Aula 1, Experiência 1 Circuitos CA e Caos
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Notas de aula: www.fap.if.usp.br/~hbarbosa
LabFlex: www.dfn.if.usp.br/curso/LabFlex
Aula 1, Experiência 1
Circuitos CA e Caos
Prof. Henrique Barbosa
Ramal: 6647
Basílio, sala 100
Prof. Nelson Carlin
Ramal: 6820
Pelletron
Prof. Paulo Artaxo
Ramal: 7016
Basilio, sala 101
Profa. Eloisa Szanto
Ramal: 7111
Pelletron
Objetivos Estudar circuitos elétricos em corrente alternada com a
finalidade de explorar fenômenos caóticos
Aprender algumas técnicas avançadas de processamento de sinais e análise de dados
5 aulas
Noções de CA, filtro RC
Circuito integrador e análise de Fourier
Ressonância de um circuito RLC simples
Funções caóticas: mapa logístico
Caos em circuito RLD
Tensões e Correntes Alternadas Tensão alternada: qualquer tensão que varia no tempo
Na prática trabalhamos com tensões harmônicas simples Veremos no lab4 que qualquer tensão dependente do
tempo é uma superposição de tensões harmônicas simples
Aquelas descritas por uma função harmônica simples de freqüência bem definida, ou seja:
0cos tVtV P
f 2
pPP VV 22
Pef
VV
fT
1
VP é a tensão máxima ou tensão de pico ou amplitude, é a freqüência angular e 0 é a fase da tensão alternada no instante t=0
Tensões Harmônicas Simples
Em um circuito de corrente alternada a tensão e corrente não estão necessariamente em fase:
0sin tVtV P
i(t) i0 sin t
2T
T T
defasagem
3T0
TempoA
mplit
ud
e
Período T = 1/f
tensão
corrente
X
i(t)
V(t)
A fase
T
Potência Instantânea
Instantaneamente:
Depende da fase entre corrente e tensão e pode ser negativa!
Potência positiva é aquela consumida
Potência negativa é aquela fornecida
)sin()sin(
)(
)()()(
0
tt
iVtP
titVtP
P
Em um resistor ôhmico simples, a relação entre tensão e corrente é:
ctei
VR
P
P
Exemplo 1: Resistor Ôhmico
X
i(t)
V(t)
)cos()()(
)cos()(
tRitiRtV
titi
P
P
A fase entre tensão e
corrente é nula
A potência instantânea é:
P(t) V(t) i(t)
R i0
2 cos2 t
0, sempre
sem defasagem
3T0
Tempo
Am
plit
ud
e
Período T = 1/f
tensão
corrente
potência
•A potência varia no tempo, mas é sempre positiva o que significa que o resistor sempre consome potência
Exemplo 1: Resistor Ôhmico
Em um capacitor ideal, a capacitância é dada pela razão entre carga acumulada e tensão elétrica, ou seja: Além disso, carga e corrente estão relacionados Portanto:
)2/cos()sin()(
)cos(
tCVtCVti
C
tqtVtV
pp
P
)(tqdt
dti
Exemplo 2: Capacitor Ideal
C
tqtV
tV
tqC
)(
)(
A fase não é nula!
a corrente está adiantada de /2 em relação à tensão aplicada ao capacitor (Atenção: a defasagem de /2 é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o capacitor e não quaisquer outras).
Exemplo 2: Capacitor Ideal
A potência em um capacitor pode ser escrita como:
P(t) V(t) i(t)
P(t) i0
2
Ccos t cos t
2
Em circuitos de corrente alternada, muitos elementos possuem fases não nulas entre corrente e tensão. Nestes casos, o
formalismo trigonométrico torna-se bastante complexo e inconveniente.
Exemplo 2: Capacitor Ideal
Exemplo 3: circuito RC
Capacitor e resistor em série a uma fonte de tensão
malha
iVldE 00
C
tqtiRtVtVtVtV eCRe
)()()()()()(
dt
tdqti
)()( sendo
)()(
)()()(
)( tVdt
tdVRCtV
C
tq
dt
tdqRtV C
Cee
RCtV
dt
tdVV C
Ce
1 com )(
)(10
0
Exemplo 3: circuito RC
Se a tensão de entrada for harmônica
Podemos resolver a e.d. Na sua forma complexa e tomar a parte real da solução
Ve(t) =1
w0
dVC (t)
dt+VC (t) Þ Ve(t) =
1
w0
dVC (t)
dt+VC (t)
tj
ee
eeee
eVtV
tVtVtVtV
)(ˆ com
)](ˆRe[)(cos)(
Exemplo 3: circuito RC
A solução mais geral para a tensão no capacitor é
Substituindo na e.d.
0
0 1
ˆˆˆ
j
VVeVeVjeV e
C
tj
C
tj
C
tj
e
tj
CC eVtV ˆ)(ˆ
tjeC e
j
VtV
0
1
)(ˆ sejaou
Exemplo 3: circuito RC
Trabalhando um pouco essa solução
Podemos escrever
tjeC e
j
VtV
0
1
)(ˆ
02
0
arctan e
1
com )(ˆ
eC
tj
CC
VVeVtV
tVtVtV CCC cos)(ˆRe)( que modo de
Sinal de entrada = Ve
Sinal de saída = Vs
Se pensarmos em termos de quadrupolos:
00
1
1
ˆ
ˆˆ
1
ˆ)(ˆ
jV
VG
j
VtV
entrada
saidaeC
O ganho relaciona o sinal de saída com o
sinal de entrada... Ou seja, resume o
funcionamento do quadrupolo.
Exemplo 3: circuito RC
Impedância de um elemento
A solução da equação diferencial no espaço complexo e posterior uso da parte real como solução física do problema sugere a criação de um análogo à lei de Ohm nesse formalismo.
jbaC ˆ1j
jeCC ˆ sencos je j
22 baC
a
btg
tjtj ejedt
d
tjtj ej
dte
1
Integrais e derivadas nesta notação são apenas
multiplicações e divisões
(( Números Complexos ))
Formalismo Complexo Este formalismo é construído de tal forma a
facilitar todos os cálculos que envolvem tensões alternadas
Vamos definir as tensões e correntes complexas como sendo:
)(
0
)(
0
1
0
)(ˆ
)(ˆ
tj
tj
eiti
eVtV )cos()(ˆRe)(
)cos()(ˆRe)(
10
00
tititi
tVtVtV
A impedância complexa de um elemento X é definida como sendo a razão entre a tensão e corrente complexas neste elemento, ou seja:
ˆ Z ˆ V (t)
ˆ i (t)
1
0
0
0ˆ
tj
tj
ei
eVZ
Usando a definição das tensões e correntes complexas, deduzimos que:
V0
i0
ej 01 jeZ0
Z0 é a impedância REAL do elemento X é a diferença de fase entre a tensão e corrente causada pelo elemento X
A impedância NÃO varia com o tempo. É uma grandeza
característica do elemento X
Impedância Complexa e Real
Da definição de impedância complexa:
Podemos escrever também que:
Define-se resistência (R) de um bipolo como sendo:
E reatância deste bipolo (X)
ˆ Z Z0ej
ˆ Z Z0 cos jZ0 sin
R Z0 cos
X Z0 sin
Resistência e Reatância
As grandes vantagens deste formalismo são:
Operações envolvendo tensão e corrente são simples Multiplicações e divisões de exponenciais
Associações de bipolos tornam-se simples Como resistores comuns, mas realizadas com grandezas complexas
Z1
^ Z2
^ Z
^
ˆ Z ˆ Z 1 ˆ Z 2
Z1
^
Z2
^ Z
^
1
ˆ Z
1
ˆ Z 1
1
ˆ Z 2
Porque usar este formalismo?
Seja uma tensão e corrente complexas, temos:
Mas sabemos que R = V/i, ou seja, a corrente e tensão estão sempre em fase. Assim:
ˆ Z ˆ V (t)
ˆ i (t)
ˆ Z Z0ej R
R
i(t)
V(t)
Z0 R
0
Por conta disto que resistores Ôhmicos são muito utilizados em laboratório para medir correntes
Aplicação 1: Resistor
Sabemos (do começo da aula) que
Se a corrente complexa for dada por:
Fica fácil demonstrar que
A impedância de um capacitor vale:
V (t) 1
Ci(t)dt
ˆ i (t) i0ejt
tjeiC
jtV
0)(ˆ
ˆ Z ˆ V (t)
ˆ i (t)
j
Ci0e
jt
i0ejt
j
CC
i(t)
V(t)
Aplicação 2: Capacitor
Ou seja
Mas lembrando que:
Comparando as duas expressões temos que:
ˆ Z j
C
ˆ Z Z0 cos jZ0 sin
2
Z0 1
C
Aplicação 2: Capacitor
Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está defasada de π/2 em relação à corrente
Seja o circuito ao lado:
A tensão no capacitor é:
A tensão de entrada é:
E o “ganho” no circuito é dado por:
CC ZiV ˆˆˆ
ˆ V e ˆ Z total
ˆ i iZZ CRˆ)ˆˆ(
ˆ G ˆ V Sˆ V e
ˆ Z C
ˆ i
( ˆ Z R ˆ Z C ) ˆ i
j
C
(R j
C)
Aplicação 3: circuito RC
0
1
1
j
Mesma solução encontrada resolvendo
a eq. diferencial....
MUITO MAIS FÁCIL!
Qual a interpretação de um ganho complexo ??
Gj
eGG
0ˆ
A parte real do ganho muda a amplitude do sinal:
c
GG
G
arctan
]ˆRe[
]ˆIm[arctan
E a parte imaginária introduz uma fase
2*
0
1
1ˆˆ
C
GGG
(( Ganho ))
ˆ G 1
1 j
C
)cos()(
)cos()(
0 Ges
ee
tGVtV
tVtV
Portanto, o ganho real do quadripolo RC, depende da freqüência da tensão alternada a que ele está submetido. No caso em que essa freqüência é baixa em relação a ωc:
<<C o termo (2/C
2), fica muito pequeno se comparado à unidade → o ganho é praticamente igual a 1.
222
2
201
1
1
1ˆˆCR
GGG
C
Quadrupolo RC - Baixa frequência
→ tensão de saída é praticamente igual à tensão de entrada Vs~=Vc.
<<C → G0≈1
1
1
1
2
20
Cω
ωGGG
~0
Quadrupolo RC - Baixa frequência
Se a freqüência for alta, ou seja, >>C, o termo (2/C
2) é tão grande, que o algarismo 1, no denominador da fórmula pode ser desprezado e o ganho é praticamente igual à C/. Esse número, porém, é muito pequeno o que significa que para freqüências altas a tensão de saída é muito menor que a tensão de entrada.
>>C → G0 ≈ C/ <<1
Quadrupolo RC – Alta frequência
Se a freqüência é alta: >>C o o termo (2/C
2), fica muito grande se comparado à unidade → o ganho fica muito pequeno: é praticamente igual a ωc/ω.
>>C → G0 ≈ C/ <<1 freqüências altas a tensão de saída é muito menor que a tensão de entrada.
2
20
1
1
Cω
ωGGG
~(ω/ωc)2
1
Quadrupolo RC – Alta frequência
Resumindo: para
O dispositivo está selecionando freqüências!
<<C → G0≈1
>>C → G0 ≈ (C/) <<1
só passam as freq baixas
comparadas a ωC
ele é um filtro passa-baixa
Quadruplo RC - Resumo
Do ganho complexo se extrai o real:
ˆ G ˆ V Sˆ V eG0e
jG
C 1
RCSendo:
G0 VS
0
Ve
0
1
1
C
2
G TSe arctan
C
R e C podem ser
medidos e há valores
nominais
Tensões são
medidas c/
osciloscópio A freqüência
também
Intervalo de tempo
entre duas tensões
também é
mensurável
Medidas da Semana
Vamos estudar o filtro RC:
Objetivos: Obter experimentalmente o ganho (G0 e ΦG) em função da
freqüência (ω) e comparar com a previsão teórica.
Para esta aula
Para isto é preciso conhecer R e C. Não confiar nos valores nominais
canal 1 canal 2 referência 5V
menu interativo
varredura (horizontal)
gatilho (trigger)
300V
terra
A ponta de prova tem atenuador que pode ser alterado
(muda também a impedância)
acoplamento AC, DC ou terra
Osciloscópio
Duty cycle ADJust
Frequency ADJust
Amplitude ADJust
50%
25%
intervalo de frequências
Executa parâmetro
atenuador
Gerador de audio
IMPORTANTE! RESISTOR CAPACITOR
Cuidados Experimentais Instrumentos de medida:
Osciloscópio
Canal 1: Ve
Canal 2: Vc
Cuidado com ruídos
Estimar incertezas na tensão e corrente a partir do nível de ruído
Não confundir freqüência temporal (f) com freqüência angular ()
CH1 CH2
Terra
Tarefas 1 – Para a Síntese Montar um circuito RC com freqüência de corte ~1000Hz, por exemplo com 330Ω e 0.47µF. Usando um sinal de entrada senoidal e Vsaida=VC fazer:
Gráfico de G0 em função de
Comparar com a curva teórica
Fazer os ajustes necessários e tratamento estatístico,
ou seja, ajuste não linear por mínimos quadrados e determinação da frequência de corte experimental
Lembre-se de medir valores << c até >> c para poder fazer um bom ajuste.
Vejam tutorial no site do prof. Henrique!
Tarefas 2 – Para o Relatório Montar um circuito RC com freqüência de corte ~1000Hz, por exemplo com 330Ω e 0.47µF. Usando um sinal de entrada senoidal e Vsaida=VC fazer:
Gráfico de G em função de
Comparar com o esperado teoricamente para o capacitor
Fazer ajustes necessários e tratamento estatístico
Faça as medidas esta semana! Mas estes resultados/análise serão cobrados apenas no relatório.