D.
49
![Page 139: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/139.jpg)
Indução
TeoremaA soma dos n primeiros naturais ímpares é n2.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, o primeiro natural ímpar é 1, que é igual a 12.Seja n > 1 um número natural qualquer. Suponha que a soma dosk primeiros naturais ímpares é k2, para qualquer 1 ≤ k < n.Vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ímpares(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1)) é n2.Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipótese (deindução).
Então1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1) = (n− 1)2 + (2n− 1)
= n2 − 2n + 1 + 2n− 1 = n2 .
C.Q.D.
49
![Page 140: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/140.jpg)
Indução
TeoremaA soma dos n primeiros naturais ímpares é n2.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, o primeiro natural ímpar é 1, que é igual a 12.Seja n > 1 um número natural qualquer. Suponha que a soma dosk primeiros naturais ímpares é k2, para qualquer 1 ≤ k < n.Vamos verificar se a soma dos n primeiros naturais ímpares(1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1)) é n2.Note que 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) = (n− 1)2, por hipótese (deindução). Então1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 3) + (2n− 1) = (n− 1)2 + (2n− 1)
= n2 − 2n + 1 + 2n− 1 = n2 .
C.Q.D. 49
![Page 141: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/141.jpg)
Indução
TeoremaSeja n um inteiro positivo. Todo tabuleiro de damas de tamanho2n × 2n com um quadrado removido pode ser ladrilhado portriminós em forma de “L”.
Demonstração.
• Vamos provar por indução em n.• Quando n = 1, o tabuleiro 2× 2 certamente pode ser coberto
por um triminó, independente de onde está o quadradoremovido.
• Seja n > 1 um inteiro qualquer.• Suponha que todo tabuleiro de tamanho 2k × 2k com um
quadrado removido pode ser ladrilhado por triminós, para1 ≤ k < n.
50
![Page 142: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/142.jpg)
Indução
TeoremaSeja n um inteiro positivo. Todo tabuleiro de damas de tamanho2n × 2n com um quadrado removido pode ser ladrilhado portriminós em forma de “L”.
Demonstração.
• Vamos provar por indução em n.
• Quando n = 1, o tabuleiro 2× 2 certamente pode ser cobertopor um triminó, independente de onde está o quadradoremovido.
• Seja n > 1 um inteiro qualquer.• Suponha que todo tabuleiro de tamanho 2k × 2k com um
quadrado removido pode ser ladrilhado por triminós, para1 ≤ k < n.
50
![Page 143: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/143.jpg)
Indução
TeoremaSeja n um inteiro positivo. Todo tabuleiro de damas de tamanho2n × 2n com um quadrado removido pode ser ladrilhado portriminós em forma de “L”.
Demonstração.
• Vamos provar por indução em n.• Quando n = 1, o tabuleiro 2× 2 certamente pode ser coberto
por um triminó, independente de onde está o quadradoremovido.
• Seja n > 1 um inteiro qualquer.• Suponha que todo tabuleiro de tamanho 2k × 2k com um
quadrado removido pode ser ladrilhado por triminós, para1 ≤ k < n.
50
![Page 144: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/144.jpg)
Indução
TeoremaSeja n um inteiro positivo. Todo tabuleiro de damas de tamanho2n × 2n com um quadrado removido pode ser ladrilhado portriminós em forma de “L”.
Demonstração.
• Vamos provar por indução em n.• Quando n = 1, o tabuleiro 2× 2 certamente pode ser coberto
por um triminó, independente de onde está o quadradoremovido.
• Seja n > 1 um inteiro qualquer.
• Suponha que todo tabuleiro de tamanho 2k × 2k com umquadrado removido pode ser ladrilhado por triminós, para1 ≤ k < n.
50
![Page 145: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/145.jpg)
Indução
TeoremaSeja n um inteiro positivo. Todo tabuleiro de damas de tamanho2n × 2n com um quadrado removido pode ser ladrilhado portriminós em forma de “L”.
Demonstração.
• Vamos provar por indução em n.• Quando n = 1, o tabuleiro 2× 2 certamente pode ser coberto
por um triminó, independente de onde está o quadradoremovido.
• Seja n > 1 um inteiro qualquer.• Suponha que todo tabuleiro de tamanho 2k × 2k com um
quadrado removido pode ser ladrilhado por triminós, para1 ≤ k < n.
50
![Page 146: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/146.jpg)
Indução
• Considere agora um tabuleiro 2n × 2n com algum quadradoremovido.
• Podemos dividir o tabuleiro em 4 subtabuleiros menores detamanho 2n−1 × 2n−1 cada.
• Suponha, s.p.g., que o quadrado removido do tabuleiro originalestá no subtabuleiro superior esquerdo.
• Por hipótese, o subtabuleiro superior esquerdo pode serladrilhado.
• Escolhemos quadrados específicos para remover nos outros trêssubtabuleiros (as casas centrais).
• Por hipótese, podemos cobrir os outros três subtabuleiros.• Os quadrados removidos podem ser ladrilhados por um triminó
extra.• Então o tabuleiro original pode ser totalmente ladrilhado.
51
![Page 147: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/147.jpg)
Indução
• Considere agora um tabuleiro 2n × 2n com algum quadradoremovido.
• Podemos dividir o tabuleiro em 4 subtabuleiros menores detamanho 2n−1 × 2n−1 cada.
• Suponha, s.p.g., que o quadrado removido do tabuleiro originalestá no subtabuleiro superior esquerdo.
• Por hipótese, o subtabuleiro superior esquerdo pode serladrilhado.
• Escolhemos quadrados específicos para remover nos outros trêssubtabuleiros (as casas centrais).
• Por hipótese, podemos cobrir os outros três subtabuleiros.• Os quadrados removidos podem ser ladrilhados por um triminó
extra.• Então o tabuleiro original pode ser totalmente ladrilhado.
51
![Page 148: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/148.jpg)
Indução
• Considere agora um tabuleiro 2n × 2n com algum quadradoremovido.
• Podemos dividir o tabuleiro em 4 subtabuleiros menores detamanho 2n−1 × 2n−1 cada.
• Suponha, s.p.g., que o quadrado removido do tabuleiro originalestá no subtabuleiro superior esquerdo.
• Por hipótese, o subtabuleiro superior esquerdo pode serladrilhado.
• Escolhemos quadrados específicos para remover nos outros trêssubtabuleiros (as casas centrais).
• Por hipótese, podemos cobrir os outros três subtabuleiros.• Os quadrados removidos podem ser ladrilhados por um triminó
extra.• Então o tabuleiro original pode ser totalmente ladrilhado.
51
![Page 149: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/149.jpg)
Indução
• Considere agora um tabuleiro 2n × 2n com algum quadradoremovido.
• Podemos dividir o tabuleiro em 4 subtabuleiros menores detamanho 2n−1 × 2n−1 cada.
• Suponha, s.p.g., que o quadrado removido do tabuleiro originalestá no subtabuleiro superior esquerdo.
• Por hipótese, o subtabuleiro superior esquerdo pode serladrilhado.
• Escolhemos quadrados específicos para remover nos outros trêssubtabuleiros (as casas centrais).
• Por hipótese, podemos cobrir os outros três subtabuleiros.• Os quadrados removidos podem ser ladrilhados por um triminó
extra.• Então o tabuleiro original pode ser totalmente ladrilhado.
51
![Page 150: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/150.jpg)
Indução
• Considere agora um tabuleiro 2n × 2n com algum quadradoremovido.
• Podemos dividir o tabuleiro em 4 subtabuleiros menores detamanho 2n−1 × 2n−1 cada.
• Suponha, s.p.g., que o quadrado removido do tabuleiro originalestá no subtabuleiro superior esquerdo.
• Por hipótese, o subtabuleiro superior esquerdo pode serladrilhado.
• Escolhemos quadrados específicos para remover nos outros trêssubtabuleiros (as casas centrais).
• Por hipótese, podemos cobrir os outros três subtabuleiros.• Os quadrados removidos podem ser ladrilhados por um triminó
extra.• Então o tabuleiro original pode ser totalmente ladrilhado.
51
![Page 151: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/151.jpg)
Indução
• Considere agora um tabuleiro 2n × 2n com algum quadradoremovido.
• Podemos dividir o tabuleiro em 4 subtabuleiros menores detamanho 2n−1 × 2n−1 cada.
• Suponha, s.p.g., que o quadrado removido do tabuleiro originalestá no subtabuleiro superior esquerdo.
• Por hipótese, o subtabuleiro superior esquerdo pode serladrilhado.
• Escolhemos quadrados específicos para remover nos outros trêssubtabuleiros (as casas centrais).
• Por hipótese, podemos cobrir os outros três subtabuleiros.
• Os quadrados removidos podem ser ladrilhados por um triminóextra.
• Então o tabuleiro original pode ser totalmente ladrilhado.
51
![Page 152: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/152.jpg)
Indução
• Considere agora um tabuleiro 2n × 2n com algum quadradoremovido.
• Podemos dividir o tabuleiro em 4 subtabuleiros menores detamanho 2n−1 × 2n−1 cada.
• Suponha, s.p.g., que o quadrado removido do tabuleiro originalestá no subtabuleiro superior esquerdo.
• Por hipótese, o subtabuleiro superior esquerdo pode serladrilhado.
• Escolhemos quadrados específicos para remover nos outros trêssubtabuleiros (as casas centrais).
• Por hipótese, podemos cobrir os outros três subtabuleiros.• Os quadrados removidos podem ser ladrilhados por um triminó
extra.
• Então o tabuleiro original pode ser totalmente ladrilhado.
51
![Page 153: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/153.jpg)
Indução
• Considere agora um tabuleiro 2n × 2n com algum quadradoremovido.
• Podemos dividir o tabuleiro em 4 subtabuleiros menores detamanho 2n−1 × 2n−1 cada.
• Suponha, s.p.g., que o quadrado removido do tabuleiro originalestá no subtabuleiro superior esquerdo.
• Por hipótese, o subtabuleiro superior esquerdo pode serladrilhado.
• Escolhemos quadrados específicos para remover nos outros trêssubtabuleiros (as casas centrais).
• Por hipótese, podemos cobrir os outros três subtabuleiros.• Os quadrados removidos podem ser ladrilhados por um triminó
extra.• Então o tabuleiro original pode ser totalmente ladrilhado.
51
![Page 154: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/154.jpg)
Indução
52
![Page 155: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/155.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.
Quando n = 1, a soma é 12 , que é menor do que 1.
Seja n > 1 um natural qualquer.Suponha que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12k < 1 para todo 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n é menor do que 1.Note que 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n = 12(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .Assim, 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1
2 + 12 = 1. C.Q.D.
53
![Page 156: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/156.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, a soma é 1
2 , que é menor do que 1.
Seja n > 1 um natural qualquer.Suponha que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12k < 1 para todo 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n é menor do que 1.Note que 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n = 12(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .Assim, 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1
2 + 12 = 1. C.Q.D.
53
![Page 157: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/157.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, a soma é 1
2 , que é menor do que 1.Seja n > 1 um natural qualquer.
Suponha que 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2k < 1 para todo 1 ≤ k < n.Vamos verificar se 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n é menor do que 1.
Note que 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .Assim, 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1
2 + 12 = 1. C.Q.D.
53
![Page 158: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/158.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, a soma é 1
2 , que é menor do que 1.Seja n > 1 um natural qualquer.Suponha que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12k < 1 para todo 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n é menor do que 1.Note que 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n = 12(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .Assim, 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1
2 + 12 = 1. C.Q.D.
53
![Page 159: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/159.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, a soma é 1
2 , que é menor do que 1.Seja n > 1 um natural qualquer.Suponha que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12k < 1 para todo 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n é menor do que 1.
Note que 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .Assim, 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1
2 + 12 = 1. C.Q.D.
53
![Page 160: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/160.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, a soma é 1
2 , que é menor do que 1.Seja n > 1 um natural qualquer.Suponha que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12k < 1 para todo 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n é menor do que 1.Note que 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n = 12(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .Assim, 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1
2 + 12 = 1. C.Q.D.
53
![Page 161: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/161.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, a soma é 1
2 , que é menor do que 1.Seja n > 1 um natural qualquer.Suponha que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12k < 1 para todo 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n é menor do que 1.Note que 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n = 12(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .Assim, 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1
2 + 12 = 1. C.Q.D.
53
![Page 162: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/162.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, a soma é 1
2 , que é menor do que 1.Seja n > 1 um natural qualquer.Suponha que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12k < 1 para todo 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n é menor do que 1.Note que 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n = 12(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .
Assim, 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n < 12 + 1
2 = 1. C.Q.D.
53
![Page 163: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/163.jpg)
Indução
TeoremaPara todo natural n ≥ 1, vale que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1.
Demonstração.Por indução em n.Quando n = 1, a soma é 1
2 , que é menor do que 1.Seja n > 1 um natural qualquer.Suponha que 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12k < 1 para todo 1 ≤ k < n.
Vamos verificar se 12 + 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n é menor do que 1.Note que 1
4 + 18 + . . .+ 1
2n = 12(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
).
Por hipótese, 12 + 1
4 + . . .+ 12n−1 < 1.
Então 14 + 1
8 + . . .+ 12n = 1
2(1
2 + 14 + . . .+ 1
2n−1
)< 1
2 .Assim, 1
2 + 14 + 1
8 + . . .+ 12n < 1
2 + 12 = 1. C.Q.D.
53
![Page 164: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/164.jpg)
Exercícios i
1. Escreva explicitamente os elementos dos seguintes conjuntos:1.1 A = {x : x ∈ Z e x2 − 2x + 1 ≤ 0}1.2 B = {x : x ∈ Z, 2 ≤ x ≤ 20 e x é primo}
2. Considere o conjunto A = {∅, {2, 3}, {2, 4}, {2, 4, 7}}.Escreva quais são os elementos de A e escreva todos ossubconjuntos de A.
3. Prove que para todos os números reais a e b, se a < b eb < 0, então a2 > b2.
4. Prove que se x, y e z são números reais, então pelo menos umdeles é maior ou igual à média aritmética dos três.
5. Prove que para todo n natural, 2n > n.
54
![Page 165: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/165.jpg)
Exercícios ii
6. Prove que 22n − 1 = 4n − 1 é divisível por 3 para todo inteiron ≥ 1.
7. Prove que 13 + 23 + . . .+ n3 = (1 + 2 + . . .+ n)2 para todointeiro n ≥ 1.
8. Encontre o erro da prova a seguir:
Sejam x e y números reais e x ̸= 3. Se x2y = 9y, então y = 0.Suponha que x2y = 9y. Então (x2 − 9)y = 0. Como x ̸= 3, temosque x2 ̸= 9, de forma que x2 − 9 ̸= 0. Então devemos tery = 0. C.Q.D.
55
![Page 166: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/166.jpg)
Exercícios iii
9. Encontre o erro da prova a seguir:
Sejam x e y números reais e x + y = 10. Então x ̸= 3 e y ̸= 8.Suponha que a conclusão é falsa. Então x = 3 e y = 8. Mas entãox + y = 11, uma contradição. Logo, a conclusão deve serverdadeira. C.Q.D.
10. Encontre o erro da prova a seguir:
Existe x ∈ R tal que para todo y ∈ R vale que xy2 = y− x.Tome x = y
y2+1 . Então
y− x = y− yy2 + 1 =
y3
y2 + 1 =y
y2 + 1y = xy2.
C.Q.D.
56
![Page 167: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/167.jpg)
Exercícios iv
11. Encontre o erro da prova a seguir:
Seja m um inteiro par e n um inteiro ímpar. Entãon2 −m2 = n + m.Como m é par, temos que m = 2k para algum inteiro k. De formasimilar, n = 2k + 1 pois n é ímpar. Então
n2 −m2 = (2k + 1)2 − (2k)2
= 4k2 + 4k + 1− 4k2
= 4k + 1= 2k + 1 + 2k = n + m.
C.Q.D.
57
![Page 168: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/168.jpg)
Exercícios v
12. Encontre o erro da prova a seguir:
Para todo número real x, se |x− 3| < 3 então 0 < x < 6.Seja x um número real qualquer e suponha que |x− 3| < 3.Existem dois casos.Se x− 3 ≥ 0, então |x− 3| = x− 3. Nesse caso, x− 3 < 3 implicaem x < 6.Agora, se x− 3 < 0, então |x− 3| = 3− 3. Nesse caso, 3− x < ximplica em x > 0.Como x < 6 e x > 0, o teorema vale. C.Q.D.
58
![Page 169: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/169.jpg)
Exercícios vi
13. Encontre o erro da prova a seguir:
59
![Page 170: Aula 1: Introdução ao cursoprofessor.ufabc.edu.br/~m.sambinelli/courses/2019Q3-TG/materiais/… · trilhas? 18. Representar situações e resolver problemas Relações de preferência](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022042407/5f216fdfeb8fed0579410e3a/html5/thumbnails/170.jpg)
Exercícios vii
Em um conjunto de n cavalos, todos têm a mesma cor.Por indução em n.Quando n = 1, obviamente o resultado vale.Seja n > 1 um inteiro qualquer e suponha que em todo conjunto com kcavalos, para 1 ≤ k < n, todos têm a mesma cor.Considere um conjunto C = {c1, c2, . . . , cn} com n cavalos.Podemos escrever C = A ∪ B onde A = {c1, . . . , cn−1} eB = {c2, . . . , cn}.Por hipótese de indução, todos os cavalos de A têm a mesma cor.Da mesma forma, todos os cavalos de B têm a mesma cor.Como c2 ∈ A e c2 ∈ B, então os cavalos de A têm a mesma cor doscavalos de B.Concluímos que todos os cavalos em C têm a mesma cor. C.Q.D.
60