Introdução ao método numérico

Prof. Dr. Lourival Filho

Comparação entre as três técnicas de solução

Técnica Vantagens Desvantagem

Experimental Mais realista Equipamento exigido

Problema de escala

Dificuldade de medição

Custo operacional

Teórica Mais geral Restrita a geometrias e processos físicos simples

Fórmula fechada Geralmente restrita a problemas lineares

Numérica Não há restrição à linearidade

Erros de truncamento

Geometria e processos complicados

Prescrição das condições de contorno apropriadas

Evolução temporal do processo

Custos computacionais

Métodos NuméricosSão técnicas pelas quais os problemas

matemáticos são formulados de modo que possam ser resolvidos com operações lógicas e aritméticas.

Vantagens dos MNFerramentas extremamente poderosas na solução

de problemas;Capazes de lidar com um grande número de

equações, não linearidades e geometrias complicadas recorrentes na prática da engenharia e que são impossíveis de resolver;

São um meio eficiente para o aprendizado de programação;

Auxiliam o profissional a reforçar seu entendimento da matemática;

Reduzir a matemática mais avançada a operações aritméticas básicas.

Você tem um problema

dv

dtg

cd

mv2

v t gm

cd

tanhgcd

mt

Solução Numéricadvdt= g - cd

mv2

= g - v2cd

m

v(ti+1) - v(ti)

ti+1 - ti

v(ti+1) = v(ti) + g - v(ti)2cd

m(ti+1 - ti)

Problema FísicoModelagem matemática

Equações governantes

Discretização Sistema de equações algébricas

Resolução das equações algébricas

Solução apropriada

Análise e interpretação

Aju

ste

do M

od

elo

Tipos de métodos numéricos Método de diferenças finitas - MDFMétodos dos volumes finitos – MVFMétodo dos elementos finitos - MEF

Método de diferenças finitasAs aproximações de diferenças finitas têm

como base a expansão em série de Taylor de uma função f.

Para se obter o sistema de equações algébricas completo é também necessário obter as equações para os pontos que estão na fronteira, é preciso aplicar as condições de contornos

• Condição de contorno de 1ª espécie

• Condição de contorno de 2ª espécie

• Condição de contorno de 3ª espécie

prescrito

prescriton

prescritohn

Método de volumes finitosRealização de balanço da propriedade em

questão nos volumes elementares, ou volume finitos;

Ou partindo da equação diferencial na forma conservativa, integra-la sobre o volume elementar, no espaço e no tempo.

0

e

w

e

wS

dx

d

dx

d

P ew EW

0

PS

dx

d

dx

d

ww

ee

0

P

Sxx w

WPw

e

PEe

0

PS

xxxx Ww

wE

e

e

w

w

e

eP

0P

SAAA WWEEPP

Método da Solução do Sistema LinearMétodo JacobiMétodo de Gauss-SeidelMétodo das Sobre-relaxações Sucessivas –

SORTDMA

Método do termo transienteFormulação ExplicitaFormulação Implícita – Crank-NicolsonFormulação Totalmente Implícita

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