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Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 2
Modelos de probabilidade
Os modelos probabilísticos são construídos a partir de
certas hipóteses ou conjeturas sobre o problema em questão e
constituem-se de duas partes:
1) dos possíveis resultados – o espaço amostral e
2) de uma certa lei que nos diz quão provável é cada
resultado (ou grupos de resultados) – as probabilidades.
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Variável aleatória
Formalmente, uma variável aleatória é uma função que associa
elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais.
X = número de cordeiros que pesam mais de 30 Kg, numa amostra de 2 animais.
0 1 2x
Ω = (não, não), (sim, não), não,sim), (sim, sim)
X:
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Modelo de Bernoulli
Exemplo: Num lote de cordeiros, selecionar um animal e
verificar se ele pesa mais de 30 Kg.
Ω = não, sim
X:x
0 1
P(X=x)= 1 – p p
60% pesam mais 30kg 40% 60%
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Modelo de Probabilidades de Bernoulli
x 1 0p(x) = Pr(X=x) p 1-p
px=Pr X=x=px 1−p1−x
Sendo a função de probabilidades dada por:
p x0 e ∑ px=1 satisfazendo
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Média (valor esperado), Variância e Desvio padrão
2= Var X = p 1−p
= DP X = p 1−p
= EX = p
x 1 0p(x) = Pr(X=x) p 1-p
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Propriedades do valor esperado e variância
• V(c) = 0• V(X + c) = V(X)• V(cX) = c2V(X)• DP(cX) = |c|DP(X)
• E(c) = c• E(X + c) = E(X) + c• E(cX) = cE(X)• E(X + Y) = E(X) + E(Y)• E(X – Y) = E(X) – E(Y)
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Modelo Binomial
Exemplo: Numa amostra de 3 cordeiros, verificar quantos pesam mais
que 30 Kg.
Ω = (nnn), (nns), (nsn), (snn), (nss), (sns), (ssn), (sss)
X:x
0 1 2 3
60% pesam mais 30Kg
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Uma experiência binomial é um processo que apresenta as seguintes
características:
Possui n ensaios de Bernoulli.
Em cada ensaio há dois tipos de resultados possíveis.
P(S) = p e P(F) = 1 – p = q.
Todos os ensaios são independentes (p cte nos ensaios).
Define-se a variável aleatória discreta X: número de “sucessos”
obtidos em n ensaios de Bernoulli.
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A função de probabilidades de X é dada por:
xx )1(x
)xXPr()x(p −−
=== nppn
x = 0, 1, 2, ..., n!x!)x(x −
=
nnn !
= DP X = np 1−p
2 = Var X = np1−p = E X = np
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Exemplo:
Em uma fazenda, onde 70% dos animais são da raça Gir, retira-se
uma amostra aleatória de 10 animais. Qual é a probabilidade de 6
animais da amostra serem da raça Gir?
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Modelo de Poisson
Podemos considerar uma variável aleatória X igual ao número de
“sucessos” que ocorrem num intervalo contínuo.
Por exemplo:
a) o número de bactérias por volume unitário de um fluído;
b) o número de insetos vivos por m2 de uma grande área de rocio;
c) o número de acidentes que ocorrem num certo cruzamento no
período de 1 hora.
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p x X xe
x
x( ) Pr ( )
.!
= = =− λ λ
x = 0, 1, 2, ...
µ = E(X) = λ = σ 2 = Var(X)
= DP X =
A função de probabilidades de X é dada por:
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Exemplo:
Se uma gota de água for depositada em uma lâmina e examinada ao
microscópio, o número de X de um tipo particular de bactéria presente
em uma gota d’água apresenta distribuição de Poisson. Suponha que o
número máximo dessa bactéria por gota de água seja 5. Se a média
desse conteúdo, em uma certa experiência, for de 2 bactérias em uma
única gota testada, pode-se esperar que o número máximo admitido
seja ultrapassado?