Aula 06 Teorema Transp Reynolds Cons Massa Vc Final 2014 01
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Professor:
Darlan K. E. de Carvalho (Dr.)
Departamento de Engenharia Mecnica
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Sumrio 1. Introduo
2. Leis Bsicas para Sistema
3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para
Sistema e Volume de Controle
4. Conservao da Massa para VC
5. Consideraes Finais
6. Bibliografia
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Eq. Bsicas na Forma Integral: Teorema do Transporte
de Reynolds, Conserv. da Massa e Energia.
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1. Introduo Nossos objetos de estudo.
I Sistema (fechado): Poro de massa fixa e identificvel.
II - Volume de Controle (Sist. Aberto): Volume no espao atravs do qual a
matria escoa.
Em muitas aplicaes que envolvem fluxo de massa (ex. Fluidos que circulam atravs de equipamentos), preferimos o V.C..
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de Reynolds, Conserv. da Massa e Energia.
Figura: Exemplos de sistemas e volumes de controle.
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1. Introduo Por qu o Volume de Controle (VC)?
Fluidos so capazes de distoro e deformao contnuas com o tempo, podendo ser difcil seguirmos a mesma poro de massa no espao e no tempo
(descrio Lagrangeana).
Muitas vezes, nos interessamos pelo efeito do escoamento sobre algum dispositivo (ex. bombas, turbinas, compressores, etc) ou estrutura (navios,
plataformas de petrleo, avies, etc).
Obs.: As equaes que estudaremos so obtidas a partir da converso da formulao de sistema para a formulao de volume de controle das equaes bsicas de
conservao (massa e energia).
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2. Leis Bsicas para Sistema Conservao da Massa: Esta Lei Fundamental da natureza exige que a massa M para um sistema fechado seja constante.
A massa, assim como a energia, uma propriedade conservada no podendo ser criada ou destruda durante um processo.
Contudo, massa e energia podem ser convertidas, uma na outra, atravs da equao:
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2E mc
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2. Leis Bsicas para Sistema Onde c=2,9979 . 108 m/s a velocidade da luz no vcuo. Esta equao sugere que a massa de um sistema muda quando a energia muda.
Contudo, para a maioria das interaes encontradas na prtica da engenharia, com exceo das reaes nucleares, a mudana de massa muito pequena.
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2. Leis Bsicas para Sistema Conservao da Massa
Escrevendo a conservao da massa para um sistema (fechado), temos:
onde,
sistema
0dM
dt
(sist) (sist) (sist)
sistema
M
dM dm d
v
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2. Leis Bsicas para Sistema 1 Lei da Termodinmica (Conservao da Energia)
Esta Lei Fundamental da natureza estabelece que, para um sistema:
A taxa de transferncia temporal do calor, menos a taxa de trabalho
realizado pelo (ou sobre) o sistema igual taxa temporal de variao da
energia total do sistema, isto :
Obs.: Lembramos que esta lei afirma que a energia no pode ser criada nem destruda, apenas transformada.
sistema
dEQ W
dt
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2. Leis Bsicas para Sistema Onde, a taxa de transferncia de calor do sistema para o meio, a
taxa de trabalho realizado pelo (+) ou sobre (-) o sistema e E a energia
total do sistema, que pode ser calculada como:
Com e=u+V2/2+gz, onde e = energia especfica, u = energia interna especfica, V = mdulo da velocidade, g = o mdulo da
acelerao gravitacional, e z cota do elemento de massa dm.
(sist) (sist) (sist)
( )sist
M
eE edm e d d
v
Q
W
.
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Seja N qualquer propriedade extensiva de um sistema, e a correspondente propriedade intensiva. Neste caso, podemos escrever:
Para as propriedades apresentadas, temos:
(sist) (sist)
(sistema)
M
dN dm
v
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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
N (Grandeza Extensiva) (Grandeza Intensiva)
M 1
E e
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Considerando um VC e um sistema (poro de fluido) cujas fronteiras coincidem, no instante t, com as regies 1 e 2.
No instante t+t, o sistema ocupa as regies 2 e 3. J o VC continua ocupando as regies 1 e 2.
,
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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
(e Vol. Cont.)
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Tomando a taxa de variao temporal de uma propriedade extensiva N para um sistema, temos:
Expandindo o lado direito dessa equao, temos:
Obs.: Na equao anterior, Ni refere-se a propriedade extensiva na regio i.
0
(sist)
lim S St
N t t N tdN
dt t
3 2 1 20
sist
( )lim
t
N t t N t t N t N tdN
dt t
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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
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Somando e subtraindo N1(t+t) no numerador da equao anterior e re-arrumando os termos, obtemos:
2 1 2 10
sist
3 1
0
( ) ( )lim
( ) ( ) lim
t
t
N t t N t t N t N tdN
dt t
N t t N t t
t
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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
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Notando ainda, que o primeiro limite na equao anterior se refere ao volume de controle (pois o sist. e o V.C. coincidem em 1 e 2), podemos
escrever:
Ou ainda:
3 10 0
sist
lim limVC VCt t
N t t N t N t t N t tdN
dt t t
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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
3 10
sist
limVCt
N t t N t tdN N
dt t t
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Considerando os elementos diferenciais de volume da figura, temos:
onde,
1 1 1 3 3 3 e d tV dA d tV dA
1 1
3 3
1 1 1
3 3 3
( )
( )
SC
SC
N t t d tV dA
N t t d tV dA
3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
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Utilizando as definies para N1(t+t)e N3(t+t), temos:
onde SC a superfcie de controle (superfcie que envolve o volume de
controle).
Lembrando ainda que:
3 10
( )lim
tSC
N t t N t tV dA
t
VC
VC
Nd
t t
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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
Usando as expresses anteriores, podemos escrever , como:
Este o Teorema do Transporte de Reynolds (TTR), que relaciona as formulaes de sistema e de volume de controle.
Este teorema relaciona a descrio Lagrangeana com a descrio Euleriana para a taxa de variao temporal de uma quantidade extensiva
integral.
sist VC SC
dNd V dA
dt t
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sist
dN dt
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Podemos interpretar os termos deste teorema como:
Taxa de variao temporal de qualquer propriedade
extensiva N do sistema;
Taxa de variao temporal da propriedade extensiva N
dentro do volume de controle ;
Fluxo lquido da propriedade extensiva N atravs (para
dentro!) da superfcie de controle;
Obs.: Notar que V medida com respeito ao volume de controle (VC).
sist
dN
dt
VC
dt
N d
SC
V dA
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3. Teorema do Transporte de Reynolds: Relao entre as Formulaes para Sistema e Volume de Controle
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4. Conservao da Massa para VC Escrevendo o TTR para a massa, com N=M e =1, temos:
Como, para um sistema , temos:
Que o princpio de conservao da massa para um VC.
sist VC SC
dMd V dA
dt t
0sist
dM dt
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0VC SC
d V dAt
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4. Conservao da Massa para VC Obs.:
1. O primeiro termo do lado direito da equao anterior representa a taxa de
variao da massa no volume de controle;
2. O segundo termo representa o fluxo de massa atravs das superfcies de
controle (vazo mssica);
3. Esta equao (e suas formas simplificadas) conhecida como Equao da
Continuidade (na forma integral).
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4. Conservao da Massa para VC Casos Especiais da Equao da Continuidade
1. Escoamento Incompressvel: Neste caso, em que =cte, a equao da
continuidade pode ser reescrita, como:
Assumindo um volume de controle indeformvel, i.e., , temos:
0 0VC SC SC
d V dA V dAt t
0SC
V dA
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0t
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4. Conservao da Massa para VC O termo
comumente chamado de vazo volumtrica atravs da superfcie de controle.
Numa seo particular A da superfcie de controle, a vazo volumtrica Q dada por:
3 1
Vazao
SC
Q V dA L T
vAA
Q V dA
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4. Conservao da Massa para VC 2. Escoamento Permanente: Neste caso, a equao da continuidade pode
ser reescrita, como:
O termo: a vazo mssica atravs da SC.
1
SC
m V dA M T
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0VC
dt
0SC SC
V dA V dA
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4. Conservao da Massa para VC Note que, num escoamento permanente, as vazes volumtricas NO so necessariamente conservadas (escoamento compressvel), porm vazes
mssicas so sempre conservadas
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Figura: Princpio de conservao da massa para uma cmara
de mistura em regime permanente. Figura: Massas so necessariamente conservadas,
volumes no.
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4. Conservao da Massa para VC 3. Escoamento Uniforme na Seo: Se considerarmos, adicionalmente, que o
escoamento uniforme numa seo An da superfcie de controle e a
velocidade mdia do fluido nesta seo, temos:
Note que A massa que sai do VC tem sinal (+) e a massa que entra no VC tem sinal (-) devido ao produto interno.
nV
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0
e
0
v n n
nSC
n n n
nSC
Q V dA V A
m V dA V A
.v
m Q
1
n
n n n
n A
V V dAA
nV
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4. Conservao da Massa para VC De modo geral, podemos reescrever o princpio de conservao da massa, como:
Onde, em geral:
Lembrando sempre que V a velocidade relativa ao volume de controle (VC).
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entra saiVC
d m mt
m V dA
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5. Consideraes Finais Na presente aula fizemos uma introduo ao estudo das leis bsicas na forma integral para V.C.
Inicialmente, revisamos rapidamente as leis de conservao da massa e energia para sistemas fechados.
Em seguida, apresentamos o Teorema do Transporte de Reynolds (TTR), que relaciona as formulaes para sistemas e volumes de controle.
Finalmente, escrevemos o TTR para a massa e comentamos alguns casos simplificados.
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6. Bibliografia [1] Introduo a Mecnica dos Fluidos. Mcdonald, Alan T. Pritchard, Philip J.,
Fox, Robert W. Editora Ltc, 6 Edio 2006.
[2] Mecnica dos Fluidos. Potter, M.C. & Wiggert, D.C., - Editora Thompson.
Traduo da 3 edio Norte-Americana, 2003.
[3] Fundamentos da Termodinmica, G. J. Van Wylen, R. E. Sontag e C.
Borgnakke; 6a edio; Ed. Edgard Blucher, 2003.
[4] Thermodynamics, An Engineering Approach, Y. A. engel, M. A. Boles,
6th Edition, 2006.
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