AULA 03 - FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL

INTRODUÇÃO

O conceito de funções é um dos mais importantes em Matemática, e seu conhecimento impulsionou o desenvolvimento tecnológico em quase todas as áreas.

As funções estão presentes em todas as atividades, mesmo que não se tenha consciência disso. Por exemplo, o valor da conta de luz depende da quantidade de energia gasta, a dose de remédio que é dada a uma criança depende do seu peso, o valor par a fazer cópias de um material depende do número de páginas copiadas. Usando funções, também se estuda o crescimento de bactérias, o movimento dos astros, a variação da temperatura da Terra etc. A noção de função permite, enfim, descrever e anal sar relações de dependência entre variáveis.

No mundo empresarial, como não poderia deixar de ser, as funções também se fazem presentes, em qualquer uma das áreas funcionais da empresa.

Na área de Marketing, por exemplo, tem-se que a demanda por um determinado produto é função do seu preço de venda, ou da qualidade, ou da intensidade de propaganda que se faça, ou da combinação destes fatores.

Na área de Gestão de Pessoas, um outro exemplo, pode-se dizer que o salário de um executivo é função da sua formação acadêmica, da sua experiência profissional e do seu desempenho frente à direção da empresa, ou ainda, da combinação destes fatores.

Na área de Produção, estudos comprovam que a produtividade dos empregados de uma linha de produção é função da remuneração, da motivação e do programa de treinamento, ou seja, da política de gestão de pessoas adotada pela empresa.

DEFINIÇÃO

Seja F uma relação de um conjunto A e B IR sobre um conjunto B / x A corresponder um único y B, então esta relação denomina-se função.

Notação:

F: A ® B ou f: A ® B tal que y = f(x) lê-se “y é função de x”

x ® variável independentey ® variável dependente

Exemplos:

Não é função Não é função

1

AB A

B

É função

É função

Não é função

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

Se F: A ® B, então o domínio de F é o conjunto A já que x A deve figurar um único par (x,y) de F; ou domínio (ou campo de existência) de uma função é o conjunto de valores de para os quais a função é definida ou existe, isto é, possui valor finito e real. Notação ID(f).

Domínio de algumas funções:

FUNÇÃO DOMÍNIO

y = anxn + an-1.xn-1 + ...+ a0

y = sen xy = cos xy = tg x

Determine o domínio das funções abaixo:

2

AB

1) y = x2 - 5x + 6 4) 6)

2) 5) 7)

3)

8)

DOMÍNIO VIA GRÁFICO

O domínio de uma função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos do gráfico.

IMAGEM

A imagem de f é o conjunto dos y a B que estão relacionados por f, é denotado por Im(f).A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do gráfico.

CONTRADOMÍNIO

Seja f: A ® B, o contradomínio de f é o conjunto B CID = B.

Exemplos:

1) Seja f: A → B tal que A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,6,8}, considere f(x) = 2x. Sobre essa função responda:

a) Represente essa função através do diagrama de Venn.

A B

3

Y

xf

domínio de XO

Y

O X

Imagem de

b) Determine o domínio de f(x)

c) Determine o contradomínio de f(x)

d) Determine a imagem de f(x)

2) Um cabeleireiro cobra R$ 12,00, pelo corte para clientes com hora marcada e R$ 10,00, sem hora marcada. Ele atende por dia um numero fixo de 4 clientes com hora marcada e um numero variável x de clientes sem hora marcada.De acordo com o texto responda os itens a seguir:

a) Que grandezas estão relacionadas.

b) Qual é a variável independente e qual a dependente.

c) Escreva a fórmula matemática que fornece a quantia Q arrecadada por dia em função do número x.

As funções algébricas e transcendentes podem ser classificadas em:

Funções explícitas: Está na forma y = f(x)

Exemplo: y = x2 + 3x

Funções Implícitas: Está na forma y = f(x,y) = 0

Exemplo: y2 + 2x3y2 + x2.sen y = 0

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES

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As funções são classificadas em dois grandes grupos:

A) Funções Algébricas Elementares: são aquelas cujas variáveis são operações algébricas elementares.

Funções Algébricas Racionais

a) Inteiras ® y = x2 + 3x, y = x + 1, y = x3

b) Fracionárias ®

Funções Algébricas Irracionais ®

B) Funções Transcendentes: São funções cujas variáveis estão sujeitas às operações da trigonometria, da exponenciação e da logaritmização.

a) Funções trigonométricas circulares ® y = sen x, y = tg 2x, y = arc sen (2x +1)

b) Funções exponenciais ® y = 2x , y = ex,

c) Funções logarítimicas ® y = lnx , y = log x,

C) Outras funções ® , y = [x]

Função Crescente     Seja  f  uma  função  definida  em  um  intervalo  I.  A  função  f  é  crescente  em  I  se  

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f ( x1 ) < f ( x2 )   sempre  que  x1 < x2 ,  x1 , x2 I . 

Exemplos:

y = x3 y = 2x

Função Decrescente 

    Seja  f  uma  função  definida  em  um  intervalo  I .  A  função  f  é  decrescente  em  I  se  

f ( x1 ) > f ( x2 )   sempre  que  x1 < x2 ,   x1 , x2 I. 

Exemplos:

Funções crescentes/decrescentes

São funções que seu crescimento ou decrescimento depende do intervalo analisado.

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x

y

x

y

Exemplos: y = sen x

Obs. Funções que só crescem ou só decrescem são chamadas de estritamente crescentes e estritamente decrescentes ou monótonas.

FUNÇÃO PAR

Uma função f: IR ® IR é par se: f(-x) = f(x), é também simétrica em relação ao eixo dos y.

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y = x2

Outros exemplos: y = cos x , y =

FUNÇÃO ÍMPAR

Uma função f: IR ® IR é ímpar se: f(-x) = - f(x), é também simétrica em relação à origem.

y = x3

Outros exemplos: y = sen x , y = x

Obs: Existem funções que não são pares nem ímpares:

FUNÇÃO INJETORA

Uma função f: A ® B é injetora se dado x1 x2 ® f(x1) f(x2)

A B

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x

y

x

y

x

y

x

y

Seja uma função f:IR®IR, tem-se, graficamente que: Se f é injetora, toda reta horizontal que intercepta o gráfico de f o faz em um único ponto.

FUNÇÃO SOBREJETORA

Uma função f: A ® B é sobrejetora se CD = Im

A B

y = x2 não é sobrejetora

FUNÇÃO BIJETORA

Uma função f: A ® B é bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

A B

y = 2x COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES

Dadas as funções f : A ®B e g : B ®C. A função composta de g em f, denotada por: gof = g [f(x)] e fog = f [g(x)], define-se também e fof = f [f(x)]

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A B

f x f(x)

g

gof

g[f(x)] C

Exemplos:

1) Determinar fog e gof, sendo f(x) = x2 – x - 2 e g(x) = 1 – 2x

2) Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x – m, ocorrerá g(f(x)) = f(g(x)) se e somente se m for igual a:

FUNÇÃO INVERSA

Uma função f: A ® B, admite f-1 : B ®A como inversa se, e só se, f for bijetora.

Exemplo:

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Para existir gof é necessárioque:

Im(f) D(g)

a) A função f: A ® B, dada por f(x) = 2x – 1, com A = {1,2,3} e B = {1,3,5}, está representado pelo diagrama:

A B f 1 1

2 3

3 5

Sua inversa f-1 : B ® A pode ser obtida pela simples inversão dos elementos de cada par ordenado. Assim:

B A f-1

1 1

3 2

5 3

Para determinarmos a fórmula da inversa, troca-se y por x e isola-se y.

Exemplos:

1) Exemplo: Seja a função , determine sua função inversa.

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2) Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) = - x2 – x o valor de f(g(-1)) – f - 1 (-5) é:

3) Determine a função inversa da função

TRANSFORMAÇÕES NOGRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

a) Translação de k unidades na direção do eixo y

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y = f(x) + k

b) Translação de k unidades na direção do eixo x

c) Reflexão

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y = f(x)

y = f(x) - k

y = f(x) y = f(x - k)y = f(x + k)

y = f(x)

d) Módulo

Exemplos:

1) Dado , faça o gráfico das seguintes funções:

a) b) c) d) e)

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y = - f(x)

2) Faça o gráfico da função:

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y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

FUNÇÃO DO 10 GRAU

Uma função do primeiro grau tem a forma:

y = f(x) = ax + b

Seu gráfico é uma reta no qual:

• a é a inclinação (coeficiente angular), ou taxa de variação de y em relação a x.

a = tg

• b é a interseção vertical(coeficiente linear), ou o valor de y quando x é zero.

Se b = 0

Reta crescente ® a > 0

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x

y

O

b(f(x) = 0

Raiz x

y

O

b(f(x) = 0

Raiz

x

y

axy

x

y

axy

Reta decrescente ® a < 0

1) Faça o gráfico da função y = - x + 1.

x Y- 101

Coeficiente angular:

Coeficiente linear:

2) Um reservatório está perdendo água. A quantidade Q (em milhões de litros) de água no reservatório é dada pela função Q(t) = 260 - 4tOnde t (em dias) conta o tempo decorrido desde o início do mês.

a) Quanta água havia no reservatório no início do mês?b) Qual é a taxa de variação da quantidade de água por dia?c) Desenhe o gráfico de Q(t)d) Determine o zero da função e explique o seu significado no contexto do problema.

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y

x

Q(t)

FUNÇÃO DO 20 GRAU

Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:

y = ax2 + bx + c, com a 0, b e c IR

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade

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t

relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

VÉRTICE

Coordenadas do vértice ®

As raízes da função do 20 grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dependendo do valor do discriminante podemos ter as seguintes situações gráficas:

> 0 ® a função possui duas raízes reais e distintas.A parábola intercepta o eixo x em dois pontos.

= 0 ® a função possui duas raízes reais e iguais.A parábola tangencia o eixo x.

< 0 ® a função não possui raízes reais.A parábola não intercepta o eixo x.

Exemplos:

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1) Numa partida de futebol ocorre um gol cuja trajetória da bola descreve uma parábola. Supondo que esta trajetória esteja representada no gráfico abaixo, onde h representa a altura, em metros, e t, em segundos, indica o tempo transcorrido após o chute:

a) escreva a equação dessa trajetória;

b) calcule em quantos segundos a bola atinge a sua altura máxima;

c) calcule a altura máxima atingida pela bola.

FUNÇÃO POTÊNCIA

Em geral uma função potência tem a forma

onde k e p são constantes quaisquer.

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• Toda potência ímpar é estritamente crescente e simétrica em relação à origem.• Toda potência par é decrescente e depois crescente e simétrica em relação ao eixo y.

Potência se p = -1 ® FUNÇÃO RECÍPROCA

Domínio ® x 0 Imagem ® y 0

Gráfico se chama Hipérbole eqüilátera.

Potência se p = - 2

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yy

Domínio ® x 0 Imagem ® y > 0

Potência fracionária e positiva:

Domínio ® x ³ 0Imagem ® y ³ 0Função crescente

Potência para p = 3 ® y = x3

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x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Domínio ® IRImagem ® IR

Função estritamente crescente ou monótona

Potência para p = 4 ® y = x4

Domínio ® IRImagem ® y ³ 0

Para x < 0 ® f(x) decresce e para x > 0 ® f(x) cresce

FUNÇÕES PERIÓDICAS

Diz-se que uma função f(x) é periódica de período T se T é o menor número positivo tal que f(x + T) = f(x).

Exemplo:

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x

y

1 2

4

3 4 5- 2 - 1- 3- 4 x

y

1 2

4

3 4 5- 2 - 1- 3- 4

Logo f(x + 2) = f(x) é uma função periódica de período T = 2 é chamada de onda quadrada ou trem de pulsos retangulares.Aplicação: compressor de geladeira de 0 a 1 s ligado de 1 a 2 s desligado.

As funções trigonométricas circulares também são periódicas.

f(x) = sen x

Exemplos:

1) Desenhe no mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções: y = x2 e y = x + 2, e ache os pontos de intersecção das duas funções.

24

y

2) Faça o gráfico das funções y = x2 e , determine a interseção dessas funções.

3) Construir o gráfico da função y = - 2x2 + 18.

25

x

y

x

y

x

4) Faça o gráfico das funções x = y2 - 4 e x + y2 = 2.

26

y

x